Odine degli Ingegneri della Provincia di Pistoia
Corso sulla Vulnerabilità Sismica
Modelli evolutivi per la verifica del
rischio di edifici esistenti
Quaderno 5
Modellazione nonlineare
Prof. Enrico Spacone
Dipartimento di Ingegneria e Geologia
Università degli Studi “G. D’Annunzio” Chieti-Pescara
31 Maggio 2012
SOMMARIO
Livelli di analisi
Algoritmi per le analisi dinamiche nonlineari
Modelli di telai nonlineari
2
SOMMARIO
Livelli di analisi
Algoritmi per le analisi dinamiche nonlineari
Modelli di telai nonlineari
3
LIVELLI DI ANALISI
Joint Model
Bar
Pull-Out
Beam-Column
Element
4
LIVELLI DI ANALISI
Elementi Finiti 3D
Caso + generale
Importante per comprendere i meccanismi di
risposta e rottura locali
Oneroso nei tempi di esecuzione, soprattutto in
campo nonlineare
Le analisi nonlineari richiedono molta esperienza
Esistono grossi rischi in analisi nonlineari
(problemi di localizzazione, non convergenza)
5
LIVELLI DI ANALISI
Elementi Finiti 3D
Scelta della mesh (remesh automatica)
Necessità di definire leggi nonlineari per l’acciaio,
il cls, lo sfilamento, etc.
Problemi legati al trattamento continuo di un
mezzo discontinuo (a causa della fessurazione
del cls, per esempio)
Grosso controllo dei dati di input
Complessità dell’output
Caso dinamico nonlineare troppo lungo e
complesso
6
LIVELLI DI ANALISI
Elementi Finiti 2D
In molti casi e’ possibile fare delle analisi agli EF
con modelli 2D (plane stress o plane strain)
Riduzione drastica dei gdl
Persistono i problemi di definizione delle
nonliearità
Analisi FEM 2D e 3D nonlineari vengono al
momento fatte per lo studio di fenomeni locali
(nodo trave pilastro, singoli elementi strutturali,
etc.)
7
LIVELLI DI ANALISI
Analisi con elementi a telaio
Molto + veloci
Diventa + facile analizzare il comportamento
intero di una struttura complessa
Alcuni fenomeni locali sono difficili da descrivere
(sfilamento, comportamento dei nodi,
confinamento, etc.)
Analisi usate dalle normative sismiche
8
SOMMARIO
Livelli di analisi
Algoritmi per le analisi dinamiche nonlineari
Modelli di telai nonlineari
9
ANALISI NON LINEARI A LIVELLO DI STRUTTURA
Come funziona, procede un’analisi nonlineare?
Si applica alla struttura una storia di carico
In generale bisogna specificare nella fase di
preparazione dei dati che l’analisi è nonlineare
Sempre nella fase di input si specificano le fonti di
nonlinearità
La storia di carico può essere definita in termini di
forze, spostamenti, o misti
La storia di carico è espressa in incrementi, più o
meno piccoli
10
BASI DELL’ANALISI STRUTTURALE
Edificio
Schema analitico
con carichi e/o spostamenti
Importante capire le approx che si fanno nel
passaggio da struttura a modello analitico
11
BASI DELL’ANALISI STRUTTURALE
Struttura
Approx 1
ugx
ugy
Modello Approx 2 Modello
Strutturale
Analitico
ugx
Approx 3
Soluzione
Modello Analitico
12
BASI DELL’ANALISI STRUTTURALE
Struttura
Modello
Strutturale
Modello
Analitico
Anche se è possibile trovare la soluzione esatta del Modello
Analitico, bisogna sempre interpretare i risultati in relazione
alle approssimazioni fatte per passare dalla Struttura al
Modello Strutturale e dal Modello Strutturale al Modello
Analitico
13
BASI DELL’ANALISI STRUTTURALE
COMPONENTI BASE
Nodi
Gradi di libertà
Elementi
Materiali
Forze
Condizioni al contorno
93
94
Il comportamento lineare o nonlineare dipende
praticamente sempre dagli elementi!!!!!!!!
14
ANALISI LINEARE
Elemento Telaio
u3
u2
u5
v(x)
u6
u4
u1
u(x)
Assunzione campi di spostamento (EF)
u(x) = lineare
v(x) = cubico
“esatti” se A(x)=const
e I(x)= const
15
PASSI ANALISI LINEARE
Assemblaggio vettore forze esterne
30
20
10
0
10 
 
0
 
P =  20 
0
 
 30 
0
 
16
PASSI ANALISI LINEARE
Calcolo
matrice rigidezza
di ogni elemento
K EB −beam
 EA
0
 L

12 EI
 0

L3

6 EI
 0
L2

= 
EA
0
−
L


12 EI
0
−

3
L

6 EI

0

L2
0
6 EI
L2
4 EI
L
0
6 EI
L2
2 EI
L
−
u3
u2
u5
u6
u4
u1
−
EA
L
0
0
EA
L
0
0
0
12 EI
L3
6 EI
− 2
L
−
0
12 EI
L3
6 EI
− 2
L



6 EI 
L2 
2 EI 
L 

0 

6 EI 
− 2 
L 
4 EI 
L 
0
EA(x) = const
EI(x) = const
17
PASSI ANALISI LINEARE
Assemblaggio matrice rigidezza struttura
Nel
K =
A
Ke}
{
e =1
Soluzione equazioni equilibrio P = KU
U = K −1 P
18
PASSI ANALISI LINEARE
Calcolo forze elemento (e forze interne di sezione)
Pe = K e Ue
u3
u2
u5
P3
u6
u4
u1
 u1 
 
e
U =M 
u 
 6
P2
P5
P6
P4
P1
 P1 
 
e
P =M 
P 
 6
19
PASSI ANALISI LINEARE
Forze elemento
Pe
Ke
1
Ue
20
PASSI ANALISI LINEARE
Controllo equilibrio forze esterne = forze interne
(solo se analisi lineare fatta con un codice di
calcolo nonlineare, per controllare la
convergenza)
P − PR = 0
Forze applicate – Forse resistenti = 0
21
PASSI ANALISI LINEARE
Equilibrio nodo
P − PR = 0
0
30
0
30
30
20
0
0
10
22
ANALISI NONLINEARE
Il comportamento non-lineare deriva dall’elemento
Pe
103
Ue
23
ANALISI DINAMICHE
Si cerca configurazione equilibrata nella quale
&& + C U
& + K U = P (t )
MU
Struttura Lineare
soluzione a istanti 0,… tn, tn+1, …
senza iterazioni ad ogni istante tn
Struttura Nonlineare
&& + C U
& + P ( U, storia ) = P ( t )
MU
R
soluzione a istanti 0,… tn, tn+1, …
servono iterazioni ad ogni istante tn
24
ANALISI DINAMICHE
t
U
{
spostamento
totale
=
U
{
spostamento
relativo
al suolo
+
ug
{
spostamento
del suolo
Ut
GENERICO gdl l
U
PR l ( U ) = Pl
EQUILIBRIO STATICO
Caso elastico-lineare
N
PR l ( U ) = ∑ K lm U m
m=1
&& t
PR l ( U ) = − M l U
l
EQUILIBRIO DINAMICO
ug
25
ANALISI DINAMICHE
Ut
U
STRUTTURA LINEARE
&& t + KU = 0
MU
U t = U + Lu g
&& + KU = − ML&&
MU
ug
STRUTTURA NONLINEARE
&& + P ( U ) = − ML&&
MU
ug
R
ug
2
3
5
6
1
4
L = vettore di trascinamento
ug
1 
 
0 
0 
L= 
1 
0 
 
0 
26
ANALISI DINAMICHE
EQUILIBRIO DINAMICO CON SMORZAMENTO
&& + CU
& + KU = − ML&&
MU
ug
EQ. LINEARE
&& + CU
& + P ( U ) = − ML&&
MU
ug
R
EQ. NONLINEARE
Il termine di smorzamento viscoso descrive fenomeni
dissipativi molto complessi:
tutti i fenomeni dissipativi
comportamento plastico
attrito
ingranamento degli inerti
scorrimenti
contatto fra elementi strutturali e non-strutturali ……..
L’approssimazione è molto cruda!!!!
27
ANALISI DINAMICHE
COME SCEGLIERE LA MATRICE DI SMORZAMENTO?
SMORZAMENTO CLASSICO (Rayleigh Damping Matrix)
C = a0 M + a1K
Molto conveniente, perchè in campo elastico permette l’ortogonalizzazione
dei modi → analisi modale
Si può dimostrare che attribuendo a due modi generici m ed n (con
frequenze ωn e ωm) coefficienti di smorzamento ξm e ξn (solitamente 5% in
campo lineare
−1
 1

ωm 

ω
a
 ξm 
 0
m


 =2
 
a
1


 1
 ξn 
ω
n
ω
 n

28
ANALISI DINAMICHE
SMORZAMENTO DI RAYLEIGH
1  a0

ξ ( ω) =  + a1ω 
2 ω

Smorzamento
proporzionale a M
Smorzamento
proporzionale a K
ξ
=
+
ω
29
ANALISI DINAMICHE
SMORZAMENTO DI RAYLEIGH
20
7
18
6
16
14
4
ξ (%)
5
3
ξ1 = 5%
12
10
ξ2 = 5%
8
6
4
2
2
1
0
0
ω1
10
ω2
20
30
40
50
ω
20
ω (1/sec)
T (sec)
18
4.6300
13.6877
22.1472
29.6388
35.8350
40.4650
43.3265
1.3570
0.4590
0.2837
0.2120
0.1753
0.1553
0.1450
14
ξ (%)
16
ξ4 = 5%
12
10
ξ5 = 5%
8
6
4
2
0
0
10
20
30
ω
ω4
40
ω5
50
30
ANALISI DINAMICHE
COME SCEGLIERE LA MATRICE DI SMORZAMENTO?
SMORZAMENTO CLASSICO
 J 2ξi ωi
T
C = M ∑
ΦiΦi  M
*
 i =1 M i

E’ possibile controllare il coeff. di smorzamento in tutti i modi
Pochi programmi lo includono
Lo smorzamento e il suo uso sono problemi ancora molto aperti. Lo
smorzamento ha comunque un effetto importantissimo sull’ampiezza della
risposta
31
ANALISI DINAMICHE
COME SCEGLIERE LA MATRICE DI SMORZAMENTO
PER ANALISI NONLINEARI?
SMORZAMENTO DI RAYLEIGH CON RIGIDEZZA INIZIALE
C = a 0M + a1K 0
Visto che la dissipazione di energia dovuta al comportamento nonlineare
materiale è considerato esplicitamente nel termine PR, si consiglia di usare
coeff. di smorzamento ξ dei primi due modi elastici dell’ordine di 2-3%,
altrimenti si tende a sottostimare la risposta della struttura
(sovrasmorzando la risposta della struttra)
Si può anche aggiornare la matrice di smorzamento ad ogni passo, od
ogni tot passi, dopo aver trovato le frequenze modali
C = a 0 M + a1K tan
32
ANALISI DINAMICHE CON TERREMOTO
&& + C U
& + P ( U ) = − ML&&
MU
ug
R
Il terremoto è dato ad intervalli regolari (per esempio 0,02 sec)
u&&g ( t )
t
33
ANALISI DINAMICHE CON TERREMOTO
Analisi al passo
106
Il tempo viene discretizzato in intervalli non necessariamente
uguali a quelli del terremoto
tn-2
tn-1
tn
t
METODO DI NEWMARK
2
∆
t
& + [(1 − 2 β )
&& + [β ∆t 2 ] U
&&
U n = U n-1 + [∆t ] U
]
U
n-1
n-1
n
2
& =U
& + [(1-γ )∆t ] U
&& + [γ ∆t ] U
&&
U
n
n-1
n-1
n
β e γ - parametri che controllano l’accuratezza e la stabilità
dell’algoritmo
34
ANALISI DINAMICHE CON TERREMOTO
Analisi al passo con Metodo Newmark
Al passo n
&& + C U
& +K U =P
MU
n
n
n
n
LINEARE
2
&& + C  U
&
&&
&
&&
 M + ∆t γ C + ∆t 2 β K  U
n
 n −1 + ∆t (1 − γ ) U n −1  + K  U n −1 + ∆t U n −1 + ∆t ( 0.5 − β ) U n −1  = Pn
−1
&&
U n =  K eq  P% n
K eq = M + ∆t γ C + ∆t 2 β K
& + ∆t (1 − γ ) U
&&  − K  U + ∆t U
& + ∆t 2 ( 0.5 − β ) U
&& 
P% n = Pn − C  U
−
1
n −1
n −1 
n
n −1
n −1 

35
ANALISI DINAMICHE CON TERREMOTO
Analisi al passo
Il tempo viene discretizzato in intervalli non necessariamente
uguali a quelli del terremoto
tn-2
tn-1
tn
t
METODO DI NEWMARK
& = ( ∆t )  1 − γ
U

n
 2β

1
&&
Un = 1 −
 2β
 &&
 γ &
γ
U
+
1
−
U
+
( U n − U n−1 )
 n −1 
 n −1
β ( ∆t )
 β

 &&
1 &
1
U
U
U − U n −1 )
−
+
 n −1
n −1
2 ( n
β ( ∆t )
β ( ∆t )

β e γ - parametri che controllano l’accuratezza e la stabilità
dell’algoritmo
36
ANALISI DINAMICHE CON TERREMOTO
Analisi al passo con Metodo Newmark
Al passo n
&& + C U
& +K U =P
MU
n
n
n
n
LINEARE
−1
U n =  K eq  P% n
 
1
P% n =  M  1 −
  2β


γ
 + C ( ∆t )  1 − 2 β




  &&

1
γ  &
1
γ 
U
+
−
M
+
C
1
−
U
+
−
M
−
C

 U n−1
  n−1 
 β   n−1
2
β
β
t
t
∆
∆
(
)
(
)
β
t
∆
(
)






 1

γ
K eq = 
M
C
K
+
+

2
β ( ∆t )
 β ( ∆t )

37
ANALISI DINAMICHE CON TERREMOTO
Analisi al passo con Metodo Newmark
&& + C U
& + P (U ) ≠ P
MU
n
n
R
n
n
NONLINEARE
Servono iterazioni i per trovare equilibrio dinamico
38
ANALISI DINAMICHE NONLINEARI
• Equation of motion (in semi-discretized form):
&& + C U
& + P ( U ) = − MLu&& = P
MU
n
n
R
n
gn
n
• Residual form of equation of motion at tn = n ∆t:
&& − CU
&& − P ( U ) = 0
Ψ n = Pn − MU
n
n
R
n
• Time stepping method (e.g., Newmark):
& = ( ∆t )  1 − γ
U
n
 2β

&& =  1 − 1
U
n
 2β

 &&
 γ
U
+
 n−1  1 − β


&
γ
U
+
 n−1 β ∆t ( U n − U n−1 )
( )

 &&
1 &
1
U
−
U
+
U − U n−1 )
2 ( n
 n−1 β ∆t n−1
( )
β ( ∆t )

39
ANALISI DINAMICHE NONLINEARI
• From previous expressions
 1

γ
Ψ n = P% n − 
MU n +
CU n + PR ( U n ) = 0
2
β ( ∆t )
 β ( ∆t )

where

& − 1 − 1
%P = P + M  1 U + 1 U
n
n
n −1
n −1
2
 2β
β
∆
t
(
)
β
∆
t
(
)


 γ
 γ
C
U n−1 −  1 −
 β
 β (∆ t )
Ψ n ( Un ) = 0
 && 
 U n−1  +


&

γ
U
t
1
−
∆
−
(
)
 n−1
 2β


 && 
 U n−1 


: Nonlinear vector algebraic equation
40
ANALISI DINAMICHE NONLINEARI
• Newton-Raphson incremental-iterative procedure:
Ψ
 ∂Ψ in−1  i
i −1
i −1
 ∂Ui −1  dU n = − Ψ ( U n ) = − Ψ n
 n 
( K dyn )
i −1
n
dUin = − Ψ in−1
where
∆u3n
∆u2n
Ψ 0n = 0
− ( K dyn )
∆u1n
0
n
Ψ n−1 = 0
−Ψ 0n
1
−Ψ1n
n −1
dU1n
dU 2n
U n−1
(K )
i −1
dyn n
Ψ
i −1
n
 1

γ
i −1
=
M+
C + ( K )n 
2
β
∆
t
( )
 β ( ∆t )

dU 3n
U 2n
n
U
U3n
: Dynamic consistent/algorithmic
tangent stiffness matrix
 1

γ
i −1
i −1
i −1
= Pn − 
MU n +
CU n + PR ( U n ) 
2
β
∆
t
( )
 β ( ∆t )

U in = U n−1 + ∆U in = U in−1 + dU in
U1n
−Ψ 2n
: Dynamic residual vector
41
ANALISI DINAMICHE NONLINEARI
Analisi al passo con Metodo Newmark
( K dyn )
i −1
n
dUin = − Ψ in−1
Forze dinamiche
Matrice di
rigidezza equivalente Non equilibrate
Spostamenti incrementali
All’istante tn le operazioni numeriche per raggiungere
l’equilibrio sono formalmente molto simili alle iterazioni in
campo statico nonlineare
42
ANALISI NONLINEARI
DINAMICO
STATICO
Generalizzazione
Pn = λref (τ n ) Pref
i −1
( Punb )n
τ = pseudo − tempo
i −1
= ∆Pni = Pn − ( PR )n
dUin =  K in−1 
−1
i −1
( Punb )n
&& ( t )
Pn = − MLU
g
n
&& i −1 + CU
& i −1 + ( P )i −1 − P
ψ in−1 = M U
n
n
n
R n
i-1
 K dyn 
n
1
γ
= 2 M+
C + K in−1
∆t β
∆t β
(
i-1 −1
dU =  K dyn 
n
i
n
)
solutore
unico
U in = U in−1 + dU in
(− ψ )
i −1
n
43
ANALISI DINAMICHE
Lineare
Modale
• Al passo per ogni modo (N analisi al passo su singolo modo)
Al Passo per sistema a N gdl
Nonlineare
Al Passo + iterazioni all’interno di ogni passo
• Da un punto di vista teorico non grosse differenza col caso
statico nonlineare. I termini inerziali danno “maggiore stabilità”
Algoritmi particolari
44
SOMMARIO
Livelli di analisi
Algoritmi per le analisi dinamiche nonlineari
Modelli di telai nonlineari
45
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica
Teoria della plasticità
A fibre
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti
Formulazione in forze
Integrazione numerica
Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
46
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica
Teoria della plasticità
A fibre
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti
Formulazione in forze
Integrazione numerica
Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
47
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
Le cerniere plastiche si formano di solito alle estremita’
degli elementi strutturali ed eventualmente vicino alla
mezzeria nelle travi
In questi punti vengono specificati speciali elementi
(cerniere plastiche) mentre il resto dell’elemento rimane
elastico
cerniere
plastiche
Possono essere anche interne
48
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
U3
U2
U1
elemento
lineare elastico
U5
U6
U4
cerniere
plastiche
49
CERNIERA PLASTICA
Il Concetto di Cerniera Plastica
Lunghezza della Cerniera Plastica
Modelli
130
Legge Costitutiva Cerniera Plastica
Ad hoc (per punti secondo normativa)
Fenomenologica
Teoria della plasticità
A fibre
133
134
135
50
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
U3
U2
U5
U6
U4
U1
elemento
lineare elastico
cerniere
plastiche
Come ottengo la matrice di rigidezza K ?
6 x6
2 approcci: in spostamenti o in forze
e
51
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
Formulazione in spostamenti
U3
U2
U5
U7
U6
U4
U1
U8
Scrivo la matrice di rigidezza K e riferita a tutti i gdl
8 x8
Uso la condensazione statica per eliminare i gdl interni.
- inversione di una matrice di rigidezza
- necessità di avere 4 schemi a seconda del
comportamento delle cerniere
52
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
Formulazione in forza
P3
P2
P5
P6
P4
P1
P e = ΓTRBM Q e
Elemento senza RBM
Q1
Q2
Q3
53
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
Formulazione in forza
Q2
Q3
Q1
Qe
Q 2 , q2
Q1 , q1
1 
 
Q1 = 0 
0 
 
T1
T
 Q1 
 
Q2 
Q 
 3
Qe
Q3 , q 3
T
1 0 0   Q1 
 
Q 2 = 0 1 0  Q2 


0 0 1   Q3 
T2
0 
 
Q3 =  1 
0 
 
T
 Q1 
 
Q2 
Q 
 3
T3
54
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
Formulazione in forze (elastico lineare)
Q2
Q3
Q1
Qe
PFV
eT
δ Q qe = δ Q1T q1 + δ QT2 q2 + δ QT3 q3
qe = T1T q1 + T2T q2 + T3T q3
f e Q e = T1T f1 Q1 + T2T f2 Q 2 + T3T f3 Q3
f e Q e = T1T f1 T1 Q e + T2T f2 T2 Q e + T3T f3 T3 Q e
f e = T1T f 1 T1 + T2T f2 T2 + T3T f3 T3
55
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
Formulazione in forza (nonlineare)
Q2
Q3
Q1
Qe
qe = T1T q1 + T2T q2 + T3T q3
dq e
T d q1
T dq 2
T d q3
= T1
+ T2
+ T3
f =
e
e
e
dQ
dQ
dQ
dQ e
e
= T1T
d q1 d Q1
T d q 2 dQ 2
T d q3 d Q
+
T
+
T
2
3
d Q1 dQ e
dQ 2 dQ e
d Q 3 dQ e
= T1T F1 T1 + T2T F2 T2 + T3T F3 T3
56
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica
Teoria della plasticità
A fibre
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti
Formulazione in forze
Integrazione numerica
Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
57
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Il comportamento è monitorato lungo
l’elemento
Esistono due approcci fondamentali:
Formulazione in spostamenti
Formulazione in forze
Le formulazioni generano elementi di
telaio che richiedono di conoscere la
risposta delle sezioni lungo l’elemento
58
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
U3
U2
v(x)
U5
u(x)
U1
U6
U4
P3
P2
P5
P4
P1
U 1 
 
Ue =  M 
U 
 6
P6
 P1 
 
Pe =  M 
P 
 6
u ( x ) 
u( x) = 

v
x
(
)


ε 0 ( x )  deformazioni di
e ( x) = 

sezione
x
ϕ
(
)


s
 N ( x) 
forze
s ( x) = 

 M ( x )  di sezione
s
Si lavora qui con un elemento di tipo Eulero-Bernoulli
59
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica
Teoria della plasticità
A fibre
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti
Formulazione in forze
Integrazione numerica
Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
60
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
U3
U2
U5
U6
U4
U1
Nell’elemento classico a due nodi, si fanno le seguenti
ipotesi sui campi di spostamento
u(x) = lineare
v(x) = cubico
u ( x ) = N U ( x ) Ue
61
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
U3
U2
U5
U6
U4
U1
Ciò risulta nelle seguenti deformazioni di sezione
ε   u ' ( x )  costante
es ( x ) =  0  = 

v
"
x
ϕ
(
)
  
 lineare
d
 dx
=
0


d

0 
0

u ( x )   dx
e
=
N
x
U



(
)


U
d 2   v ( x )  
d2 
 0 dx 2 
dx 2 
144
42444
3
B ( x)
62
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
U3
U2
U5
U6
U4
U1
La formulazione è approssimata perché le equazioni
differenziali della trave:
d 
du 
EA

=0
dx 
dx 
d 2  d 2v 
=0
 EI
dx 2  dx 2 
ammettono soluzione
u(x) = lineare
v(x) = cubico
solo nel caso di comportamento elastico lineare e sezione
costante (EA = const, EI = const).
Nel caso di comportamento nonlineare, la soluzione è tanto più
approx quanto maggiore è la nonlinearità
63
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
ε 0   u ' ( x )  costante
e ( x) =   = 

v
"
x
ϕ
(
)
  
 lineare
s
Le deformazioni di sezione si scrivono nella forma
matriciale
es ( x ) = B ( x ) Ue
B(x) e’ la matrice delle funzioni di forma, che esprimono
il fatto che ε0 = costante e ϕ = lineare
64
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
Serve il comportamento della sezione.
Nel caso elastico lineare
ss ( x ) = k s ( x ) e s ( x )
N 
 =
M
{
ss
Nel caso nonlineare
 EA 0  ε 0 
 0 EI   ϕ 
14243 {

es
ks
dss ( x ) = k stan ( x ) des ( x )
65
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti (lineare)
Usando principi energetici si arriva alle seguenti
espressioni di equilibrio
L
e
P =
∫ B ( x ) s ( x ) dx
s
T
0
L
K = ∫B
e
0
T
( x ) k ( x ) B ( x ) dx
s
Forze
dell’elemento
Matrice di rigidezza
dell’elemento
Le forze dell’elemento sono l’integrale pesato delle forze
di sezione.
La matrice di rigidezza dell’elemento è l’integrale pesato
delle rigidezze di sezione
66
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti (nonlineare)
Equilibrio nella posizione Ue
L
Pe =
T
s
B
x
s
(
)
( x ) dx
∫
0
L
K etan
L
s
s
s
dP e
d
s
d
s
d
e
T
T
=
=
=
B
x
dx
B
(
)
( x ) s e dx
e
e
∫
∫
dU
dU
de dU
{{
0
0
k stan B
L
K etan = ∫ BT ( x ) k stan ( x ) BT ( x ) dx
0
67
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti (nonlineare)
Se ∆Ue è un incremento finito, allora rigidezza secante
s
k s = k sec
∆s s
= s
∆e
∆e
L
e
∆P e = K sec
∆U e
e
K sec
= ∫ BT k ssec B dx
0
68
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
ELEMENT STATE DETERMINATION
GIVEN U e
for h = 1, m
e sh = B h U e
SECTION STATE DETERMINATION ⇒ k sh , ssh
m
P = ∑ BTh ssh wh L
e
h =1
m
K = ∑ BTh k sh B h wh L
e
h =1
next
69
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
Limiti della formulazione
L
Pe =
L
T
s
B
x
s
(
)
( x ) dx
∫
K e = ∫ BT ( x ) k s ( x ) B ( x ) dx
0
0
Le B(x) impongono campi costante per le
deformazioni assiali ε0 e lineare per le curvature ϕ.
Questo costituisce una approssimazione nel caso di
comportamento nonlineare del materiale
↓
Formulazione approssimata
70
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
Gli elementi sono approssimati nel caso di
comportamento materiale nonlineare
Non esistono elementi + sofisticati che
funzionino veramente bene
Bisogna infittire la mesh, cioè usare + di un
elemento / trave o colonna, come si fa di
routine con qualunque altra mesh agli EF
Quanti elementi?
71
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
• Si cerca di infittire la mesh nei punti di maggiore nonlinearità
• Alcuni programmi seguono procedure di remesh adattativa
• Possibili problemi di localizzazione delle deformazioni
72
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica
Teoria della plasticità
A fibre
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti
Formulazione in forze
Integrazione numerica
Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
73
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
Elemento senza modi rigidi
Q1
Q3
TRAVE DI EULERO-BERNOULLI
TRAVE DI TIMOSHENKO
 N ( x ) 
s ( x) = 

M
x
(
)


 N ( x) 


ss ( x ) =  M ( x ) 
 V (x) 


s
ε ( x ) 
es ( x ) =  0

 κ ( x ) 
ε 0 ( x ) 


es ( x ) =  κ ( x ) 
 γ (x) 


74
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
TRAVE DI EULERO-BERNOULLI
Q
Q2
e
N(x)
M(x)
“Esatto”
Q3
Q1
N ( x ) = 1 ⋅ Q3
x   x   Q 

M ( x ) =   −1 +      1 
L   L   Q2 

0 1  Q1 
 0

N
x

 ( ) 
 Q  = N ( x ) Qe
ss ( x ) = 
x x
=
2
Q
0  
 M ( x )   −1 +
Q3 
1442443
L L
 {
NQ ( x )
Qe
75
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
TRAVE DI TIMOSHENKO
Q
Q2
e
Q3
Q1
N(x)
M(x)
V(x)
“Esatto”
N ( x ) = 1 ⋅ Q3
x   x  Q 

M ( x ) =   −1 +      1 
L   L   Q2 

V (x)=



0
0
1
  Q1 
 N ( x)  

 
x
x






ss ( x ) =  M ( x )  =  −1 +    0  Q2  = NQ ( x ) Qe
L  L
 V ( x )  
 Q3 

 
1
 1  {
  0  Qe
  L
 L 
  
144424443
NQ ( x )
dM  1   1    Q1 
=       
dx  L   L   Q2 
76
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
 N ( x )  costante
s ( x) = 

 M ( x )  lineare
s
140
Questi campi sono “esatti” indipendentemente dal
comportamento materiale delle sezioni per elementi con
carichi solo nodali. Le forze di sezione si scrivono nella
forma
ss ( x ) = N Q ( x ) Q e
NQ(x) e’ la matrice delle funzioni di forma in forze, che
esprimono il fatto che Ν = costante e Μ = lineare.
77
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
Serve il comportamento della sezione.
Nel caso elastico lineare
es ( x ) = f s ( x ) ss ( x )
Nel caso nonlineare
 1

0
 N 
 ε   EA
 
 =
ϕ 
1  M 
{
{
0

EI3 ss
es
14
24
fs
s
des ( x ) = f tan
( x ) dss ( x )
78
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze (caso lineare)
Usando principi energetici si arriva alle seguenti espressioni
di congruenza
L
e
q =
∫ N ( x ) e ( x ) dx
T
Q
s
0
L
f e = ∫ NTQ ( x ) f s ( x ) N Q ( x ) dx
0
Deformazioni nodali
dell’elemento
Matrice di flessibilità
dell’elemento
Le deformazioni nodali dell’elemento sono l’integrale pesato
delle deformazioni di sezione.
La matrice di flessibilità dell’elemento è l’integrale pesato
delle flessibilità di sezione
79
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze (caso nonlineare)
L
qe =
T
s
N
x
e
(
)
( x ) dx
∫ Q
0
L
e
f tan
L
s
s
s
dqe
d
e
d
e
d
s
T
T
=
=
N
x
dx
=
N
dx
(
)
Q
Q ( x)
e
e
s
e
∫
∫
dQ
dQ
ds {
dQ
{
0
0
s
f tan
NQ
L
e
s
= ∫ NTQ ( x ) f tan
f tan
N Q ( x ) dx
0
80
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
L
L
qe =
f e = ∫ NTQ ( x ) f s ( x ) N Q ( x ) dx
T
s
N
x
e
(
)
( x ) dx
∫ Q
0
0
Le NQT(x) impongono campi costante per lo sforzo
assiale N e lineare per i momenti M. Queste
assunzioni sono sempre esatte nel quadro della
teoria della trave, indipendentemente dal
comportamento materiale
↓
Elemento “esatto”
81
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
Dopo aver calcolato Qe e fe
P3 , U3
P1, U1
P2 , U2
P5, U5
P6, U6
Pe , K e
P4, U4
P e = ΓTRBM Q e
K e = ΓTRBM k e Γ RBM
Q2, q2
Q1, q1
Q3, q3
Qe , k e
82
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
La formulazione è esatta
VANTAGGI principali
basta usare un elemento/trave o pilastro
la formulazione permette di trattare anche il
softening (importante per analisi fino allo SL-CO)
SVANTAGGI principali
L’implementazione in un programma di calcolo è
piuttosto complicato (richiede iterazioni)
Disponibile al momento in pochi programmi
commerciali
83
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica
Teoria della plasticità
A fibre
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti
Formulazione in forze
Integrazione numerica
Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
84
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Integrazione Numerica
Formulazione in spostamenti
L
Pe =
T
s
B
x
s
(
)
( x ) dx
∫
L
K e = ∫ BT ( x ) k s ( x ) B ( x ) dx
0
0
Formulazione in forze
L
qe =
T
s
N
x
e
(
)
( x ) dx
∫ Q
0
L
Q e = ∫ NTQ ( x ) f s ( x ) N Q ( x ) dx
0
gli integrali elementi sono risolti attraverso integrazione
numerica
85
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Integrazione Numerica
L
m
∫ f ( x ) dx ≈ ∑ f ( x ) w L
h
h
h =1
0
L
f (x1)
f (x1)
f (x2)
f (x2)
f (x3)
f (x3)
m=3
w1L
x1
x2
w2L
w3L
L
x3
∫ f ( x ) dx
≈ f ( x1 ) w1 L + f ( x2 ) w2 L + f ( x3 ) w3 L
0
86
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Integrazione Numerica
Formulazione in spostamenti
Metodo di Gauss (precisione 2m-1): m=3,4
m=2
m=4
m=3
m=5
Formulazione in forze
Metodo di Gauss-Lobatto (precisione 2m-3): m=4,5
m=2
m=4
m=3
m=5
143
87
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Integrazione Numerica
Formulazione in spostamenti
L
∫B
e
P =
m
T
( x ) s ( x ) dx ≈ ∑ BT ( xh ) s s ( xh ) wh L
s
h =1
0
L
K = ∫B
e
m
( x ) k ( x ) B ( x ) dx ≈ ∑ BT ( xh ) k s ( xh ) B ( xh ) wh L
T
s
h =1
0
Formulazione in forze
L
∫N
e
q =
m
T
Q
( x ) e ( x ) dx ≈ ∑ NTQ ( xh ) e s ( xh ) wh L
s
h =1
0
L
Q = ∫N
e
0
m
T
Q
( x ) f ( x ) N Q ( x ) dx ≈ ∑ NTQ ( xh ) f s ( xh ) N Q ( xh ) wh L
s
h =1
monitoraggio h=1,m sezioni in posizione xh
88
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Integrazione Numerica
Un problema legato all’integrazione numerica e/o alla
dimensione dell’Elemento Finito (Elemento Telaio nel
nostro caso) è quello della localizzazione delle
deformazione e della perdita di oggetività della risposta,
particolarmente importante in elementi con comportamento
con perdita di resistenza (cls a compressione oltre il picco
di resistenza)
144
89
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica
Teoria della plasticità
A fibre
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti
Formulazione in forze
Integrazione numerica
Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
90
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Modelli di sezione
Si possono usare gli stessi modelli che si usano
per le cerniere plastiche.
Legge Fenomenologica
Legge di Sezione basata sulla Teoria della plasticità
Sezione a fibre
Grosso sviluppo di software nel futuro prossimo
91
SOMMARIO
Livelli di analisi
Algoritmi per le analisi dinamiche nonlineari
Modelli di telai nonlineari
FINE
92
NODI TELAIO E GDL
DA PAGINA 14
U2
U3
U1
Nel caso generale:
- 2D: 3 gld/nodo
Solitamente 1 nodo /
nodo strutturale
- 3D: 6 gdl/nodo
PAGINA 14
rigid end zones?
93
ELEMENTI E MATERIALI
DA PAGINA 14
Elemento telaio tipo
u3
u2
u5
u5
u4
u1
Formulazioni base
a) Trave di Eulero-Bernoulli
(solo deformazioni assiali e flessionali)
b) Trave di Timoshenko
(def. assiali, flessionali e a taglio)
94
TEORIA TRAVE DI EULERO-BERNOULLI
DA PAGINA 14
y
a'
Deformed
b'
bg
dv 0
dx
v0 x
a
Undeformed
x
b
bg
u0 x
Assunzione base: Sezioni piane rimangono piane e
normali all’asse della trave
95
TEORIA TRAVE DI EULERO-BERNOULLI
DA PAGINA 14
Hp: non ci sono carichi distribuiti
M+dM
M
N
κ
N+dN
V
dx
V+dV
Deformata della sezione a flessione
96
TEORIA TRAVE DI EULERO-BERNOULLI
DA PAGINA 14
Equazioni differenziali del problema
d 
du 
EA
x
=0
(
)


dx 
dx 
d2
dx 2

d 2 v0 
 EI ( x ) dx 2  = 0


EA(x) = const
EI(x) = const
d 2u
=0
dx 2
d 4v
=0
4
dx
uesatto = polinomio lineare
vesatto = polinomio cubico
97
TEORIA TRAVE DI TIMOSHENKO
DA PAGINA 14
bg
y
α0 x
γ
a'
Deformed
v0 = v0s + v0f
b'
bg
dv 0
dx
v0 x
a
x
Undeformed
b
α0 = v’0f
γ = v’0s
bg
u0 x
Assunzione base: Sezioni piane rimangono piane ma
non normali all’asse della trave
98
TEORIA TRAVE DI TIMOSHENKO
DA PAGINA 14
TENSIONI TANGENZIALI
SU UNA
SEZIONE CIRCOLARE
SHEAR STRESSES
IN RECTANGULAR
SECTION
τ xy
τ xy
y
x
h
b

6V  h 2
τ xy = 3  − y 2 
bh  4

"Exact" Theory
Teoria “Esatta”
τ xy = const =
V
GAs
Teoria Beam
dellaTheory
Timoshenko
Trave di Timoshenko
99
TEORIA TRAVE DI TIMOSHENKO
DA PAGINA 14
κ
κ
+
=
γ
deformazione a
flessione
deformazione
a taglio
100
TEORIA TRAVE DI TIMOSHENKO
DA PAGINA 14
v0 (x)
x
v0 (x) = vf (x) + vs (x)
vf (x)
vs (x)
101
TEORIA TRAVE DI TIMOSHENKO
DA PAGINA 14
Equazioni differenziali del problema
d 
du 
EA
x
=0
(
)


dx 
dx 
d 
 dv0

GA
−
α
0  = 0
s

dx 
 dx

 dv
 d  dα 0 
GAs  0 − α 0  +  EI
=0
dx 
 dx
 dx 
EA(x) = const
EI(x) = const
GAs(x) = const
d 2u
=0
2
dx
d 2 v0 dα 0
−
=0
2
dx
dx
d 2α 0
 dv0

GAs 
− α 0  + EI
=0
2
dx
 dx

uesatto = polinomio lineare
vesatto = ?
αesatto = ?
14
102
ELEMENTO NON LINEARE
DA PAGINA 23
La curva viene calcolata solo per punti
Pe
Ue
103
ELEMENTO NON LINEARE
DA PAGINA 23
Quale rigidezza per un dato valore di Ue?
Pe
1
K1
K1 = K tangente
K3
1
K 2 = K secante-totale
K 3 = K secante-incrementale
K2
1
Ue
104
ELEMENTO NON LINEARE
DA PAGINA 23
La risposta dipende dalla storia di carico
Pe
23
Ue
105
NUMERO PASSI ANALISI
DA PAGINA 34
P
POCHI PASSI
Analisi:
Veloce
Poco precisa
U
106
NUMERO PASSI ANALISI
DA PAGINA 34
P
MOLTOI PASSI
Analisi:
+ Lenta
+ Precisa
U
107
NUMERO PASSI ANALISI
DA PAGINA 34
150
MOMENT (kip-in)
100
50
0
APPLIED CURVATURE INCREMENTS
-50
∆φ = 0.1E-3 rad/in
∆φ = 0.3E-3 rad/in
∆φ = 0.6E-3 rad/in
-100
-2
-1
-1
0
1
1
2
2
CURVATURE (10-3 rad/in)
Esempio Analisi Sezione: Importanza passo analisi
108
STORIA DI CARICO
DA PAGINA 34
Esistono molte maniere per definire una storia di carico
Esempio
Definizione carico di riferimento
3
2
1
Pref
0 
1 
 
0 
 
= 2 
0 
 
 3
0 
 
109
STORIA DI CARICO
DA PAGINA 34
Definizione funzione di carico
Si sceglie un ∆τ che può variare durante la storia di carico
λref
Al passo di carico n il carico applicato è:
n
λref = ∑ ∆τl
n
l =1
Pn = λrefn Pref
τ è uno pseudo-tempo
τ
110
RIGIDEZZA
•
DA PAGINA 34
Tangente (Newton – Raphson)
P3
+ veloce
P2
instabile vicino a
massimi
P1
iterazione con
K nuova
U
U1
U2
U3
111
RIGIDEZZA
•
DA PAGINA 34
Modified Newton – Raphson
P3
Compromesso fra
i due precedenti
P2
iterazione con
K nuova
P1
U
U1
U2
U3
112
RIGIDEZZA
•
DA PAGINA 34
Rigidezza iniziale
P3
+ lento
P2
+ stabile del NR
P1
iterazione con
K nuova
U
U1
U2
U3
113
RIGIDEZZA
•
DA PAGINA 34
Secante totale
P3
P2
iterazione con
K nuova
P1
U
U1
U2
U3
114
RIGIDEZZA
•
DA PAGINA 34
Secante totale
P3
P2
iterazione con
K nuova
P1
U
U1
U2
U3
115
RIGIDEZZA
•
DA PAGINA 34
Secante “modificato”
P3
P2
iterazione con
K nuova
P1
U
U1
U2
U3
116
ANALISI STATICA NONLINEARE
DA PAGINA 34
Riepilogo iterazioni al passo di carico n (Pn=const , iterazioni NR)
VERSIONE 1
for i=1,max_numb_iterations
eventually compute  K * 
−1
−1
i −1
dUin =  K *  Punb
∆Uin = ∆Uin−1 + dUin ,
Uin = U n −1 + ∆Uin
for e=1,Nel
e
e i
(U ) = E U
compute ( K ) , ( P )
i
n
n
end
Nel
K = A (K
i
n
e
e i
)
e i
e i
n
n
Nel
i
( PR )n = Ae ( Pe )n
i
n
i
i
Punb
= Pn − ( PR )n
i
if Punb
≈ 0 exit loop and increment n
end
117
ANALISI AL PASSO
DA PAGINA 34
Riepilogo iterazioni al passo di carico n (Pn=const , iterazioni NR)
VERSIONE 2
for i=1,max_numb_iterations
for e=1, Nel
e i
e
(U ) = E U
compute ( K ) , ( P )
i
n
n
end
Nel
K = A (K
i
n
e
e i
e i
n
n
e i
)
Nel
i
( PR )n = Ae ( Pe )n
i
n
i
i
= Pn − ( PR )n
Punb
i
if Punb
≈ 0 exit loop and increment n
eventually compute  K * 
−1
−1
end
i
dUin =  K *  Punb
∆Uin = ∆Uin−1 + dUin ,
Uin = U n −1 + ∆Uin
118
ANALISI AL PASSO
DA PAGINA 34
* −1
Cosa vuol dire “eventually compute”  K  ?
• K non è invertita, ma viene effettuata una
triangolarizzazione (operazione che costa molto meno
dell’inversione
• Rimane comunque il passo lento della soluzione del
problema, quindi a volte si cerca di evitare l’ “inversione”
ad ogni passo (come nel NR)
• Rigidezza iniziale: inversione di K solo al primissimo
passo (EL) dell’analisi K * = K i=0
n=1 = K 0
• NR-modificato: inversione di K solo alla prima iterazione
*
i=0
del passo di carico K = K n
119
ALTRE PROCEDURE ITERATIVE
DA PAGINA 34
DIFFERENTI TIPI DI RISPOSTA
P
No problem con
metodi alla Newton
U
P
P
Rottura duttile (c.a. o acciaio)
Controllo in spostamento o metodi
avanzati
U
Rottura fragile (pilastri in c.a. con
P altro)
Controllo in spostamento o metodi
avanzati
U
120
ALTRE PROCEDURE ITERATIVE
DA PAGINA 34
DIFFERENTI TIPI DI RISPOSTA
P
Snap-through
Solo metodi avanzati
U
P
Snap-back
Solo metodi avanzati
Localizzazione con
softening locale
(vedere Diapositive)
U
121
ALTRE PROCEDURE ITERATIVE
McGuire, Gallagher, Ziemian - Matrix Structural Analysis, John Wiley 2000
DA PAGINA 34
122
ALCUNI CRITERI DI CONVERGENZA
DA PAGINA 34
Convergenza in spostamento
dUi < tolU
dU i
oppure
dU i
dU1
< tolU
dU1
non funziona bene per K molto alta
troppo restrittivo in altri casi
PRINCIPALMENTE TEORICO
123
ALCUNI CRITERI DI CONVERGENZA
DA PAGINA 34
Convergenza in forza
dPi
dPi < tolP
oppure
dP i
1
dP
dP1
< tolP
non funziona bene per K molto piccola
USATO
124
ALCUNI CRITERI DI CONVERGENZA
DA PAGINA 34
Convergenza in energia
E i < tolE
Ei
oppure
E1
Ei
E
1
< tolE
MOLTO USATO
Controllare E0 non troppo piccola
125
CONVERGENZA
DA PAGINA 34
Quante iterazioni all’interno di un passo di
carico?
I programmi fissano un limite di default e/o
chiedono all’utente di fissarlo (per esempio i≤10)
Se il criterio di convergenza è soddisfatto con i≤10
il passo di carico è concluso e si incrementa il
carico passando al passo successivo
Se il criterio di convergenza non è soddisfatto a
i=10, o il programma si ferma, o avanza
segnalando però il problema, o avanza e non dice
niente (!)
126
CONVERGENZA
DA PAGINA 34
CONVEGENZA? SI → Avanza al passo di
carico successivo
n=n+1
CONVERGENZA? NO
Il programma si ferma. Si ripete l’analisi rinfittendo il
passo di carico
Alcuni programmi hanno il comando RESTART che permette di
ripartire dall’ultimo punto di convergenza
Il programma continua segnalando o no il problema
Divergenza
Convergenza ritardata al passo successivo (controllare se
convergenza su un altro ramo di equilibrio
127
CONVERGENZA RITARDATA AL PASSO
SUCCESSIVO
DA PAGINA 34
Pn+1
Pn
U
128
DIVERGENZA
DA PAGINA 34
Pn+1
Pn
34
U
129
CERNIERA PLASTICA
DA PAGINA 50
LUNGHEZZA CERNIERA PLASTICA
Smax
Mf
H - Lp
H = Lv
My
Lp
Mu
L pl = 0,1LV + 0,17h + 0,24
H
Mu
=
My
H - Lp
Lp
My
1H =
Mu
d bL f y ( MPa)
f c ( MPa)
LV
= M/V = luce di taglio
d bL
= diametro barre longitudinali
My
Mu = 0.92
Lp = 0.08*Lv
(OPCM 3431 Punto 11.A.4)
130
MODELLI DI CERNIERA PLASTICA
DA PAGINA 50
non
lineare
lineare
M
ϕ
L-Lpl
Lpl
Hp:
curvatura ϕ
costante su Lpl
θ = ϕ Lpl
M
θ
131
MODELLI DI CERNIERA PLASTICA
Modello B
lineare
Modello A
lineare
DA PAGINA 50
L-Lpl
L
non
lineare
non
lineare
50
Lpl
0
M
M
My
My
θy
θ
θ pl = θ − θ y
132
LEGGE COSTITUTIVA FENOMENOLOGICA
DA PAGINA 50
M
My
Curva prestabilita o assegnata
Per esempio modelli Bouc-Wen e Takeda
Difficile introdurre interazione P-M
50
θy
θ
133
CERNIERA PLASTICA BASATA SULLA
TEORIA DELLA PLASTICITA’
DA PAGINA 50
50
McGuire, Gallagher, Ziemian - Matrix Structural Analysis, John Wiley 2000
134
SEZIONE A FIBRE
DA PAGINA 50
Layer Section
Fiber Section
y
y
z fib
y fib
z
l fib = {− y fib
z fib 1}
135
SEZIONE A FIBRE
DA PAGINA 50
GIVEN e sh
for fib = 1, nfib
ε fib = l fibesh
FIBER STATE DETERMINATION ⇒ E fib , σ fib
next
nfib
sec tion stiffness
k = ∑ lTfib ( E fib A fib ) l fib
s
h
fib
nfib
sec tion forces
s
h
s =
∑ l (σ
T
fib
fib
fib
A fib )
SECTION STATE DETERMINATION
for section h
136
CERNIERA PLASTICA CON SEZIONE
A FIBRE
Layer Section
DA PAGINA 50
Fiber Section
• Interazione Automatica P-M (o P-M1-M2 nel caso di
pressoflessione deviata)
• Possibilità di introdurre interazione P-M-V (non ancora in
programmi commerciali)
• Puo’ creare problemi di convergenza se i materiali non
sono ben scelti
• Quante fibre scegliere?
137
LEGGI COSTITUTIVE FIBRE
DA PAGINA 50
σ
σ
σ
ACCIAIO 1
ACCIAIO 2
ε
ACCIAIO 3
ε
ε
σ
σ
ACCIAIO 4
CLS 1
ε
ε
σ
CLS 2
ε
CLS 3
ε
138
SENSIBILITA’ RISPOSTA: SEZIONE A FIBRE
18 #24
10000
MOMENT (kips-ft)
5000
DA PAGINA 50
1000 kips compressive axial force
33 in
36 in
0
-5000
-10000
-0.0006
50
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
CURVATURE (rad/in)
0.0004
0.0006
139
FORMULAZIONE IN FORZE ED ELEMENTO
NONLINEARE CON SOFTENING
r, r +∆r
DA PAGINA 77
Sezione No.
N (const.)
5
4
3
(A)
Mu
κ
(B)
(C)
M
(A) ELEMENTO E CARICHI
(B) DIAGRAMMA MOMENTI
(C) DISTRIBUZIONE CURVATURA
2
1
1
(D)
Mu
1
(D) MOMENTO-CURVATURA
5
43
2
κ
140
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
DA PAGINA 77
Confronto Elementi Telaio in Spostamenti ed in Forze
Elemento in Spostamenti
Equilibrio solo in forma integrale
Compatibilità delle deformazioni solo all’interno
dell’elemento
DISTRIBUZIONE CURVATURE
r, r +∆r
M
κ
1 ELE
2 ELE
3 ELE
Gli elementi “comunicano” solo attraverso le forze e gli spostamenti nodali:
Salto di curvatura e momento fra gli elementi (come negli EF)
141
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
DA PAGINA 77
Confronto Elementi Telaio in Spostamenti ed in Forze
Elemento in Forze
Compatibilità solo in forma integrale
Equilibrio delle forze solo all’interno dell’ele
Per travi di Eulero-Bernoulli e Timoshenko ele è “esatto”
r, r +∆r
M
DISTRIBUZIONE CURVATURE
77
κ
BASTA 1 ELE PERCHE’ “ESATTO”
Per applicazioni in cui l’elemento è esatto (elemento con scorrimento,
per esempio), salto di curvatura fra gli elementi (come negli EF)
142
SENSIBILITÀ DELL’ELEMENTO IN FORZE
AL NUMERO DI PUNTI DI INTEGRAZIONE
DA PAGINA 87
200
V, d
1000 kips compressive axial force
SHEAR V (kips)
100
55.78 ft
150
50
0
-50
nGL = 2
-100
nGL = 3
nGL = 4
-150
-200
-2
-1
0
TIP DISPLACEMENT d (ft)
1
87
2
143
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
DA PAGINA 89
Perdita di Oggettività
incrudimento
positivo
perfettamente
plastico
incrudimento
negativo
In presenza di comportamento perfettamente
plastico o con incrudimento negativo si ha
localizzazione della risposta e perdita di oggettività
144
RISPOSTA DI COLONNA CON SPOSTAMENTI
IMPOSTI δ - 1 ELEMENTO IN FORZE
DA PAGINA 89
Punti di Integrazione IP=3,4,5,6,7,8 (Gauss-Lobatto)
RISPOSTA OGGETTIVA
Taglio alla Base
SEZIONE
STRUTTURA
3 IP
3 IP
4 IP
4, 5, 6, 7, 8 IP
5, 6, 7, 8 IP
M
incrudimento
positivo
δ
3, 4, 5, 6, 7, 8
Numero punti di
Integrazione = IP
Legge Momento-Curvatura con
incrudimento positivo
κ
Curvatura primo punto integrazione
(alla base)
Spostamento Impresso, δ
145
RISPOSTA DI COLONNA CON SPOSTAMENTI
IMPOSTI δ - 1 ELEMENTO IN FORZE
DA PAGINA 89
Punti di Integrazione IP=3,4,5,6,7,8 (Gauss-Lobatto)
RISPOSTA OGGETTIVA
RISPOSTA NON OGGETTIVA
Taglio alla base
SEZIONE
STRUTTURA
3, 4, 5, 6, 7, 8 IP
8 IP
M
7 IP
6 IP
5 IP
4 IP
perfettamente
plastico
3 IP
δ
IP = 3, 4, 5, 6, 7, 8
Legge Momento-Curvatura
Elastica-Perfettamente Plastica
κ
Curvatura primo punto di integrazione
(alla base)
Spostamento, δ
146
MODELLI DI CERNIERA PLASTICA
DA PAGINA 89
H,δ
L
LIP1
L3
δ≈
H + (κ IP1 − κ y ) LIP1 ( L − LIP1 )
1444424444
3
3EI
123
contributo
contributo
rotazione plastica
elastico
punto integrazione 1
147
RISPOSTA DI COLONNA CON SPOSTAMENTI
IMPOSTI δ - 1 ELEMENTO IN FORZE
DA PAGINA 89
Punti di Integrazione IP=3,4,5 (Gauss-Lobatto)
RISPOSTA NON OGGETTIVA
RISPOSTA NON OGGETTIVA
SEZIONE
STRUTTURA
P (costante)
Taglio alla Base
δ
IP = 3, 4, 5
3 IP
3 IP
M
incrudimento
negativo
κ
4 IP
4 IP
5 IP
5 IP
Curvatura primo punto integrazione
(alla base)
Spostamento, δ
148
PERDITA DI OGGETTIVITA’
LOCALIZZAZIONE DELLA DEFORMAZIONE
DA PAGINA 89
A parità di spostamento in sommità
Punto di integrazoine
Gauss-Lobatto
Momento
Curvatura
Mp κp
3 Punti di Integrazione
Mp
κp
4 Punti di Integrazione
Mp
κp
5 Punti di Integrazione
149
PERDITA DI OGGETTIVITA’
LOCALIZZAZIONE DELLA DEFORMAZIONE
DA PAGINA 89
Riepilogo 1/2
In presenza di comportamento elastico-plastico perfetto
o incrudente negativo si ha perdita di oggettività nella
risposta.
Per elementi in spostamenti la localizzazione avviene a
livello dell’elemento, per cui la risposta diventa funzione
della dimensione della mesh
Per elementi in forze la localizzazione avviene sul
singolo punto di integrazione, per cui la risposta diventa
funzione del numero di punti di integrazione
Esistono tecniche di regolarizzazione (non si trovano su
molti programmi commerciali)
150
PERDITA DI OGGETTIVITA’
LOCALIZZAZIONE DELLA DEFORMAZIONE
DA PAGINA 89
Riepilogo 2/2
89
Per elementi in spostamenti la regolarizzazione si basa
su teorie ben note nel campo degli Elementi Finiti, ma
non ben documentate per quanto riguarda gli elementi
telaio
Per elementi in forze la regolarizzazione comincia ad
essere ben studiata
Coleman, J, and Spacone, E., (2001) "Localization Issues in Nonlinear
Force-Based Frame Elements." ASCE J. of Structural Engineering,
127(11), 1257-1265
Scott, MH and Fenves, GL (2006) “Plastic Hinge Integration Methods for
Force-Based Beam-Column Elements.” ASCE J. of Structural Engineering,
123(2), 244-252
Adessi D, Ciampi V (2007) “A regularized force-based beam element with
a damage-plastic section constitutive law.” Int. J. Numer. Meth. Engngn 151
END
152
Nonlinear Structural Dynamic Analysis
Element state determination (displacement-based elements):
Nel


T
i+1
R ( u ) = A  ∫ B ⋅ σ ( ε n+1 ) ⋅ d Ωe 
e=1 

 Ωe
i+1
n+1
Nel
ε = Strain (or strain resultant) vector;
A {K}
= Direct stiffness assembly operator
e=1
σ = Stress (or stress resultant) vector;
B = Strain-displacement transformation matrix
Stress (or stress resultant) vector at Gauss point (or section) level:
Constitutive law
integration algorithm
i+1
ui+1
n+1 = u n + ∆u n
i+1
εi+1
n+1 = B ⋅ u n+1
i+1
σ i+1
=
σ
ε
,
ε
(
n+1
n
n+1 )
(e.g., return map algorithm)
i+1
[ DT ]n+1 =
Consistent/algorithmic tangent moduli
Static consistent tangent stiffness matrix (at structure level):
Nel 

i+1

stat
i+1
i+1
i+1
T
K T ( u n+1 ) = ∂R ( u n+1 ) ∂ u n+1 = A  ∫ B ⋅ [ DT ]n+1 ⋅ B ⋅ d Ωe 
e=1
Ωe

∂ ( ∆σ i+1
n+1 )
∂ ( ∆εi+1
n+1 )
153
STRUCTURE PROCEDURE: NR
One load step k with Newton Raphson iteration i
Actual behavior
P
K ni −1
Pn
K ni
D
B
F, G
E
R ni
Convergence Point
C
Pn−1 A
U n−1 Uni
U ni +1 Un
U
154
ELEMENT STATE DETERMINATION: DB
Pe
G
E
C
R
R
ei
n
e
n−1
U
Ue
A
e
n−1
U
ei
n
U
ei +1
n
U ne
155
ELEMENT STATE DETERMINATION: DB
ss
G
E
C
sis
es
A
e is
156
ELEMENT LEVEL
Q iRE ⇒ Q iRE , FEi ⇒ K iE
FEi −1
Q RE
FEi
I
Uir
I
B
Q
F
i
RE
C
−1
 F  U ir
i
E
D
E
∆Q RE
G
−1
Q kRE−1 = QiRE
A
U Ek −1 = U Ei −1 U Ei U Ei +1
Convergence Point
U Ei + 2 = U Ek
UE
157
BEAM SECTION LEVEL
dir ⇒ U iBr , f Bi ⇒ FEi
f Bi −1
D
I
Di
B
i −1
E
∆D = N + N A  F  Uri
i
Br
D
fb
Bb
I
F
E
i
∆DBr
G
C
i
b
f Bi
∆diBr
dir
fb
BB
i
D −D
Convergence Point
D
i
R
∆ Di
i
R
A
d k −1 = d i −1
di
di+1 d i + 2 = d k
d
158
BOND INTERFACE LEVEL
d ⇒U ,f ⇒F
i
br
fbi −1
B
i
b
i
E
i −1
E
i

∆D = N + N A 
F
U
  r
i
br
I
Db
i
br
dib r
Dib
∆dibr
fb
bB
i
b
fbi
I
D
F
∆Dibr
E
G
C
fb
bb
i
Dbi − DRb
Convergence Point
DiR b
∆Dib
A
d bk −1 = dib−1
d ib
dib+1 dib+ 2 = d bk
db 159
STRUCTURAL LEVEL
STRUCURAL LEVEL: LOAD STEP k
NEWTON-RAPHSON ITERATIONS i
STRUCTURE
PStructure
P
k
B’
C’
D’, D
C
Pi
Convergence Point
B
U Structure
P k −1 A
U k−1
Ui
Uk
160
DISPLACEMENT-BASED FORMULATION
ELEMENT STATE DETERMINATION
Q Element
ELEMENT
Qk
Q
C
D
B
i
Q = Q B + Qb
K = K B + Kb
Q
k −1
U Element
A
U k−1
Ui
Uk
161
DISPLACEMENT-BASED FORMULATION
BEAM SECTION STATE DETERMINATION
SECTION: Beam
D Beam
D
D
k
B
C
B
D
i
B
d B = B DB − B U
DB = DB ( d B )
k B = k B (dB )
DkB−1 A
d kB−1
d Beam
diB
d kB
162
DISPLACEMENT-BASED FORMULATION
BOND STATE DETERMINATION
SECTION: Bond
Dbond
D
D
k
b
C
B
Dib
db = BbD− B U
Db = Db ( db )
k b = k b ( db )
Dbk −1 A
dbk −1
dbond
dib
dbk
163
HELLINGER-REISSNER FORMULATION
ELEMENT STATE DETERMINATION
ELEMENT
Q Element
Q
D*
C*
k
D
B*
C
Qi
B
(
)
−1
Q = T Q + ∆Q R + Qb − T ( FB ) U Rr
T
Q
k −1
0
R
U Element
A
U k−1
T
Ui
Uk
164
HELLINGER-REISSNER FORMULATION
BEAM SECTION STATE DETERMINATION
SECTION: Beam
D Beam
D
D*
k
B
C*
C
B*
DiB
B
D kB−1
D
D B = D0B + ∆D B − N HF − R FB−1 U Rr
d B = d 0B + f B0 ∆D B + d Br − f B N FH − R FB−1 U Rr
d Beam
A
d k−1
d iB
d kB
165
FORCE-BASED FORMULATION
ELEMENT STATE DETERMINATION
ELEMENT
Q Element
C*
Qk
D*
D
B*
C
Qi
B
Q = Q 0 + K 0 ∆U − KU r
K = F −1
Q k −1 A
U k−1 Ui
U Element
Uk
166
FORCE-BASED FORMULATION
BEAM SECTION STATE DETERMINATION
SECTION: Beam
D Beam
D*
DkB
C*
D
C
B*
DiB
B
D B = D0B + ∆D B − N BrF − B KU r
d B = d 0B + f B0 ∆D B + d Br − f N BrF − B KU r
B
d Beam
D kB−1 A
d kB-1
diB
d kB
167
FORCE-BASED FORMULATION
BOND STATE DETERMINATION
Dbond
SECTION: Bond
D*
Dbk
C*
D
C
B*
Dib
B
Db = Db + ∆Db − NbrF − B KU r
db = db + fb0∆D + dbr − fb N brF − B KU r
Dbk −1 A
dbk −1
dbond
dib
dbk
168
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze: P-δ
v(x)
Q2
Q1
Q3
0
0 1  Q1 

 N ( x)  
 
s

s ( x) = 
=

x x
Q2  + Q
3v
{
0  
 M ( x )   −1 +
Q3  N
 {
L L
1442443
NQ ( x )
Qe
Only need v at integration points h=2,…, m-1 (v1=vm=0) 169
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze: P-δ
δM(x)=Nh
vh
δ1
Dummy load principle
L
m
0
l =1
vh = ∫ δ M ( x )ϕ ( x ) = ∑ M hl ϕl wl L
ϕl known from element state determination
170
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Consistent Mass Matrix
Given vh at all integration points, velocity and acceleration
at the same integration point computed using Newmark method

 α
α
α
v&n+1 = ( ∆ t )  1 −  &&
vn +  1 −  v&n +
( vn+1 − vn )
β (∆ t )
 2β 
 β

1 
1
1
&&
vn+1 =  1 −  &&
vn −
v&n +
v − vn )
2 ( n+1
β (∆ t )
β (∆ t )
 2β 
Need to see how mass matrix can be derived,
but it should not be difficult
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