IL PROBLEMA DEL
CONTROLLO
Cosa si intende per: CONTROLLARE
UN SISTEMA (un Impianto o un
Processo)
Controllare un sistema “S” significa
imporre all’uscita y(t) di tale sistema un
andamento più simile possibile ad uno
desiderato ydes(t).
1
INTRODUZIONE
In genere in un sistema S da controllare
(chiamato anche: impianto o processo) possiamo
distinguere:
- gli ingressi manipolabili x(t)
- gli ingressi non manipolabili z(t)
- l’uscita y(t)
Se voglio controllare un sistema devo riuscire ad
individuare per ogni uscita desiderata ydes(t) un
ingresso x(t) tale che l’uscita y(t) assuma un valore
più vicino possibile a quella desiderata ydes(t).
2
In pratica
Controllare un sistema significa:
riuscire a realizzare un “meccanismo” tale
che per ogni ydes(t) genera
automaticamente un ingresso di controllo
x(t) il quale produce un’uscita y(t) che si
avvicina il più possibile alla ydes(t)
Tale “meccanismo” che produce il particolare
ingresso di controllo si chiama “controllore” e
deve essere un dispositivo automatico
3
L’ingresso di controllo deve tenere conto delle
caratteristiche dinamiche del sistema, delle
sue variazioni nei parametri fondamentali e
deve opporsi agli effetti del disturbo
In genere l’uscita y(t) dipende dall’ingresso
manipolabile x(t) e dal disturbo z(t) per cui
passando a Laplace tale dipendenza si può
scrivere
Y(s) = G(s) X(s) + Gz(s) Z(s)
NB:La dimostrazione del motivo per cui l’uscita può
essere espressa secondo tale semplice formula è
difficile e necessita la conoscenza delle equazioni
4
differenziali (meglio lasciare perdere).
Se indico con YD(s) la trasformata
dell’uscita desiderata potrei risolvere il
problema risolvendo l’equazione:
Y(s) = G(s) X(s) + Gz(s) Z(s)
Sostituendo YD (s) al posto di Y(s) ricavo il
valore dell’ingresso di controllo X(s):
YD ( s )  GZ ( s ) Z ( s )
X ( s) 
G( s)
Il valore dell’ingresso x(t) cercato
corrisponde all’antritrasformata di X(s):
5
Per trovare tale ingresso non bisogna
valutare nulla dell’uscita (controllo ad anello
aperto) ma presenta i seguenti problemi
Devo avere una conoscenza perfetta del
modello del sistema G(s) da controllare e
tale sistema non deve variare nel tempo
Devo avere una conoscenza perfetta dei
disturbi e di come i disturbi agiscono sul
sistema per valutare Z(s) e Gz(s)
IL SISTEMA DI CONTROLLO IN CATENA
APERTA E’ POCO ROBUSTO
6
Esempio pratico: controllo di velocità di un
motore
Cm
Cr
B
ω
Cm = coppia motrice del motore
Cr = coppia resistente (salita)
B = coppia attrito (asfalto o vento)
ω = velocità di rotazione dell’albero
7
Cm è l’ingresso del sistema
Infatti se voglio controllare la velocità di rotazione
dell’albero posso agire sulla farfalla del
carburatore e generare una coppia Cm
proporzionale all’angolo α della farfalla: Cm= p α
ω è l’uscita del sistema
La relazione che lega le grandezze è:
Cm= B ω + Cr
Controllare tale motore significa avere ω = ωdes
8
Il controllo a catena aperta viene fatto nella
seguente maniera:
stimo l’attrito B* e la coppia resistente Cr*.
costruisco la Cm con tali valori
trovo Cm= B* ωd + Cr*
Sostituisco tale valore di Cm nella formula generale
Cm= B ω + Cr
ottengo
B* ωd + Cr* = B ω + Cr
Ricavo ω
9
B ω = B* ωd + Cr* - Cr
B
C  Cr
  d 
B
B
*
  d
B* 1 B*  B
B
*
r
solo se
Cr* Cr
 0  C*  C
r r
B
Cioè devo avere una conoscenza perfetta
dell’attrito B e della coppia resistente Cr
Tale sistema di controllo non è applicabile
10
La tecnica di controllo più efficace è la seguente
Misuro la velocità ω con un tachimetro e in
base alla differenza tra il valore desiderato e
quello stimato applico una coppia motrice
proporzionale alla differenza tra la velocità
desiderata e quella misurata
Cm = K ( ωd - ωmis )
Sostituendo nella relazione generale
Cm= B ω + Cr
11
K ( ωdes - ωmis ) = B ω + Cr
Il misuratore di velocità commetterà un errore e quindi
ωmis = ω - Δ ω
K ( ωdes - ω + Δ ω ) = B ω + Cr
Ricavo ω
K ωdes + K Δ ω - Cr = K ω + B ω
K ωdes + K Δ ω - Cr = ω (K + B )
ω (K + B ) = K (ωdes + Δ ω) - Cr
12
K
Cr

(des   ) 
KB
KB
Se K ha un valore elevato:
K
1
KB
Cr
0
KB
Quindi se K è elevato
ω = ωdes + Δ ω
Ma se lo strumento di misura è buono Δ ω = 0
ω = ωdes
13
L’ipotesi di controllo precedente è stata ottenuta
senza richiedere nessuna particolare
conoscenza del sistema e del disturbo.
Necessita però una conoscenza perfetta
dell’uscita ottenuta tramite il misuratore e per
questo viene chiamata A CATENA CHIUSA
In base a quanto scritto in precedenza il sistema va
pilotato con una coppia Cm proporzionale alla
differenza tra uscita desiderata e misurata
Cm = K ( ωd - ωmis )
14
L’ingresso al sistema deve essere ottenuto
amplificando (con amplificazione K elevata) il
segnale d’errore ( ωd - ωmis )
ωd
ωd-ωmis
-
ωmis
K
sistema
ω
misuratore
Occorre precisare che: tutti le grandezze in gioco
(tranne l’uscita) vengono trasformate in segnali
elettrici e quindi K è un amplificatore elettronico e
15
il misuratore è un trasduttore.
In generale abbiamo
E(s)
R(s)
-
G(s)
Y(s)
H(s)
G(s) è la f.d.t. del sistema con il controllore (il
controllore è spesso ma non sempre un amplificatore)
H(s) è la f.d.t. del trasduttore
R(s) è la trasformata di Laplace dell’ingresso
16
desiderato (di riferimento)
Da ora in poi parleremo dei sistemi di controllo
che soddisfano alla legge
Y ( s )  K C R( s )
E ci riferiremo al seguente schema che riesce a
soddisfare alla precedente specifiche di controllo
R(s)
E(s)
-
K
G(s)
Y(s)
1
Kc
17
Analizziamo con il metodo degli schemi a blocchi
R(s)
E(s)
-
K
G(s)
Y(s)
1
Kc
Ottengo per K elevato
KG ( s )
W (s) 
 KC
1
1
KG ( s )
KC
Y ( s )  K C R( s )
Cioè quello richiesto
18
Vediamo quali sono le caratteristiche (vantaggi)
della retroazione
La relazione tra ingresso ed uscita dipende meno
dalle variazioni dei parametri del sistema
(diminuisce la sensibilità dell’uscita alle variazioni
parametriche di G(s))
L’uscita dipende meno dai disturbi
(diminuisce rapporto segnale rumore)
La banda passante si allarga
(maggiore prontezza del sistema)
Diminuisce l’errore a regime
19
Analizziamo il primo vantaggio
La relazione tra ingresso ed uscita dipende meno
dalle variazioni dei parametri del sistema
(diminuisce la sensibilità dell’uscita alle variazioni
parametriche di G(s))
20
La relazione tra ingresso ed uscita W(s) è
KG ( s )
W (s) 
 KC
1
1
KG ( s )
KC
G’(s)
G’’(s)
W(s)
Cioè il diagramma di Bode di W(s) cioè del sistema
reazionato rimane pressochè lo stesso anche se G(s)
21
varia da G’(s) a G’’(s)
In realtà la formula seguente
KG ( s )
W (s) 
 KC
1
1
KG ( s )
KC
è solo un’approssimazione e anche W(s) varierà
G’(s) G’’(s)
W’(s)
W’’(s)
Il diagramma di Bode di W(s) varierà comunque
molto meno di G(s)
22
G’(s)
G’’(s)
W’(s)
W’’(s)
Il rapporto tra la variazione relativa di W(s) e la
variazione relativa di G(s) viene chiamata
“sensibilità parametrica”
La “sensibilità parametrica” S è varia con la pulsazione
23
G(s)
G’(s)
G’’(s)
W’(s)
W’’(s)
La “sensibilità parametrica” S vale in generale (si
può dimostrare con alcuni passaggi matematici)
S ( ) 
1
1
1
K G ( )
KC
24
Esempio numerico di “sensibilità parametrica” S
S = 0,001 mi dice che se G(s) si modifica dello
20% per una certa frequenza allora W(s) si
modifica in un rapporto 0,001 più basso e cioè
dello 0,02%
generalmente S viene espresso in db e cioè
20log(S)
in tale caso S = 20 log(0,001) =-60db
25
Analizziamo il secondo vantaggio della
retroazione
L’uscita dipende meno dai disturbi
(diminuisce il rapporto segnale rumore)
26
Si abbia un disturbo dopo l’amplificatore (ricordare
che gli amplificatori nei controlli non devono
introdurre rumore e cioè devono essere ben fatti)
D(s)
+
R(s)
K
G(s)
Y(s)
1
Kc
27
Calcoliamo il valore dell’uscita dovuta al solo rumore
D(s)
+
K
G(s)
Yd(s)
1
Kc
G(s)
WD (s) 
0
1
1  KG(s)
KC
Quindi anche Yd(s) = 0
se K è elevato
28
Ovviamente la formula
G(s)
WD (s) 
 0 se K è elevato
1
1  KG(s) E’ un’approssimazione
KC
La funzione di trasferimento WD(s), cioè il rapporto
tra il segnale d’uscita dovuto al solo rumore ed il
rumore stesso, è quel parametro che viene
definito “rapporto segnale rumore” N.
Esso è piccolo, ma non nullo, se
1
KG ( s ) è elevato
KC
29
Valutiamo il rapporto tra segnale e rumore per ogni
pulsazione senza l’approssimazione precedente
G ( )
WD (s)  Sn( ) 
1
1
K G ( )
KC
30
Esempio numerico di “rapporto segnale rumore” N
SN(ω)=0,001 mi dice che se ad una certa
frequenza il rumore vale 40mV allora l’uscita è più
piccola di 0,001 e cioè vale 0,04mV
generalmente SN(ω) viene espresso in db e cioè
20log(N)
in tale caso SN(ω) = 20 log(0,001) =-60db
31
Analizziamo il terzo vantaggio della retroazione
La banda passante si allarga
(maggiore prontezza del sistema)
32
L’effetto sulla banda passante viene riportato nel
seguente grafico
KG(s)
G(s)
W(s)
20 db
Kc
BG
BW
KG ( s )
W (s) 
 KC
1
1
KG ( s )
KC
Se
1
KG(s) ha modulo elevato (>20db) W(s) vale circa KC33
KC
(costante)
L’allargamento della banda passante porta il
vantaggio che il sistema diventa più pronto.
G(s)
W(s)
20 db
Kc
BG
BW
Infatti BG e BW sono legati alla costante di tempo di
salita dell’uscita ad un ingresso a gradino
BW > BG dice che il sistema W è più pronto di G
34
In pratica : in un sistema non retroazionato il regime
viene raggiunto dopo perché BG> BW
Con la retroazione quindi diminuisce il tempo iniziale
in cui segnale di uscita y(t) è molto diverso da quello
desiderato yd(t). Infatti in seguito a variazioni
d’ingresso a gradino non possiamo pretendere che
anche l’uscita risponda prontamente con variazione
brusca verticale
35
Come già detto una banda passante più larga implica
una maggiore prontezza del sistema. La differenza
che si ha tra riferimento ed uscita dopo l’applicazione
di variazioni brusche in ingresso quindi viene ridotta
al minimo con la retroazione
Una pseudo-dimostrazione matematica di quanto
detto è nella pag. seguente
36
Calcoliamo la banda passante e la risposta al gradino in
un sistema con un solo polo (tipo filtro passa basso RC)
1
G( s) 
1  s
La risposta al gradino di questo sistema si calcola
trovando l’antitrasformata di laplace di
1
1 1
Y (s)  G(s) 
s
s 1  s
y (t )  1  e

t

37
Mettendo il sistema in retroazione con K=10 e Kc=1
R(s)
E(s)
-
K
G(s)
Y(s)
1
Kc
La f.d.t. del sistema vale:
10
10
10
10
0,99
1
1

s

1

s

W ( s) 





10
1  s  10 11  s



1
11(  1) (  1) (  1)
1  s
1  s
11
11
10
Cioè la costante di tempo è circa 10 volte più piccola
38
Analizziamo il quarto vantaggio
Diminuisce l’errore a regime
39
Possiamo dimostrare che con la retroazione
diminuisce l’errore a regime, cioè l’errore che si
ha dopo un tempo molto lungo dall’applicazione
del segnale di riferimento
40
R(s)
E(s)
K
-
G(s)
Y(s)
1
Kc
Se il controllo fosse senza errori si avrebbe:
Yd (s) = Kc R(s) invece si ha
Y(s) = W(s) R(s)
con
KG ( s )
W (s) 
1
1
KG ( s )
KC
41
L’errore indesiderato sarà la differenza
E(s) = Yd(s) - Y(s)
Sostituendo
KG ( s )
E ( s)  KC R( s) 
R( s)
1
1
KG ( s )
KC
Eseguendo i calcoli e semplificando ottengo
KC
E (s) 
R( s)
1
1
KG ( s)
KC
42
L’errore a regime si ottiene antitrasformando E(s)
KC
E (s) 
R( s)
1
1
KG ( s)
KC
E dopo aver trovato e(t) si fa il limite per t->

Esiste un teorema chiamato teorema del valore
finale che ci permette di trovale il valore a regime
di una funzione per t->infinito eseguendo un
limite per s->0 della sua trasformata di Laplace
moltiplicata per s
Applichiamo quindi il teorema del valore finale
per trovale l’errore a regime
43
Per trovare il valore del limite per s-> 0 di E(s)
non è necessario conoscere in maniera precisa
G(s) e di R(s) ma solo il valore che assumono
per s->0
KC
E (s) 
R( s)
1
1
KG ( s)
KC
Le caratteristiche che ci servono per calcolare
tale limite sono:
Il tipo di ingresso R(s)
Il tipo di sistema G(s)
44
Analizziamo il tipo di ingresso R(s)
L’ingresso può essere:
un gradino alto Ro
una rampa di pendenza Ro
una rampa parabolica Ro
Gli ingressi elencati in precedenza sono quelli
tipici e si differenziano l’uno dall’altro dall’ordine
del polo in zero nella loro trasformata di Laplace.
45
Il tipo di sistema G(s)
Per tipo di sistema si intende il numero di poli in zero
ed in particolare si può avere:
(sistema di tipo 0) nessun polo in zero
(sistema di tipo 1) un polo semplice in zero
(sistema di tipo 2) un polo doppio in zero
I tipi di sistema elencati in precedenza sono
quelli che tratteremo. Essi si differenziano l’uno
dall’altro dall’ordine del polo in zero
46
Il tipo di sistema viene valutato dopo avere
espresso G(s) nella forma di bode
K (1 s  1)...
G( s)  i
s (T1 s  1)...
Se l’esponente i di s vale 0 (cioè non ci sono poli
sull’origine) allora il sistema e di TIPO 0 e K viene
chiamata costante di posizione e indicata con KP
(1 s  1)...
G( s)  K P
(T1 s  1)...
47
Se l’esponente i di s vale 1 (cioè c’è un polo
semplice sull’origine) allora il sistema e di TIPO 1 e K
viene indicata con KV e chiamato costante di velocità
KV (1 s  1)...
G( s) 
s (T1 s  1)...
Se l’esponente i vale 2 (cioè c’è un polo doppio
sull’origine) allora il sistema e di TIPO 2 e K viene
indicata con KA e chiamato costante di accelerazione
K A (1 s  1)...
G( s)  2
s (T1 s  1)...
48
Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di
tipo zero con ingresso a gradino usando il
teorema del valore finale
sK C
sK C
R0
lim sE ( s )  lim
R ( s )  lim
s 0
s 0
s 0
1
1
1
KG ( s )
1
KG ( s) s
KC
KC
Il polo che possiede R(s) si annulla con la s a
moltiplicare presente per il teorema del valore finale
ed inoltre G(0)=KP quindi il risultato (l’errore a
regime) è
K C R0
1
1
K  KP
KC

2
C
K R0
KC  K  K P
49
Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di
tipo zero con ingresso a rampa usando il
teorema del valore finale
sK C
sK C
R0
lim sE ( s )  lim
R ( s )  lim
s 0
s 0
1
2
s 0
1
1
KG ( s )
s
1
KG ( s)
KC
KC
Il polo doppio che possiede R(s) non si annulla con
la s a moltiplicare presente per il teorema del valore
finale e quindi il risultato è INFINITO
Cioè l’errore a regime aumenta sempre più e l’uscita
non può assumere un valore a rampa uguale
all’ingresso
50
Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di
tipo zero con ingresso a rampa parabolica
usando il teorema del valore finale
sK C
sK
R
C
0
lim sE ( s )  lim
R ( s )  lim
3
s 0
s 0
1
s 0
1
s
1
KG ( s)
1
KG ( s)
KC
KC
Il polo triplo che possiede R(s) non si annulla con la s
a moltiplicare presente per il teorema del valore
finale e quindi il risultato è INFINITO
Cioè l’errore a regime aumenta sempre più e l’uscita
non può assumere un valore a rampa parabolica
uguale all’ingresso
51
Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di
tipo uno con ingresso a gradino usando il
teorema del valore finale
sK C
lim sE ( s )  lim
R(s)
s 0
s 0
1
1
KG ( s)
KC
sKC
R0
 lim
s 0
1
s
1  KG ( s)
KC
Il polo che possiede R(s) si annulla con la s a
moltiplicare presente per il teorema del valore finale
ma abbiamo che G(s) a denominatore diverge e
quindi il risultato è zero
Cioè l’errore a regime diventa zero e l’uscita assume
un valore a rampa uguale all’ingresso
52
Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di
tipo uno con ingresso a rampa
sK C
sK
R
C
0
lim sE ( s )  lim
R( s)  lim
2
s 0
s 0
1
s 0
1
s
1
KG ( s)
1
KG ( s)
KC
KC
Il polo doppio che possiede R(s) si annulla con la s a
moltiplicare presente per il teorema del valore finale e
con il polo semplice di G(s) … dopo alcuni passaggi
(sapendo che KV è la costante di Bode di G(s) di tipo1)
2
C
K R0
K  KV
L’errore all’ingresso a rampa parabolica è infinito
53
L’errore a regime in un sistema di tipo due con
ingresso a gradino e rampa vale zero
L’errore a regime in un sistema di tipo due con
ingresso a rampa parabolica vale
2
K R0
K  KA
KA è la costante di Bode della funzione G(s) di tipo 2
54
Le caratteristiche importanti di G(s) sono
riportate nella seguente tabella
G(s)
tipo 0
forma
( 1s  1)...
KP
(T1s  1)...
n.poli origine costante di Bode
0
KP
KV ( 1s  1)...
tipo 1
s (T1s  1)...
1
KV
K A ( 1s  1)...
s 2 (T1s  1)...
2
KA
tipo 2
55
Il valore dell’errore a regime è riassunto nella
seguente tabella
tipo/ingr.
tipo 0
tipo 1
tipo 2
gradino
2
C
K R0
KC  K  K P
0
0
rampa lin. rampa qua.

2
C

K R0
K  KV

0
KC2 R0
K  KA
56
Una fondamentale caratteristica che deve avere il
sistema controllato, tanto importante che se
questa non è presente le altre diventano inutili è la
STABILITA’ DEL SISTEMA
Un sistema non può funzionare se non è stabile.
Un sistema si dice “asintoticamente stabile” se in
assenza di ingresso l’uscita ritorna a essere nulla
dopo una perturbazione in ingresso anche molto
forte ma di durata limitata
57
S
Il sistema precedente è stabile se l’uscita torna a
zero dopo l’applicazione di un qualsiasi ingresso
impulsivo.
58
La stabilità come espressa in precedenza viene
chiamata “asintotica”.
Un sistema è asintoticamente stabile se:
LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA
NON POSSIEDE POLI CON PARTE REALE
POSITIVA O NULLA
59
La dimostrazione dell’enunciato precedente deriva
dal fatto che, se applico in ingresso un impulso
allora la trasformata di laplace dell’uscita vale
Y (s)  G(s) X (s)
Ma se
x(t )   (t )

X (s)  1
Y (s)  G (s) 1 = G (s)
Cioè la funzione di trasferimento G(s) di un
sistema coincide con la risposta all’impulso
Ma se antitrasformo una funzione in s con poli
negativi ottengo esponenziali con esponente
negativo e cioè che tendono a zero
60
In conclusione per controllare la stabilità devo
trovare i poli di G(s) e vedere se questi poli sono
tutti negativi
Per il sistema controllato lo stesso discorso va
fatto sulla funzione W(s). Per controllare la
stabilità devo trovare i poli di W(s) e vedere se
questi poli sono tutti negativi
E(s)
R(s)
-
G(s)
H(s)
Y(s)
61
E(s)
R(s)
-
Y(s)
G(s)
H(s)
G( s)
W ( s) 
1  H ( s)G( s)
Devo controlare il denominatore e vedere se
1  H ( s)G ( s)  0

H ( s)G( s)  1
62
Non consideriamo nessuno dei molti criteri
matematici per vedere se esistono radici con
parte reale negativa nell’equazione
1  H ( s)G ( s)  0

H ( s)G( s)  1
Tali metodi sono Routh Urwitz
Prendiamo in considerazione il solo metodo
grafico semplice dedotto dai grafici di Bode.
63
Prendiamo il sistema G(s) controllato
R(s)
E(s)
-
K
G(s)
Y(s)
1
Kc
Calcoliamo il guadagno d’anello così definito:
1
F (s) 
KG ( s )
KC
64
Disegniamo i diagrammi di Bode di F(s)
F (s) 
1
KG ( s )
KC
0db
margine
di ampiezza m A
-180°
margine
di fase m 
65
0db
margine
di ampiezza m A
-180°
margine
di fase m 
Il margine d’ampiezza è il valore in db di F(s) quando la fase vale 180°
Il margine di fase è la distanza in gradi della fase di F(s) quando
l’ampiezza è 0db
66
Si può dimostrare che il sistema controllato è
stabile se il margine d’ampiezza è negativo e il
margine di fase è positivo
Valori tipici dei margini di ampiezza e di fase sono
ad esempio:
m A  20db
m  30
Con tali valori il sistema è abbastanza stabile, con
valori più bassi si ha rischio di instabilità.
67
Proviamo a vedere cosa succede se aumenta il guadagno K:
0db
margine
di ampiezza m A
-180°
margine
di fase m 
IL MARGINE D’AMPIEZZA SI RIDUCE FINO A CAMBIARE
SEGNO CIOE’ IL SISTEMA DIVENTA INSTABILE68
Non è facile vedere cosa succede se aumento i poli
sull’origine, ma si intuisce che questa volta si alza abbassa il
diagramma delle fasi
0db
margine
di ampiezza m A
-180°
margine
di fase m 
IL MARGINE DI FASE SI RIDUCE FINO A CAMBIARE
SEGNO CIOE’ IL SISTEMA DIVENTA INSTABILE 69