Ian Stewart
Com’è bella la matematica
Lettere a una giovane amica
Capitolo 1
Perchè fare matematica?
..è
scientifica e
poetica..
..la nostra
vita
dipende
dalla
matematica
...perchè è
ovunque…
..per un
lavoro ben
pagato…
“La vita è come una piccola
imbarcazione che si muove
nel vasto oceano della
matematica”
“Gli arcobaleni sono
personali”
Capitolo 2
Come sarei potuto diventare un avvocato
La vita ci pone di fronte a delle scelte, non
sottovalutiamole mai!
Prendere zero
al compito di
matematica:
novità o
routine?
Capitolo 3
La vastità della matematica
La matematica scolastica e….
Matematica o aritmetica?!?
Matematico = apprendista falegname
Cos’è la matematica?
Capitolo 4
Tutto è già stato fatto?
La matematica è l’attività più
creativa del pianeta
• La matematica non perdona
Non tutta la matematica è
contenuta nei testi scolastici
• Più matematica si impara più nascono
nuove domande
La matematica
costruisce i
nuovi concetti su
quelli vecchi
Capitolo 5
Circondati dalla matematica
La matematica riguarda la
regolarità
• Anche la camminata di un cane contiene
matematica
I matematici vedono il mondo
diversamente dagli altri
Un reticolo
cristallino di
uccelli
La regolarità
della natura
Capitolo 6
Come pensano i matematici
“Erano geni è un’affermazione poco soddisfacente!”
..e c’è il classico <aha!!>
“Una volta che capisci
un problema, molti
suoi aspetti diventano
improvvisamente
semplici. Come dicono
i matematici di tutto il
mondo, ogni cosa o è
impossibile o banale.”
Capitolo 7
Come si impara la matematica
•
•
•
•
•
Riflessioni sulle responsabilità di professori ed alunni
Tattiche di studio:
1) non fermarsi di fronte agli ostacoli ma superarli
2) chiedere aiuto ad un professore
3) se non ce la si fa tornare indietro e risolvere il
problema
• 4) leggere tutto ciò che si può sull’argomento
• 5) tattica di Pòlya
• Notazione sulle differenze esistenti tra superiori e
college
Capitolo 8
Paura delle dimostrazioni
• Continuazione delle differenze tra superiori e
college
• Ossessione per i matematici delle dimostrazioni
• Dimostrazioni come garanzie inossidabili della
verità di un’idea
• Trovare dei parametri anche temporanei per
semplificare il lavoro
• Osservazione dei dettagli presenti nelle ipotesi
• Casi in grado di far crollare le dimostrazioni:
Spa
Spy
Say
Sad
• Dal ragionamento fatto sorgono due grandi
questioni:
1) che cos’è una dimostrazione?
2) perché abbiamo bisogno delle dimostrazioni?
• Ne abbiamo bisogno perché ci dimostrano di
conoscere qualcosa
• Le dimostrazioni non servano a tutti, ad esempio
sono futili per ingegneri e fisici.
Teorema SHIP- DOCK
Capitolo 9
I computer risolvono qualsiasi cosa?
• È giusto ritenere i matematici obsoleti perché tanto ci
sono i computer a svolgere il loro lavoro?
• Questa domanda è dovuta all’identificazione della
matematica con l’aritmetica
• I computer hanno velocizzato il lavoro, ma non lo hanno
creato, possono solo controllare le congetture e
svolgere grandi calcoli
• Congettura di Goldbach
• I teoremi dimostrano altri teoremi
• Se pi greco fosse uguale a 3?
• In risposta alla domanda iniziale: i computer aiutano ma
serve sempre la materia grigia
Indipendentemente da quanto sia estesa la portata
dei calcoli a computer , ci toccherà fare ancora
affidamento sulla nostra materia grigia
Il problema è che i teoremi servono ai matematici per
dimostrare altri teoremi. […] una sola proposizione
falsa può far crollare l’intero edificio della
matematica .
Capitolo 10
La narrazione matematica
• Che cos’è una dimostrazione?
• Le prime dimostrazioni fatte erano quelle di Euclide
nei suoi Elementi
• Nozioni\Postulati
• Assiomi
• Convegno di Abisko:
Concetto di dimostrazione come di storia
Dimostrazione di Lamport
Erdòs (numero di Erdòs e libro di Dio )
• Conclusione del convegno
Capitolo 11
Puntare alla gola
• Quando è bene espugnare un problema irrisolto
• I greci avevano sette trame fondamentali per
scrivere un romanzo, ma ne possedevano solo una
per le dimostrazioni “QED”
• Oggi le dimostrazioni sono lunghissime
• Esempio di dimostrazione bella ma lunga:
dimostrazione di Wiles
Wiles espugna l’ultimo teorema di Fermat
• La dimostrazione anche se è lunga è necessaria per
dimostrare altre dimostrazioni
Capitolo 12
Successi Monumentali
“Le dimostrazioni assistite dal computer
sollevano questioni di gusto,
di creatività, di tecnica,e di filosofia.”
Nell’ultimo trentennio è stato
introdotto nelle dimostrazioni l’uso
del calcolatore, per fare calcoli
lunghi e farraginosi che l’uomo
non sarebbe in grado di fare.
La soluzione di un grande
problema in matematica si
raggiunge quando
paradossalmente si diffonde la
voce che un determinato problema
da risolvere è stato risolto.
Ad esempio la dimostrazione di Hales della
“congettura di Keplero”, avvalendosi del
calcolatore, trovò il modo più efficace per
disporre degli oggetti sferici in modo
compatto.
Altra dimostrazione che fece uso del
calcolatore fu quella elaborata dai K.
Appel e W. Haken sul “teorema dei
quattro colori” di Francis Guthrie.
Congettura di Keplero (1611)
Dimostrazione di Thomas Hales (1998)
Teorema dei quattro colori( 1852)
Dimostrazione di Appel e Haken (1976)
Capitolo 13
Problemi impossibili
•
”Una dimostrazione matematica dell’impossibilità di
qualcosa è una garanzia virtualmente indistruttibile”
Uno dei problemi irrisolti nella storia della matematica è quello della
“scacchiera mutilata”:
presa una scacchiera da cui vengono tagliati due quadrati agli angoli
opposti,
può essere ricoperta con 31 tessere del domino,
sufficienti ognuna ad occupare due caselle adiacenti?
Ogni tessera copre sempre una casella bianca e una nera
Dopo aver utilizzato le prime 30 tessere sono state coperte 30
caselle bianche e 30 nere
Restano sempre due caselle nere che l’ultima tessera non potrà
mai coprire
Altro problema impossibile è costituito dalla trisezione di un angolo
con una riga non graduata e un compasso.
Tale impossibilità è stata dimostrata da uno studente
di Gauss nel 1837: Pierre Wantzel.
Non esiste nessuna costruzione
geometrica in grado di dividere un angolo
in tre parti uguali usando strumenti
tradizionali.
Il problema appartiene all’ambito
della geometria, ma la soluzione
del problema ci viene data dall’algebra.
Altri due problemi dell’antichità sono la quadratura del cerchio e la duplicazione del cubo.
Il primo consiste nella costruzione di un quadrato con la stessa area di un cerchio dato
oppure un cubo con un volume doppio di quello di un cubo dato.
Si tratta di trovare la costruzione di π e quella della radice cubica di 2.
Capitolo 14
I Gradini della Carriera
• Un matematico, pur sembrando una persona
solitaria, deve badare bene ai rapporti che intrattiene
con i suoi colleghi.
Ad esempio nella preparazione al conseguimento di un
dottorato si è circondati da un vero e proprio gruppo di
matematici esperti.
• Secondo una classificazione di Helen Haste esistono 6
gradini della carriera universitaria;il criterio di
appartenenza alle varie categorie si basa sul “
meccanismo del dono”, che fa riferimento al numero
di articoli di ricerca prodotti dallo studente
universitario.
Guru
E
Emerito
m
e
GE
r
i
Grande
t
Vecchi
o
o GV
Scienziato
Senior
SS
Ricercatore
Confermato
RC
Promettente Giovane
Ricercatore PGR
Studente Specializzato del Dottor X
SSDX
Capitolo 15
Pura o Applicata
•
Si è sempre operata una distinzione
inutile tra matematica pura e
matematica applicata, che in realtà
rappresentano due diversi approcci
alla disciplina .
“sono delle tendenze, non gli estremi dello spettro,
due orientamenti che per accidentalità storica
hanno creato una divisione amministrativa
all’interno dell’università”.
Secondo i matematici applicativi
la matematica è priva d’implicazioni pratiche,
secondo quelli puri quella applicata
è intellettualmente approssimativa, manca di
rigore.
Matematica pura
Logica
Filosofia
Matematica
applicata
Fisica
matematica
Ingegneria
“Un misto di d’immaginazione e scetticismo è la chiave d’accesso alla matematica,
che a volte prende corpo da mode temporanee e passeggere.”
A partire dal 1960 si assiste ad una estremizzazione delle due tendenze
matematiche, per cui i sostenitori della matematica applicata arrivano
persino a sostenere che sia più importante individuare una risposta anche
se sbagliata piuttosto che trovare la risposta giusta.
Ma la scienza per progredire ha bisogno di astrazioni, e soprattutto di nuovi strumenti
la cui fonte è costituita dalle teorie
sviluppate dai matematici puri. Le nuove problematiche esigono nuovi metodi, e la
purezza del metodo rimane ancora un aspetto fondamentale anche in un contesto
applicativo. Allo stesso modo l’intuizione può condurre alla scoperta di nuove verità,
anche senza dimostrazioni . La matematica, così come afferma Wigner, si rivela a volte
uno strumento irragionevolmente efficace nell’interpretare descrivere i fenomeni
naturali.
Allora devo studiare la matematica
pura o quella applicata?
”Nessuna delle due. Devi usare gli strumenti che hai a disposizione, adattarli e
modificarli a seconda dei tuoi progetti, e crearne di nuovi quando ne avrai
bisogno”.
Capitolo 16
Dove hai preso
quelle strane idee?
•
Per fare ricerca occorrono un luogo e
il tempo per pensare, l’accesso ad
una buona biblioteca e un buon
sistema informatico.
Ma il requisito fondamentale è “una
mente originale”, che si può avere o
meno, che non si può acquisire col
tempo, ma solo coltivare.
Chi ha talento però deve tenersi
costantemente allenato, altrimenti il suo
talento non darà alcun frutto.
Altra qualità fondamentale richiesta ad un
aspirante matematico è l’impegno.
Un matematico alla domanda: “Dove ha preso quelle strane idee?”
risponderebbe :“Le ho inventate”, esattamente come uno scrittore di romanzi
di fantascienza. Ma in realtà le idee non nascono dal nulla. I matematici non
vivono su un altro pianeta, sebbene le biografie dei grandi matematici
dimostrino il contrario.
Impegno
“Strane”
idee
Talento
Mente
sveglia
Il segreto per le grandi scoperte
matematiche rimane la lettura di riviste
matematiche e la riflessione su argomenti
già noti, che forniscono la chiave di accesso a
nuovi orizzonti matematici. Una rete di
connessioni fra ciò che è noto e ciò in cui ci
si imbatte per caso è fondamentale. Non a
caso “la sorte favorisce le menti preparate”,
ma bisogna mantenere la mente sveglia.
Capitolo 17
Come s’insegna la matematica
Tigre! Tigre! Divampante fulgore Nelle
foreste della notte, Quale fu l’immortale
mano o l’occhio Ch’ebbe la forza di
formare la tua agghiacciante simmetria?
In quali abissi o in quali cieli Accese il
fuoco dei tuoi occhi? Sopra quali ali osa
slanciarsi? E quale mano afferra il fuoco?
Quali spalle, quale arte Poté torcerti i
tendini del cuore? E quando il tuo cuore
ebbe il primo palpito, Quale tremenda
mano? Quale tremendo piede? Quale
mazza e quale catena? Il tuo cervello fu in
quale fornace? E quale incudine? Quale
morsa robusta osò serrarne i terrori
funesti? Mentre gli astri perdevano le
lance tirandole alla terra e il paradiso
empivano di pianti? Fu nel sorriso che
ebbe osservando compiuto il suo lavoro,
Chi l’Agnello creò, creò anche te? Tigre!
Tigre! Divampante fulgore Nelle foreste
della notte, Quale mano, quale immortale
spia Osa formare la tua agghiacciante
simmetria?
William Blake
“Un buon professore vale tanto oro quanto pesa”
I bravi insegnanti
diventano
modello
d’ispirazione da
parte degli
studenti, quelli
cattivi portano ad
un rifiuto a vita
della materia
L’importanza del
principio delle tre
“esse”
“The
Christmas
Lectures” :
Insegnare la
matematica
imparando nuove
tecniche
d’insegnamento
Bisogna mettersi
nei panni degli
studenti
Capitolo 18
La comunità Matematica
“Il modo migliore per promuovere la matematica è
incontrare altri matematici.”
I “symposium”
dell’Università di
Warwick
Cos’è un “Nerd”?
La matematica è
internazionale
Pettegolezzi, barzellette,
notizie e “strani” teoremi
Capitolo 19
Maiali e Furgoni
”Se una cosa può andare storta, andrà storta.”
Bisogna imparare dagli
errori propri e altrui
L’importanza dei
“cartelli”
Cosa un
matematico
NON deve
assolutamente
fare
Attrezzatura e gessetti
del buon matematico
L’importanza del tempo
Capitolo 20
Gioie e dolori della collaborazione
“…era convinto che tenesse di mano un libro
delle dimostrazioni. ”
La finitezza del nostro
intelletto
La simmetria
La matematica è
“divina”
Le leggi matematiche
del cosmo
Capitolo 21
Dio è un matematico?