Questa è una prima miscellanea di esercizi relativi a parte del programma di
matematica.
Tenete conto che tutte le risposte si devono argomentare: non basta dare un
risultato, bisogna giustificarlo.
1. Sia m un numero che in rappresentazione decimale si scrive: m = an..a0.
Supponiamo che m abbia tutte le cifre ai , per i = 0,..,n , uguali. E’ vero che m è sempre
divisibile per 11?
2. Sia
 25 17 mod x
Che valori può assumere x?
 47 0 mod x
Che valori può assumere x? Cosa se ne deduce?
 x -17 mod 2
La congruenza è vera per x=1? E per x=-1?
 Il prodotto di un numero per il suo successivo è sempre congruo a zero modulo 2? Perché?
3. Dati a=32760, b=350, trovate una coppia di numeri q e r (con r<b) tale che si possa scrivere
32760 = 350q + r
Applicate l’algoritmo euclideo per calcolare il Massimo Comun Divisore tra 32760 e 350.
Conoscete un altro modo per trovare il Massimo Comun Divisore tra due numeri? Come
funziona? Su quale teorema si basa?
4. Scrivete il numero 37 in base due e in base tre.
5. Scrivete in base dieci i seguenti numeri
10012, 10013, 2346
6. Eseguite le seguenti addizioni 11002 + 10012 , 11012 + 10012
7. Costruite la tabella dell’addizione dei numeri in base tre
8. Vi sono differenze tra un sistema di rappresentazione dei numeri additivo e uno posizionale?
Sapreste descriverle e illustrarle con esempi opportuni?
9. Dati i numeri 3481 e 254, moltiplicateli secondo lo schema a “gelosia”, spiegando quali
proprietà avete usato. Verificate poi l’esattezza del risultato usando la “prova del 9” alla luce
del significato delle “congruenze modulo 9”. Che cosa significa che “la prova del 9 è una
condizione necessaria e sufficiente per l’esattezza del risultato di una moltiplicazione”?
Potete costruire un esempio che illustri il fatto che la condizione non è sufficiente?
10. In quali basi sono scritte le seguenti addizioni?
4+3=7
4+3 = 10
4+3=11
4+3=12
4+3 = 13
E' possibile che 4+3=8?
11. Quali caratteristiche hanno in comune il sistema di numerazione in base sette e quello in
base cinque?
12. Rappresentare in base tre il numero 347 (in base dieci) spiegando la procedura utilizzata.
Come si scrive il numero 3 in base tre? E il numero 9 ? E i numeri 27, 81 e 243?
Potete trarre qualche conclusione generale dalle precedenti rappresentazioni?
13. L’espressione 1236 può rappresentare un numero scritto in base quattro? Perché?
14. Dato il numero 4005, rappresentate nella stessa base il numero che lo precede.
15. Trovare l'addendo che manca in ciascuna delle seguenti addizioni:
29 + (…)9 = 109
15 + (…)5= 105
58 + (…)8 = 108
47 + (…)7 = 107
26 + (…)6 = 106
16. Dite quali basi sta adoperando una persona che fa le seguenti affermazioni:
- Ho 14 dita ai piedi
- Un pentagono ha 12 lati
- ci sono 20 stagioni in quattro anni
- Un triangolo ha 10 lati
17. Esplicitate il significato delle seguenti frasi:
a. non è vero che nessun rombo è quadrato;
b. non tutte le domeniche la mia squadra vince;
c. non è vero che nessun multiplo di 3 è multiplo di 2;
d. non è vero che Silvia e Sara andranno alle Olimpiadi;
18. Scrivete la negazione delle seguenti frasi
a.
b.
c.
d.
Tutti coloro che vanno in montagna d'inverno sciano;
Lorenzo e Jacopo andranno a Ferrara;
Luca sarà accompagnato in piscina dalla mamma o dalla baby-sitter;
Nessun alunno di questa classe tiene acceso il cellulare durante
la lezione
(Es. La frase “Non tutti i numeri primi sono dispari”, significa che “Esiste almeno un
numero pari che è primo” (il che è vero perché il numero 2 è pari ed è pure primo))
19. Considerato l'insieme universo dei primi cinquanta numeri naturali e
L’insieme dei multipli di 5
L’insieme dei multipli di 8
- Che cosa rappresenta
e quali numeri contiene ?
- Che cosa rappresenta
e quali numeri contiene?
19. A quali proposizioni equivale la proposizione ``non è vero che non sono interessato''
a.
b.
c.
d.
e.
sono disinteressato
non sono disinteressato
non è vero che sono interessato
non sono interessato
sono interessato
Indicando la proposizione “sono interessato” con A, scrivere la tavola di verità di ``non è vero che
non sono interessato''.
20. Come è noto, “un numero (maggiore di 1) è primo se e solo se ha unicamente due divisori”.
Quali di queste affermazioni risultano corrette?
a. Tutti i numeri primi hanno più di un divisore
b. tutti i numeri che hanno più di un divisore sono numeri primi
c. tutti i numeri che hanno solo due divisori sono numeri primi
d. se un numero non è primo, ha almeno tre divisori
e. se un numero non ha solo due divisori, allora non è primo
f. se un numero ha solo due divisori, allora è primo
21. Spiegate che cosa si intende per relazioni d’ordine e relazioni d’equivalenza. In base alle
vostre definizioni, dite se le seguenti relazioni sono relazioni di equivalenza o di ordine (nel
caso che non siano relazioni di equivalenza né d’ordine, specificate per quale motivo):
a. xRy se e solo se x e y sono nati nello stesso anno (in un insieme di persone)
b. xRy se e solo se x ha la stessa lunghezza di y (in un insieme di segmenti)
c. xRy se e solo se x-y è un multiplo di 3 (nell'insieme dei numeri naturali)
d. xRy se e solo se x può ricevere ordini da y (nell’insieme dei militari di una caserma)
e. x R y se e solo se i nomi di battesimo di x e di y non hanno nessuna lettera in comune
22. Il numero 3518 è divisibile per 3? Enunciate il criterio che avete usato. Giustificate il
significato matematico del criterio di divisibilità per 3. Se un numero è divisibile per 3 è
anche divisibile per 9? Perché? E’ vero il contrario?
23. A che parte corrispondono i tre quinti dei cinque ottavi di una torta? E i tre quinti dei quattro
undicesimi?
24. Si ordinino dal minore al maggiore i seguenti numeri razionali
;
1;
0,125;
;
0,13555555…;
0,1111….;
25. Per ognuna delle seguenti coppie di numeri razionali, si determini un numero razionale che
vi sia compreso
;
;
;
26. Si dica se sono vere o false le seguenti proposizioni e si giustifichino le risposte
i)
Il numero razionale 0,123 è maggiore del razionale ;
ii)
Il numero decimale illimitato 0,111…. e il numero razionale coincidono
27. Si determinino i numeri razionali di cui sono date le seguenti scritture decimali
1,31; 0,77777….; 1,123; 1,5555….;
1,0999999
28. Il prezzo di una merce giovedì scorso è salito del 30% rispetto al giorno precedente. Oggi,
venerdì, è sceso del 30% rispetto a giovedì: la merce costa di più o di meno di quanto
costava giovedì scorso?
29. E’ da preferire che il nostro risparmio aumenti del valore del 2% alla fine di ogni
quadrimestre (quindi il 30 aprile, il 31 agosto, il 31 dicembre) oppure del 6% l’ultimo
giorno dell’anno? Oppure è la stessa cosa?
30. E’ di più il 10% del 70% di una certa cifra o il 70% del 10% della stessa cifra?
31. Disegnare un qualsiasi poligono P di 5 lati indicando i vertici A, B, C, D e E. Fissare
arbitrariamente un asse r e disegnare la figura simmetrica di P rispetto a r.
32.
33. Un gruppo di turisti visita un arcipelago e attraversa esattamente una volta ciascuno dei ponti
che collega le isole. L’isola Azzurra è visitata 3 volte. Quanti sono i punti che collegano l’isola
Azzurra alle altre isole? Si dia la risposta in queste tre situazioni
a) La visita non è iniziata né finita ad Azzurra;
b) La visita è iniziata ma non finita ad Azzurra;
c) La visita è iniziata e finita ad Azzurra.
34.
In caso negativo, quali porte aprireste o chiudereste per rendere possibile il percorso?
Giustificare la risposta.
36..
37. E’ possibile tassellare il piano con il quadrilatero ABCD? In caso affermativo, si mostri il
procedimento giustificando la risposta. In caso negativo, si giustifichi comunque la risposta.
38. E’ possibile una tassellazione del piano formata da pentagoni regolari? Si può realizzare una
tassellazione del piano accostando dodecagoni regolari e triangoli equilateri? Giustificare le
risposte.
39. Considerata la lettera “b”, attraverso quali trasformazioni geometriche si ottengono
successivamente le lettere “d”, “p” e “q”? Quale trasformazione (o trasformazioni) muta la “n” in
“u”? E quale la “f” in “t”?
40.. Disegnate una figura che abbia (almeno) due assi di simmetria incidenti.
41. Disegnata una figura che sia trasformata in sé da tre rotazioni aventi lo stesso centro e che non
abbia assi o centri di simmetria.
42. Disegnate un triangolo e poi un rettangolo che abbia area pari a quattro volte l’area del
triangolo. Giustificate la risposta.
43. Disegnate un rettangolo e poi un triangolo isoscele che abbia la stessa area. Quanti di questi
triangoli esistono?
44. I cateti di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 2,58 cm e 3,44 cm e il perimetro è
10,32 cm. Calcolate la misura dell’area, la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo e
il perimetro di un rettangolo equivalente al triangolo e avente la base lunga 18,49 cm.
45. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? Giustificate la risposta.
a) Un rombo è equivalente a un rettangolo che ha per base e per altezza le due diagonali
b) Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha per base e per altezza le due
diagonali
c) Un rombo è equivalente al doppio di un rettangolo che ha per base e per altezza le due
diagonali
46. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? Giustificate la risposta
a) Un trapezio è equivalente a un triangolo avente come base la somma delle basi e come
altezza la stessa altezza
b) Un trapezio è equivalente a un triangolo avente la stessa base e la stessa altezza
c) Al doppio di un triangolo avente la stessa base e la stessa altezza
47. La base minore di un trapezio misura 27,6 dm ed è i 12/17 della base maggiore. Sapendo che
l’altezza è i 9/5 della differenza tra le basi e che l’angolo formato dalla base maggiore con uno dei
lati obliqui misura 60°, calcola la misura dell’area del trapezio.
48. In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 244 cm e il cateto minore è i suoi 11/61. Calcolate
perimetro e area del triangolo
49. La base e l’altezza di un rettangolo misurano rispettivamente 12,5 cm e 8,4 cm. Calcolate l’area
e il perimetro di un rettangolo simile sapendo che il rapporto di similitudine è 2/5.
50. La base e l’altezza di un parallelogramma misurano rispettivamente 12 dm e 8 dm. Calcolate la
misura dell’area di un parallelogramma simile avente la base di 21 dm.
51. Considerato il numero 1001110 rappresentato in base due, lo si scriva anche
a) in base dieci
b) in base tre
c) in un sistema di numerazione additivo (anche di propria invenzione)
52. Si costruisca un parallelogramma equiesteso a un trapezio arbitrariamente fissato. Esistono
trapezi con assi o centri di simmetria? E parallelogrammi? In caso affermativo, si rappresentino
graficamente i casi.
53. Si considerino i seguenti enunciati aperti
A: Il numero x è minore di 10
B: Il numero x è maggiore di 5
Si scrivano esplicitamente gli enunciati
C= A e B
D= A o B
Il valore x=6 rende vero l’enunciato C? E il valore x=9?
Il valore x=6 rende vero l’enunciato D? E il valore x=11?
Si scriva esplicitamente l’enunciato F, corrispondente alla negazione di C.
Il valore x=6 rende vero l’enunciato F? E il valore x=9?
54. Si enunci e si giustifichi il criterio di divisibilità per 3 di un numero naturale.
55. Siano date le frazioni 1/12, 15/24 e 47/9. E’ possibile conoscere a priori quale tipo di sviluppo
decimale hanno i numeri razionali rappresentati da queste frazioni? Perché? Si calcoli lo sviluppo
decimale e si mettano in ordine i numeri razionali.
56. Si consideri l’estrazione di un numero della tombola (90 numeri). Qual è la probabilità che esso
sia
a)
b)
c)
d)
multiplo di 5
multiplo di 8
multiplo di 5 e di 8
multiplo di 5 oppure di 8
57. Spiegare ed illustrare che cosa si intende per “contratto didattico” (personalizzare l'esposizione
e fornire esempi significativi).
58. Trovare l'addendo che manca in ciascuna delle seguenti addizioni:
39 + (…)9 = 109
25 + (…)5 = 105
78 + (…)8 = 108
47 + (…)7 = 1007
26 + (…)6 = 1116
59. Si consideri un triangolo A i cui lati misurano 3 cm, 2 cm e 10 cm e un triangolo B i cui lati
misurano 4 cm, 5 cm e 3 cm.
a) Quale dei due triangoli non è costruibile e per quale motivo?
b) Siano A, B, C i vertici del triangolo costruibile, che ora chiameremo ABC. Si può affermare
con sicurezza che ABC è un triangolo rettangolo? Perché?
c) Si disegni ABC e si indichi M, punto medio del lato AC. Si disegni il triangolo A’, B’, C’
ottenuto da ABC per simmetria centrale di centro M. Che figura rappresenta il quadrilatero
di vertici AB’CB? Quanto misura la sua area?
60. Si individui, tra quelle elencate, l’affermazione falsa e si esibisca un controesempio per
dimostrarlo.
Affinché due frazioni siano uguali
A. è sufficiente che abbiano lo stesso numeratore e lo stesso denominatore
B. è necessario che abbiano numeratori e denominatori proporzionali
C. è necessario che abbiano uguale numeratore e uguale denominatore
D. non è necessario che abbiano uguale numeratore e uguale denominatore
E. è necessario e sufficiente che abbiano numeratori e denominatori proporzionali
61. Inserire tre frazioni tra
e
. Che tipo di numero decimale rappresenta la frazione
?
62. Si consideri la relazione da a
definita come segue: xRy se x+y è un numero primo.
Verificare se la relazione è riflessiva, simmetrica, transitiva e d’equivalenza.
63. Un'urna contiene 15 palline, 9 bianche e 6 rosse. Vengono estratte, una dopo l'altra, senza
reinserimento, due palline: calcola la probabilità che le palline estratte siano entrambe rosse.
64. . Siano a e b due numeri naturali che si scrivono nel modo seguente in base quattro
a =1014 b= 234
a) si scrivano a e b nel sistema binario;
b) La proprietà associativa della moltiplicazione si applica ai numeri naturali scritti in base
quattro?
65. In un quadrato ABCD di lato 10 cm è inscritto un quadrato LMNO. I segmenti DO, CN, BM e
AL sono uguali fra loro e ciascuno di essi misura 2 cm. Quanto misura l’area del quadrato LMNO?
Il segmento OM divide il quadrato ABCD in due parti uguali? Perché?
Che tipo di quadrilatero è AMOD? Quanto misura la sua area?
66. Scrivere esplicitamente la negazione delle seguenti proposizioni:
a) Tutti i numeri razionali sono reali;
b) Paola lavora a maglia e ascolta la radio
c) Quando vedrò il mio bimbo, gli darò un bacio o una carezza
Le proposizioni “Roma non è la capitale della Francia” e “Parigi è la capitale della Francia” sono
logicamente equivalenti?
67. Mettere in ordine crescente i seguenti numeri
numeri che non lo sono. Il numero
√
;
;
è razionale? Perché
̅ . Scrivere in forma frazionaria i
68. Una grande azienda nel 2009 aveva 100 impiegati. Nell’anno 2010 il numero degli impiegati è
diminuito del 20% rispetto al 2009, mentre nel 2011 è aumentato del 20% rispetto al 2010. Quanti
impiegati ci sono nel 2011?
69. Hanno rubato il vostro cellulare, fortunatamente dotato di codice PIN (formato da 4 cifre
numeriche). Qual è la probabilità che il ladro riesca ad indovinare il codice in ognuna delle due
situazioni?
(1) non avendo nessuna informazione
(2) sapendo che le cifre sono 0; 1; 2; 3, ma non sapendo l'ordine
70. Si esegua in colonna l’addizione (4043)5 + (1003)5 e si converta in base dieci il risultato
ottenuto. Si scrivano i numeri (325)10 e (126)10 in base cinque. Ragionando sull’esempio
precedente, si può stabilire un criterio generale per decidere se un numero rappresentato in base
cinque è divisibile per cinque?
71.Qual è l’ampiezza di un angolo interno di un poligono regolare di dodici lati (dodecagono)? E’
possibile tassellare un piano usando dolo piastrelle a forma di dodecagono regolare? In caso
negativo, si costruisca una tassellatura usando dodecagoni regolari e un altro (o altri) poligoni
regolari.
72. Si completi la seguente proposizione:
“Un numero in base dieci è divisibile per 5 se ……………………………………..”
Si scriva la negazione della precedente proposizione, ovvero:
“Un numero in base dieci NON è divisibile per 5 se ………………………..……..”
73. Si scriva la negazione esplicita delle seguenti proposizioni
A. Tutte le moltiplicazioni tra interi verificano la prova del 9.
B. In ogni triangolo la somma degli angoli interni è pari a un angolo piatto
C. Esiste almeno un numero primo pari.
Si stabilisca quali delle proposizioni tra A, non A, B, non B, C, non C sono vere.
74. In una divisione tra numeri naturali, il dividendo è 835 e il quoziente è 34. Si determini il
divisore e il resto (scrivendo esplicitamente tutti i passi dell’algoritmo).
75. Si inseriscano tre numeri razionali tra
e
.
76. Si considerino due urne: la prima (U1) con 5 palline bianche e 5 nere; la seconda (U2) con 8
palline bianche e 4 nere.
1. Si estragga una pallina da U1 e una da U2 e si consideri l’evento E “estrazione di due
palline entrambe bianche”. Qual è la probabilità che si verifichi E? Qual è l’evento
complementare di E?
2. Si estraggano due palline da U1 (senza reimbussolamento). Qual è la probabilità che esse
siano entrambe bianche?
77. Si esegua in colonna l’addizione (3021)4 + (2213)4 e si converta in base dieci il risultato
ottenuto. Si scriva il numero (4096)10 in base quattro: se al numero così ottenuto si aggiunge uno
zero a destra che numero si ottiene? E se si aggiungono due zeri a destra? Si può dedurre da
quest’esempio una regola generale per la rappresentazione di alcuni particolari numeri in base n?
78. In figura è rappresentato il rettangolo ABCD con le sue diagonali. Qual è il rapporto tra il
triangolo grigio e l’intero rettangolo?
Siano 1 cm e 3 cm le lunghezze dei lati del rettangolo: qual è la lunghezza della diagonale? Che tipo
di numero è quello che rappresenta la lunghezza della diagonale? Può essere espresso in forma
frazionaria? In che modo?
79. Scrivere esplicitamente la negazione delle seguenti proposizioni:
a) Nessun rombo è quadrato;
b) Alcuni funzionari di quell'ufficio non sono degni di fiducia;
c) Tutte le domeniche la mia squadra vince;
d) Nessun multiplo di 3 è multiplo di 2;
e) Federica o Filippo andranno alle Olimpiadi di Londra;
f) Il numero x è minore di 10 e maggiore di 5
80. Si enunci e si giustifichi il criterio di divisibilità per 9 di un numero naturale. In quale modo
questo criterio viene applicato alla “prova del 9” per verificare il risultato di una moltiplicazione? Si
costruisca un controesempio in cui si mostri che la “prova del 9” non è una condizione sufficiente
per la verifica del prodotto.
81. Quali numeri si possono inserire nei quadratini per rendere vera la disuguaglianza?
Esprimere in forma decimale i numeri che appaiono nella disuguaglianza. Che cosa significa
l’affermazione l’insieme dei numeri razionali è denso?
82. Un’urna contiene 90 palline numerate da 1 a 90. Calcolare le seguenti probabilità relative
all’estrazione di una pallina:
a) che esca un numero divisibile per 6;
b) che esca un numero divisibile per 8;
c) che esca un numero divisibile per 6 e per 8;
d) che esca un numero divisibile per 6 o per 8.
Potete utilmente consultare anche:
COMPITI PROF. ZAN
http://www.dm.unipi.it/~zan/SCIENZE%20DELLA%20FORMAZIONE%20POLO%20DI%20LIV
ORNO/MATEMATICA/
In particolare:
http://www.dm.unipi.it/~zan/SCIENZE%20DELLA%20FORMAZIONE%20POLO%20DI%20LIV
ORNO/MATEMATICA/Esercizi_1.pdf
http://www.dm.unipi.it/~zan/SCIENZE%20DELLA%20FORMAZIONE%20POLO%20DI%20LIV
ORNO/MATEMATICA/Esame_matematica_2luglio08.pdf
http://www.dm.unipi.it/~zan/SCIENZE%20DELLA%20FORMAZIONE%20POLO%20DI%20LIV
ORNO/MATEMATICA/Esame_Matematica_13giugno08.pdf
http://www.dm.unipi.it/~zan/SCIENZE%20DELLA%20FORMAZIONE%20POLO%20DI%20LIV
ORNO/MATEMATICA/Esame_Matematica_27giugno08.pdf
http://www.dm.unipi.it/~zan/SCIENZE%20DELLA%20FORMAZIONE%20POLO%20DI%20LIV
ORNO/MATEMATICA/QUESTIONARIO_Insiemi%20e%20logica.pdf
http://www.dm.unipi.it/~zan/SCIENZE%20DELLA%20FORMAZIONE%20POLO%20DI%20LIV
ORNO/MATEMATICA/QUESTIONARIO_Numeri.pdf
COMPITI PROF. DOLCETTI
http://web.math.unifi.it/users/dolcetti/esmat.pdf