IL PROCESSO A PITAGORA
Dall’impossibilità alla certezza
4 maggio 2009 – Roma, Liceo Scientifico “Galileo Galilei”
Professor Frege: “Cos’è per voi il numero?
Per i Pitagorici il numero è l’“arché”, l’origine di
tutto, è inteso come l’elemento ordinatore della
realtà, è il limite contrapposto all’illimite,
l’ordine contrapposto al disordine. Anche i
numeri razionali (le frazioni) non erano
considerate come unità a sé stanti, ma come un
rapporto o una relazione fra numeri interi.
Ma qualcosa di imprevedibile venne a
sconvolgere questo equilibrio: i numeri
irrazionali.”
“Per numero irrazionale intendiamo una quantità
illimitata, aperiodica, non esprimibile sotto
forma di frazione”.
Ma qual è la vera natura dei numeri irrazionali?
"È fama che colui il quale per primo rese di
pubblico dominio la teoria degli irrazionali
sia perito in un naufragio, ciò perché
l'inesprimibile e l'inimmaginabile avrebbero
dovuto essere sempre celati. Perciò il
colpevole, che fortuitamente toccò e rivelò
questo aspetto delle cose viventi, fu
trasportato al suo luogo d'origine e viene
in perpetuo flagellato dalle onde”
(Euclide)
540 a.C. - Sparta, al cospetto dei cinque Efori.
Eforo:
“Pitagora, sei accusato di aver assassinato Ippaso.
Cosa hai da dire a tua discolpa? ”
Pitagora: “Io, miei giudici, non ho alcuna colpa, sono stati gli
dèi a volerlo, e la sua “υβρισ” ha sancito il suo
destino.
Egli aveva osato infrangere “l’armonia del mondo”.
Eforo:
“L’armonia del mondo?”
Pitagora: “Sì, esattamente …”
“Saprete di certo che molti pensatori prima di me avevano
tentato di definire la materia elementare di cui l’universo è
costituito.
Talete, la identificò con l’acqua, fonte di vita. Anassimandro, mio
maestro, sostenne che tale elemento avrebbe dovuto essere
tangibile e incommensurabile. Anassimene concluse che
dovesse trattarsi dell’aria. Eraclito del fuoco.
Secondo me questo non sta al di là della capacità di
comprensione umana. Non percepibile per mezzo di uno dei
sensi, ma capace di coinvolgerli tutti. La sostanza primordiale
è il numero.”
E.: “Continuo a non capire...”
P.: “Per spiegarmi meglio, allora, vi riferirò il
modo in cui l’ho scoperto.”
“Un giorno, passando davanti alla fucina di un fabbro,
improvvisamente la mia attenzione venne catturata da
alcuni suoni che provenivano dall’interno:
nel battere contro l’incudine diversi martelli producevano
una cacofonia disordinata ed assordante. E tuttavia il
clangore metallico sembrava ammorbidirsi e fondersi in un
unico suono gradevole. Così decisi di scoprire la ragione del
fenomeno…”
“Il motivo per cui ciò accadeva divenne chiaro: quando i
pesi relativi dei diversi martelli che colpivano le incudini si
trovavano tra loro in un rapporto particolare (2:1, 3:2 o
4:3), le note prodotte si legavano tra loro creando armonie
meravigliose, dolci e simili a campane. C’era qualcosa di
concreto in queste fuggevoli concordanze. Non era un
semplice riverbero, ma melodie che appartenevano ad un
mondo ordinato.”
P.: “Da allora capii che tutto è numero.
Anche gli dèi, i corpi celesti, l’animo umano lo sono.
Avevo trovato il principio della caotica matassa
dell’universo, o così sembrava…”
E.: “E quale ruolo ha Ippaso in questi eventi?”
“Vedete, Ippaso ha voluto opporsi agli stessi dèi, e
contrastare questi principi.
Egli ha cercato di dimostrare l’esistenza dell’“alogon”, ciò
che è inesprimibile per mezzo dei numeri.
Ma l’unico modo di affermare che una cosa non
esiste è dimostrare che non esiste.
Questo passaggio tuttavia, ha un prezzo elevato, in
quanto esige una dimostrazione, una dimostrazione di
impossibilità.”
E.: “Sarà sicuramente qualcosa difficile da mettere in atto e da
comprendere.”
P.: “E invece no. Ippaso tentò di dimostrare che non esiste
nessun numero che, elevato al quadrato dia come risultato
2.”
E.: “Potresti, allora, mostrarci come ci riuscì, Pitagora?”
P.: “Sì, certo.”
“Supponiamo che esista una frazione a/b il cui quadrato sia
uguale a 2.
Dunque si avrà a2/b2 = 2.
a e b sono primi tra loro, vale a dire che non hanno un divisore
in comune.
Dunque a e b non possono essere tutt’e due pari.
Se a2/b2 = 2, è ovvio che a2 =2b2”
“Dunque a2 è un numero pari, poiché uguale a un doppio. Ora
solo il quadrato di un numero pari è pari.
Quindi a è un doppio, per esempio, del numero c.
Vale a dire a = 2c
Torniamo all’uguaglianza iniziale: a2 = 2b2 e proviamo a sostituire
a con 2c.”
“Otteniamo (2c) 2 = 2b2
Dunque 4c2 = 2b2, e quindi 2c2 = b2. In cui b2 è
uguale a un doppio, allora b è pari.
Ora, da un lato, a e b non possono essere entrambi numeri
pari; dall’altro, a e b sono tutt’e due pari. Impossibile!
Qual è la causa di tale assurdità?”
E.: “…”
P.: “Qual è la causa di tale assurdità?
La mia ipotesi: esiste una frazione il cui quadrato è pari a 2.”
“Consideriamo un quadrato il cui lato misura 1.
Dividiamolo in due;
Otteniamo due triangoli rettangoli
isosceli uguali, in cui l’ipotenusa
comune dei due triangoli è la diagonale
del quadrato.”
“Sappiamo che il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale
alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.
Ma il quadrato dell’ipotenusa coincide con il quadrato della
diagonale.
Insomma:
quadrato della diagonale = 12 + 12 = 2
La lunghezza della diagonale di un quadrato di 1 è un numero
il cui quadrato è 2. Ma questo numero non esiste.”
“Se un numero rappresenta il quadrato, nessun numero
ne potrà rappresentare la diagonale.
La diagonale e il lato sono “incommensurabili”.
Osservate la figura. Si vede forse che
la diagonale e il lato sono
incommensurabili? No! Nessun
indizio può “metterci la pulce
nell’orecchio”.
E.: “Che cosa significa esattamente incommensurabile?”
P.: “Che significa esattamente incommensurabile? Il lato e la
diagonale di uno stesso quadrato non ammettono unità di
misura comuni. Se un numero è misura dell’uno non può esserlo
dell’altro.
Questo equivale a sostenere che è impossibile conoscerli tutt’e
due al contempo.”
E.: “Allora tu, Pitagora, accusi Ippaso di aver portato disordine
nell’universo che tu credevi basato sull’ordine dei numeri.”
P.: “Esattamente.”
E.: “E furono queste la cause che ti portarono ad
assassinarlo?”
P.: “Non ho mai ammesso di aver compiuto una così empia
azione …”
4 maggio 2009 – Roma, Liceo Scientifico “Galileo Galilei”
Professor Frege: “I numeri irrazionali e la loro incommensurabilità
hanno sempre affascinato i matematici, da Pitagora
sino ai giorni nostri.”
Per definire geometricamente le radici quadrate dei numeri
interi, Teodoro escogitò un metodo geometrico semplice ma
efficace, denominata “spirale di Teodoro”.
E
D
F
C
G
A
B
H
I
L
COSTRUIAMO ADESSO SULL’
IPOTENUSA DEL TRIANGOLO
COSTRUIAMO
TRIANGOLO
PRECEDENTE
UNUN
ULTERIORE
RETTANGOLO
ISOSCELE
TRIANGOLO
RETTANGOLO
PROCEDENDO
ALLA
STESSACON I
CATETI
DI
1 CM L’IPOTENUSA
AVENTE
PER
CATETI
MANIERA
OTTENIAMO
TUTTI
DEL
PRECEDENTE E
GLI TRIANGOLO
ALTRI RADICALI.
UN APPLICANDO
LATO DI 1 CMIL
PER
IL TEOREMA
DIESSA.
PITAGORA
TEOREMA
DI PITAGORA
PERPENDICOLARE
AD
L’IPOTENUSA
Ѵ1^2 + 1^2
AVREMO CHE SARà:
IL LATO
=
BDѴ2= Ѵ (Ѵ2)^2+1^2= Ѵ3
“Nel 1897 il matematico Alfredo Capelli introdusse le classi
contigue, con le quali sono stati definiti i numeri irrazionali.”
“Consideriamo √2. E’ facile intuire che 12<√2<22, ma 22=4>2; quindi
1<√2<2
Per meglio determinare la posizione di √2 all’interno di questo
intervallo, consideriamo i quadrati dei numeri decimali compresi tra 1 e
2;”
1,1^2=1,21<2
1,2^2=1,44<2
1,3^2=1,69<2
1,4^2=1,96<2
1,5^2=2,25>2
“Abbiamo così
1,4<√2<1,5
Allo stesso modo se consideriamo i quadrati dei numeri decimali
compresi tra 1,4 e 1,5 si ha
1,412<√2<1,422
Così proseguendo indefinitamente, avremo
1,414<√2<1,415
1,4142<√2<1,4143”
E’ possibile effettuare un’approssimazione di √2 mediante un
foglio elettronico
“Potremo così schematizzare all’interno di una tabella i valori
ottenuti.”
APPR. PER
DIFETTO
APPR.PER ECCESSO ERRORE MAX
1
2
1
1,4
1,5
1/10
1,41
1,42
1/100
1,414
1,415
1/1000
1,4142
1,4143
1/10000
1,,41421
1,41422
1/100000
√2
1
1,4
1,5
1,41
1,42
1,414
1,415
1,4142
1,4143
2
“Questo procedimento può essere ripetuto all’infinito
I due insiemi dei valori approssimati per difetto e per eccesso e per
difetto prendono il nome di classi.”
C1 =
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142…..
C2 =
2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143…..
“Verifichiamo ora le due classi C1 e C2 godono
delle seguenti proprietà:
a) Ogni numero di C1 è minore di ogni numero di C2 cioè le classi
sono separate.
b) E’ sempre possibile determinare due numeri, uno della seconda
e uno della prima classe, tali che la loro differenza sia minore di
un prefissato numero ε positivo e piccolo a piacere, cioè le due
classi sono indefinitamente ravvicinate.
Due classi che soddisfano queste proprietà sono
dette contigue.
“Un altro irrazionale “famoso ” è π definito come il rapporto tra la
circonferenza e il diametro di un cerchio, o anche come l'area di
un cerchio di raggio 1.”
“Π oltre ad essere irrazionale è anche un numero trascendente, come è
stato dimostrato da Ferdinand von Lindemann nel 1882.
Questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti interi o
razionali di cui π è radice.
Di conseguenza, è impossibile esprimere π usando un numero finito di
interi, di frazioni e delle loro radici.”
Nell’antichità una delle migliori approssimazioni è stata quella di
Archimede. Ottenne tale risultato approssimando arbitrariamente bene
il cerchio, dall'interno e dall'esterno, con poligoni regolari inscritti e
circoscritti.
Con lo stesso procedimento Archimede espose un metodo con il quale
approssimare arbitrariamente bene il rapporto tra circonferenza e
diametro di un cerchio dato (rapporto che ora indichiamo con π). Così
trovò che: 3+10/71 < π< 3+ 10/70
e cioè: 3,1408 <π < 3,1428
“Una delle più recenti approssimazioni di π che ha permesso il
calcolo di 1.241.100.000.000 cifre decimali fu effettuata nel 1949
per mezzo di un programma di calcolo ideato dal matematico
ungherese Von Neumann.”
Ogni riferimento a fatti e persone realmente esistite è puramente casuale.
L'espressione "numerus irrationalis" è stata introdotta da Gerardo da Cremona
(1114–1187)
Friedrich Ludwig Gottlob Frege (Wismar, 8 novembre 1848 – Bad Kleinen, 26 luglio
1925) è stato un matematico, logico e filosofo tedesco, padre della logica
matematica moderna e della filosofia analitica.
Riferimenti bibliografici:
Il teorema del Pappagallo – Denis Guedj
Temperamento, Storia di un enigma musicale – Stuart Isacoff
Scritto e diretto da:
Carlotta Belviso
Denise De Scisciolo
Cecilia Di Florio
Nina
Martorana
Cristina Urbano