FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Laurea Specialistica in Ingegneria Civile N.O.
Giuseppe T. Aronica
CORSO DI IDROLOGIA TECNICA
PARTE II
Analisi e previsione statistica delle
variabili idrologiche
Lezione VII: Le variabili aleatorie
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le variabili aleatorie
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Le variabili ingegneristiche classiche sono
variabili deterministiche, in quanto si
possono determinare in funzione di altre
variabili note
Esiste un sistema di equazioni differenziali che
opportunamente risolto fornisce i valori
cercati
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Le variabili aleatorie
Una variabile (grandezza) si dice aleatoria o
casuale quando essa assume valori che
dipendono da un certo numero di cause
sconosciute
o
non
completamente
conosciute
Non esiste un sistema di equazioni
differenziali che opportunamente risolto
fornisce i valori cercati
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Definizioni
Le variabili aleatorie
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
VARIABILI DISCRETE
variabili che possono assumere solo valori fissati (es. il numero di giorni
piovosi, i punti ottenibili da un lancio di un dado, ecc.)
VARIABILI CONTINUE
variabili che possono assumere qualsivoglia valore all’interno di un certo
intervallo (es. le altezze di pioggia, la misura di una distanza, ecc.)
VARIABILI LIMITATE
variabili che possono assumere valori limitati (es. le altezze di pioggia >0,
il numero di giorni di pioggia in un anno <=365, ecc.)
VARIABILI ILLIMITATE
variabili che possono assumere valori illimitati (es. le altezze di pioggia
+∞, la portata in una sezione di un corso d’acqua, ecc.)
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le variabili aleatorie
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Definizioni
POPOLAZIONE DI UNA VARIABILE
Si definisce popolazione (finita o infinita) di una
variabile casuale x l’insieme degli infiniti valori che la
variabile può assumere nelle medesime condizioni
nelle quali la variabile si manifesta
CAMPIONE DI UNA VARIABILE
Si definisce campione di dimensione N estratto dalla
popolazione della variabile x, una qualsiasi serie finita
di N elementi appartenenti alla popolazione
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le variabili aleatorie
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
La conoscenza del valore di una variabile
aleatoria x è ricondotta alla probabilità di
verificarsi di un suo valore
Analisi statistica della grandezza x
valore probabile = f(valori passati)
Inferenza statistica su un campione della variabile
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Grandezze caratteristiche di un campione
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Diagramma a barre del campione
Altezze di pioggia totali annue
Variabile continua limitata
inferiormente e illimitata
superiormente
Campione di dimensione N=30
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Grandezze caratteristiche di un campione
Classe - insieme di valori della x compresi tra xi e xi+1
Ampiezza di classe - (xi+1 – xi)
Istogramma di frequenza
relativa
Densità di frequenza relativa fi = ni /N
0.4
Estremi di
classe (mm)
ni
fi
400-600
1
0.033
600-800
8
0.266
800-1000
11
0.367
1000-1200
8
0.266
1200-1400
2
0.067
0.3
f
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Densità di frequenza assoluta ni - numero di elementi del campione
ricadenti nella classe i-esima
0.2
0.1
0
400
600
800 1000
h (mm)
1200 1400
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Grandezze caratteristiche di un campione
Dato il campione è possibile fare corrispondere all’estremo di ciascuna
classe il numeri di elementi di valore minore o uguale all’estremo (ci si
sgancia dalla scelta dell’ampiezza di classe)
Istogramma di frequenza
relativa cumulata
Frequenza cumulata relativa fi = ni /N
1.2
Estremi di
classe (mm)
Ni
Fi
600
1
0.033
0.8
800
9
0.296
0.6
1000
20
0.663
0.4
1200
28
0.928
0.2
1400
30
1.000
1
f
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Frequenza cumulata assoluta Ni - numero di elementi del campione che
hanno valore minore o uguale a quello della classe i-esima
0
400
600
800 1000
h (mm)
1200 1400
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idrologiche
Grandezze caratteristiche di un campione
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Per definire completamente le caratteristiche di
un campione si fa uso di alcuni indici numerici
‰ Indici di posizione (misure di tendenza
centrale)
‰ Indici di variabilità (misure di dispersione)
‰ Indici di forma (misure di asimmetria)
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idrologiche
Grandezze caratteristiche di un campione
Indici di posizione
Media aritmetica µ
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Nx
m= ∑ i
i=1N
Moda me
è il valore a cui corrisponde il massimo della densità di frequenza
empirica
Mediana m0
è il valore che corrisponde alla frequenza cumulata empirica 0.5
Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
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Grandezze caratteristiche di un campione
Indici di variabilità
Varianza s2
Ampiezza ν
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ν = max( x ) − min( x )
Scarto dalla media d
s
2
N (x − m )2
= ∑ i
i =1 N − 1
Coefficiente di variazione
N xi − m
d= ∑
i=1 N
CV =
ŝ
m
Scarto quadratico medio s
s=
N (x − m )2
i
∑
i =1
N−1
è una stima
popolazione
indistorta dello
scarto σ
della
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idrologiche
Grandezze caratteristiche di un campione
Indici di forma
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Coefficiente di asimmetria g1
1 N (xi − m )3
g1 =
∑
3
s i=1 N
descrive la simmetria dell’istogramma
di frequenza relativa
< 0 inclinato a destra
= 0 simmetrico
> 0 inclinato a sinistra
Coefficiente di kurtosi g2
1 N (xi − m )4
g2 =
∑
4
s i=1 N
descrive l’appiattimento dell’istogramma
di frequenza relativa
< 0 forte appiattimento
= 0 nessun appiattimento
> 0 forte irripidimento
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Grandezze caratteristiche di un campione
Momenti
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Momento di ordine r-esimo rispetto all’origine A
N (x − A )r
m'r = ∑ i
i=1 N
Momento di ordine r-esimo rispetto alla media del campione
N (x − m )r
mr = ∑ i
N
i=1
m1 = 0
m2 = s 2
N (x − 0 )
0
=m
m1 = ∑ i
i=1 N
La media è il momento
del primo ordine attorno
allo zero
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idrologiche
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Probabilità
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Si definisce probabilità di un evento E il
rapporto tra il numero q di casi favorevoli a E e
il numero totale n dei casi possibili
q
p=
n
Esempio 1: Se in un anno ci sono stati 100 giorni piovosi, la probabilità di
imbatterci in un giorno piovoso è:
p=
100
= 0.274
365
Esempio 2: La probabilità di avere un punto superiore a 2 lanciando un dado è:
p=
4
= 0.667
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
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Assiomi fondamentali
Probabilità
1) La probabilità di un evento è compreso tra zero e uno (estremi inclusi)
2)
La probabilità di un evento certo è uno
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3) La probabilità di un evento impossibile è zero
4) La probabilità composta di due eventi (probabilità che accadano entrambi) è
uguale a:
P(E1 ∩ E2) = p(E1) p(E2|E1) = p(E2) p(E1|E2)
5) La probabilità totale di due eventi è uguale a:
P(E1 U E2) = p(E1) + p(E2) – P(E1E2)
6)
La probabilità totale di due eventi (probabilità che accada almeno uno dei
due) mutuamente incompatibili è uguale a:
P(E1 U E2) = p(E1) + p(E2)