La Negazione
• La negazione sembra
una funzione di verità
molto semplice: se “p”
è vera “ p” è falsa;
• se invece “ p” è vera
“p” è falsa
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La notazione di Wittgenstein è
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p
FV
VF
sembra perfettamente
sensata perché inverte
i poli della proposizione
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 ( p) infatti anche questa sembra
V F V andare bene perché due ne
F V F gazioni affermano
Inoltre c’è un’altra caratteristica
molto importante della negazione:
Essa può riprodurre TUTTE le
funzioni di verità
Infatti data la solita tavola di verità
VV possiamo introdurre F
VF una funzione segno  F
FV che è vera solo se le F
FF due prop.sono false V
La negazione congiunta 
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Se applichiamo questa funzione a se
stessa otteniamo prima la disgiunzione
pq pq poi con qualche accorgi
F V F mento otteniamo anche
F V F l’implicazione
F V F
V V V
((p p)  q))
(( p p ) q))
F
F V
V
F FV
F V F
F
F VF
V F V
V
V FV
V F F
V
V FV
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Potrei farvi vedere che
con questa funzione si possono fare
TUTTE le funzioni di verità.
In qualche maniera dunque la
negazione è L’essenza della logica
Proprio per questo,
la negazione non c’è nella
realtà.
Come rappresentiamo una
negazione con un disegno?
Pensate a quei disegni che vogliono
dire non fumare
La negazione:la non realtà
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Immaginate come si può
rappresentare non fumare con un
disegno.Il disegno deva avere
sempre un contrassegno artificiale
Che non ci può essere nella realtà
Riprendiamo ora il discorso che
due negazione affermano
 ( p) = p oppure anche che
 ( ( p)) =  p
Queste regole valgono nel presente,
non nel tempo. La logica è in
qualche maniera eterna
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Vi faccio un esempio: attendete il
tram, un uomo affacciato al suo
negozio dice “non passa” un altro
negoziante dice no, passa. O anche
può dire: non è vero che non passa
 ( p) = p
Questo nel presente è sempre vero
 ( p) = p oppure p =  ( p)
Ammettete invece che i due
negozianti si esprimano con i tempi
futuri.
Uno dice “non passerà” l’altro “non
e vero che non passerà”
La logica intuizionista
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 ( p) = p Anche qui vale questa
uguaglianza? Non sempre perché le
due affermazioni dei negozianti
potrebbero essere coincidenti: Non
passerà alla 5 ; ma non è vero che
non passerà alla 5 non significa che
passerà alle 7 o alle 8 etc.
La cosa si chiarifica meglio
pensando ai problemi matematici
Abbiamo un problema matematico:
Non l’abbiamo risolto.
Un matenatico coraggioso dice non
è vero che è irresolvibile. Ma
quest’affermazione non dà affatto
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La soluzione del problema.
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Cioè  ( p)  p mentre invece
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p = ( p)
Cioè se ho trovato la soluzione del
problema posso dire che non è vero
che è irresolvibile (bella forza, uno
potrebbe dire)
Il logico olandese Brouwer su
questo punto nega che la
matematica possa fondarsi sul terzo
escluso (cioè o p o  p) o p v  p
che in logica è una tautologia.
Brouwer in realtà criticava Hilbert
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Brouwer e Hilbert
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Hilbert infatti aveva pensato di
estendere alcune dimostrazioni di
teoremi finitari nell’ambito
infinitario. E’ anche l’errore di
Hegel per il quale negando il finito
si ottiene l’infinito. Per Brouwer
invece non si ottiene nulla. La
prova deve essere costruttiva, non
allusiva.
Si deve dimostrare p non  ( p).
La logica intuizionista (costruttiva)
è un raffinamento più alto e preciso
della logica “eterna” quella che
usiamo più spesso
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Kolmogorov infatti aveva
dimostrato teoremi che valevano
nell’ambito infinitario sostituendo
sempre, al posto, di p  ( p) .
Heyting perfezionò la cosa, che
appariva a Brouwer paradossale.
Il calcolo dei sequenti di Gentzen
utilizza un altro accorgimento per
discutere i problemi logici della
logica intuizionista.
La lohgica intuizionista non è
tuttavia una logica trivalente anche
se con la logica trivalente possiede
il riferimento al futuro.
La logica trivalente
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La logica trivalente è una creazione di
Lukasievicz (polacco come Tarski)
studioso interessantissimo di Aristotele
ma non è aceettata da come invece
quella intuizionista.
Eppure la usiamo tutti i giorni assieme
ad un’altra logica quella modale.
Ad esempio posso dire si, no, non so.
Questo è fin troppo banale. Ma c’è un
ambito in cui la logica trivalente ci può
sorprendere.
Aristotele diceva:” O Senofonte è in
Atene oppure non è in Atene” Potrà
essere a Sparta in Egitto etc. I casi sono
due e due soltanto.
Siamo nella nostra buona logica bi-polare o si o no
Vero Falso etc.
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Tuttavia potrà anche essere che
Senofonte non sia (né in Atene né fuori
Atene).
Cioè sia morto (e in questo caso non
possiamo dire che il corpo di Senofonte
sia Senofonte)
Questa macabro esempio diventa più
divertente se facciamo un altro esempio
che ci dà più allegria, ma anche cio fa
capire come la logica trivalente non è
necessaria come quella bivalente.
L’esempio è tratto dal passato
(possiamo pensare al futuro solo al
passato)
La deterrenza
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Sapete che negli anni passati
esistevano l’U.R.S.S. e gli U.S.A.
Le due potenze atomiche erano in
“guerra” una guerra non
guereggiata ma, si diceva, una
guerra fredda.
La guerra era “fredda” perché si
reggeva su un equilibrio di terrore
la deterrenza.
Il ragionamento dei due deterrenti
era pressappoco questo:
Gli U.S.A. hanno tutte le intenzioni
a conservare la pace, ma l’U.R.S.S.
non ha questa intenzione dunque an
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Anche noi USA - per difenderci! ci armiamo.
Lo stesso ragionamento veniva
fatto dall’URSS.
Vediamo di costruire uno schema
per articolare la deterrenza. A
significa Arma P significa pace
Gli USA dicono io amo la Pace ma
l’Urss si arma quindi anche noi ci
armiamo. L’Urss dice anch’io amo
la pace ma gli Usa si armano
dunque anch’io mi armo
La deterrenza
A
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• A
• Usa
• P
URSS
P
Lo schema riproduce
tutti i possibili rappo
A
A
rti 3 esiti negativi
uno positivo
A
P
Un calcolo … futuro
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A
S
P
Le tre lettere significano
A A
S
A
Armi,Pace,Scon
S S
S
S
sciuto. Come vedete ci
P A
S
P
sono un caso di
pace ma 5 casi sconosciuti .Nel caso più
sfavorevole 3 + 1.
Il futuro …provvidenziale
• Ebbene possiamo dare un nome all’evento
sconosciuto: la caduta del muro di Berlino.
• L’URSS non è più nemica. La deterrenza
finisce.La pace (tra queste due nazioni)
prevale sugli armamenti . Il futuro è sempre
imprevedibile. Certo, ma lo è tanto più
quanto più lo riduciamo sempre a due valori
Perche non usare la logica
trivalente?
• Perché il calcolo non è sempre possibile in
questa maniera. Pensate cosa può succedere
per un’implicazione materiale con un sistema a tre valori: non sappiamo come
. Come del resto avevamo dei dubbi
anche sul calcolo della deterrenza.Se
ricordate eravamo indecisi tra 6 casi
favorevoli su 3 o 4 su 5. Ma in ogni caso le
probabilità favorevoli sono maggiori
rispetto a quello di 1 su 4 della deterrenza
bi-polare,
battezzarli