Ruote dentate
Autori: Monica Malvezzi/Luca Pugi
Aggiornata al 10 marzo 2010
(Bozza si ringraziano tutti coloro che dovessero
segnalare eventuali sviste, errori, etc)
1
Trasmissione del moto tra assi paralleli
•
•
Si considerino due assi tra loro paralleli (r e r’
in figura) e due corpi rigidi che ruotano
attorno a tali assi con velocità angolari  e ’,
facciamo inoltre l’ipotesi che le due velocità
angolari siano fra loro discordi.
Volendo ricavare le primitive del moto (polare
fissa  e polare mobile ’) imponiamo che il
rapporto tra le due velocità angolari sia
costante, ovvero:
'
 cos t.

•
Per ottenere il moto relativo dell’asse r’
rispetto all’asse r, si imprime a tutto il sistema
una rotazione -. Si otterrà così ancora una
rotazione di intensità +’ attorno ad un asse
parallelo a r e r’ ma passante per un punto C,
tale da garantire la condizione:
  OC   '  O 'C
2
Trasmissione del moto tra assi paralleli
•
moltiplicando entrambi i membri per (O’C/)
si ottiene:
 ' OC

 cos t
 O 'C
•
avendo sfruttato l’ipotesi fatta in precedenza.
Dal momento che la distanza OO’ si mantiene
costante durante il moto ed è costante il
rapporto tra i segmenti OC e O’C allora si può
scrivere che:
OC  cost
O ' C  cost
•
Allora le due polari sono date da due cilindri
circolari di assi r e r’ e di raggi OC e O’C.
3
Ruote di frizione
•
Se ci riportiamo su di un piano ortogonale alla direzione di  , le due polari del moto possono
essere rappresentate per mezzo di due circonferenze tangenti nel punto C (centro d’istantanea
rotazione). Materializzando tali circonferenze possiamo ricavare un primo esempio di
trasmissione tra assi paralleli in cui i due membri hanno un moto relativo dato da un
rotolamento puro. Questo tipo di trasmissione prende il nome di “ruote di frizione“. Sotto
quest’ipotesi, riferendoci alla figura,  sia la polare fissa coincidente con la ruota motrice, R sia
il raggio di  , la ruota motrice abbia una velocità di rotazione pari a  ed il momento motore
sia diretto in senso antiorario, ’ sia la polare mobile coincidente con la ruota cedente, R’ sia il
raggio di ’ , la ruota motrice abbia una velocità di rotazione pari a ’ ed il momento resistente
sia anch’esso diretto in senso antiorario.
4
Ruote di frizione
Essendo il moto relativo un rotolamento puro
non vi potrà essere strisciamento tra i due
membri, questo implica che le velocità
periferiche nel punto di contatto (C) dovranno
avere uguale intensità, ovvero:
R     R  
Definiamo poi il rapporto di trasmissione tra le due ruote come, il rapporto tra la velocità
angolare della ruota cedente e la velocità angolare della ruota motrice, ovvero:
 
'

Sfruttando la condizione di non strisciamento tra le ruote si può anche scrivere:

R
R'
ovvero il rapporto di trasmissione può essere espresso utilizzando solo parametri
geometrici delle ruote di frizione.
5
Ruote di frizione
Analizziamo adesso la coppia nel caso
ideale.
M mo  R  h  N
M r  R'  h  N
dove h deve essere:
0h f
Eliminando hN si giunge all’espressione:
M mo 
R
Mr  Mr
'
R
ovvero, nel caso ideale, il momento motore è
esprimibile attraverso il prodotto del rapporto di
trasmissione per il momento resistente.
6
Ruote di frizione (opt)
L’assunzione che il moto relativo sia dato da un
rotolamento puro è però una semplificazione, in
realtà si vengono a creare delle deformazioni
locali nell’intorno del punto di contatto,
deformazioni dovute alla pressione tra le due
ruote; quindi il contatto non avviene più in un
punto ma su di una linea. Come conseguenza si
ha che la forza N non passa più per il centro
delle ruote di frizione ma è traslatata,
parallelamente a se stessa, di una quantità  , la
direzione della traslazione dipende dal senso di
rotazione delle ruote di frizione.
•Anche per il caso reale calcoliamo le espressioni
del momento motore e del momento resistente:
M m  N   R  h  N
M r  N   R'  h  N
•Dalla seconda espressione si può ricavare N:
N
Mr
h  R'  
7
Ruote di frizione (opt.)
•
Sostituendo poi N nella prima espressione si ricava il momento motore:
hR 
R
Mm 
M

M


r
r
h  R'  
R'
•
h
Ricordando l’espressione del rendimento:

•
h

R'

R
M mo
Mm
si può scrivere per la coppia di ruote di frizione:
R


h

h

R' 
R' 
R'

R


Mr ' h 
h
R
R
R
Mr
Le ruote di frizione vengono impiegate nella trasmissione di piccole coppie (strumenti di
misura, motorini di ciclomotori), nella trasmissione di moto sotto l’azione di forze modeste ad
organi di grandi dimensioni ( ad esempio betoniere).
Il difetto di una trasmissione del moto mediante ruote di frizione è che essa dipende dal valore
del coefficiente d’attrito; volendo utilizzare un tipo di trasmissione indipendente da tale
coefficiente si deve rinunciare ad avere un moto relativo di puro rotolamento.
8
Profili coniugati
Dato un generico moto piano definito per mezzo della polare fissa  e della polare mobile ’ si
definiscono profili coniugati due curve che durante il moto piano si mantengono costantemente in
contatto. Le polari stesse del moto sono due particolari profili coniugati.
Per i profili coniugati vale la seguente proprietà:
• La normale comune ai profili coniugati nel punto di contatto passa per il centro di istantanea
rotazione C del moto piano.
Se così non fosse si avrebbe il distacco o la compenetrazione dei profili durante il moto.
9
Profili coniugati
Vogliamo adesso ,date le due polari del moto ed il profilo p’ ,tracciare il profilo p (coniugato di p’).
Per fare questo useremo due diversi metodi.
Metodo dell’inviluppo
Questo metodo consiste nel disegnare le posizioni
assunte dal profilo p’ durante il moto di
rotolamento della polare mobile sulla polare fissa.
La curva ottenuta come inviluppo di tutte le curve
p’ tracciate sarà il profilo p cercato.
10
Profili coniugati
Metodo dell’epiciclo
Consideriamo una curva  ed un punto P ad essa solidale
e facciamo rotolare la curva  una volta sulla polare fissa
 e una volta sulla polare mobile ’. Durante tali moti il
punto P descriverà due curve p e p’ tra loro coniugate.
Con riferimento alla figura possiamo scrivere le seguenti
relazioni geometriche:
C1'' P  C1' P1'
C1'' P  C1 P1
da cui si ricava l’uguaglianza:
C1' P1'  C1 P1
tale relazione indica che i punti P1’ e P1 sono coniugati
durante il moto.
Si possono ottenere due profili coniugati anche
utilizzando, al posto del punto P, una curva  solidale
alla curva .
Il metodo dell’epiciclo ha la particolarità di
poter creare delle famiglie di curve tali che
presi due profili qualunque questi risultano
essere fra loro coniugati. L’asserto deriva dal
considerare che il profilo p è ricavato
unicamente da  e dalla polare fissa, mentre il
profilo p’ è ricavato unicamente da  e dalla
polare mobile. Variando ’ (o ) si ottiene una
nuova curva p’ (o p) ancora coniugata con p (o
p’).
11
Ruote dentate cilindriche ad evolvente
Come abbiamo già detto parlando delle ruote di frizione
se si desidera avere una trasmissione del moto
indipendente dal valore del coefficiente d’attrito si deve
abbandonare l’assunzione di utilizzare come profili
coniugati le polari del moto e quindi rinunciare ad avere
un moto di puro rotolamento.
Si deve quindi utilizzare uno dei metodi visti nel
precedente paragrafo per generare due profili coniugati;
scegliamo il metodo dell’epiciclo. La curva  (epiciclo) sia
una retta solidale ad entrambe le polari e la curva  sia
una retta solidale a . I profili che  verrà a generare sono
evolventi di cerchio, infatti se chiamiamo  l’angolo che 
forma con  allora l’angolo che la normale a  (passante
per il centro istantaneo di moto C ed indicata con ) forma
con l’epiciclo sarà:


2
   cos t
Quindi in ogni generica posizione la retta  si manterrà ad
una distanza costante dal centro O della polare fissa, tale
distanza è definita come:
  R  cos  
12
Ruote dentate cilindriche ad evolvente
13
Ruote dentate cilindriche ad evolvente
•
•
L’evoluta del moto sarà allora una circonferenza di centro O e raggio  e prende il nome di
circonferenza di base.
Con considerazioni del tutto analoghe si può asserire che il profilo p’ è l’evolvente della
circonferenza di centro O’ e raggio
 '  R '  cos 
Gli stessi profili coniugati potevano essere generati come traiettoria di un punto P solidale alla retta
, durante il moto di rotolamento di tale retta sulle due circonferenze di base.
I profili ad evolvente godono poi delle seguenti proprietà:
•
•
•
La forza trasmessa dai denti, se si trascurano gli attriti, ha direzione costante
I profili rimangono coniugati anche variando l’interasse, in questo caso cambia solo l’angolo
 (detto angolo di pressione). Per l’angolo di pressione esistono valori normalizzati pari
rispettivamente a 20° e 14.30°
La ruota con un numero infinito di denti (denominata dentiera) ha un superfici dei denti
piane.
14
Caratteristiche geometriche di una ruota dentata
Ruota a dentatura esterna
Ruota a dentatura interna
Prendiamo, come riferimento, una generica ruota
dentata cilindrica a denti dritti. La cresta del dente è
compresa entro una circonferenza, la quale prende il
nome di “circonferenza di testa”. Oltre a questa sono
presenti la “circonferenza primitiva”, traccia sul piano
della ruota dentata della polare del moto relativo; la
“circonferenza di base” e la “circonferenza di piede”.
Quest’ultima delimita la parte inferiore del dente ed è a
questo raccordata. Tutte le circonferenze sopraccitate
sono concentriche.
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Caratteristiche geometriche di una ruota dentata
La distanza radiale tra la primitiva e la circonferenza di testa prende il nome di addendum
(generalmente indicato con a), mentre la distanza radiale tra la primitiva e la circonferenza di
piede prende il nome di dedendum (generalmente indicato con d). Si chiama invece altezza del
dente (indicata con h) la somma dell’addendum e del dedendum.
Le superfici laterali del dente prendono il nome di fianco. La circonferenza primitiva divide il
fianco del dente in due porzioni, un’esterna alla circonferenza primitiva che prende il nome di
fianco addendum e un’interna alla circonferenza primitiva che prende il nome di fianco
dedendum.
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16
Modulo di una ruota dentata
•
Si definisce modulo di una ruota dentata il rapporto tra il diametro primitivo 2R e il numero di
denti z, ovvero:
m
•
2R
z
Il valore del modulo non può essere scelto arbitrariamente ma deve rientrare in uno dei valori
normalizzati (UNI 4504).
VALORI NORMALIZZATI DEL MODULO
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
8
9
10
•
11
12
14
16
La norma UNI prevede che siano adottati di preferenza i valori del modulo riportati in grassetto
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Proporzionamento di una ruota dentata
•
•
•
Una volta definito il modulo si può
distinguere tra due diversi tipi di
proporzionamento:
Proporzionamento normale: in cui
– a=m
– d = 1.25m
– h = 2.25 m
Proporzionamento ribassato: in cui
– a = 0.8m
– d=m
– h = 1.8m
Sulla circonferenza primitiva si possono misurare
altri due parametri geometrici caratterizzanti un
dente di un ruota dentata, questi sono lo
spessore ed il vano. Lo spessore ed il vano sono
pari a metà del passo; quest’ultimo è definito
come la distanza tra due profili consecutivi
misurata sulla circonferenza primitiva.
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Rapporto di trasmissione-numero di denti
•
L’espressione analitica del passo è data da:
p
•
dove R è il raggio della primitiva e z il numero di denti della ruota. Condizione necessaria
affinché due ruote dentate ingranino fra di loro è che abbiano lo stesso passo. E’ interessante
notare che esiste un legame tra modulo e passo di una ruota dentata:
p
•
2R
z
2R
 2R 
     m
z
 z 
Ma questo equivale a dire che due ruote dentate ingranano fra loro se hanno lo stesso modulo.
Volendo dimostrare l’asserto si considerino due ruote dentate (ruota 1 e ruota 2) aventi la
prima passo p1 e la seconda passo p2. Affinché vi sia ingranamento deve risultare:
p1  p 2
•
ma scrivendo il passo in funzione del modulo si ha:
m1  m2
•
semplificando si ottiene infine:
m1  m2
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Rapporto di trasmissione-numero di denti
•
Consideriamo la definizione del rapporto di trasmissione tra due ruote dentate:

•
dove R1 e R2 sono i raggi delle primitive delle ruote. Dalla definizione di passo si può ricavare la
seguente espressione:
R
•
R1
R2
pz
2
Quindi il rapporto di trasmissione può essere scritto come:
p  z1 2
z

 1
2 p  z 2 z 2
Ovvero il rapporto di trasmissione è direttamente legato al numero di denti delle due ruote
dentate.

•
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Condizione di continuità del moto
•
Durante l’ingranamento delle due ruote dentate il
punto di contatto tra due generici denti si sposta su
di un segmento appartenente ad una retta, indicata
con , chiamata retta dei contatti, il segmento
prende invece il nome di arco di ingranamento, ed
è delimitato dai punti N1 e N2, intersezioni della
retta  con le circonferenze di testa delle due ruote.
•
Durante il moto del punto di contatto dal punto N1
al punto N2, le due primitive 1 e 2 rotolano su di
un arco s, denominato arco di azione. Esiste una
relazione tra il passo di una ruota e la lunghezza
dell’arco di azione, tale relazione prende il nome di
condizione di continuità del moto e si esprime
analiticamente attraverso la relazione:
s p
•
Dove con p si è indicato il passo della ruota
dentata. Se non si verificasse tale condizione (ad
esempio risultasse che p > s) vorrebbe dire che in
un arco di lunghezza p-s non si avrebbero denti in
presa e quindi il moto della ruota dentata
risulterebbe discontinuo, cosa che non è
accettabile.
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Continuità del moto
Calcoliamo adesso, per via analitica le lunghezze
dell’arco di azione e dell’arco di ingranamento.
Riferendosi alla figura, dalle proprietà geometriche
dell’evolvente di cerchio si ha che vale l’uguaglianza:
HL  N 2 C
Consideriamo adesso le circonferenze di testa e
primitiva; esiste una relazione tra gli archi B2C e HL e i
raggi delle circonferenze:
B2 C R1
R1
1



HL
1 R1  cos  cos 
sfruttando l’uguaglianza scritta in precedenza:
B2 C 
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N C
HL
 2
cos  cos 
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Continuità del moto
L’espressione di tutto l’arco di azione s è data da:
s  B2 B1 
N 2 N1
cos 
Calcoliamo adesso il valore del segmento N2C. Indichiamo il
segmento N2C con la variabile x. Applicando il teorema di
Carnot al triangolo N2CO1 si può scrivere:
R1  a 2  R12  x 2  2 xR1 cos     
2

R  2aR1  a  R  x  2 xR1 sin  
2
1
2
2
1
2
semplificando si ottiene un’equazione di secondo grado nella
variabile x:
x 2  2xR1 sin   aa  2R1   0
la quale risolta porta ad un’espressione della variabile in
funzione unicamente del raggio della circonferenza primitiva,
dell’addendum e dell’angolo di pressione.
x  N2C   R1 sin    a 2  R1  R1 sin 2    2a 
Per calcolare anche l’espressione della parte di segmento CN1,
si deve considerare l’altra ruota ripetendo, in modo del tutto
analogo, i ragionamenti fatti in precedenza.
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Condizione di non interferenza tra i profili
•
•
•
Sia P il punto di contatto tra due denti in presa,
con profilo ad evolvente di cerchio, di due
ruote dentate. Il punto P, durante il moto
relativo, si sposterà lungo la retta dei contatti
descrivendo un segmento. Il segmento dovrà
risultare o tutto interno, oppure esterno, al
segmento T1T2, anch’esso appartenente alla
retta dei contatti.
I punti T1 e T2 sono i centri di curvatura dei
profili e quando il punto P si muove all’interno
del segmento T1T2 i denti risultano entrambi
avere fianchi convessi, se il punto P è invece
esterno al segmento T1T2 allora entrambi i
denti avranno fianchi concavi. Queste due
tipologie di fianco sono accettabili, non è
invece accettabile un fianco che cambi
concavità (da concavo a convesso o da
convesso a concavo) cosa che accadrebbe se il
punto P percorresse un segmento solo in parte
contenuto in T1T2. Ricapitolando si può
enunciare la condizione di non interferenza dei
profili come:
Affinché non si abbia interferenza tra i denti di
due ruote dentate durante il moto di
ingranamento il punto di contatto P tra i denti
deve percorre un segmento o tutto interno o
tutto esterno a T1T2, distanza tra i centri di
curvatura dei profili misurata sulla retta dei
contatti.
24
Condizione di non interferenza tra i profili
•
•
La condizione di non interferenza dei profili introduce anche una condizione minima sul
numero di denti di una generica ruota dentata.
Sia N1N2 il segmento sulla retta dei contatti percorso dal punto P, e sia C il centro istantaneo di
moto delle due primitive. Per la non interferenza dovrà risultare:
CN 2  CT2
CN 1  CT1
•
Facciamo l’ipotesi che la ruota 1 abbia diametro maggiore e che sia realizzata con
proporzionamento normale. Sotto queste condizioni vale la disuguaglianza:
CN 2  CN1  CT2  CT1
•
La condizione più gravosa per le ruote dentate è:
CN 2  CT2
•
La quale impone un valore massimo sull’addendum e quindi una condizione minima sul numero
di denti della ruota, infatti
a  k m  k
•
2R
z
Quindi, per una data primitiva, se l’addendum assume un valore di massimo il numero di denti
deve necessariamente assumere un valore di minimo, dal momento che sono in una relazione
di proporzionalità inversa.
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Condizione di non interferenza tra i profili
•
Cerchiamo adesso di ricavare, per via analitica il numero
di denti minimo. Riferendoci alla figura, poniamoci in una
condizione limite, ovvero vale la relazione:
CN 2  CT2
•
Consideriamo il triangolo N2CO1 , in questo i cateti sono
esprimibili attraverso le relazioni:
O1 N 2  a  R1
O1C  R1
N 2 C  R2  sin  
•
Applichiamo il teorema di Carnot si ha:
R1  a 2  R12  R22  sin 2    2 R1  R2  sin    cos 

 
2

•
Svolgendo ulteriormente i calcoli si ha:
R12  2aR1  a 2  R12  R22  sin2    2R1  R2  sin2  
•
Semplificando, si ottiene un’equazione di secondo grado
nella variabile a:
•
a 2  2R1a  R2  sin2    R2  2R1 
Risolvendo tale equazione si ricava l’espressione:
a  R12  R22  R2  2 R1   sin 2  
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Condizione di non interferenza tra i profili
amax  k  mmax
•
Dovendo essere:
•
e ricordando l’espressione del modulo, si può scrivere:
2kR2
  R1  R12  R2  R2  2 R1   sin 2  
z min
•
Il numero minimo di denti è così dato da:
z min 

•
2kR2
 R1  R  R2  R2  2 R1   sin  
2
1
2

2k
    2  1  2   sin 2  
Avendo sostituito al rapporto tra i raggi primitivi il rapporto di trasmissione. Nel caso di ruote a
dentatura interna si procede in modo analogo, sostituendo  con - e prendendo il radicando
col segno negativo, si ha così:
z min 
29/03/2010
2k
   2  1  2   sin 2  
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Condizione di non interferenza tra i profili
•
•
Come ultimo caso prendiamo in esame
l’ingranamento tra una dentiera e una ruota dentata
(in questo caso il rapporto di trasmissione tende
all’infinito).
Dal momento che il rapporto di trasmissione tende
all’infinito non è possibile ricavare, attraverso le
formule precedenti, un’espressione del numero
minimo di denti. Se però osserviamo la figura si può
notare che è possibile scrivere la relazione:
a  CT2 sin  
•
a sua volta CT2 è esprimibile attraverso la relazione:
CT2  R2 sin  
•
e quindi:
•
Procedendo come nel caso di due ruote, si arriva
infine alla relazione cercata:
a  R2 sin2  
z
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2k
sin 2  
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Taglio ruote Dentate esempi
29
Correzione Ruote Dentate
Condizione di non interferenza tra i profili:
z  z min 
2
a 
km
k
sin2  
Conseguenza: il minimo numero di denti è assegnato: circa
20 (15-30 dipende da a e k)
Può sorgere esigenza di usare numero di denti minore:
1) Maggiore resistenza/coppia trasmissibile rispetto ad
ingombri
2) Montaggio ruote con interassi strettamente fissati
Si adottano le cosidette dentature corrette
30
Traslazione della primitiva di taglio/1
Il moto di taglio
Dentiera di riferimento
Primitive di ruota e dentiera
Circonferenza di testa della ruota/
retta di piede della dentiera
Circonferenza di piede della ruota/
retta di testa della dentiera
31
Traslazione della primitiva di taglio/2:
se ruota presenta problemi di interferenza si
allontana la dentiera dalla ruota
Dentiera di riferimento
x
a
Attenzione: forma dei profili qualitativa
x
dente corretto
a  a0  x  k a m  x
Il dente corretto è
più “spesso” e
quindi resistente
d  d 0  x  kd m  x
m
s  s 0  2 xtg  
 2 xtg 
2
v  v 0  2 xtg  
m
2
 2 xtg 
32
Traslazione della primitiva di taglio/3:
dente corretto
a1  a 0  x  k a m  x
x
d 1  d 0  x  kd m  x
m
s1  s 0  2 xtg  
 2 xtg 
2
v 1  v 0  2 xtg  
Segno negativo deriva dal fatto che
limitazione dipende da addendum circ./retta
di testa della tagliante/dentiera di riferimento
dente corretto:
z 1min
z 0min
z1 

a0  x

2

2
 m  sin 

a0

2

2
 m  sin 
z 1min
m
2
 2 xtg 
Spostamento positivo
implica possibilità di
avere un numero di denti
più basso



x
  min
min
z

z

2

 1
0
2

m  sin 



z 0min  z 1
x


sin2 
m
2
33
Traslazione della primitiva di taglio/4:
dente corretto
a 1  a0  x  k a m  x
d 1  d 0  x  kd m  x
m
s 1  s 0  2 xtg  
 2 xtg 
2
v 1  v 0  2 xtg  
m
2
 2 xtg 
Per mantenere stesso interasse e poter ingranare con ruota corretta la ruota 2 deve
avere lo stesso modulo, ma anche spessori ed altezze di vano e denti compatibili
con la 1, questo implica correzione simmetrica con traslazione pari a -x
dentatura che ingrana con dente corretto (stesso interasse)

a2  a0  x  k a m  x

d 2  d 0  x  kd m  x


m
s 2  s 0  2 xtg  
 2 xtg   ATTENZIONE
2
v2 v0


m
 2 xtg  
 2 xtg  
2

z 2  z1
34
Traslazione della primitiva di taglio/5:
ruota 2
a2  a0  x  k a m  x ;
s 2  s 0  2 xtg  
m
2
d 2  d 0  x  kd m  x
 2 xtg  ;
Attenzione: forma dei profili qualitativa
x
xeccessivo
v 2  v 0  2 xtg  
m
2
 2 xtg 
La traslazione –x applicata alla ruota 2 provoca un
aumento del numero minimo di denti che risulta maggiore
di quello nominale. Correzioni eccessive portano a
violazione della condizione di non interferenza sulla ruota 2
dente corretto:
z 2min
z 0min
z2 

a x
  2 0
2
 m  sin 

a0
  2
2
 m  sin 
z 2min

 
x
  min
min
z

z

2

 2
0
2

m  sin 
 

z 2  z 0min 2
x


sin 
m
2
Il dente risulta più sottile se correzione “negativa è eccessiva si rischia la
condizione di sotto-taglio/ interferenza dei profili su ruota 2
35
Traslazione della primitiva di taglio/6:
ruota 1
ruota 2:
z 0min  z 1min  2
z 2min
 z 0min
z 0min  z 1min
x
m  sin2 
z 2min  z 0min  2
x
m  sin2 
x

2

m  sin2   z min  z min  2z min  0  z min  z min  2z min 
 2
1
0
2
1
0
x

2
m  sin2  

 z 2  z 1  z 2min  z 1min  2z 0min 
z 2  z1  2z 0min
La correzione simmetrica delle due ruote può essere effettuata se e solo se
risulta verificata la condizione che la somma dei denti delle due ruote è
maggiore del doppio del numero di denti minimo calcolato per la dentatura
senza correzione
36
Traslazione della primitiva di taglio/7:
ruota 2:
ruota 1
x

m
z 0min

2
z 1min
sin2 
z 2min  z 0min
x

sin2 
m
2
 z 2  z 1  z 2min  z 1min  2z 0min 
z 2  z1  2z 0min
Si poteva pervenire alla medesima espressione anche in altro modo….
37
Traslazione della primitiva di taglio/8:
z 2  z1  2z 0min
Non si può applicare correzione “simmetrica” ad entrambe le ruote è
necessario dunque cambiare l’interasse tra le ruote e quindi l’angolo di
pressione per permettere l’ingranamento ed una correzione “non
simmetrica” delle due ruote.
z 2  z1  2z 0min  x 1  x 2  x
z 2  z1 
min
2z 0
 x 1  x 2
38
Traslazione della primitiva di taglio/9:
z 2  z1  2z 0min
Si calcolano x1 ed x2 minimi per soddisfare la condizione di non
interferenza su entrambe le ruote
ruota 1
z 1min
z 0min

a0  x

2

2
 m  sin 

a0

2

2
 m  sin 
z 1  z 1min
ruota 2
z2 
z 2min



x
  min
 z 0min  2
 z1

m  sin2 



z 0min  z 1
x1


sin2 
m
2
z 0min  z 2
x2


sin2 
m
2
39
Traslazione della primitiva di taglio/10:
z 2  z1  2z 0min
Noti x1 ed x2 che consentono di tagliare ruota senza problemi di interferenza
su entrambe le ruote si applica la seguente relazione che consente di
mantenere la congruenza di spessori di denti e vani
funzione
evolvente

inv 
 tan   
inv  c  tan  c   c
x 1  x 2 tan 
c
inv   inv   2
m
z1  z 2
Si calcola anche iterativamente il nuovo angolo di pressione
40
Traslazione della primitiva di taglio/11:
z 2  z1  2z 0min
Per le proprietà delle dentature ad evolvente deve valere:
1  r1 cos   r1c cos  c
2  r2 cos   r2c cos  c
Noti i raggi primitivi corretti si calcola l’interasse come somma dei raggi primitivi corretti
c
c
i c  r1  r2
Attenzione!!!!:correzioni corrispondenti ad angoli di pressione corretti elevati/ forti
incrementi di interassi possono portare a riduzioni non accettabili di arco di azione ed
ingranamento
41
Ruote cilindriche a denti elicoidali
•
•
Una ruota dentata cilindrica a denti dritti può essere pensata generata da un segmento AB,
solidale al piano  (piano dei contatti) e parallelo agli assi dei cilindri di base.
Se il segmento non è parallelo agli assi ma inclinato (figura 60), rispetto ad essi, di un dato
angolo d (questo equivale a considerare il segmento MP in luogo del segmento AB),la
superficie del dente non è più cilindrica ma elicoidale si ottengono quindi ruote dentate
cilindriche a denti elicoidali
29/03/2010
Componenti Meccanici per l'Automazione
42
Ruote cilindriche a denti elicoidali
Vantaggi:
• Il contatto tra due generici denti è graduale: inizia
in un punto, continua su dei segmenti e termina
ancora in un punto. Ciò implica minori urti e quindi
un incremento del rendimento.
• L’arco di ingranamento risulta incrementato della
quantità
l  tg  b 
•
questo porta ad un aumento dell’arco di azione di
l  tg  b 
cos 
•
questo porta un vantaggio nella condizione di
continuità del moto.
29/03/2010
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43
Ruote cilindriche a denti elicoidali
•
Trascurando le forze d’attrito l’azione S che si
trasmettono due denti è ortogonale a segmento
MP e può essere scomposta in due componenti:
una N normale agli assi dei cilindri primitivi e una
T parallela agli assi dei cilindri primitivi. Solo la
forza N trasmette coppia, la forza T deve essere
equilibrata dai cuscinetti montati sull’albero, per
questo motivo l’albero di una ruota dentata a
denti elicoidali deve essere supportato da almeno
un cuscinetto capace di equilibrare forze assiali
(es. cuscinetti orientabili a sfere o a rulli conici).
29/03/2010
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44
Ruote cilindriche a denti elicoidali
L'ingranaggio a doppia elica supera il problema della
sollecitazione dell’albero in direzione assiale grazie all'uso
di denti con cresta a forma di V.
Si può immaginare questo ingranaggio come costituito da
due ruote elicoidali distinte affiancate specularmente, in
modo che le forze assiali si annullino a vicenda.
29/03/2010
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45
Ruote cilindriche a denti elicoidali
•
Se uno dei due cilindri degenera in un piano si ottiene la dentiera
elicoidale, la quale può essere vista come una dentiera a denti dritti di cui
si considera una parte, delimitata da due piani paralleli inclinati di un
angolo  rispetto alla generatrice dei denti. L’angolo  è l’inclinazione
dell’elica misurata sul cilindro primitivo. Il fatto che una dentiera
elicoidale sia ricavabile da una dentiera a denti dritti porta al vantaggio
che le ruote a denti elicoidali possono essere realizzate utilizzando le
stesse dentiere utensili delle ruote a denti dritti inclinate di un angolo .
•
Esiste una relazione tra  e b.
•
Sia h il passo dell’elica, h risulta lo stesso sia se misurato sul cilindro
primitivo sia se misurato sul cilindro di base; allora con riferimento alla
figura è possibile scrivere:
2
h
tg  b 
2r
h
tg  
•
eliminando h si ha:
29/03/2010
2
2r

tg  b  tg  
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46
Ruote cilindriche a denti elicoidali
•
semplificando si ha:
tg   
•
r

tg  b 
ricordando che:
  r  cos  
•
•
si può scrivere, infine, la relazione cercata:
tg  b 
tg   
cos 
Esiste anche una relazione tra modulo normale (mn) e
modulo periferico (m):
mn  m  cos 
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47
Trasmissione del moto tra assi incidenti
•
Riferendoci alla figura consideriamo due assi: a1 e a2, tra loro incidenti nel punto O,
consideriamo anche due generici corpi rigidi ruotanti, il primo con velocità 1 attorno all’asse a1
e il secondo ruotante con velocità angolare 2 attorno all’asse a2. Vogliamo determinare le
primitive del moto relativo dell’asse 2 rispetto all’asse1. Per far ciò introduciamo l’ipotesi che il
rapporto tra le velocità angolari dei due corpi sia costante, ovvero:
2
 cos t
1
•
Se imprimiamo a tutto il sistema una rotazione -1, il moto risultante sarà ancora una rotazione,
con velocità angolare , il cui valore analitico sarà dato da:
  1  cos 1    2  cos  2 
29/03/2010
Componenti Meccanici per l'Automazione
48
Trasmissione del moto tra assi incidenti
•
Varranno inoltre anche le seguenti relazioni:
1  sin  1    2  sin  2 
   1   2  cos t
•
Dal momento che si è fatta l’ipotesi
2
 cos t
1
si ha:
sin  1 

 cos t  1  cos t
sin  2 
2
•
ed essendo costante anche la somma dei due angoli si arriva infine a:
 1  cos t
 2  cos t
•
quindi le primitive del moto relativo sono due coni rotondi di vertice comune O
e aventi aperture 1 e 2. Si può quindi pensare di prendere, come superfici
coniugate, dei tronchi di cono ottenendo così ruote di frizione coniche. Tali
ruote di frizione presenteranno però gli stessi inconvenienti visti nel caso di
trasmissione per assi paralleli.
29/03/2010
Componenti Meccanici per l'Automazione
49
Ruote dentate coniche
•
•
•
•
Un sistema di ruote dentate coniche può essere
definito intersecando i coni primitivi con una sfera
di centro O; le superfici dei denti si ottengono
proiettando da O due profili coniugati sferici.
Un sistema di dentature che utilizzi il metodo
dell’epiciclo avrà come profili coniugati delle
evolventi sferiche ottenute come traiettorie di un
generico punto P della circonferenza massima che
rotola sulle circonferenze di base.
Un caso particolare si ha quando uno dei due coni
degenera in un piano, in questo caso la ruota
prende il nome di dentiera piano-conica e
contrariamente al caso della dentiera a denti diritti
non avrà la superficie dei denti piana ma questa
avrà curvatura opposta nella costa e nel fianco.
Se si applica il metodo dell’epiciclo utilizzando le
curve  e  (che in questo caso coincidono con due
circonferenze massime della sfera) si otterrà un
profilo coniugato non coincidente con l’evoluta
sferica. In questo caso però le superfici della
dentiera piano-conica saranno piane .
50
Metodo di Tretgold/1
Il profilo del dente risulta definito su una superficie sferica: problema superficie
sferica non è “sviluppabile”:
Non esiste cioè trasformazione geometrica che consenta di ottenere lo sviluppo
esatto di una superficie sferica e quindi di una curva generica su essa definita
(esempio classico le proiezioni utilizzate per realizzare mappe geografiche)
51
Metodo di Tretgold/2
Circonf. primitiva
Cono Complementare
a
Si approssima la superficie sferica su cui è definito il profilo del dente con la
corrispondente superficie conica tangente sulla circonferenza primitiva, il
cosidetto cono complementare. Il profilo del dente costruito sulla sfera di
raggio R viene quindi approssimato con la corrispondente proiezione sul
cono complementare
52
Metodo di Tretgold/3
Rc
b
2 r  circonferenza primitiva ;
r  R sin 
 Rc  sviluppo cono complementare
Rc  R tan 
 R tan   2 R sin 
  2 cos 
Una volta calcolato l’angolo b si procede costruendo la dentatura sullo
sviluppo del cono complementare di raggio Rc che diventa il raggio
primitivo della ruota a denti diriitti equivalente
53
Metodo di Tretgold/4
Circ.
Piede
Rc
d
a
b
Z*

m
; Z conica  Z *
;   2 cos 
2Rc
2
poichè Z conica
2 Z conica
Z
Z*
  m 

 Z *  conica
2Rc
 2Rc
cos 
Si costruisce il profilo come quello di una ruota a denti diritti con raggio
primitivo pari a Rc il modulo viene scelto in modo da assicurare un
numero di denti intero alla ruota conica, (periodicità del passo del dente
rispetto a b)
54
Trasmissione del moto tra assi sghembi (coppia
ruota-vite e ruote ipoidali)
29/03/2010
Ing. Meccanica Prato
55
Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote
iperboloidiche)/1
O2
2
1
O1
Problema trasmissione del moto tra due assi sghembi
56
Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote
iperboloidiche)/2
Piano p perpendicolare a m
O2
M
2
2
1
1
O1
Si definisce M intersezione del piano p con la normale m.
sul piano p è possibile proiettare semplicemente traslandole le due velocità
angolari W1 e W2
57
Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote
iperboloidiche)3
21  2  1
velocità
relativa rispetto a 1
1

M
2
Si definisce M intersezione del piano p con la normale m.
sul piano p è possibile proiettare semplicemente traslandole le due velocità
angolari W1 e W2 si valuta quindi W21 velocità relativa angolare di 2 rispetto a 1
58
Trasmissione del moto tra assi sghembi (coppia
ruota-vite e ruote ipoidali)/4
vs
g1
g2
1
g
21
M
2
Dalla equazione generale dei moti rigidi sappiamo che un qualsiasi atto di moto rigido
è sempre riconducibile ad un atto di moto elicoidale rispetto ad un asse detto asse di
Mozzi che minimizza la velocità vs di traslazione assiale. Considerando che W21 è
necessariamente l’asse del moto relativo trovare tra gli infiniti piani perpendicolari a
m quello che minimizza vs significa trovare il piano su cui far avvenire il contatto in
modo che asse di mozzi passi per il punto di contatto tra le sup. dei denti/le primitive
del moto e quindi si abbia il minimo strisciamento.
59
Trasmissione del moto tra assi (ruote
iperboloidiche)/5
VM 1  1r1; r1  MO1
VM 2  2r2 ; r2  MO2
VM 2
1
r2
VM 1
2
M
r1
Le velocità VM1 e VM2 del punto M rispetto ai due assi 1 e due sono calcolate in
base alle relative distanze r1 ed r2
60
Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote
iperboloidiche)/6
vs
g2
VM 2
g1
VM 1
g
M
La velocità relativa VM21 deve essere allineata alla vs per verificare la condizione di
appartenenza all’asse del Mozzi quindi deve essere verificata la seguente
condizione:
r1 2 cos  2
VM 2 cos  2  VM 1 cos  1  2r2 cos  2  1r1 cos  1 

;
r2
1 cos  1
61
Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote
iperboloidiche)7
g1
21
g2
1
g
M
2
Dalla condizione di appartenenza all’asse di Mozzi (lucido precedente) si ha:
r1
2 cos  2

;
r2
1 cos  1
Applicando il teorema dei seni al triangolo delle velocità angolari si ha:
2
1
2
sin  1

;


sin  1
sin  2
1
sin  2
Ponendo a sistema le due condizioni Applicando il teorema dei seni al triangolo
delle velocità angolari si ha:
r1
tan  1

;
r2
tan  2
62
Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote
iperboloidiche)/8
vs
g2
v s  VM 1 sin  1 VM 2 sin  2 
 1r1 sin  1  2r2 sin  2 
sin  1
 1r1 sin  1  1r2 sin  2

sin  2
VM 2
g1
VM 1
interasse



g
M
 1  r1  r2  sin  1
Si può dimostrare che la superfici rigate corrispondenti alle successive
posizioni assunte dall’asse del mozzi sono degli iperboloidi e che le superfici
dei denti che minimizzano gli strisciamenti relativi hanno tale forma
Trasmissione tra assi sghembi (ruote elicoidali/1)
Cilindro di Base 1
Retta P2
b1b
b2b
P
Retta P1
Il contatto avviene in un punto
solo P intersezione delle due rette
P1 e P2 appartenenti ai rispettivi
piani dei contatti
Cilindro di Base 2
64
Trasmissione tra assi sghembi (ruote elicoidali/2)
Retta P2
b1b
b2b
P
Per evitare la compenetrazione
dei profili le due velocità normali
devono essere uguali:
11 cos 1b  2 2 cos 2b 
1 cos 1b
2
 

1 2 cos 2b
65
Trasmissione tra assi sghembi (ruote elicoidali/2)
velocità allineata secondo t



r11 cos 1  r22 cos 2 
2
r1 cos 1
sin 1
Z1
 



1
r2 cos 2
sin 2
Z2
2   2 t
1  1
2
v s  1r1 sin 1   2r2 sin  2 
 1r1 sin 1  1 r2 sin  2 
sin 1
 1r1 sin 1  1
r2 sin  2 
sin  2
1
interasse



 1  r1  r2  sin 1
66
Riduttore ruota elicoidale vite senza fine(g=90°)
Si raggiungono rapporti di
trasmissioni enormi:
principi
della vite (1,2)

p
Z2
Z1
 
Z2
Rendimento:

f '  tan  '; f  tan ;
tan 
;
tan    ' 
1
cos  
1  tan


angolo elica
corrisponde a
complentare
f ' f
cos 
cos 
29/03/2010
Ing. Meccanica Prato
2
 tan


2
inclinazione
parete filetto
67
Riduttore ruota elicoidale vite senza fine

tan 
;
tan    ' 
Per aumentare rendimento
(generalmente non elevato):
Lubrificare coppia e/o usare materiali
diversi per vite e ruota.
Sezione del filetto quadra ( vite di
manovra, compatibilmente con problemi
di taglio e contatto)
29/03/2010
Ing. Meccanica Prato
68
Riduttore ruota elicoidale vite senza fine
Si ricorda che basso rendimento può servire per rendere
moto irreversibile rendendo impossibile il moto retrogrado
(utile in alcune applicazioni):
tan    ' 
tan 

;  ' 
;
tan 
tan    ' 
Più in generale (macchina generica):
Lr
Lr'

; ' 
;
Lm
Lr
Lp  Lm 1    ; L'p  Lr 1   '  ; 
Lp  L'p  Lm 1     Lr 1   '   1      1   '  
  1

2  1
' 
1


Ing. Meccanica Prato
69
Riduttore vite senza fine
Ruota elicoidale, vite
Madrevite, vite
Madrevite, vite globoidale
29/03/2010
Ing. Meccanica Prato
70
Vite quadra accoppiata con ruota elicoidale
71
Ruote ipoidali
29/03/2010
Ing. Meccanica Prato
72
Dimensionamento delle ruote dentate
Esempio numerico relativo alla scelta e al dimensionamento di due ruote dentate. I dati del
problema sono:
• P = 4000 W potenza del motore
• N = 1500 RPM velocità di rotazione
•  = 1/3 rapporto di trasmissione
• La prima cosa da fare è cercare un valore dell’interasse ottimale per il funzionamento delle due
ruote. Solitamente tale valore viene determinato per tentativi, noi faremo l’ipotesi che il valore
ottimale dell’interasse sia:
• i = 100 mm
• Una volta noto il valore di i si può scrivere il seguente sistema nelle incognite R1e R2, raggi delle
due ruote:
R1  R2  i
R1

R2
•
Da cui si ricava
R1  25mm
R2  75mm
29/03/2010
Componenti Meccanici per l'Automazione
73
Dimensionamento delle ruote dentate
•
•
Passiamo adesso a determinare il numero dei denti di ciascuna ruota dentata. Per fare questo
dovremo tener conto delle condizioni di non interferenza tra i profili e la condizione di non
interferenza al taglio tra ruota dentata e dentiera utensile. Supponiamo di utilizzare ruote
aventi denti con proporzionamento normale e con angolo di pressione pari a 20°.
La condizione di non interferenza tra i profili è esprimibile con la relazione:
z1 
•
2
1   2   sin 2    1
e si applica alla ruota di raggio minore, con i dati a noi assegnati si ottiene:
z1  15
•
La condizione di non interferenza a taglio è esprimibile con la relazione:
2
z1 
sin 2  
•
e porta a:
•
z1  18
Fissiamo quindi z1=18 e calcoliamo il modulo:
29/03/2010
m
2 R1 2  25

 2.8mm
z1
18
Componenti Meccanici per l'Automazione
74
Dimensionamento delle ruote dentate
•
questo valore del modulo non rientra fra quelli normalizzati, scegliamo quindi il valore
normalizzato che più si avvicina:
m  2.5mm
•
Scelto m si ricava il numero dei denti delle due ruote dentate:
2 R1 2  25

 20
m
2.5
z
z 2  1  60
z1 

•
•
Una volta determinate le caratteristiche geometriche delle due ruote passiamo alle verifiche a
flessione ed a usura.
La coppia C1 agente sulla ruota motrice è data da:
C1  P 
•
60
 25 N  m
2n
la forza scambiata da due denti è scomponibile in una azione radiale F ed in una azione
tangenziale T:
C
T  1  1000 N
R1
F  T  tg    364 N
29/03/2010
Componenti Meccanici per l'Automazione
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Dimensionamento delle ruote dentate
•
•
Per il calcolo della resistenza a flessione (convenzionalmente si trascurano azioni di taglio e
sforzo normale) si suppone il dente assimilabile ad una trave incastrata con carico a sbalzo, si fa
inoltre l’ipotesi cautelativa che vi sia una sola coppia di denti in presa.
La formula utilizzata per la verifica è la formula di Lewis espressa da:
T   amm  y  m  b
•
•
•
in cui:
y è detto coefficiente di Lewis e si trova tabellato in funzione del numero di denti e dell’angolo
di pressione. Nel nostro caso si ha: y = 0.341
amm è la tensione ammissibile del materiale impiegato per realizzare le ruote. Nel nostro caso
scegliamo un acciaio legato da bonifica con un valore della tensione ammissibile pari a 200
N/mm2. Per tener conto del sovraccarico dinamico si introduce un coefficiente di riduzione
della tensione ammissibile, dato da:
2n
m
A
 
•
Av
v
60
R1  3.9
s
V è il valore della velocità periferica della prima ruota; mentre A è un coefficiente che può
essere paria 6 o 3 rispettivamente per ingranaggi precisi o poco precisi. Nel nostro caso
assumiamo A = 6, si ha così:
  0.6
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Dimensionamento delle ruote dentate
•
•
•
b è lo spessore della ruota dentata.
Introducendo questi valori nella formula di Lewis si ricava: b  10mm
Una volta determinato lo spessore minimo che garantisce la resistenza a flessione passiamo alla
verifica ad usura. La formula da utilizzare è:
2
T  pamm
 f mb
•
•
dove:
pamm è il valore ammissibile della pressione nel contatto tra i denti; per l’acciaio scelto in
precedenza si può porre:
p amm  500
•
f è un coefficiente pari a:
f
•
N
mm 2
sin 2  z1  z 2

0.7  E z1  z 2 
nell’ipotesi che entrambe le ruote siano realizzate con lo stesso materiale. E è il modulo di
Young dell’acciaio. Nel nostro caso si ha che:
f  8.6  10
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5
mm 2
N
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Dimensionamento delle ruote dentate
•
Introducendo questi valori nella formula della verifica ad usura si ricava:
b  19mm
•
Dovendo la ruota essere in grado di resistere ad entrambi i tipi di sollecitazioni si prende come
valore minimo dello spessore:
b  19mm
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Appendice: Calcolo Asse del Mozzi/centro istantanea
rotazione
P appartiene all'asse di mozzi se risulta verificato:V p    0
V
p



V
 
ox   y z p o  z y p o

  x
Voy  z x p o  x z p o   y

 
Voz  x y p o   y x p o  z






 0 
  
  0  ;
 0 
  






 V
 z x p o  x z p o  y Voz  x y p o   y x p o 
z
oy





V


y


x


V


z


y
x
oz
x
p

o
y
p

o
z
ox
y
p

o
z
p

o





V


z


y


V


x


z
 y ox
y p o
z p o
x
oy
z p o
x p o 

A



 2  2
x  y
x z  
y
 z
 x p o   yVoz  zVoy 
 



2
2
 x  z
z  y   y p o   zVox  xVoz 
 x  y
 


xVoy  yVox 
z
2
2   p o 

  



z  y
 y  x 
x z






0 
 
0  ;
0 
 


applicando kramer

det  A    z2   y2  x2   z2  y2   x2  2 x2  y2  z2   z2   y2  y2  z2   y2   x2  x2  y2   x2   z2  x2  z2  0 ;










 r  A   2  1soluzioni  la soluzione è un vettore di modulo arbitrario(un asse)
indipendentemente dal valore di z ,  y , x(purchè non tutti nulli)
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Appendice: centro istantanea rotazione(moto piano)
P è il centro di istantanea rotazione caso particolare del precedente:
Vp    0
V
p




Vox  z y p o   0  0 

 
  
Voy  z x p o    0   0  ;

   0 
0

  z   
 V
 z x p o 
z
oy

 0 

  


V


y
z
ox
z p o   0  ;


 0 
0

  
A


 2
0
0   x p o   zVoy
 z

 
2
 0
z 0   y p o    zVox


0
0   0  
0
 0









A* 


 2

0   x p o   zVoy
z




2
y



z   p o   zVox

 0




det  A   0; det(A *)
 z4
 esiste una coppia di x p-o y p-o che verificano sistema
(centro/asse di istanea rotazione)
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