Dinamica dei moti rotatori
Nel seguito discuteremo la dinamica della rotazione di un corpo rigido intorno
ad un asse fisso. Ricordiamo la definizione di corpo rigido:
Corpo rigido: insieme di particelle rigidamente connesse,
cioè tali che le mutue distanze restino fisse.
Se un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso, ogni punto del corpo
descrive una traiettoria circolare ed i centri di tutte queste circonferenze stanno
su una retta chiamata asse di rotazione (asse z in figura) .
Abbiamo precedentemente discusso la cinematica del punto materiale per
rotazioni attorno ad un asse fisso, trovando che tali moti sono descritti da
equazioni cinematiche formalmente simili a quelle per i moti traslatori.
Come mostreremo nelle prossime trasparenze, la dinamica rotazionale e’
anch’essa descritta da equazioni formalmente simili a quelle da noi
precedentemente discusse per la dinamica dei moti traslatori.
Come passo preliminare introduciamo due nuove grandezze fisiche che
saranno molto utili:
il momento di una forza ed il momento angolare di un punto materiale.
Momento di una forza
τ=rxF
Dato un punto di riferimento O (polo) ed
una forza F applicata ad un punto
materiale P, si definisce momento
meccanico della forza F rispetto al polo
O il vettore
τ=rxF
F
P
dove r e’ il vettore posizione del punto P
rispetto al polo O.
Fissati quindi F ed il punto P, il
momento di una forza dipendera’ dalla
scelta del polo O.
Momento angolare di un punto materiale
J= r x q
Dato un punto di riferimento O (polo)
ed una particella che si muove con
quantita’ di moto q, si definisce
momento angolare della particella
rispetto al polo O il vettore
J= r x q
q
dove r e’ il vettore posizione della
particella rispetto al polo O.
Fissati quindi q e la posizione della
particella, il momento angolare di una
particella dipendera’ dalla scelta del
polo O.
Momento angolare di un punto materiale
e momento meccanico
Dato un punto materiale il momento angolare rispetto ad un polo O di un
sistema di riferimento inerziale sara’:
J= r x q
dove r e’ il vettore posizione della particella rispetto al polo O.
(
)
dq
dJ
d
dr
=
r×q =
×q+r×
dt
dt
dt
dt
dq
dq
dJ
= v×q + r×
= r×
= r×F = τ
dt
dt
dt
dJ
τ =
dt
La derivata rispetto al tempo del momento angolare di un punto materiale
è uguale al momento delle forze applicate al punto materiale.
Questo risultato è l’analogo rotazionale dell’equazione:
F =
dq
dt
Condizioni di conservazione del momento angolare
per un sistema di particelle
Dato un sistema costituito da n particelle, il momento angolare totale
del sistema di particelle ripetto ad un polo O fisso di un sistema di
riferimento inerziale sara’:
n
n
i =1
i =1
J Tot = ∑ ji =∑ (r i x q i )
Ci proponiamo ora di vedere sotto quali condizioni il momento angolare totale
del sistema di particelle e’ conservato. Abbiamo che:
tot
dJ
dt
n
d
=
dt
=
∑
i =1
n
(r ix q i ) =
n
∑
i =1
(v ix q i ) + (r ix
∑
i =1
d
(r ix q i ) =
dt
d
qi)
dt
Ma poiche’ i vettori vi e qi sono paralleli → vixqi =
0
d/dt(qi) = Fi = Fiext+Fiint
per la II legge di Newton →
(dove Fi, risultante delle forze agenti sulla particella, e’ stata scomposta in
Fiint, risultante delle forze interne al sistema agenti sulla particella, ed Fiext,
risultante delle forze esterne al sistema agenti sulla particella .)
Quindi:
tot
dJ
dt
=
n
∑
(r i x Fi ) =
i =1
n
∑
(r ix F
int
i
)+
i =1
=
n
∑
i =1
τ
int
i
+
n
∑
i =1
n
∑
(r ix Fi ) =
+τ
ext
ext
i =1
ext
τi
= τ
int
Qui:
risultante dei momenti associati alle forze esterne agenti sul sistema e
int
τ e’ la risultante dei momenti associati alle forze interne agenti sul sistema.
τext e’ la
Condizioni di conservazione del momento angolare
per un sistema di particelle
Forma forte della III legge di Newton: le forze agenti tra due particelle qualsiasi sono non
solo uguali e opposte in verso, ma sono dirette lungo la congiungente le due particelle
(stessa retta di azione).
Come conseguenza della III legge di Newton nella forma forte, τint , risultante
dei momenti associati alle forze interne agenti sul sistema e’ zero.
Consideriamo per esempio un sistema di due particelle
F12=-F21
τint= r1xF21 + r2xF12 =
=r1xF21- r2xF21=
=(r1-r2) xF21=0
Dove l’ultimo prodotto vettoriale e’
nullo poiche’ i vettori (r1-r2), F21 e F12
y
F21
r1
r1 -r2
r2
F12
O
x
agiscono sulla stessa retta.
Abbiamo quindi dimostrato che:
condizione necessaria e sufficiente affinche’ il momento angolare totale di
un sistema di particelle si conservi e’ che la risultante dei momenti associati
alle forze esterne agenti sul sistema sia nulla.
Equazioni cardinali per la dinamica
dei sistemi di particelle
Ricordando i risultati precedentemente ottenuti per la variazione con il tempo
della quantita’ di moto totale di un sistema di particelle, abbiamo le seguenti
equazioni cardinali per la meccanica dei sistemi di particelle:
d Tot
F = Q = M a cm
dt
d tot
ext
τ = J
dt
ext
Energia cinetica di un corpo rigido
ruotante attorno ad un asse fisso
Desideriamo ora calcolare la energia cinetica K di un corpo rigido in
rotazione con velocita’ angolare ω attorno ad un asse fisso. Facciamo
inizialmente l’ipotesi che il corpo rigido sia costituito da un insieme di
particelle rigidamente fissate una all’altra. Esse quindi avranno tutte la stessa
velocita’ angolare ω.
La energia cinetica della singola particella sara’:
Ki = 1/2 mi (vi)2 dove vi= ω ri
Essendo ri la distanza del punto considerato dall’asse di rotazione.
Pertanto
n
1 2 n 1
1
1 2

2
2 2
K = ∑ mi vi = ∑ mi (riω) =  ∑mi ri ω = Iω
2  i=1
2
i =1 2
i =1 2

La quantita’ I= Σmiri2 prende il nome di momento di inerzia
n
Essa e’ caratteristica del corpo e dell’asse di rotazione considerati .
La unita’ di misura del momento di inerzia nel S.I. sara’ quindi il kg m2 .
La energia cinetica per la rotazione di un corpo rigido e’ quindi espressa da una
espressione formalmente simile a quella trovata per il moto traslatorio.
K=1/2 I ω2
⇔
K=1/2 m v2
Calcolo del momento di inerzia per
un corpo rigido continuo
Se il corpo rigido e’ un corpo continuo, esso puo’ considerarsi suddiviso in
infiniti elementi di massa infinitesimi dm ed il suo momento di inerzia si
calcola sostituendo la sommatoria con un integrale esteso all’intero
volume del corpo.
I = ∫ r 2 dm
Nota: piu’ la distribuzione di massa di un corpo e’ lontana dall’asse di
rotazione, piu’ grande e’ il momento di inerzia.
Teorema di Huygens-Steiner
E’ possibile dimostrare il seguente teorema:
Il momento di inerzia I di un corpo rigido rispetto ad un asse qualsiasi z e’
uguale al momento di inerzia Icm rispetto ad un asse z’ parallelo al primo e
passante per il centro di massa più il prodotto della massa del corpo M per il
quadrato della distanza R fra i due assi.
R
I=Icm+MR2
Tale teorema prende il nome di teorema di Huygens-Steiner
Esempio 1
Il momento di inerzia di una sbarra sottile ed omogenea, di massa M e
lunghezza L, rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa e’
ICM= 1/12 M L2 .
Vogliamo calcolare il momento di inerzia I rispetto
ad un asse passante per l’estremo della sbarretta .
I=ICM+MR2= 1/12 M L2 +M(L/2)2=1/3 M L2
Momento angolare di un corpo rigido
ruotante attorno ad un asse fisso
Desideriamo ora calcolare la componente del momento angolare J di un corpo
rigido rispetto ad un asse supponendo che il corpo sia in rotazione con velocita’
angolare ω attorno a questo asse fisso. Il corpo rigido è costituito da un
insieme di particelle rigidamente fissate una all’altra. Esse quindi avranno tutte
la stessa velocita’ angolare ω.
Nota: Il momento angolare J di un
corpo rigido che ruota rispetto
ad un asse non è in generale
parallelo all’asse di rotazione
ji
Assumiamo l’asse z come asse di rotazione: il momento angolare della singola
particella rispetto al polo O (fisso) posizionato sull’asse di rotazione z sara’:
ji =ri x mivi
ri forma un agolo θi con l’asse z, ji è ortogonale al piano individuato da ri e vi e
forma un angolo 90°-θi con l’asse z. Il modulo di ji è |ji|=mi|r|i |vi|= mi|r|i Ri|ω|
Calcoliamo la proiezione del momento angolare ji sull’asse di rotazione z:
π

jiz = j i cos −θi  = j i sin(θi ) = mi r i sin(θi )Ri ω = mi Ri2 ω
2

jz = ∑i jiz = ∑i mi Ri2 ω = IZ ω
La componente del momento angolare di un corpo rigido rispetto all’asse di
rotazione ha una espressione formalmente simile a quella della quantita’ di
moto
Jz= Iz |ω|
⇔
Q= m V
Momento delle forze
ed accelerazione angolare
di un corpo rigido ruotante attorno ad un asse fisso
Sappiamo che se su un corpo agisce una forza risultante F esso, in base alla II
legge di Newton, si muovera’ con una accelerazione a tale che
d
F = Q = Ma
dt
Ci chiediamo se esista una relazione formalmente simile, che leghi il momento
risultante delle forze rispetto all’asse di rotazione τ e la accelerazione
angolare α, per un corpo rigido ruotante attorno ad un asse fisso.
Ricordiamo che in generale per un sistema di particelle:
τ
ext
d Tot
= J
dt
Per un corpo rigido ruotante attorno ad un asse fisso e nel caso in cui J sia
parallelo a ω (l’asse di rotazione è un asse di simmetria del corpo rigido
o più in generale è un asse principale di inerzia)
J = Jz = Iz ω
J = Iz ω
Quindi:
τ
ext
d
d
= J = Iz ω = Iz α
dt
dt
La accelerazione angolare α per la rotazione di un corpo rigido (J parallelo a
ω) e’ quindi legata al momento delle forze risultanti da una espressione
formalmente simile alla II legge di Newton.
(Equazione del moto di rotazione)
Altre relazioni utili per lo studio
del moto rotatorio di un corpo rigido
attorno ad un asse fisso
Abbiamo fatto vedere che, per i moti rotatori attorno ad un asse fisso,
valgono delle relazioni formalmente simili a quelle dei moti traslatori.
Altre importanti relazioni, che non dimostreremo, sono le seguenti:
Se un corpo rigido compie uno spostamento angolare infinitesimo dθ sotto
l’azione di un momento τ il lavoro infinitesimo compiuto e’
dL = τ • dθ
Quindi per una rotazione finita si ha
θf
L = ∫ τ ⋅ dθ
θi
mentre la potenza istantanea sarà:
dL
P=
= τ ⋅ω
dt
Se un corpo ruota attorno ad un asse sotto l’azione di un momento risultante τ
per il teorema dell’energia cinetica si ha:
θf
1 2 1 2
L = ∫ τ ⋅ dθ = Iω f − Iωi
2
2
θi
Esempio 1
Una carrucola, costituita da un disco omogeneo di massa M e raggio R, puo’
ruotare senza attriti attorno ad un asse orizzontale. Un corpo di massa m e’
connesso ad una fune inestensibile di massa trascurabile avvolta attorno alla
carrucola. Se si lascia andare il corpo, esso scende sotto l’azione della sua
forza peso e la carrucola si mette in rotazione. Calcolare l’accelerazione del
corpo, l’accelerazione angolare della carrucola e la tensione della fune.
x
T’
y
La carrucola e’ messa in rotazione grazie al momento
τ associato alla forza T che la fune esercita sulla carrucola. Le
equazioni che governano il moto del corpo e della carrucola sono :
ΣFi = m a ⇒ T’+ mg = m a
Στi = I α ⇒
RT i = I α i
Inoltre, poiche’ la fune e’ di massa trascurabile, si ha:
|T’|=|T|=T
Proiettando la prima equazione sull’asse y e la seconda sull’asse x abbiamo:
1) -T+mg=may e
2) RT= I α
x
T’
y
1) -T+mg = may e 2) RT= I α
Inoltre, poiche’ la fune e’ inestensibile si ha:
3) ay = α R
Quindi dalla equazione 2)
4)
T = I α /R = (I /R) ( ay/R) =(I ay /R2)
Sostituendo nella equazione 1) otteniamo la accelerazione ay
-(I ay /R2) +mg=may ⇒ ay(m+ I /R2)=mg ⇒
ay=mg/ (m+ I /R2) ⇒ ay=g/ (1+ I /mR2)
Dalla equazione 4)
T = (I ay /R2) = (I/R2) g/ (1+ I /mR2) ⇒ T=Ig/ (R2+ I /m)
Dalla equazione 3)
α= ay /R ⇒ α= g/ (R+ I /mR)
Conservazione del momento angolare:
alcuni esempi semiqualitativi
y
J
J
Un uomo, seduto su uno sgabello che puo’ girare attorno ad un asse verticale,
tiene nelle mani due pesi. Inizialmente l’uomo ha le braccia distese, e lo
sgabello viene posto in rotazione con velocita’ angolare ωi come schematizzato
in figura. Il vettore momento angolare J ha direzione verticale ed e’ rivolto
verso l’alto.
Improvvisamente l’uomo stringe le braccia. In tal modo la distribuzione delle
masse del sistema sgabello piu’ uomo si avvicina all’asse di rotazione ed il
momento di inerzia del sistema diminuisce. Poiche’ sul sistema uomo piu
sgabello non agiscono momenti associati alle forze esterne, il momento
angolare totale del sistema J = I ω deve conservarsi. Dovendo conservarsi il
momento angolare, e diminuendo il momento di inerzia, si osservera’ un
aumento della velocita’ angolare del sistema uomo piu’ sgabello.
La orientazione di un satellite, o di una sonda
spaziale, puo’ essere modificata utilizzando dei
volani come indicato in modo schematico in
figura. Sul sistema satellite piu’ volano non
agiscono momenti di forze esterne, quindi il
momento angolare totale del sistema deve
rimanere uguale al valore iniziale, cioe’ zero.
Se si mette in rotazione il volano, il satellite
ruotera’ in senso opposto per conservare il
momento angolare totale del sistema. Se si
arresta il volano anche la rotazione del satellite si
arresta, ma nel frattempo la sua orientazione e’
cambiata.
Una tuffatrice esegue un salto mortale e mezzo in
avanti. Durante il tuffo il suo centro di massa
segue, come sappiamo, una traiettoria parabolica.
La tuffatrice lascia il trampolino con un
momento angolare J diverso da zero rispetto ad
un asse passante per il suo centro di massa (J ha
direzione perpendicolare alla figura e verso
entrante nella pagina). Durante il tuffo non
agiscono momenti di forze esterne, quindi il
momento angolare deve conservarsi. Tirando a se
le braccia e le gambe la tuffatrice diminuisce il
suo momento di inerzia rispetto all’asse di
rotazione, provocando un aumento della sua
velocita’ angolare per conservare il momento
angolare. Al termine del tuffo, la tuffatrice si
distende aumentando il suo momento di inerzia
per far diminuire al massimo la sua
velocita’ angolare.
Moti rototraslatori
Il moto di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse in movimento puo’, in
generale, essere molto complesso. Ci limiteremo qui a discutere il moto di
rotolamento su una superficie piana di un corpo altamente simmetrico rispetto
al suo asse di rotazione come ad esempio un cilindro, una sfera, un cerchio.
Consideriamo un cerchio di raggio R, come ad esempio una ruota di bicicletta,
che rotoli senza strisciare su un piano. Quando il cerchio ruota di un angolo θ
il suo centro di massa, che percorre una linea retta, si e’ spostato di un tratto
s=R θ.
Pertanto, i moduli della velocita’ Vcm e della accelerazione acm del centro di
massa saranno legate ai moduli della velocita’ angolare ω e della
accelerazione angolare α della ruota.
Vcm = ds/dt = R dθ/dt = R ω
acm = dVcm /dt = R d ω /dt = R α
Velocita’ nei moti rototraslatori
Il moto di rotolamento e’ la combinazione di un moto rotazione della ruota
attorno al suo asse con un moto di traslazione del centro di massa.
Come mostrato in figura dalla combinazione di questi due moti risulta che, ad
un istante t generico, il punto P di contatto della ruota col terreno ha velocita’
nulla mentre il punto piu’ alto della ruota ha velocita’ 2Vcm.
Energia cinetica nei moti rototraslatori
Abbiamo visto che il moto di rototraslazione della ruota puo’ essere
considerato come la combinazione di un moto di rotazione attorno al centro di
massa piu’ un moto di pura traslazione del centro si massa.
E’ possibile mostrare che la energia cinetica K di un corpo rotolante
di massa M e’ data dalla somma di due termini:
La energia cinetica associata al moto del centro di massa Kcm=1/2 M (Vcm)2
e la energia cinetica rotazionale attorno al centro di massa Krot= ½ I ω2
K = 1/2 M (Vcm)2 + 1/2 Iω2
dove ricordiamo che Vcm
=Rω
Moti rototraslatori, moto di pura rotazione
E’ possibile trattare il caso di un corpo che rotola come se il suo moto
fosse di pura rotazione.
Possiamo considerare l’asse di
istantanea rotazione passante
per il punto di contatto P.
In un certo istante il corpo
ruota intorno ad un asse fisso
passante per P con una certa
velocità angolare ω.
L’energia cinetica rotazionale
potrà quindi scriversi come:
Asse di istantanea rotazione
1
K = I Pω 2
2
Dove Ip è il momento di inerzia rispetto all’asse passante per P. Possiamo
2
utilizzare il teorema di Huygens-Steiner e scrivere: I P = I CM + MR
K=
1
1
I CM ω 2 + MR 2ω 2
2
2
Rω=VCM rappresenta la velocità con cui il CM si muove rispetto al punto P
Possiamo quindi scrivere l’energia cinetica K:
K=
1
1
I CM ω 2 + MVCM 2
2
2
Esempio 3
Una sfera parte dalla sommita’ di un piano inclinato ad un quota h e rotola
senza strisciare fino alla base del piano.
Calcolare la velocita’ di traslazione Vcm della sfera
alla base del piano inclinato
Sulla sfera agiscono le seguenti forze:
la forza peso che e’ conservativa, la forza normale n che e’ istante per istante
perpendicolare allo spostamento del centro di massa quindi non compie lavoro,
e la forza di attrito f.
Tale forza di attrito f genera il momento rispetto all’asse di rotazione che fa
aumentare la velocita’ angolare della sfera. In assenza di tale forza la sfera
striscerebbe sul piano inclinato senza rotolare. Tale forza tuttavia non
compie lavoro perche’, come abbiamo visto, il punto di contatto della sfera
e’ ad ogni istante fermo rispetto al piano.
Pertanto, per risolvere il problema, possiamo fare uso della conservazione
della energia meccanica totale.
Ei=Ef ⇒ Ui + Ki = Uf + Kf
Mgh + 0 = 0 + 1/2M(Vcm)2 + 1/2 I ω2
Mgh = 1/2M(Vcm)2 + 1/2 I (Vcm/R)2
Esempio 3
Mgh = 1/2M(Vcm)2 + 1/2 I (Vcm)2/(R)2
Mgh = (Vcm)2 (M/2+I/(2R2) )
Vcm=( Mgh/(M/2+I/(2R2) ) ) 1/2
Poiche’ per una sfera che ruota rispetto al diametro I
dopo qualche passaggio si trova che:
= 2/5 M R2,
Vcm= (10/7 g h ) ½
Consideriamo ora un corpo di massa M che, partendo dalla stessa quota
della sfera, scivoli senza attrito sul piano inclinato e calcoliamo la sua
velocita’ finale V alla base del piano.
Mgh = ½ M V2 ⇒ V=(2 g h)1/2
avremmo quindi
V > Vc.m. sfera
Infatti, in tal caso, la energia potenziale iniziale si e’ trasformata interamente in
energia di traslazione del corpo, mentre nel caso della sfera la energia
potenziale iniziale si e’ trasformata in energia cinetica traslazionale piu’
energia cinetica rotazionale.
Condizioni di equilibrio di un corpo rigido
Diciamo che un corpo e’ in equilibrio meccanico se visto da un
sistema di riferimento inerziale:
1) L’accelerazione lineare aCM del suo CM è nulla.
2) La sua accelerazione angolare α attorno ad un
qualunque asse fisso in tale sistema è nulla.
In particolare, se il corpo è fermo VCM=0 e ω=0 il corpo
si dirà in equilibrio statico.
Quali sono le condizioni che devono essere soddisfatte
Affiche’ in corpo sia in equilibrio?
Dalla seconda legge di Newton capiamo che la prima condizione che deve
essere soddisfatta affinche’ aCM=0 e che la risultante delle forze agenti sul
corpo deve essere nulla
n
M a cm =
∑F
i
=0
i =1
Se il corpo può essere assimilato ad un punto la suddetta relazione e’ una
condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio.
Tuttavia, nel caso di un corpo esteso sappiamo che, anche se la risultante delle
forze esterne e’ nulla, la risultante dei momenti associati alle forze
esterne potrebbe essere diversa da zero ed il corpo sarebbe soggetto ad
una accelerazione angolare. Affinche’ il corpo sia in equilibrio, e’ quindi
anche necessario che la risultante dei momenti delle forze rispetto ad un
polo O sia nulla.
n
∑τ
i =1
i
=0
n
Si può dimostrare che, pern un corpo in equilibrio traslazionale, se ∑ τ i =0
i =1
per un determinato polo O, ∑ τ i =0 sarà nulla anche per ogni altro polo
i =1
in quel sistema di riferimento
Alcuni quesiti di verifica
1)Scelto un polo O, come sono definiti il momento di una forza e il
momento angolare di una particella?
2)Sapreste dire e dimostrare sotto quali condizioni si conserva il momento
angolare totale di un sistema di particelle?
3)Sapreste dire e dimostrare quali sono le due equazioni cardinali per il
moto di un sistema di particelle ? Queste equazioni ci consentono di
capire sotto quali condizioni si conservano il momento angolare totale e la
quantita’ di moto totale di un sistema di particelle?
4)Avete capito l’enunciato e sapreste applicare il teorema di HuygensSteiner?
5)Sapreste mostrare e discutere degli esempi concreti che mettano in
evidenza la conservazione del momento angolare?
6)Un cilindro di massa m parte da fermo dalla sommita’ di un piano
inclinato. Esso rotola senza strisciare sul piano ed arriva alla base del
piano con una velocita’ di traslazione Vf1 in modulo. Un cubo di eguale
massa m parte da fermo dalla sommita’ dello stesso piano inclinato. Esso
scivola senza attrito sul piano e arriva alla base del piano inclinato con
una velocita’ di traslazione Vf2 in modulo. Quale delle due velocita’ Vf1
e Vf2 sara maggiore? Spiegare sia utilizzando la conservazione della
energia meccanica totale sia considerando le forze agenti.
7)Quali sono le condizioni di equilibrio per un corpo rigido?