Angolo
Angolo
Si chiama angolo ciascuna delle due parti di piano in cui esso è diviso da
due semirette uscenti da uno stesso punto O.
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1
Circonferenza
Circonferenza goniometrica
goniometrica
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2
Circonferenza
Circonferenza goniometrica
goniometrica
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3
IlIl radiante
radiante
Definizione:
Il rapporto tra la lunghezza dell’arco
rettificato e il raggio è un numero puro,
in quanto rapporto di due lunghezze.
Quando l’arco rettificato è lungo quanto
il raggio (come l’arco AB in figura),
diremo che misura un radiante.
Anche l’angolo AOB
misura un radiante.
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4
Corrispondenza
Corrispondenza gradi-radianti
gradi-radianti
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5
Corrispondenza
Corrispondenza gradi-radianti
gradi-radianti
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7
Angoli
Angoli positivi
positivi ee negativi
negativi
Un angolo si dice orientato quando è stabilito quale dei due lati deve
considerarsi come primo lato.
Un angolo orientato si dice positivo quando è descritto dal lato origine
mediante una rotazione antioraria, negativo in caso contrario.
Si chiama misura di un angolo orientato la sua misura assoluta presa con
il segno + o con il segno – a seconda che l'angolo sia positivo o negativo.
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9
Seno
Seno ee coseno
coseno
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10
Seno
Seno ee coseno
coseno
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11
La
La funzione
funzione SENO
SENO
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12
La
La funzione
funzione SENO
SENO
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13
La
La funzione
funzione SENO
SENO
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14
La
La funzione
funzione SENO
SENO
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15
La
La funzione
funzione SENO
SENO
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NON E' INVERTIBILE
16
La
La funzione
funzione ARCOSENO
ARCOSENO
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17
La
La funzione
funzione SENO
SENO
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18
La
La funzione
funzione ARCOSENO
ARCOSENO
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19
La
La funzione
funzione COSENO
COSENO
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20
La
La funzione
funzione COSENO
COSENO
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21
La
La funzione
funzione COSENO
COSENO
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La
La funzione
funzione COSENO
COSENO
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23
La
La funzione
funzione COSENO
COSENO
NON
E' INVERTIBILE
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- Alessia
Ceccato
24
La
La funzione
funzione COSENO
COSENO
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25
La
La funzione
funzione COSENO
COSENO
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26
La
La funzione
funzione COSENO
COSENO
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27
La
La funzione
funzione TANGENTE
TANGENTE
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28
La
La funzione
funzione TANGENTE
TANGENTE
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29
La
La funzione
funzione TANGENTE
TANGENTE
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30
La
La funzione
funzione TANGENTE
TANGENTE
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31
La
La funzione
funzione TANGENTE
TANGENTE
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32
La
La funzione
funzione TANGENTE
TANGENTE
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33
La
La funzione
funzione TANGENTE
TANGENTE
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La
La funzione
funzione ARCOTANGENTE
ARCOTANGENTE
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35
Relazioni
Relazioni
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36
Relazioni
Relazioni
• Esempi:
cos (x) = ½
sin( x ) =
x ∈ [0, π/2]
3
1− 1/ 2 =
2
2
sin( x ) =
2
2
π
x ∈ [ ,π ]
2
2
2
cos( x ) = − 1 − = −
4
2
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Relazioni
Relazioni
• sin2(x) + cos2(x) = 1
1
1 + tan ( x) =
cos 2 ( x)
2
1
cos ( x) =
2
1 + tan ( x)
2
1
cos( x) = ±
1Trigonometria
+ tan 2- Corso
( xdi) matematica - Alessia Ceccato
38
Angoli
Angoli complementari
complementari
• La cui somma è π/2:
sin(π/2−α) = cos(α)
cos(π/2−α) = sin(α)
tan(π/2−α) = cot(α)
cot(π/2−α) = tan(α)
y
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x
39
Angoli
Angoli anti-complementari
anti-complementari
sin(π/2+α) = cos(α)
cos(π/2+α) = - sin(α)
tan(π/2+α) = - cot(α)
cot(π/2+α) = - tan(α)
y
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x
40
Angoli
Angoli supplementari
supplementari
• La cui somma è π:
sin(π−α) = sin(α)
cos(π−α) = - cos(α)
tan(π−α) = - tan(α)
cot(π−α) = - cot(α)
y
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x
41
Angoli
Angoli anti-supplementari
anti-supplementari
sin(π+α) = - sin(α)
cos(π+α) = - cos(α)
tan(π+α) = tan(α)
cot(π+α) = cot(α)
y
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x
42
Angoli
Angoli esplementari
esplementari ed
ed opposti
opposti
sin(2π−α) =sin(−α)= - sin(α)
y
cos(2π−α) =cos(−α)= cos(α)
tan(2π−α) =tan(−α)= - tan(α)
cot(2π−α) =cot(-α)= - cot(α)
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x
43
Addizione
Addizione ee sottrazione
sottrazione
cos (α ± β) = cos α cos β + sen α sen β
sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β
tg (α ± β ) =
tg α ± tg β
1 + tg α tg β
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sinα=cos( π/2-α)
44
Duplicazione
Duplicazione
sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos2 α - sen2 α = 1 - 2sen2 = 2cos2 – 1
tg 2 α =
2 tg α
1 - tg2 α
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45
Bisezione
Bisezione
Queste formule di ricavano da quella di duplicazione del coseno sostituendo α /2 ad α
sen α /2 = ±
√
1 – cos α
2
√
1 + cos α
2
cos α /2 = ±
tg α /2 =
sen α
=
1 – cos α
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1 + cos α
sen α
46
Formule
Formule di
di prostaferesi
prostaferesi
sen p + sen q = 2 sen
p+q
2
cos
p+q
sen p - sen q = 2 cos
p-q
2
p-q
sen
2
2
p+q
cos p + cos q = 2 cos
p-q
cos
2
p+q
2
p-q
cos p - cos q = - 2 sen
sen
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2
2
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Identità
Identità goniometriche
goniometriche
Si chiama identità goniometrica ogni uguaglianza tra espressioni, contenenti
funzioni goniometriche di uno o più angoli che è verificata qualsiasi siano i valori
attribuiti alle misure degli angoli. Eccettuati gli eventuali valori per i quali almeno
una delle due espressioni perde di significato.
Es cos(p+q)=cos(p)cos(q)-sen(p)sen(q)
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48
Esercizi
1 + tg 2 α −
1
1
1
2
⋅
tg
α
+
=
sen 2 α
cos 2 α
cos 2 α
sen 2α
1
sen 2α
1
1
1+
−
⋅
+
=
cos 2 α sen 2α cos 2 α cos 2 α
cos 2 α
sen 2α
1
1
1
1+
−
+
=
cos 2 α cos 2 α cos 2 α
cos 2 α
sen 2α
1
1+
=
cos 2 α
cos 2 α
cos 2 α + sen 2 α
1
=
cos 2 α
cos 2 α
1
1
=
cos 2 α
cos 2 α
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49
trigonometria
Per risolvere un triangolo rettangolo bisogna
determinare le misure dei lati e degli angoli
che lo compongono.
Studiamo, quindi le relazioni che intercorrono
tra le misure lineari e circolari di un triangolo
rettangolo
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50
Risoluzione dei triangoli rettangoli
Utilizzando la
similitudine dei
triangoli
riusciamo a
risolvere
facilmente i
triangoli
retttangoli
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51
Teorema
Teorema 11
In un triangolo rettangolo
la misura di un cateto è
uguale a quella
dell’ipotenusa
moltiplicata per il seno
dell’angolo opposto al
cateto o per il coseno
dell’angolo adiacente
al cateto
a = c sen α = c cos β
b = c sen β = c cos α
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52
Teorema
Teorema dei
dei seni
seni
In un triangolo
qualunque le misure
dei lati sono
proporzionali ai seni
degli angoli opposti.
a
b
c
=
=
senα
senβ
senγ
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53
Equazioni
Equazioni trigonometriche
trigonometriche
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54
Equazioni
Equazioni trigonometriche
trigonometriche
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55
Equazioni
Equazioni trigonometriche
trigonometriche
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56
Equazioni
Equazioni trigonometriche
trigonometriche
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