QUINTA LEZIONE-angoli
Terminiamo lo studio dei triangoli isosceli dimostrando la proposizione:
Teorema: "In un triangolo isoscele la bisettrice dell'angolo al vertice è anche mediana e altezza relativa
alla base".
Il teorema afferma che se la retta AH è costruita in modo che gli angoli
= HC (proprietà della mediana) e gli angoli
e
e
siano uguali, allora BH
sono retti (proprietà dell'altezza).
Dividiamo la dimostrazione in tre parti:
Anzitutto vediamo come si costruisce la bisettrice, cioè la retta AH della figura precedente.
Per costruire la bisettrice usiamo la figura del Pons Asinorum, cioè della sovrapposizione di un triangolo
isoscele e un triangolo equilatero.
Per il teorema dell'uguaglianza degli angoli alla base gli angoli segnati in
figura sono uguali, dunque anche la loro somma è uguale.
La conclusione è che gli angoli in B e C sono uguali, ossia:
Considero ora la retta AD: dico che questa
retta è la bisettrice cercata. Applico il
metodo di dissezione, tagliando il
quadrilatero ABCD lungo la retta AD.
Otteniamo due triangoli:
per ipotesi
per costruzione
per costruzione
Quindi i triangoli sono uguali. In particolare sono uguali gli angoli in A:
B D=C D
Pertanto la retta AD è bisettrice.
Chiamo H il punto di intersezione della base BC con la bisettrice AD.
Per dimostrare che la bisettrice è mediana ed altezza relativa alla base, decompongo il triangolo isoscele
ABC nei due triangoli ABH e AHC
per ipotesi
per costruzione dei triangoli
per costruzione della bisettrice
Per il solito criterio di uguaglianza i due triangoli sono uguali e quindi gli elementi corrispondenti nei due
triangoli sono pure uguali:
1.
BH=CH
(proprietà della mediana)
2.
B A=C A
(proprietà dell'altezza)
Questa proprietà del triangolo isoscele è alla base delle costruzioni con riga e compasso che vedrete nella
prima esercitazione.
Punto 4: sugli angoli formati da rette che si intersecano
Lo scopo è di dedurre le conseguenze del teorema di uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo
isoscele sugli angoli interni di un triangolo.
Il risultato centrale è il teorema dell'angolo esterno ad un assegnato triangolo che afferma:
Teorema : "l'angolo esterno ad un triangolo è sempre maggiore degli angoli interni non adiacenti".
Tesi:
1>3
1>2
Per la prima volta intervengono delle diseguaglianze e queste diseguaglianze sono una conseguenza
dell'eguaglianza degli angoli alla base del triangolo isoscele.
Prima di esaminare il caso di un triangolo, cioè il caso di tre rette che si intersecano, consideriamo il caso di
due rette che si intersecano, con i rispettivi angoli adiacenti e opposti al vertice.
1 e 2: angoli adiacenti;
1 e 3: angoli opposti al vertice.
Euclide fa due osservazioni elementari ma
importanti:
1.
2.
Teorema degli angoli adiacenti: la somma di due angoli adiacenti è sempre (qualunque sia l'obliqua
considerata) pari a due retti;
Teorema degli angoli opposti: gli angoli opposti al vertice sono uguali.
Vediamo il primo teorema degli angoli adiacenti:
Si considera la retta AB con due oblique (dalla stessa parte di AB) uscenti da E.
Mettiamo bene in evidenza le coppie di angoli adiacenti formate dalle due oblique:
Proviamo a formare la somma degli angoli adiacenti:
Abbiamo così scoperto che la somma degli angoli adiacenti non dipende dall'obliqua, dunque è costante:
1+2 = costante
Scelgo l'obliqua più importante per valutare questa costante: la perpendicolare (che ho imparato a
tracciare con il teorema della bisettrice in un triangolo isoscele).
1 + 2 = retto + retto = due retti
Da questa proprietà discende l'uguaglianza degli angoli opposti al vertice:
EC
EB
obliqua di AB:
obliqua di CD:
Quindi :
1+2=due retti
2+3=due retti
1=3
Teorema dell'angolo esterno
Siamo ora pronti a considerare il caso di tre rette che si intersecano formando un triangolo.
Voglio dimostrare che:
Il problema è che devo confrontare angoli che hanno vertice in punti differenti: questa è l'origine della
difficoltà. Per superare questa difficoltà mi propongo di trasportare l'angolo 2 da C in A; in questo modo
renderò il confronto ovvio.
Costruzione
Come è possibile costruire in A un angolo uguale a 2?
Passo 1: considero il punto medio E di AC (so come farlo per il Pons Asinorum).
Passo 2: considero la semiretta BE e su di essa costruisco il punto F (con il compasso) tale che: BE=EF
(Senza dirlo, sto costruendo un parallelogramma ABCF usando le proprietà che le diagonali si bisecano)
Passo 3: congiungo A con F in modo tale da avere due triangoli: BCE e AEF
Questi due triangoli hanno uguali per costruzione ;
EC=AE perché E punto medio di AC
BE=EF perché E punto medio di BF
Inoltre i due angoli in E sono uguali perché opposti al vertice. Quindi i triangoli sono uguali (primo criterio).
Ne segue che:
Quindi nella figura è come se avessi trasportato l'angolo 2 da C in A.
Ora è evidente che :
2>1
perché, per costruzione, il punto F è interno all'angolo
Teorema degli angoli alterni interni
La costruzione precedente ha un’ eccezione: quando due rette sono parallele e quindi non definiscono un
triangolo.
Ci chiediamo quando si realizza questa situazione. Per questo introduciamo la nozione di angoli alterni
interni: sono gli angoli 1 e 2 della figura.
Enuncio il teorema degli angoli interni alterni in una forma che combina assieme due Proposizioni di
Euclide: la Proposizione 27 e la Proposizione 29 che sono una l'inversa dell'altra.
Teorema:"Due rette a e b sono parallele se e solo se una qualunque secante c forma con esse angoli alterni
interni uguali".
Questo è il principale criterio di parallelismo.