Definizioni
Si dice intorno di un punto P di ascissa x0
ogni intervallo aperto
(a,b) contenente P all’interno.
A
o
a
.
P
x0
B
o
b
Si dice intorno destro di un punto P di
ascissa x0 ogni intervallo aperto a destra
(x0,b) avente l’estremo sinistro in x0.
.
P
x0
B
o
b
Si dice intorno sinistro di un punto P di
ascissa x0 ogni intervallo aperto a sinistra
(a,x0) avente l’estremo destro in x0.
A
o
a
.
P
x0
Sia E un sottoinsieme di R
Un punto x0 si dice interno ad E se esiste un
intorno di x0 i cui punti appartengono tutti
ad E.
Un punto x0 si dice esterno ad E se non
appartiene ad E ed esiste un intorno di x0 i
cui punti non appartengono ad E.
Un punto x0 si dice di frontiera per E se
non è né interno né esterno ad E.
X0 si dice punto di accumulazione di E,
quando in ogni suo intorno cadono
infiniti punti di E.
X0 si dice punto isolato di E, se appartiene ad
E ed esiste un suo intorno che non contiene
alcun punto di E.
Si dice che la funzione f(x) tende al limite l
per x tendente a x0 se, prefissato un numero
positivo ed arbitrariamente piccolo

è possibile determinare, in corrispondenza ad esso,
un intorno (a,b) di x0 contenuto nel dominio della
funzione, tale che per ogni x di quest’intorno,
escluso eventualmente x0 , risulti:
f ( x) l  
cioè
l-

< f(x) < l +

in simboli
lim
x

f(x) = l
x0
y
l+ 
l
l- 
Interpretazione
grafica
.
.
.
.
.
b
a
x
O
0
x

Si dice che la funzione f(x) tende al limite +
per x tendente a x0 se, prefissato un numero
positivo ed arbitrariamente grande
M
è possibile determinare, in corrispondenza ad esso,
un intorno (a,b) di x0 contenuto nel dominio della
funzione, tale che per ogni x di quest’intorno,
escluso eventualmente x0 , risulti:
f(x) > M
cioè
lim f(x) = + 
x
 x0
Interpretazione
grafica
y
.
M
O
y=M
.
a
x0
b
x

Si dice che la funzione f(x) tende al limite per x tendente a x0 se, prefissato un numero
positivo ed arbitrariamente grande
M
è possibile determinare, in corrispondenza ad esso,
un intorno (a,b) di x0 contenuto nel dominio della
funzione, tale che per ogni x di quest’intorno,
escluso eventualmente x0 , risulti:
f(x) < - M
Interpretazione
grafica
y
O
a
.
-M
x0
.
x
b
y= -M
Si dice che la funzione f(x) tende al limite l per x
tendente a + 
se prefissato ad arbitrio un numero positivo piccolo

è possibile determinare, in corrispondenza ad esso
un intorno di +
contenuto nel dominio della funzione, tale che
per ogni x di questo intorno risulti

f ( x) l  
Interpretazione
grafica
y
.
l+
l
l-
.
y=l
.
.
a
O
x
Si dice che la funzione f(x) tende al limite l per x
tendente a - 
se prefissato ad arbitrio un numero positivo piccolo

è possibile determinare, in corrispondenza ad esso
un intorno di contenuto nel dominio della funzione, tale che
per ogni x di questo intorno risulti

f ( x) l  
Interpretazione
grafica
y
.
y=l

l+
. 
l
l-
x
a
O
Si dice che la funzione f(x) tende a +
per x tendente a +


se prefissato ad arbitrio un numero positivo grande
M
è possibile determinare, in corrispondenza ad esso
un intorno di +

contenuto nel dominio della funzione, tale che
per ogni x di questo intorno risulti
f(x) > M
y
M
O
.
y=M
a
x
Si dice che la funzione f(x) tende a per x tendente a +


se prefissato ad arbitrio un numero positivo grande
M
è possibile determinare, in corrispondenza ad esso
un intorno di +

contenuto nel dominio della funzione, tale che
per ogni x di questo intorno risulti
f(x) < - M
y
a
O
-M
.
x
Si dice che la funzione f(x) tende a +
per x tendente a -


se prefissato ad arbitrio un numero positivo grande
M
è possibile determinare, in corrispondenza ad esso
un intorno di -

contenuto nel dominio della funzione, tale che
per ogni x di questo intorno risulti
f(x) > M
y
.
M
x
a
O
Si dice che la funzione f(x) tende a per x tendente a -


se prefissato ad arbitrio un numero positivo grande
M
è possibile determinare, in corrispondenza ad esso
un intorno di -

contenuto nel dominio della funzione, tale che
per ogni x di questo intorno risulti
f(x) < - M
y
a
x
O
. -M
Limite destro e limite sinistro
di una funzione
Esercizi