Flusso del vettore campo elettrico attraverso una superficie Consideriamo una superficie S immersa in un campo elettrico. Per semplicità consideriamo il campo elettrico uniforme (un campo elettrico è uniforme, quando in ogni punto del campo il vettore E ha lo stesso valore e le linee di forza sono parallele ed equidistanti fra di loro). Dal punto C, centro della superficie S, partono due vettori: il vettore E, che rappresenta l’intensità del campo elettrico attraverso la superficie S, il vettore S (vettore superficie), la cui grandezza è uguale all’area della superficie S. Il vettore E è parallelo alle linee di forza, il vettore S è perpendicolare alla superficie S. Si definisce flusso del vettore E attraverso una superficie S, il prodotto scalare tra i vettori E e S: Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è paragonabile ad un flusso di liquido attraverso una superficie. Se la superficie è perpendicolare alla linea del flusso del liquido , ovvero il vettore superficie è parallelo a tale linea, il flusso del liquido è massimo. Nel caso del campo elettrico, poiché il flusso è il prodotto scalare tra E e S, essendo α=0°, il prodotto scalare è massimo, in completa analogia con il caso idrodinamico. Man mano che la superficie forma con la linea di corrente del liquido un angolo superiore a zero, il flusso del liquido attraverso la superficie diminuisce, fino ad annullarsi, quando α=90°. Infatti quando α cresce da 0° verso 90°, il prodotto scalare E x S diminuisce e diventa nullo quando α=90°. Teorema di Gauss Si consideri un campo elettrico prodotto da n cariche puntiformi. Consideriamo inoltre una superficie chiusa qualsiasi che circondi le cariche elettriche. Le cariche elettriche, quindi, sono all’interno della superficie chiusa. Il teorema di Gauss dice che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa all’interno della quale vi sono n cariche elettriche è pari alla somma delle n cariche diviso la costante dielettrica del mezzo: ∑
Per dimostrare il teorema di Gauss dobbiamo prima di tutto capire che il flusso attraverso una superficie chiusa è lo stesso per qualsiasi superficie chiusa. Per capire quanto detto, supponiamo che al posto delle cariche elettriche che creano il campo ci siano degli zampilli d’acqua. La quantità d’acqua (flusso d’acqua) che attraversa una qualsiasi superficie chiusa che racchiude gli zampilli è la stessa per qualsiasi forma di superficie chiusa. Analogamente il flusso del campo elettrico di una carica Q è lo stesso per qualsiasi superficie chiusa che contenga la carica.
Possiamo quindi scegliere come superficie chiusa una sfera che abbia il centro coincidente con la carica Q. Attraverso una superficie ΔS della superficie esterna della sfera, se E è il valore del campo elettrico, il flusso è pari a: , in quanto E è perpendicolare alla superficie, quindi il vettore E e il vettore S, formano un angolo nullo. Se dividiamo la superficie esterna in n superfici, per ognuna di esse possiamo scrivere: Il flusso totale attraverso la superficie esterna della sfera è pari alla somma di tutti questi n flussi: ∑
...Δ
Poiché la somma in parentesi è la superficie esterna della sfera si ha: .
л
Ma poiché л
л
e quindi e л
, sostituendo si ottiene: E’ ovvio che quanto dimostrato per una sola carica elettrica, vale anche quando siamo in presenza di più cariche elettriche.