III. L’equidecomponibilità: teoremi e dimostrazioni
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3. L’equidecomponibilità: teoremi e dimostrazioni
Questo capitolo non vuole essere una ripetizione o copiatura di una delle letture matematiche più
creative del mondo sovietico e pertanto per ogni dettaglio si rimanda alla visione del sito o alla
lettura del libro,,tuttavia si è mantenuta fedelmente la struttura del libro. Il suo scopo è quello di
introdurre i teoremi e le dimostrazioni al fine di permettere la comprensione anche a chi non ha la
possibilità di navigare il sito.
Le dimostrazioni saranno pertanto rappresentate mediante le stesse immagini che compongono le
animazioni Flash.
3.1 Il Metodo di decomposizione
Come è stato già accennato nell’Introduzione della tesi, Euclide aveva già fornito un metodo che
garantisce che l’area di un poligono non è altro che la somma delle aree delle sue parti.
Ricordiamo a tale proposito alcuni esempi scolastici di questo metodo.
3.1.1 Il calcolo dell’area del parallelogramma
1- Sia dato un parallelogramma. Assumiamo come base il lato più lungo poiché altrimenti l’altezza
cadrebbe fuori dalla figura e il metodo non sarebbe applicabile.
2- Tracciamo il segmento dell’altezza che divide in due parti il parallelogramma
1
3- Trasliamo il triangolo 1 nella posizione indicata in figura
1
4- Otteniamo un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma di partenza
Quindi l’area di un parallelogramma si calcola esattamente come quella di un rettangolo avente
stessa base e stessa altezza, cioè con la formula:
Area = base ⋅ altezza
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3.1.2 L’area di un triangolo
1- Sia dato un triangolo qualsiasi
2- Tracciamo la retta parallela alla base e passante per il punto medio dell’altezza
3- Con una rotazione della parte superiore del triangolo si ottiene un parallelogramma avente la
stessa base e metà dell’altezza del triangolo.
Questo esempio ci mostra come ricavare la formula dell’area del triangolo: basta calcolare l’area di
un parallelogramma avente per base la base del triangolo e per altezza, l’altezza del triangolo diviso
due.
Area = base ⋅ altezza : 2
La procedura è valida anche se il triangolo in alto viene ruotato a sinistra invece che a destra.
In entrambi i casi si ottiene un parallelogramma avente metà dell’altezza del triangolo.
In realtà non è l’usuale costruzione elementare che riporta l’area del triangolo all’area del rettangolo
con la stessa base e altezza metà, ma è riportata così come viene presentata dall’autore.
3.1.3 L’area di un trapezio
1- Prendiamo un trapezio qualunque
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2- Prolunghiamo la base maggiore di una lunghezza pari alla base minore
3- Tracciamo il segmento rappresentato in figura che divide il trapezio in due parti
4- Ruotiamo il triangolo avente come lato la base minore nella posizione indicata
5- Abbiamo ottenuto un triangolo avente la stessa altezza del trapezio ma base pari alla somma delle
lunghezze della base maggiore e minore del trapezio.
Questo esempio ci mostra come ricavare la formula dell’area del trapezio:
Area = (BaseMaggiore + BaseMinore) ⋅ altezza : 2
che è la formula dell’area del triangolo.
Da quanto abbiamo visto si può notare che al fine di calcolare l’area di una figura (nell’esempio un
trapezio) si può cercare di decomporla in un certo numero finito di parti che possono poi essere
ricomposte a formare una figura più semplice (nell’esempio un triangolo) la cui area sia già nota.
Quindi due poligoni equidecomponibili sono equivalenti (cioè hanno la stessa area).
È naturale chiedersi se vale anche l’inverso, cioè se due poligoni equivalenti sono anche
equidecomponibili.
Una risposta affermativa fu ottenuta da matematico ungherese Bolyai (1832) e dal tedesco Gerwin,
ufficiale e amatore di matematica (1833).
3.1.4 Il teorema di Pitagora
Usando il metodo di decomposizione possiamo dimostrare il teorema di Pitagora.
Sia ABC un triangolo rettangolo, vogliamo dimostrare che l’area del quadrato I costruito
sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati II e III costruiti sui cateti.
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I quadrati II e III possono essere scomposti in quattro triangoli ciascuno prendendo una diagonale
per ogni quadrato e i segmenti paralleli ad AB come mostrato in figura.
Il quadrato I è composto dagli stessi triangoli dei quadrati II e III quindi il teorema è dimostrato.
3.2 Il Teorema di Bolyai-Gerwin
Prima di dimostrare il teorema vengono dimostrate alcune proposizioni ausiliarie (lemmi).
Lemma 1
Se una figura A è equidecomponibile con una figura B, e la figura B è equidecomponibile con una
C, allora le due figure A e C sono equidecomponibili.
Dimostriamolo visivamente:
Prendiamo tre poligoni A, B, C.
Tracciamo delle linee che decompongono il poligono B in parti, tali che possano essere ricomposte
dando luogo al poligono A.
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Decomponiamo analogamente il poligono B in parti, tali che possano essere ricomposte dando
luogo alla figura C.
Scomponendo ulteriormente il poligono 1 della figura A nella coppia di poligoni 1 e 4 si ottiene ciò
che è rappresentato in figura e il lemma è dimostrato.
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Lemma 2
Per ogni triangolo esiste un rettangolo equidecomponibile con esso.
Dimostriamolo visivamente:
Prendiamo un triangolo qualsiasi e scegliamo come base il segmento più lungo dei tre.
Questo stratagemma ci permette di evitare il caso in cui l’altezza cada fuori dal segmento della
base.
Dal punto medio dell’altezza tracciamo la parallela alla base del triangolo e i segmenti EA ed FB
Usando le sole simmetrie centrali rispetto ai punti O ed O’ si ottiene un rettangolo
equidecomponibile con il triangolo di partenza.
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Lemma 3
Due parallelogrammi che abbiano una base comune e siano equivalenti sono equidecomponibili.
Dimostriamolo visivamente:
Siano ABCD ed ABFE due parallelogrammi equivalenti aventi la base AB in comune (avranno
quindi la stessa altezza)
Tracciamo le rette su cui giacciono le basi dei parallelogrammi (che coincidono per l’osservazione
precedente) e segniamo sulla retta AB una serie di segmenti uguali ad AB
Dagli estremi di questi segmenti, tracciamo le rette parallele al segmento AD
Dagli estremi di questi segmenti tracciamo le rette parallele al segmento AF
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Indichiamo con numeri uguali le parti congruenti dei due parallelogrammi
Entrambi sono composti dalle stesse parti e quindi sono equidecomponibili.
Lemma 4
Due rettangoli equivalenti sono equidecomponibili.
Dimostriamolo visivamente:
Siano ABCD e EFGH due triangoli equivalenti
Supponendo che AB sia il segmento più lungo, tracciamo la circonferenza di raggio AB e centro E.
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La circonferenza interseca la semiretta HG in un certo punto L
il segmento AB è uguale al segmento EL. Riportiamo il segmento EF sulla retta LHG, ottenendo il
punto K.
Abbiamo ottenuto il parallelogramma LKFE che per il lemma 3 è equidecomponibile con il
parallelogramma EFGH ma anche con il parallelogramma ABCD in quanto LE è uguale ad AB.
Per il lemma 1 anche il parallelogramma ABCD e EFGH sono equidecomponibili quindi il lemma è
dimostrato.
Lemma 5
Per ogni poligono (concavo o convesso) esiste un rettangolo equidecomponibile con esso.
Dimostriamolo visivamente:
Sia dato un poligono concavo o convesso e un segmento AB dal quale tracciamo le perpendicolari
nei punti A e B.
Il poligono può essere scomposto in un numero finito di triangoli
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Per il lemma 1, ogni triangolo è equidecomponibile con un rettangolo e per il lemma 4, ogni
rettangolo è equidecomponibile in un rettangolo avente come base il segmento AB.
Per ogni poligono esiste quindi un rettangolo equidecomponibile con esso e quindi il lemma è
dimostrato.
Teorema di Bolyai-Gerwin
Due poligoni equivalenti sono equidecomponibili.
Dimostrazione:
Per il lemma 5 ogni poligono ha un rettangolo equidecomponibile con esso. I due rettangoli ottenuti
avranno uguale area e saranno quindi equidecomponibili per il lemma 4.
Di conseguenza i due poligoni di partenza sono equidecomponibili per il lemma 1.
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3.3 Il Metodo del completamento
Esiste un metodo “duale” al metodo di decomposizione che consiste nell’aggiungere parti
congruenti alle due figure in modo che queste risultino ancora congruenti fra loro.
3.3.1 Il calcolo dell’area del parallelogramma
Nel caso mostrato in figura non è sufficiente dividere il parallelogramma in due parti e traslare un
triangolo per ottenere un rettangolo, come invece si può sempre fare se si considera come base il
lato più lungo.
allora possiamo aggiungere alle due figure lo stesso triangolo.
In questo modo otteniamo due trapezi congruenti, quindi il parallelogramma e il rettangolo hanno la
stessa area. Diremo che il parallelogramma e il rettangolo sono equicompletabili.
3.3.2 Il teorema di Pitagora
Usando il metodo del completamento possiamo dimostrare il teorema di Pitagora.
Sia ABC un triangolo rettangolo, vogliamo dimostrare che l’area del quadrato I costruito
sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati II e III costruiti sui cateti.
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Aggiungiamo 4 triangoli al quadrato I ognuno congruente al triangolo ABC. E ripetiamo la stessa
operazione anche per i quadrati II e III.
Come si può notare dalla figura, si generano due quadrati congruenti, quindi il teorema è
dimostrato.
3.3.3 Il Teorema di Bolyai-Gerwin nel metodo del completamento
Due poligoni equivalenti sono equicompletabili
Dimostriamolo visivamente:
Siano A e B due poligoni equivalenti
Scegliamo due quadrati congruenti sufficientemente grandi da contenere i due poligoni
Tagliamo all’interno dei quadrati il poligono A e il poligono B e otteniamo due nuove figure C e D
che hanno uguale area
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Le figure C e D sono equivalenti e quindi equidecomponibili (per il Teorema di Bolyai-Gerwin)
I poligoni A e B sono quindi equicompletabili.
3.4 Proprietà delle isometrie
In questo breve paragrafo verranno riprese alcune proprietà delle isometrie. Ricordiamo che:
Una isometria è un movimento che porta una figura geometrica ad occupare una posizione diversa
nel piano, senza però deformare la figura stessa.
Lemma 6
Se il movimento d è una traslazione o una simmetria centrale, allora i corrispondenti movimenti
inversi a d saranno ancora, rispettivamente una traslazione o una simmetria centrale.
Lemma 7
Il prodotto di due simmetrie centrali di centri O1 e O2 è una traslazione parallela al segmento
orientato 2O1O2.
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Lemma 8
Il prodotto di tre simmetrie centrali di centri O1, O2 e O3 è una simmetria centrale.
Il prodotto delle tre simmetrie centrali di centri O1, O2 e O3 porta A in A ma anche la simmetria
centrale di centro O porta A in A.
Lemma 9
Se ognuno dei due movimenti d1 e d2 è o una traslazione o una simmetria centrale, il loro prodotto
sarà ancora o una traslazione o una simmetria centrale.
3.5 Il Teorema di Hadwiger-Glur
I teoremi esposti fino ad ora mostrano un fatto importante: “uguaglianza di aree”,
“equidecomponibilità” e “equicompletabilità”, hanno per i poligoni lo stesso significato.
Tutto questo ci fa pensare che possa esistere la possibilità di imporre delle condizioni aggiuntive
sulla distribuzione o sulla posizione delle parti che compongono poligoni equivalenti.
Un notevole risultato fu ottenuto nel 1951 dai matematici svizzeri Hadwiger e Glur. Da questo
punto in poi chiameremo S-equidecomponibili una coppia di poligoni la cui equidecomponibilità
può essere stabilita mediante sole traslazioni e simmetrie centrali.
Teorema di Hadwiger-Glur
Due poligoni equivalenti sono S-equidecomponibili.
La dimostrazione di questo teorema si ottiene ripetendo parola per parola la dimostrazione del
Teorema di Bolyai-Gerwin e sostituendo a “equidecomponibilità” “S-equidecomponibilità”.
Vengono quindi ripresi i lemmi spiegati per dimostrare il teorema precedente e per quelli dove la
dimostrazione non si basava sull’applicazione di sole simmetrie centrali e traslazioni viene
effettuata una nuova dimostrazione.
Lemma 1a
Se A e C sono entrambi S-equidecomponibili con un poligono B, allora anche A e C sono
S-equidecomponibili.
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Dimostriamolo visivamente:
Decomponiamo il poligono B in tanti poligoni più piccoli in modo tale che possano essere
ricomposti (usando traslazioni e simmetrie centrali) dando luogo al poligono A.
Decomponiamo il poligono B in tanti poligoni più piccoli in modo tale che possano essere
ricomposti (usando traslazioni e simmetrie centrali) dando luogo al poligono C.
Scomponendo ulteriormente il poligono 1 della figura A nella coppia di poligoni 1 e 3 si ottiene ciò
che è rappresentato in figura e il lemma è dimostrato.
Lemma 2a
Per ogni triangolo esiste un rettangolo S-equidecomponibile con esso.
La dimostrazione di questo lemma è identica a quello del lemma 2 del teorema di Bolyai-Gerwin in
quanto era già stato dimostrato usando solo simmetria centrali.
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Lemma 3a
Due parallelogrammi equivalenti, le cui basi sono uguali e parallele sono S-equidecomponibili.
Con una traslazione è possibile sovrapporre le basi uguali dopo di che può essere applicata la
dimostrazione del lemma 3 del teorema di Bolyai-Gerwin.
Lemma 4a
Due rettangoli equivalenti sono S-equidecomponibili
Dimostriamolo visivamente:
Siano ABCD e A’B’C’D’ due rettangoli equivalenti
Costruiamo un parallelogramma AB1C1D avente la stessa area del rettangolo ABCD, il lato AD in
comune con esso e il lato AB1 parallelo a uno dei lati del rettangolo A'B'C'D'.
I parallelogrammi ABCD e AB1C1D sono S-equidecomponibili per il lemma 3a.
Costruiamo ora il rettangolo AB1C2D1 avente il lato AB1 in comune con il parallelogramma
AB1C1D e quindi S-equidecomponbile con esso.
Con una traslazione sovrapponiamo il rettangolo AB1C2D1 al rettangolo A'B'C'D' in modo che il
punto A coincida con A' e che il lato AD1 giaccia sul lato A’D’.
Otteniamo così il rettangolo A'B"C"D".
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Per il lemma 1a, il rettangolo A'B"C"D" è S-equidecomponibile con il rettangolo di partenza
ABCD. Rimane da mostrare che A'B"C"D"' è S-equidecomponibile con il rettangolo A'B'C'D'.
Tracciamo a tal fine i segment B"D', B'D" e C"C'.
Tracciamo i segmenti paralleli ad A'D' e distanti A'B' e i segmenti paralleli ad A'B' distanti A'D".
Indichiamo con uguali numeri le parti congruenti
1
2
3
4
5
3
4
5
Come si può notare, ogni rettangolo è formato dalle stesse parti quindi i due rettangoli sono
equidecomponibili e il lemma è dimostrato.
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Lemma 5a
Per ogni poligono esiste un rettangolo S-equidecomponibile con esso.
La dimostrazione del Lemma 5a si ottiene anch’essa ripetendo parola per parola la dimostrazione
del lemma 5 e sostituendo “equidecomponibili” con “S-equidecomponibili”.
3.6 L’invariante additivo e la T-equidecomponibilità
Alcuni lettori potrebbero chiedersi se è possibile decomporre poligoni equivalenti in parti, in modo
da poterli ottenere l’uno dall’altro mediante sole traslazioni, ma ciò non è sempre possibile.
Quando ciò è possibile i due poligono si dicono T-equidecomponibili.
3.6.1 L’invariante additivo
Prendiamo una retta l arbitrariamente orientata e un poligono M delimitato da una frontiera tale che
procedendo lungo il lato stesso e nel verso indicato dalla freccia, i punti alla nostra sinistra
appartengano al poligono e quelli alla nostra destra non gli appartengano.
Indichiamo con Jl(M) la somma algebrica delle lunghezze di tutti i lati del poligono M paralleli alla
retta l, prenderemo come positive le lunghezze dei lati che hanno lo stesso verso di l e come
negative le altre.
3.6.2 Teorema della non T-equidecomponibilità
Siano A e A' due poligoni, e r una retta orientata
Se Jl(A) è diverso da Jl(A'), i due poligoni A e A' non sono T-equidecomponibili.
La dimostrazione si basa su due nuovi lemmi.
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Lemma 10
Siano l una retta orientata ed M e M' due poligono ottenuti l’uno dall’altro per mezzo di una
traslazione; allora Jl(M) è uguale a Jl(M').
Dimostriamolo visivamente:
Prendiamo due poligono T-equidecomponilbili e una retta l orientata e parallela a un lato del primo
poligono.
Calcoliamo il Jl dei due poligoni
Per poligoni sottoposti a traslazione Jl non varia quindi è detto invariante.
Lemma 11
Siano l una retta orientata ed A un poligono decomposto in un numero finito di poligoni M1, M2,…
Mk allora:
Jl(A)= Jl(M1)+ Jl(M2)+…+ Jl(Mk)
Dimostriamolo visivamente:
Prendiamo un poligono A e una retta l orientata
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Scomponiamo il poligono in un certo numero finito di poligoni
Otteniamo così un certo numero di segmenti che chiamiamo anelli.
Dato che la lunghezza di ogni lato è data dalla somma delle lunghezze dei singoli anelli che lo
compongono, per calcolare Jl(A) ci basta prendere la somma algebrica degli anelli paralleli ad l.
Prendiamo ora in considerazione i segmenti interni al poligono e paralleli alla retta l.
Quindi nel calcolo di Jl(M1)+ Jl(M2)+…+ Jl(Mk) è possibile trascurare gli anelli interni.
Gli anelli esterni invece intervengono nel calcolo con lo stesso segno con il quale intervengono nel
calcolo di Jl(A) quindi l’uguaglianza Jl(A)= Jl(M1)+ Jl(M2)+…+ Jl(Mk) è verificata.
Dal lemma 10 abbiamo stabilito che due poligoni T-equidecomponibili hanno lo stesso invariante
mentre dal lemma 11 abbiamo stabilito che
Jl(A)= Jl(M1)+ Jl(M2)+…+ Jl(Mk) e che Jl(A’)= Jl(M’1)+ Jl(M’2)+…+ Jl(M’k).
Dai due lemmi segue che Jl(A)= Jl(A') se A e A' sono T-equidecomponibili e quindi che se Jl(A) è
diverso da Jl(A') allora i due poligoni non lo sono e il teorema è dimostrato.
3.6.3 Teorema della T-equidecomponibilità
Siano A e A' due poligoni equivalenti. Se l’uguaglianza Jl(A)= Jl(A') vale per qualunque retta
orientata l, i due poligoni A e A' sono T-equidecomponibili.
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3.7 I gruppi
Definiamo ora un insieme D contenente tutti i movimenti rigidi di un piano.
Ogni traslazione (così come ogni simmetria centrale) è un elemento dell’insieme D.
L’insieme in questione è un gruppo e pertanto possiede le proprietà tipiche di questa struttura
algebrica.
Proprietà 1
Per ogni coppia d1, d2 di elementi dell’insieme D è definito il prodotto d1 • d 2 ed esso è ancora un
elemento dell’insieme D.
Proprietà 2
Per tre elementi qualunque d1, d2, d3 dell’insieme D, è verificata l’uguaglianza
(d1 • d 2 ) • d3 = d1 • (d 2 • d 3 ) proprietà associativa
Proprietà 3
L’insieme D contiene un elemento e, chiamato elemento identità (o movimento nullo), per il quale
l’uguaglianza
d •e= e•d = d
Proprietà 4
Per ogni elemento dell’insieme D esiste un corrispondente elemento d-1, anch’esso appartenente
all’insieme D, e chiamato inverso dell’elemento d, per il quale vale la seguente uguaglianza
d • d −1 = d −1 • d = e
3.8 Una proprietà del gruppo S
Esaminiamo ora una proprietà del gruppo S delle traslazioni e delle simmetrie centrali.
3.8.1 Teorema
Il gruppo S è il più piccolo gruppo di movimenti che permette di stabilire la equidecomponibilità di
una arbitraria coppia di poligoni equivalenti.
La dimostrazione richiede di enunciare e dimostrare tre lemmi.
Nel seguito indicheremo con G un gruppo di movimenti tale che, ogniqualvolta due poligoni sono
equivalenti, essi sono G-equidecomponibili e dimostreremo che G contiene il gruppo S.
Lemma 12
Se P e Q sono punti arbitrari del piano, il gruppo G contiene un movimento che trasforma P in Q
(questa proprietà di un gruppo di movimenti è chiamata transitività).
Dimostrazione:
Supponiamo invece che per due punti P e Q non esista alcun movimento appartenente a G che
trasformi P in Q e chiamiamo orbita di P l’insieme di tutti i punti del piano in cui P può essere
trasformato mediante movimenti appartenenti a G.
“Poligoni equivalenti ed equidecomponibili una presentazione visuale”
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Presi due poligoni M ed M’ ottenibili l’uno dall’altro mediante qualche movimento del gruppo G,
vale l’uguaglianza: I P (M ) = I P (M ') dove I P (M ) è la somma di tutti gli angoli di M i cui vertici
appartengono all’orbita di P.
Inoltre se il poligono è decomposto in un numero di poligoni più piccoli M1, M2,…, Mk allora
I P ( A) = I P (M 1 ) + I P (M 2 ) + ... + I P (M k ) + n ⋅ π dove n è un numero intero.
Da queste proprietà segue che se A e A’ sono due poligoni G-equidecomponibili, allora
I P ( A) = I P ( A') + n ⋅ π
Siano PQR e PQS due triangoli ottusi e isosceli congruenti, con angolo alla base α, aventi l’angolo
ottuso rispettivamente PQR in P e PQS in Q
Poiché P è nell’orbita di P mentre Q non lo è, risulta I P (PQR ) = π − α oppure I P (PQR ) = π − 2α a
seconda che il punto R appartenga o no all’orbita di P.
Poiché P è nella sua orbita mentre Q non lo è, I P (PQS ) = α oppure I P (PQS ) = 2 ⋅ α a seconda che
il punto S appartenga o no all’orbita di P.
π

L’uguaglianza I P (PQR ) = I P (PQS ) + n ⋅ π non può essere valida per ogni intero n  α <  e i
4

triangoli PQR e PQS non sono G-equidecomponibili.
Questo contraddice però le proprietà del gruppo G (poligoni equivalenti e a maggior ragione
congruenti, devono essere G-equidecomponibili). Il lemma è quindi dimostrato per assurdo.
Lemma 13
Il gruppo G contiene almeno una simmetria centrale.
Dimostriamolo visivamente:
Consideriamo un poligono arbitrario M e sia AB un lato di M e l' una retta intersecante questo lato e
ad esso perpendicolare orientata nel modo indicato
“Poligoni equivalenti ed equidecomponibili una presentazione visuale”
III. L’equidecomponibilità: teoremi e dimostrazioni
39
Scegliamo una retta l. Se il gruppo G contiene almeno una glissosimmetria, prendiamo per l il suo
asse; altrimenti scegliamo l arbitrariamente.
Se giace nell’orbita di l, AB ha segno positivo; se la retta l" (parallela ad l' ma di verso opposto)
giace nell’orbita di l, AB ha segno negativo. Se nessuna delle due condizioni è verificata AB vale
zero.
Chiamiamo J |' (M ) la somma algebrica delle lunghezze dei lati del poligono M, tenendo presenti i
segni indicati. J |' (M ) è additivo e invariante se i poligoni M1 e M2 possono essere ottenuti l’uno
dall’altro mediante qualche movimento appartenente al gruppo G.
Sia g un movimento appartenente G che trasforma il poligono M1 nel poligono M2 e siano A1B1 e
A2B2 lati congruenti.
Supponiamo ora che l1 sia nell’orbita di l, mostreremo che anche l2 è nell’orbita di l prendendo in
rassegna i casi di g.
Se g è una traslazione, la retta l2 è parallela alla retta l1, ha lo stesso verso e di conseguenza è
nell’orbita di l.
Se g è una rotazione, l’angolo è α 2 − α1 , ma poiché G contiene una rotazione di α1 deve contenere
la rotazione di (α 2 − α1 ) + α1 = α 2 .
“Poligoni equivalenti ed equidecomponibili una presentazione visuale”
III. L’equidecomponibilità: teoremi e dimostrazioni
(α1 + α 2 )
con l.
2
ma anche di (α1 + α 2 ) − α1 = α 2 .
Se g è una glissosimmetria, l’asse di simmetria forma un angolo di
G deve contenere una rotazione di (α1 − α 2 )
40
In tutti i casi la retta l2 è nell’orbita di l quindi se il lato A1B1 ha segno positivo o negativo, anche
A2B2 ha lo stesso segno e se il lato A1B1 è nullo, allora anche A2B2 è nullo.
Da ciò deriva che J |' (M 1 ) = J |' (M 2 ) per poligoni G-equidecomponibili.
Prendiamo ora due triangoli rettangoli isosceli congruenti A1B1C1 e A2B2C2 e calcoliamo i segni dei
lati rispetto alla retta l.
La rette perpendicolare al lato A1B1 è parallela alla retta l ma di verso opposto quindi questo lato ha
segno negativo.
La rette perpendicolare al lato A2B2 è parallela alla retta l ed ha uguale verso quindi questo lato ha
segno positivo.
Il lato B2C2 del triangolo A2B2C2 ha valore zero perché la retta l', che è perpendicolare a questo lato,
forma un angolo di 135° con l e una rotazione di ampiezza 135° (dato che quattro applicazioni di
“Poligoni equivalenti ed equidecomponibili una presentazione visuale”
III. L’equidecomponibilità: teoremi e dimostrazioni
41
questo movimento equivalgono a una rotazione di 3π e quindi a una simmetria centrale) non
appartiene al gruppo G.
Analogamente, ad ognuno dei lati A1C1, B1C1 e A2C2 corrisponde zero.
Nella figura viene mostrato il valore assegnato ad ogni lato e l’invariante additivo dei due poligoni.
Dato che i due invarianti risultano essere diversi mentre i triangoli erano congruenti, le proprietà del
gruppo G sono contraddette ed il lemma è dimostrato per assurdo.
Lemma 14
Il gruppo G contiene tutte le simmetrie centrali.
Dimostrazione:
Sia s una simmetria centrale di centro O1 appartenente a G ed O un punto qualsiasi del piano.
Sia g un movimento appartenente a G che trasforma il punto O nel punto O1.
Il movimento gsg-1, che appartiene a G, lascia il punto O nella sua posizione di partenza e
costituisce una simmetria centrale rispetto al punto O.
La simmetria centrale rispetto ad O appartiene anch’essa a G.
In conformità con il lemma 7, il gruppo G contiene anche tutte le traslazioni parallele e quindi il
lemma è dimostrato.
“Poligoni equivalenti ed equidecomponibili una presentazione visuale”