UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI MESSINA
DIPARTIMENTO di INGEGNERIA CIVILE
Strutture in c.a.
SLU per sollecitazioni torcenti
A. Recupero
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
La torsione sulle strutture
Due tipi di torsione
Tensioni generate
dalla torsione
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Evidenza Sperimentale sul c.a.
•1904-1921
O. Graf e E. Mörsch – (Stoccarda) eseguono delle prove su
elementi cilindrici cavi e pieni, circolari e rettangolari di
calcestruzzo evidenziando la necessità o di doppia armatura o di
armatura ad elica;
l’armatura disposta in una sola direzione
non incrementa in alcun modo la
resistenza a torsione dell’elemento
strutturale
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Natura della Torsione
Torsione di compatibilità
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Natura della Torsione
Torsione d’equilibrio
Solo per la torsione d’equilibrio diventa necessaria una verifica allo SLU,
per la torsione di compatibilità basta seguire i minimi di armatura
prescritti al fine di contenere la fessurazione;
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Rigidezza Torsionale
Torsione d’equilibrio
Con l’incremento delle deformazioni, la rigidezza torsionale decade
velocemente, ed in generale più velocemente di quella flessionale;
In generale allo SLU essa può essere trascurata;
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Modelli Resistenti
Modello a denti di sega (W. Fuschsteiner 1969)
Il modello parte dalle
evidenze sperimentali e
ipotizza la formazione di un
traliccio nello spazio.
Equivale al modello di
Ritter- Mörsch per il taglio
e richiede solo armatura
disposta sugli spigoli
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Modelli Resistenti
Modello (CEB 1978)
hef =
d ef
6
Tsd ≤ Trd 1
Il modello cerca di riprodurre per
Tsd ≤ Trd 2
la torsione le stesse procedure
Tsd ≤ Trd 3
utilizzate per il taglio
Trd 1 = 0.5 ⋅ f cd ⋅ Aef ⋅ hef ⋅ sen(2θ )
Trd 2
A
= Tcd + s ⋅ 2 Aef ⋅ f yd ⋅ ctg (θ )
s
Trd 3 =
Al
⋅ 2 Aef ⋅ f yld ⋅ tg (θ )
uef
Contributo del calcestruzzo
Tcd = 1.25 ⋅ f ctd ⋅ Aef ⋅ hef
Tcd = 0
se Tsd ≤ 1.25 ⋅ f ctd ⋅ Aef ⋅ hef
se Tsd ≥ 3.75 ⋅ f ctd ⋅ Aef ⋅ hef
3
5
≤ ctg (θ ) ≤
5
3
Il modello mostrò i limiti sperimentali e fu abbandonato
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Modelli Resistenti
Modello a campi di tensione (B. Thürlimann 1978)
Il modello parte dalla teoria
degli stress-fields e
scompone lo sforzo di
torsione nei tagli sulle
diverse facce.
La sperimentazione ha mostrato che:
•Negli elementi strutturali solo lo strato periferico di calcestruzzo
resiste alla torsione nello stato fessurato, siano pieni o cavi;
•La resistenza a torsione non dipende dalla forma della sezione, ma
solo dall’area racchiusa dal perimetro medio della sezione resistente
Tale modello è quello adottato dalla N.I., dall’ EC2, dal MC’90 e dal New EC2
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Modello base
Modello adottato dall’ EC2, dal MC’90, dal New EC2 e dalle N.T.I.
Le ipotesi del modello sono le seguenti:
•Nelle sezioni a perimetro poligonale, il sistema resistente è composto da
campi di tensione nello spazio;
•Ai campi di tensione, che si formano in ogni falda, si deve assegnare uno
spessore efficace t e la sezione cava corrispondente viene chiamata
“sezione efficace” Ak (EC2, MC90 e New EC2) o Be (N.I.);
• I campi di tensione corrispondono ad un flusso di taglio costante lungo la
loro linea media;
•Le armature longitudinali devono essere disposte sulle facce ove richieste
e comunque la parte più importante deve essere posta sugli spigoli;
•Le armature trasversali (staffe) devono essere chiuse;
•L’angolo d’inclinazione dei campi è costante su tutte le facce.
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Modelli base
z
staffe
R
z tg θ
θ
σc
ai
ci
Vi
Hi
t
ai
s
La singola biella di calcestruzzo sopporta uno sforzo pari a : R = σ c ⋅ t ⋅ ( z ⋅ sin θ )
Su ogni parete sono presenti un numero di bielle pari a:
Nbielle =
Sulla singola parete:
Ri = R ⋅ Nbielle = σ c ⋅ t ⋅ ( z ⋅ sin θ ) ⋅
ai
⋅ ctgθ = σ c ⋅ t ⋅ ai ⋅ cos θ
z
ai
ctgθ
z
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Modelli base
z
staffe
R
z tg θ
θ
σc
ai
ci
t
ai
s
Quindi
H i = Ri ⋅ cosθ =
σ c ⋅ t ⋅ ai
⋅ senθ ⋅ cos θ
tgθ
Vi = Ri ⋅ s enθ =
σ c ⋅ t ⋅ ai
⋅ sen 2θ
tgθ
Vi
Hi
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Modelli base
staffe
s
θ
ai
ci
Vi
t
ai
ai ctg θ
Imponendo l’equilibrio alla traslazione verticale:
nstaffe =
Vi = nstaffe ⋅ Aw ⋅ σ sw =
ctgθ ⋅ ai
⋅ Aw ⋅ σ sw
s
ctgθ ⋅ ai
s
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Modelli base
staffe
s
θ
ai
ci
Vi
t
ai
ai ctg θ
Imponendo l’equilibrio alla traslazione verticale:
nstaffe =
Vi = nstaffe ⋅ Aw ⋅ σ sw =
ctgθ ⋅ ai
⋅ Aw ⋅ σ sw
s
ctgθ ⋅ ai
s
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Modelli Base
Raccogliendo i contributi dell’i-esima faccia del poligono:
H tot = ∑ H i =
σc ⋅ t
σ ⋅t
⋅ senθ ⋅ cos θ ⋅ ∑ ai = c ⋅ senθ ⋅ cos θ ⋅ uk
tgθ
tgθ
1..n
Ttot = ∑Vi ⋅ ci =
σ sw ⋅ Aw
Ttot = ∑Vi ⋅ ci =
s
⋅ ctgθ ⋅ ∑ ai ⋅ ci =
σ sw ⋅ Aw
s
⋅ ctgθ ⋅ 2∑ Ωi =
σ sw ⋅ Aw
s
⋅ ctgθ ⋅ 2 ⋅ Ak
σc ⋅ t
σ ⋅t
σ ⋅t
⋅ sen2θ ⋅ ∑ ai ⋅ ci = c ⋅ sen 2θ ⋅ 2∑ Ωi = c ⋅ sen 2θ ⋅ 2 ⋅ Ak
tgθ
tgθ
tgθ
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Modelli Base
Imponendo l’equilibrio alla rotazione torsionale:
TEd = Ttot
dalle precedenti si ottiene:
σc =
TEd
t ⋅ 2 ⋅ Ak ⋅ cos θ ⋅ senθ
che sostituita nella espressione dello sforzo longitudinale fornisce:
H tot =
σc ⋅ t
T ⋅u
⋅ senθ ⋅ cos θ ⋅ uk = Ed k ⋅ ctgθ = Asl ⋅ σ sl
2 ⋅ Ak
tgθ
dalle precedente pagina si ottiene ancora:
σ sw =
TEd
Aw
s
⋅ ctgθ ⋅ 2 ⋅ Ak
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Modelli Base
Imponendo le condizioni di ammissibilità plastica si ottiene:
σc =
TEd
≤ f cd 3
t ⋅ 2 ⋅ Ak ⋅ cos θ ⋅ senθ
σ sl =
TEd ⋅ uk
⋅ ctgθ ≤ f sld
Asl ⋅ 2 ⋅ Ak
σ sw =
TEd
Aw
s
⋅ 2 ⋅ Ak
⋅ tgθ ≤ f swd
TEd ≤ 2 ⋅ Ak ⋅ t ⋅ f cd 3 ⋅ cos θ ⋅ senθ
TEd
Asl f sld
≤ 2 ⋅ Ak ⋅
⋅
uk ctgθ
TEd ≤ 2 ⋅ Ak ⋅
Aw
⋅ f swd ⋅ ctgθ
s
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Verifica (torsione pura)-EC2-NTI
2c ≤ t ≤
Area sezione
A
u
0.4 ≤ ctg (θ ) ≤ 2.5
Perimetro esterno
f cd 3 = 0.5 ⋅ f cd
TEd ≤ Trd 1
TEd ≤ Trd 2
2 ⋅ f cd 3 ⋅ t ⋅ Ak
Trd 1 =
ctg (θ ) + tg (θ )
⎛A ⎞
Trd 2 = ⎜ w ⎟ ⋅ 2 Ak ⋅ f yd ⋅ ctg (θ )
⎝ s ⎠
Asl ⋅ 2 Ak ⋅ f yld
Trd 3 =
uk ⋅ ctg (θ )
TEd ≤ Trd 3
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Verifica (torsione pura)-EC2-NTI
Ak ≥
TEd
f cd 3 ⋅ t
Si progetta la sezione in modo che sia sufficiente
0.4 ≤ ctg (θ ) ≤ 2.5
Si sceglie un angolo di tentativo
TEd
⎛ Aw ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ s ⎠ 2 ⋅ Ak ⋅ ctg (θ ) ⋅ f yd
Alt =
TEd ⋅ uk ⋅ ctg (θ )
2 Ak ⋅ f yd
Abl = Alt ⋅
bk
uk
Adl = Alt ⋅
dk
uk
Si calcola l’armatura trasversale
Si calcola l’armatura longitudinale totale
Si ripartisce tra le facce l’armatura longitudinale
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Verifica (soll. composte) – EC2-NTI
2c ≤ t ≤
A
u
Area sezione
Perimetro esterno
Verifica delle armature laterali
f yd ≥
Verifica staffe
⎛A ⎞
Trd 2 = ⎜ w ⎟ ⋅ 2 Ak ⋅ f yd ⋅ ctg (θ )
⎝ s ⎠
Vrd 3
Verifica dei correnti
n ⋅A
= b w ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ ctg (θ ) ⋅ f yd
s
Vrd 2 =
2 ⋅ f cd 3 ⋅ t ⋅ Ak
ctg (θ ) + tg (θ )
α c ⋅ bw ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ f cd 3
ctg (θ ) + tg (θ )
⎛ M Ed VEd ⋅ ctg (θ ) TEd ⋅ bk ⋅ ctg (θ ) ⎞
−
−
⎟
⋅
0.9
d
2
2 Ak
⎝
⎠
( 0.8 ⋅ x ⋅ b ⋅ fcd ) ≥ ⎜
Af ⋅ f yd ≥
⎛ VEd ⎞ ⎛ TEd ⎞
⎜
⎟+⎜
⎟ ≤1
V
T
⎝ rd 3 ⎠ ⎝ rd 2 ⎠
Trd 1 =
TEd ⋅ d k ⋅ ctg (θ )
2 Ak ⋅ Adt
VEd TEd
+
≤1
Vrd 2 Trd 1
M Ed VEd ⋅ ctg (θ ) TEd ⋅ bk ⋅ ctg (θ )
+
+
0.9 ⋅ d
2
2 Ak
Verifica dei campi di calcestruzzo
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Esempio
C20/25
FeB44k
gk3
gk1
Trave porta balcone
gk1= 9.30 kN/m
(portato)
g1,k2= 3.75 kN/mq (proprio)
g2,k2= 1.40 kN/mq (portato)
qk2= 4.00 kN/mq
gk2
ls
gk3= 0.56 kN/m
qk2
fcd = 13.0 MPa ,
(portato)
ls= 1.50 m; lt= 6.00 m
b = 30 cm; H = ??; c = 4 cm
fcd2= fcd3= 0.5*13.0 = 6.5 MPa
σoc = 0.85*13.0 = 11.0 MPa
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
qk2
gk1
Esempio
gk3
gk2
bw
Trave porta balcone
Un calcolo esatto viene vanificato
da una analisi dei carichi
approssimata
ls
qt
mt
Allo Stato Limite Ultimo si ottiene:
(
)
mt = ( γ g ⋅ gk 2 + γ q ⋅ qk 2 ) ⋅ ls ⋅ 0.5⋅ ( ls + bw ) + γ g ⋅ gk3 ⋅ ( ls + bw ⋅ 0.5)
Carico torcente
qt (H) = ( γ g ⋅ gk 2 + γ q ⋅ qk 2 ) ⋅ ls + γ g ⋅ gk3 + γ g ⋅ gk1 + γ g ⋅ 25 kN / m3 ⋅ bw ⋅ H
Carico distribuito
Svolti i calcoli si ottiene
mt =18.94 ⎡kN ⋅ m ⎤
m⎦
⎣
qt (H) = 34.34 + 9.75⋅ H [ kN / m]
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Esempio
Trave porta balcone
Si calcola una altezza minima della trave che deriva da considerazioni di
deformabilità. Per una trave portante a meno di effettuare successive
verifiche si assume pari ad un decimo della luce di calcolo.
Si calcolano le caratteristiche di
sollecitazione della trave in funzione dei
vincoli.
Si ricorda che la torsione va con
Cerniera cilindrica = incastro la legge del taglio di una trave
torsionale
con vincoli opportuni.
5
Vsd = ⋅ qt ⋅ Lt
8
Tsd =
0.60
-0.15
0.60
0.40
0.40
-0.10
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-0.05
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
0.00
1.00
T/mL
0.20
M/(qL^2)
V/qL
0.20
0.00
0.00
-0.20
1
⋅ mt ⋅ Lt
2
0.00
0.00
-0.20
0.20
0.40
0.60
-0.40
0.05
-0.40
-0.60
-0.60
0.10
-0.80
x/L
x/L
1
M sd = ⋅ qt ⋅ L2t
8
x/L
0.80
1.00
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Esempio
Trave porta balcone
Stimato quindi il peso della trave, si calcola il momento flettente massimo in
condizioni di SLU:
1
M sd = ⋅ qt ⋅ L2t = 183 kN m
8
Si assume:
ξ = 0.2; δ = 4 / 60; β = 0.5;
λ = 0.393;ψ = 0.742 (Coerente con la scelta di ξ )
Si calcola l’altezza minima richiesta da condizioni statiche per rapporti e
caratteristiche fissate:
hmin =
M sd ⋅ (1 − β )
⎡⎣(1 − β )(1 − λξ ) + β ⋅ (1 − δ ) ⎤⎦ ⋅ ( bw ⋅ ξ ⋅ψ ⋅ f cd 1 )
Si ottiene hmin = 45 cm e quindi Hmin = 45 + 4 = 49 cm
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Esempio
Trave porta balcone
Si calcola l’altezza minima della sezione che è necessaria per sopportare lo
sforzo di torsione e taglio combinati, azzerando la funzione d’interazione:
Si stima un valore di spessore
della sezione anulare compatibile
con le caratteristiche
geometriche della sezione.
bw − 2c
6
t = 2c
t=
∀ bw ≥ 14 ⋅ c
∀ bw < 14 ⋅ c
Si può assumere una altezza
della trave pari a:
H = 70 cm
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Esempio
Trave porta balcone
Calcolato il perimetro e l’area della sezione
efficace
t
t
uk = 2(bw − 2 + H − 2 ) = 1580 mm
2
2
t ⎞⎛
t ⎞
⎛
Ak = ⎜ bw − 2 ⎟ ⎜ H − 2 ) ⎟ = 1.16025 ⋅ 105 mm 2
2 ⎠⎝
2 ⎠
⎝
Si può calcolare la spaziatura s fissata l’area Aw
s≤
f yd ⋅ Aw
⎛ VEd
⎞ ⎛ TEd ⎞
⎜
⎟+⎜
⎟
n
⋅
0.9
⋅
d
⎝ b
⎠ ⎝ 2 Be ⎠
t
Assumendo un
numero di
bracci pari a
due
ab
= 51 mm
Si adottano staffe φ 8 ( 50 mm2)
Si può calcolare l’armatura longitudinale Alt
T ⋅u
Alt = Ed k = 1011 mm 2
2 Ak ⋅ f yd
Alb = Alt ⋅
(bw − t )
= 125 mm 2
uk
Alh = Alt ⋅
(H − t)
= 381 mm 2
uk
ah
Ing. A Recupero - Strutture in c.a. - SLU per sollecitazioni torcenti
Esempio
Trave porta balcone
Si può calcolare l’armatura strettamente necessaria per la flessione
per fissata altezza h:
(h − β ⋅ c) ⋅ ( bw ⋅ f cd 1 ⋅ψ ) − (h − β ⋅ c) 2 ⋅ ( bw ⋅ f cd 1 ⋅ψ ) − 4 ⋅ λ ⋅ (1 − β ) 2 ( bw ⋅ f cd 1 ⋅ψ ) ⋅ M sd
2
Asf =
2 ⋅ λ ⋅ (1 − β ) 2 ⋅ f yd
In queste condizioni l’area diventa:
Asf sup = 761 mm 2
Asf inf = 380 mm 2
Che sommate a quelle richieste dalla torsione forniscono:
Asup = 761 + 125 = 886 mm 2 < 1005 mm 2 (5φ16)
Ainf = 380 + 125 = 505 mm 2 < 603 mm 2 (3φ16)