1.1
Contratti Forward
Lezione 1
© 1999 di V.M. or J.H.
1
1.2
Contratto Forward
«Agreement to buy or sell “something” in the future»

Accordo per comprare o vendere un’attività ad una
certa data futura, per un certo prezzo (p. 1).
© 1999 di V.M. or J.H.
2
1.3
Come Funziona
un Contratto Forward
– Il «contratto forward» è un accordo tra 2 società sul
mercato over the counter (OTC)
– Di solito il prezzo del contratto è scelto in modo
che il «valore iniziale di mercato» del contratto sia
nullo
– Pertanto, non c’è alcuno scambio di denaro nel
momento in cui il contratto viene stipulato
– Il contratto viene «liquidato a scadenza»
© 1999 di V.M. or J.H.
3
1.4
Forwards e Opzioni

I contratti forward:

danno al «portatore»
l’obbligo
Le opzioni:
danno al «portatore»
!

il diritto
di «comprare» o «vendere»
di «comprare» o «vendere»
ad un certo «prezzo»
ad un certo «prezzo»
© 1999 di V.M. or J.H.
4
1.5
Il Prezzo Forward

Il prezzo forward
di un contratto è il prezzo di consegna
che si applica ad un contratto concluso
«adesso»

Il prezzo forward
può essere «diverso»
per contratti con «diverse» scadenze
© 1999 di V.M. or J.H.
5
1.6
Esempio
– 8 maggio 1995: una società entra in un contratto
forward lungo per acquistare tra 90 giorni
£1.000.000 a $1,6056 per sterlina
– 6 agosto 1995: il «tasso di cambio spot» della
sterlina è pari a $1,6500
– In base alle «condizioni» contrattuali, la società
paga $1.605.600 e riceve £1.000.000
– Il «profitto» della società è pari a $44.400, dato che
le sterline possono essere immediatamente
rivendute a $1.650.000
© 1999 di V.M. or J.H.
6
1.7
Posizione Lunga su un Forward
– Figura 1.1 (a) p. 3
Profitto
0
K
Posizione lunga
ST
prezzo forward
o prezzo di consegna?
(a)
© 1999 di V.M. or J.H.
7
1.8
Posizione Corta su un Forward
– Figura 1.1 (b) p. 3
Profitto
0
K
ST
Posizione corta
(b)
© 1999 di V.M. or J.H.
8
1.9
Terminologia dei Forwards

Prezzo Forward:
– prezzo di consegna del giorno di stipula tale da
rendere il valore del contratto forward nullo

Prezzo di consegna:
– prezzo applicato alla compravendita a termine

Valore del contratto Forward:
© 1999 di V.M. or J.H.
9
1.10
Opportunità di Arbitraggio
«You make money without risk»

Condizione favorevole di mercato che consente di
ottenere dei guadagni certi da un investimento al
più nullo:
T
q   0  D   0

Condizione favorevole di mercato che consente di
non subire perdite da un investimento autofinanziante:
q   0  D T  0
q   market val©ue
1999 di V.M. or J.H.
DT  payoff
10
1.11
Oro: un’ Opportunità
di Arbitraggio?

–
–
–

Si supponga che:
il prezzo spot dell’oro sia di $390
il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di $425
il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5%
annuo
C’è un’opportunità di arbitraggio?
© 1999 di V.M. or J.H.
11
1.12
Oro: un’Altra Opportunità
di Arbitraggio?

–
–
–

Si supponga che:
il prezzo spot dell’oro sia di $390
il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di $390
il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5%
annuo
C’è un’opportunità di arbitraggio?
© 1999 di V.M. or J.H.
12
1.13
Il Prezzo Forward dell’Oro


Se il prezzo spot dell’oro è S e il prezzo forward è
F, allora, per un contratto con consegna dopo T
anni, vale la relazione
F  S1  rT
dove r è il tasso d’interesse privo di rischio (nella
valuta interna)
Nei nostri esempi T  1 e quindi
F  $3901  0,05  $409,5
© 1999 di V.M. or J.H.
13
1.14
L’Esempio dell’Oro
– Supponendo che i «costi di immagazzinamento»
dell’oro siano nulli,
F  S1  rT  t
dove:
F: prezzo forward
S: prezzo spot
r: tasso d’interesse a T  t anni «composto
annualmente»
– Se r è il tasso a T  t anni «composto
continuamente»
F  SerT  t
© 1999 di V.M. or J.H.
(3.5) p. 51
14
1.15
L’Esempio dell’Oro

Se F > Ser(T-t)
– corto sul titolo privo di rischio di S (contanti)
– corto sul forward che paga F per il titolo che oggi
vale S
– lungo sul titolo spot di S

fine periodo
– pago Ser(T-t) a chi mi ha prestato i soldi
– cedo il titolo alla somma F
© 1999 di V.M. or J.H.
15
1.16
L’Esempio dell’Oro

–
–
Per i beni d’investimento che
non offrono «redditi» e
non comportano «costi d’immagazzinamento»
vale la relazione
F  SerT  t
© 1999 di V.M. or J.H.
(3.5) p. 51
16
1.17
Petrolio:
un’ Opportunità di Arbitraggio?

–
–
–
–

Si supponga che:
il prezzo spot del petrolio sia di $19
il prezzo forward a 1 anno del petrolio sia di $25
il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5%
annuo
i costi di immagazzinamento del petrolio siano del
2% annuo
C’è un’opportunità di arbitraggio?
© 1999 di V.M. or J.H.
17
1.18
Petrolio: un’Altra Opportunità
di Arbitraggio?

–
–
–
–

Si supponga che:
il prezzo spot del petrolio sia di $19
il prezzo forward a 1 anno del petrolio sia di $16
il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5%
annuo
i costi di immagazzinamento del petrolio siano del
2% annuo
C’è un’opportunità di arbitraggio?
© 1999 di V.M. or J.H.
18
1.19
Obbligazione: un’Opportunità
di Arbitraggio?

Si supponga che:
– il prezzo spot di una obbligazione sia di € 50
– l’obbligazione paga interessi di € 0.75 a 3, 6 e 9
mesi
– il prezzo forward a 10 mesi è di € 53
– il tasso depo a 3, 6, 9 e 10 mesi è dell’8%

C’è un’opportunità di arbitraggio?
© 1999 di V.M. or J.H.
19
1.20
L’Esempio dell’Obbligazione
r (T  t )
F

(
S

I
)
e
 Se
– corto sul titolo privo di rischio di S (contanti)
– corto sul forward che paga F per il titolo che oggi
vale S
– lungo sul titolo spot di S

fine periodo
r (T  t )
Se
– pago
a chi mi ha prestato i soldi
– cedo il titolo alla somma F
– “guadagno” Ie r (T t ) dai dividendi maturati
© 1999 di V.M. or J.H.
20
1.21
I Beni d’Investimento
che Offrono Redditi Noti

Vale la relazione
F  S  IerT  t
(3.7) p. 52
dove I è il valore attuale dei redditi distribuiti (in
quanto sono di diritto a coloro che prestano il
titolo)
© 1999 di V.M. or J.H.
21
1.22
I Beni d’Investimento che Offrono
un «Dividend Yield Noto»

Vale la relazione
F  Ser  qT  t
(3.10) p. 54
dove q è il dividend yield (dividendi in funzione
del prezzo dell’azione)

Si assume che l’attività sottostante offra un reddito
pari a qSt nel periodo t
© 1999 di V.M. or J.H.
22
1.23
Forward con dividend yields
dividendi
che chiamiamo dividend yield (annuo)
Spot
•lo ‘spalmiamo’ sull’intero anno, cioè paga SqΔt per Δt0,
1
•in altre parole, dopo un giorno paga Sq
dividendi
365
•Supposto noto q 
1
1  q 3651   S  S 1  q 3651   S
•dopo due giorni paga S 1  q 365
2
1
•in base a pag. 47 abbiamo che S 1  q 365
  Seq 2t  S
•ad es. S = 100, div(T)=110.52-100=10.52= SeqT - S
•volendo attualizzare i dividendi: (SeqT - S)e-qT = S - e-qT  I
•da cui: F=(S - I) erT = (S - S + Se-qT) erT = Se(r-q)T
2
© 1999 di V.M. or J.H.
23
1.24
Valore di un Contratto Forward
– Sia
K: prezzo di consegna di un contratto forward
F: prezzo forward che si applicherebbe ora al
contratto
– Il «valore» di un contratto forward lungo, f, è
f  F  KerT  t
(3.11) p. 55
– Analogamente, il «valore» di un contratto forward
corto è
f  K  FerT  t
© 1999 di V.M. or J.H.
24
1.25
Valore di un contratto Forward
K  Se
0


rT
F  St e
r (T t )
t
 F
 ST 
 K
T
Se F > K allora sono indifferente sse mi viene pagata una
somma pari a F-K in T, ossia (F-K)e-r(-t) oggi, per vendere
K. Dato che f(F)=0, si deduce che f(K)= (F-K)e-r(-t)
Se F < K allora sono indifferente sse mi viene pagata una
somma pari a K-F in T, ossia (K-F)e-r(-t) oggi, per
acquistare K anziché F. Di conseguenza f(K)= -(K-F)e-r(-t)
= (F-K)e-r(-t)
© 1999 di V.M. or J.H.
25
1.26
Valore di un contratto Forward
K  950







St  930
 F
 ST 
 K
0
26/11
26/5
r = 6%, T - t = 6mesi
in T chi possiede K (è lungo di K) deve pagare $8.32 meno di chi
sottoscrive ora
quindi K  F. Quanto è la preferenza? 8.32 e-6% / 2 = 8.08
Chi vuole acquistare una posizione lunga su K pagherà 8.08, (f = -8.08)
Chi vuole vendere una posizione lunga su K otterrà 8.08, (f = 8.08)
Chi vuole acquistare una posizione corta su K otterrà 8.08, (f = 8.08)
Chi vuole acquistare una posizione corta su K pagherà 8.08, (f = -8.08)
© 1999 di V.M. or J.H.
26
1.27
Valore di un contratto Forward

Se f = $7 in che modo possiamo fare arbitraggio?

Volendo anticipare i guadagni?
© 1999 di V.M. or J.H.
27
1.28
Valore di un contratto Forward:
senza redditi
– Lunghi di forward F equivale al possesso di un
sottostante S a scadenza T (qualunque sia il suo
S valore in tale data): S
t
0
0
t
K  S 0 e rT
F  S t e r (T t )
Deve valere come un portafoglio che
f t  ( F  K )e  r ( T  t )
T
acquista oggi e dispone del titolo S in T
e r (T  t )
e rT
 St r (T t )  S0 r (T t )  St  S0e rt
e
e
© 1999 di V.M. or J.H.
28
1.29
Valore di un contratto Forward:
con redditi noti
– Lunghi di forward F vuol dire acquistare il
sottostante S in T (qualunque sia il suo valore in tale
data), quindi senza i redditi maturati tra oggi e T:
S0
St
0
t
K  S 0 e rT  Ie rT
F  ( S t  I t )e r (T  t )
Deve valere come un portafoglio
T
che dispone del titolo S in T
f t  ( F  K )e  r (T t )  St  I t  Ke r (T t )  St  I t  ( S 0  I )e rt
© 1999 di V.M. or J.H.
29
1.30
Valore di un contratto Forward:
con dividend yields noti
– Dato che gli interessi qSt maturano
S0
0
“istantaneamente” (per piccoli t): eqt   (1  qt )
St
rT
e
K  S 0 qT
e
f t  ( F  K )e  r ( T  t )
t
r (T t )
e
F  St q (T t )  St e ( r q )(T t )
e
T
( r  q )T
e
 St e r (T t )  S0 r (T t )  St e r (T t )  S0e( rt qT )
e
© 1999 di V.M. or J.H.
30