HALLIDAY - capitolo 19 problema 9
L’aria che inizialmente occupa un volume di 0,14m3 a una
pressione relativa di 1,030×105Pa viene espansa isotermicamente
alla pressione atmosferica di 101,3kPa e poi raffreddata a
pressione costante finchè raggiunge il suo volume iniziale.
Calcolare il lavoro svolto dall’aria. La pressione relativa è la
differenza di pressione tra la pressione reale e quella atmosferica.
p
pA=2,043×105Pa
A
VA=0,14m3
pB=1,013×105Pa
TB=TA
C
pC=pB=1,013×105Pa
B
V
VC=VA
Nella trasformazione AB si ha:
B
LAB  
A
 VB 
nRTA

pdV  
dV nRTA ln
V
 VA 
A
B
Si hanno anche le relazioni segenti:
pAVA  nRTA
VB
pA
p AV A  pBVB 

VA
pB
LAB
 pA 

 p AV A ln
 pB 
Nella trasformazione BC si ha invece:
LBC  pB VC  VB    pB VB  VA    p AVA  pBVA
Sommando i due contributi:
L  LAB  LBC
 pA 
  p AVA  pBVA  5644J
 p AVA ln
 pB 
HALLIDAY - capitolo 19 problema 10
Una bolla d’aria con un volume di 20cm3 si trova sul fondo di un
lago profondo 40m dove la temperatura è 4,0°C. La bolla sale in
superficie, dove la temperatura è di 20°C. Supponete che la
temperatura della bolla sia la stessa dell’acqua circostante e
trovate il suo volume appena prima che raggiunga la superficie.
Alla profondità h=40m la pressione
dell’aria nella bolla è pari alla pressione
esterna esercitata dall’acqua sulla bolla:
h
p1  p0  ρgh  4,93  10 5 Pa
dove p0=1,01·105 Pa è la pressione
atmosferica e ρ=1000kg/m3 è la densità
dell’acqua
Applicando l’equazione di stato dei gas perfetti quando la bolla
è a profondità h, dove p=p1, V=V1=20·10-6m3 e T=T1=277K,
possiamo calcolare il numero di moli di aria:
p1V1
p1V1  nRT1  n 
 4,28  10  3 moli
RT1
Sulla superficie del lago la pressione dell’aria sarà p2=p0
(pressione atmosferica) . Applicando l’equazione di stato dei
gas perfetti quando la bolla è in superficie, alla pressione p2 e
alla temperatura T2=293K possiamo calcolare il volume finale
V2 della bolla:
nRT2
p2V2  nRT2  V2 
 1,03  10  4 m 3  103cm 3
p2
HALLIDAY - capitolo 19 problema 42
Un litro di gas con γ=1,3 è a 273K di temperatura e a 1,0bar di
pressione. Esso è improvvisamente compresso adiabaticamente
a metà del suo volume originario. Trovare la sua pressione e la
sua temperatura finali. Il gas è ora raffreddato e riportato a 273K a
pressione costante. Qual è il suo volume finale?
p
pB
C
VA=10-3m3
B
pA=1,0×105Pa
TA=273K
VB=VA/2
pB= ?
pA
A
pC=pB TC=TA
V
VC
VB
VA
TB=?
VC=?
Trasformazione adiabatica AB:
 VA
p AV  pBV  pB  p A 
 VB
γ
A
TAV
γ -1
A
γ
B
 TBV
γ -1
B
γ

  2,5  10 5 Pa

 VA
 TB  TA 
 VB



γ -1
 336K
Trasformazione isobara BC (VB=0,5·10-3m3):
TC
VB VC

 VC  VB
 4,1  10  4 m 3  0,41 l
TB TC
TB
HALLIDAY - capitolo 19 problema 45
Si tratta 1,00mol di un gas monoatomico ideale facendogli
percorrere il ciclo in figura. La trasformazione 12 si svolge a
volume costante, la trasformazione 23 è adiabatica e la
trasformazione 31 si svolge a pressione costante. Per le tre
trasformazioni 12, 23 e 31 e per l’intero ciclo calcolate: il
calore Q scambiato, la variazione di energia interna ΔEint, il
lavoro svolto L. La pressione iniziale nel punto 1 è 1,01bar.
Trovate la pressione e il volume nei punti 2 e 3.
Calcoliamo le coordinate termodinamiche dei 3 punti del ciclo.
Nel punto 1 sappiamo che p1=1,01×105Pa e T1=300K:
nRT1
p1V1  nRT1  V1 
 2,47  10  2 m 3
p1
Nel punto 2 sarà V2=V1 e sappiamo che T2=600K:
p1 p2
T2

 p2  p1
 2,02  10 5 Pa
T1 T2
T1
Nel punto 3 sappiamo che T3=455K e p3=p1:
T3
V1 V3

 V3  V1
 3,75  10 - 2 m 3
T1 T3
T1
Consideriamo la trasformazione 12:
3
Q12  nCV T2  T1   nRT2  T1   3740J
2
L12  0
ΔE int,12  Q12  L12  3740J
Consideriamo ora la trasformazione 23:
Q23  0
ΔE int,23
3
 nCV T3  T2   nRT3  T2   -1810J
2
Q23  L23  ΔE int,23  L23   ΔE int,23  1810J
Consideriamo infine la trasformazione 31:
5
Q31  nC P T1  T3   nRT1  T3   3220J
2
L31  p1 V1  V3   1290J
ΔE int,31  Q31  L31  1930J
Consideriamo ora l’intero ciclo:
Qtot  Q12  Q23  Q31  520J
Ltot  L12  L23  L31  520J
ΔE int,tot  ΔE int,12  ΔE int,23  ΔE int,31  0
In un ciclo è sempre ΔEint=0 e Q=L
HALLIDAY - capitolo 19 problema 47
3,00 moli di gas ideale si trovano inizialmente allo stato 1 con
pressione p1=20,0bar e volume V1=1500cm3. Passano allo stato
2 con pressione p2=1,50p1 e volume V2=2,00V1. Poi allo stato 3
con pressione p3=2,00p1 e volume V3=0,500V1. Calcolare la
temperatura del gas negli stati 1 e 2. Qual è la variazione
complessiva di energia interna dallo stato 1 allo stato 3?
p
p3
p2
p1
V
V3
V1
V2
Nello stato 1 si ha:
p1V1
p1V1  nRT1  T1 
 120K
nR
Nello stato 2 si ha:
p2V2
p2V2  nRT2  T2 
 361K
nR
Nello stato 3, infine, si ha:
p3V3
p3V3  nRT3  T3 
 120K  T1
nR
Poichè T3=T1 l’energia interna dello stato 3 è uguale all’energia
interna dello stato 1. Pertanto ΔEint,13=0
HALLIDAY - capitolo 20 problema 25
A 1,00mol di un gas ideale monoatomico viene fatto percorrere il
ciclo mostrato in figura. Il processo bc è un’espansione adiabatica
(pb=10,1bar, Vb=1,00×10-3m3). Si calcoli per ogni ciclo il calore
fornito al gas, il calore restituito dal gas, il lavoro totale compiuto
dal gas e il rendimento.
Nel punto b si ha pb=10,1×105Pa e Vb=1,00×10-3m3:
pbVb
pbVb  nRTb  Tb 
 122K
nR
Nel punto c sappiamo che Vc=8,00Vb=8,00m3. Dall’equazione
della trasformazione adiabatica bc si ha:
γ -1
b
TbV
 TcV
γ -1
c
 Vc 
 Tc  Tb  
 Vb 
γ 1
 30,5K
Applicando poi l’equazione di stato dei gas perfetti nel punto c:
nRTc
pcVc  nRTc  pc 
 3,17  10 4 Pa
Vc
Nel punto a è pa=pc=3,17×105Pa e Va=Vb=10-3m3. Si ha:
paVa
paVa  nRTa  Ta 
 3,81K
nR
Calcoliamo ora i calori scambiati dal gas nel ciclo:
3
Qab  nCV Tb  Ta   nRTb  Ta   1470J
2
Qbc  0
5
Qca  nC P Ta  Tc   nRTa  Tc   554J
2
In un ciclo ΔEint=0 e quindi Q=L:
L  Qab  Qbc  Qca  916J
Il rendimento è dato da:
L
L
η

 0,623
Qass Qab
HALLIDAY - capitolo 20 problema 26
1,00mol di un gas ideale
monoatomico viene utilizzata come
fluido di lavoro in una macchina
termica che funziona lungo il ciclo
mostrato in figura. Supponete che
sia p=2p0, V=2V0, p0=1,01×105Pa
e V0=0,0225m3. Calcolate il lavoro
compiuto in ogni ciclo, il calore
fornito ad ogni ciclo durante la
trasformazione abc e il rendimento
del ciclo. Qual è il rendimento di
una macchina termica di Carnot
funzionante tra la temperatura più
alta e quella più bassa del ciclo?
Com’è quest’ultimo rispetto a
quello del ciclo in esame?
Nel punto a: pa=p0=1,01×105Pa e Va=V0=0,0225m3
paVa
paVa  nRTa  Ta 
 273K
nR
Nel punto b: pb=p=2p0=2,02×105Pa e Vb=Va=0,0225m3
pbVb
pbVb  nRTb  Tb 
 547K
nR
Nel punto c: pc=pb=2,02×105Pa e Vc=2V0=0,0450m3
pcVc
pcVc  nRTc  Tc 
 1090K
nR
Nel punto d: pd=pa=1,01×105Pa e Vd=Vc=0,0450m3
pdVd
pdVd  nRTd  Td 
 547K
nR
Consideriamo i calori scambiati dal gas nel ciclo:
3
Qab  nCV Tb  Ta   nRTb  Ta   3420J
2
5
Qbc  nC P Tc  Tb   nRTc  Tb   11300J
2
3
Qcd  nCV Td  Tc   nRTd  Tc   -6770J
2
5
Qda  nC P Ta  Td   nRTa  Td   -5690J
2
Il lavoro si può calcolare sommando i calori scambiati:
L  Qab  Qbc  Qcd  Qda  2260J
Il lavoro si può anche calcolare come area del ciclo:
differenza tra i risultati, al livello della
L   pb  pa Vc  Vb   2270J (la
terza cifra significativa, è dovuta al calcolo)
Calore assorbito dalla macchina:
Qass  Qab  Qbc  14700J
Rendimento:
L
η
 0,154
Qass
Le temperature estreme del ciclo sono Ta=273K e Tc=1090K.
Il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra Ta e Tc è:
Ta
ηC  1   0,750
Tc
Si noti che ηC>η
HALLIDAY - capitolo 20 problema 28
Una mole di un gas ideale viene utilizzata come sostanza che
compie lavoro in una macchina termica che funziona lungo il
ciclo mostrato in figura. BC e DA sono processi adiabatici
reversibili. Il gas è monoatomico, biatomico o poliatomico? Qual
è il rendimento della macchina termica?
Per stabilire la natura del gas occorre determinare γ da uno dei
processi adiabatici BC o DA. Consideriamo il processo BC:
 VC
pBV  pCV  
 VB
γ
B
 16V0

 2V0
γ
C
γ

pB
 

pC

γ

p0
5 Il gas è di tipo
γ
 
 8  32  γ  log8 32 
p0 32
3 monoatomico

Poichè nel ciclo Q=L, ed essendo QBC=QDA=0, per calcolare il
rendimento occorre calcolare soltanto QAB e QCD
Q AB
5
 nC P TB  TA   nRTB  TA 
2
QCD
5
 nC P TD  TC   nRTD  TC 
2
Per determinare QAB e QCD occorre conoscere le temperature
applicando l’equazione di stato nei punti A, B, C e D:
(A): p0V0  nRTA  TA 
p0V0
nR
2p0V0
p
2V

nRT

T

(B): 0 0
B
B
nR
Q AB
5
5
 nRTB  TA   p0V0
2
2
QCD
5
5
 nRTD  TC    p0V0
2
8
p0
p0V0
16V0  nRTC  TC 
(C):
32
2nR
p0
p0V0
8V0  nRTD  TD 
(D):
32
4nR
L  Q AB  QCD
15

p0V0
8
L
η
 0,75
Q AB