GEOMETRIA
IV B
GEOMETRIA EUCLIDEA
NELLO SPAZIO
GEOMETRIA:
È quella parte della
matematica che si occupa
della forma e dell’estensione
delle figure e delle relazioni e
trasformazioni che le
caratterizzano.
UNITA’ 1
CONCETTI GEOMETRICI
FONDAMENTALI
Nei primi anni di scuola si studia la geometria intuitiva il cui scopo è
quello di intuire le proprietà degli enti geometrici attraverso
l’osservazione e l’esperimento su corpi reali o modelli fisici.
Negli anni successivi si passa allo studio della geometria
razionale, che altro non è che la geometria intuitiva
precisata nei suoi concetti e nei suoi procedimenti
La geometria razionale è impostata come una scienza ipoteticodeduttiva, cioè una scienza la cui costruzione procede nel modo
seguente:
Si introducono alcuni oggetti detti enti primitivi o fondamentali, e si
suppone che essi verifichino alcune proprietà dette assiomi o postulati; a
partire dagli enti fondamentali e dagli assiomi si deducono proposizioni
dette teoremi.
Un teorema è quindi un’affermazione di cui bisogna controllare la verità
mediante un ragionamento che si dice dimostrazione.
La dimostrazione di un teorema è costituita da una sequenza di
affermazioni che, partendo dall’ipotesi, conducono alla tesi.
Concludendo
GEOMETRIA
Può essere
INTUITIVA
Si basa su
RAZIONALE
Parte da
CONCETTI
OSSERVAZIONI
PROVE
TENTATIVI
PRIMITIVI
ASSIOMI
Definiti mediante
 Concetti o enti primitivi
Enti che non definiamo esplicitamente
 Assiomi o postulati
Proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto
non dimostriamo. Proposizioni (affermazioni) che
esprimono proprietà degli enti geometrici talmente evidenti
che non è necessario dimostrarli
ESEMPI:
•Per due punti passa una ed una sola retta
•Per un punto passano infinite rette
•Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano
 Teoremi
I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le
proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema,
mentre quella che segue l’allora è la tesi del teorema. La tesi
deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e
avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate,
vale a dire dei risultati di altri teoremi.
GEOMETRIA
Può essere
INTUITIVA
RAZIONALE
INTUITIVA
Si basa su
OSSERVAZIONI
PROVE
TENTATIVI
GEOMETRIA
RAZIONALE
Parte da
CONCETTI
PRIMITIVI
Definiti mediante
ASSIOMI
CONCETTI
PRIMITIVI
ASSIOMI
Da cui si deducono
Mediante
definizioni
NUOVI
ENTI
Mediante
dimostrazioni
NUOVE PROPRIETA’
(TEOREMI)
DALLA GEOMETRIA INTUITIVA
ALLA GEOMETRIA RAZIONALE
Concetti o enti primitivi
Enti che non definiamo esplicitamente
Assiomi o postulati
Proprietà che “supponiamo” essere vere e
che pertanto non dimostriamo
Gli assiomi scelti soddisfano la condizione di :
COMPATIBILITA’
(non devono contraddirsi l’uno con l’altro)
INDIPENDENZA
(dalle proprietà affermate dell’uno non si
devono poter dedurre le proprietà affermate
dell’altro)
ENTI GEOMETRICI
PRIMITIVI
Gli enti primitivi della Geometria sono:
PUNTI
P
r
RETTE

PIANI
ASSIOMI
- Su di una retta esistono infiniti punti
- Due punti distinti determinano una retta ed una sola
che li contiene
- I punti della retta sono ordinati secondo due versi o
sensi opposti l’uno all’altro. In ciascuno di questi due
versi della retta non vi è né primo né ultimo punto;
inoltre tra due qualsiasi punti distinti di essa esistono
altri punti intermedi
A
B
- Su di un piano esistono infiniti punti ed infinite rette
- La retta passante per due punti distinti di un
piano giace completamente sul piano
-Tre punti distinti che non appartengono ad una
medesima retta determinano un piano ed uno solo
che li contiene
ALCUNE DEFINIZIONI
SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una
retta è divisa da un suo punto.
O
Il punto è detto : origine delle semirette
SEGMENTO: la parte di retta compresa tra
due suoi punti
A
B
I punti vengono detti gli estremi del segmento
SEGMENTI PARTICOLARI
Segmenti CONSECUTIVI: due segmenti che
hanno in comune un estremo e nessun altro
punto
C
A
B
Segmenti ADIACENTI : due segmenti che
oltre ad essere consecutivi appartengono alla
stessa retta
A
B
C
SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui
un piano è diviso da una sua retta, la retta è
detta origine del semipiano

r
ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene
diviso un piano da due semirette aventi l’origine in
comune
Angolo concavo


Angolo convesso
Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti
dei suoi lati
Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i
prolungamenti dei suoi lati
ANGOLI PARTICOLARI
Angolo PIATTO : un lato è il prolungamento
dell’altro ( 180 °)
Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360°)
Angoli CONSECUTIVI: due angoli aventi in
comune il vertice, un lato e nessun altro punto


Angoli ADIACENTI: due angoli che oltre ad
essere consecutivi hanno i due lati non comuni
l’uno il prolungamento dell’altro
Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati
dell’uno sono i prolungamenti dell’altro
CONFRONTO E SOMMA DI SEGMENTI
Dati due segmenti la loro somma è il
segmento che si ottiene disponendoli uno
adiacente all’altro
b
a
a+b
a
a<b
b
Dati due segmenti se, sovrapponendo il primo
segmento al secondo facendo coincidere un
estremo, l’altro estremo è interno al secondo
segmento allora il primo è minore del
secondo; se è esterno è maggiore.
CONFRONTO E SOMMA
DI ANGOLI CONVESSI
Dati due angoli convessi la loro somma è l’angolo che
si ottiene disponendoli uno consecutivo all’altro
Angolo ottuso
Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di
un angolo retto
Angolo acuto
Un angolo si dice ACUTO se è minore di un
angolo retto
Due angoli la cui somma è un angolo piatto si
dicono SUPPLEMENTARI
Due angoli la cui somma è un angolo retto si
dicono COMPLEMENTARI
Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono
ESPLEMENTARI




POLIGONALE
• Una figura formata da più segmenti
disposti consecutivamente di definisce
poligonale
Poligonale
aperta
Poligonale
chiusa
Poligonale
intrecciata
POLIGONO