Scuola Politecnica e delle Scienze di Base
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
Elaborato finale in Controlli Automatici
Analisi e controllo di un sistema
nonlineare
Anno Accademico 2013/2014
Candidato:
Roberto Maisto
matr. N46/1264
Indice
Introduzione
v
1 Tecniche di analisi di sistemi nonlineari
1
1.1
Spazio delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Analisi di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Biforcazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.1
Biforcazione Nodo-Sella . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.2
Biforcazione Transcritica
. . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.3
Biforcazione a Forcone . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 Analisi del laser a stato solido
8
2.1
Derivazione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3
Simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3 Progetto del controllore
15
3.1
Specifiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2
Sintesi del controllore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3
Simulazione del controllore
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Conclusioni
20
ii
Indice
Bibliografia
21
iii
Elenco delle figure
1.1
Spazio delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Spazio delle fasi esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Biforcazione nodo-sella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Biforcazione transcritica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5
Biforcazione a forcone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1
Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2
Modi pre-bif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Modi post-bif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4
Biforcazione Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.5
Schema Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.6
Schema subsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.7
Simulazione 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.8
Simulazione 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.1
SFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2
Simulazione1 SFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.3
Simulazione2 SFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
iv
Introduzione
La teoria del controllo è una branca interdisciplinare dell’ingegneria
e della matematica che si occupa del comportamento dei sistemi dinamici
e di come questo sia modificato da un feedback. Tipicamente l’obiettivo
è quello di controllare un sistema, spesso chiamato impianto, affinchè le
sue uscite seguano un segnale desiderato, detto riferimento, che può essere
costante o variabile; nel primo caso si parla di regolazione, nel secondo
di tracking o inseguimento di traiettoria. Per fare ciò si estrae un modello matematico del processo fisico di interesse grazie agli strumenti forniti
dalla teoria dei sistemi. Successivamente si progetta un controllore che
misura l’uscita e la confronta col riferimento. La differenza tra l’output
desiderato e quello effettivo è chiamata errore ed è utilizzata dal regolatore per la generazione del segnale di controllo in ingresso all’impianto, al
fine di annullare l’errore stesso e permettere cosı̀ all’uscita di inseguire il
riferimento.
Nonostante la teoria del controllo abbia trovato maggiore impiego nella
progettazione di sistemi di controllo industriali, può essere applicata nei
campi più disparati, quali l’automotive, la robotica, la navigazione, i sistemi di puntamento e l’elettronica di consumo.
In generale i sistemi dinamici si suddividono in due macro categorie: i
sistemi lineari ed i sistemi nonlineari. I sistemi lineari sono descritti da
v
Introduzione
equazioni differenziali lineari e per questo godono del principio di sovrapposizione degli effetti. A loro volta i sistemi lineari si dividono in tempo
varianti e tempo invarianti (anche detti stistemi LTI, Linear Time Invariant), a seconda che i parametri del sistema risultino essere costanti o
meno nel tempo. Per questo tipo di sistemi è possibile ricavare la soluzione analitica, ed inoltre, grazie alle proprietà di linearità, sono disponibili
vari e consolidati strumenti matematici che guidano il progettista sia nell’analisi che nella sintesi, quali: trasformata di Laplace, trasformata di
Fourier, diagrammi di Bode, luogo delle radici e diagramma di Nyquist.
I sistemi nonlineari sono descritti da equazioni differenziali nonlineari che
rendono difficile se non impossibile trovare una soluzione analitica. Inoltre
per questo tipo di sistemi non è possibile utilizzare gli strumenti disponibili per i sistemi lineari. Per studiare questi sistemi è necessario quindi
affidarsi a metodi di analisi qualitativa o numerica (simulazioni).
vi
Capitolo 1
Tecniche di analisi di sistemi
nonlineari
In questo capitolo tratteremo le tecniche di analisi dei sistemi descritti
da modelli nonlineari tramite un caso d’esempio. Daremo una misura
quantitativa di stabilità e tratteremo il fenomeno delle biforcazioni.
1.1
Spazio delle fasi
Siccome le equazioni che descrivono sistemi nonlineari sono difficili da
manipolare analiticamente, si cerca di ricorrere a metodi grafici che aiutino
a estrarre informazioni qualitative sulle soluzioni del sistema. Supponiamo
di avere un sistema del tipo:
ẋ1 = f1 (x1 , x2 )
ẋ2 = f2 (x1 , x2 )
e di conoscerne una soluzione, (x1 (t), x2 (t)) per una certa condizione iniziale. Se costruiamo uno spazio (x1 , x2 ), la soluzione corrisponde ad un
1
Capitolo 1. Tecniche di analisi di sistemi nonlineari
punto che si muove lungo una curva descritta in tale spazio (fig 1.1).
Figura 1.1: Spazio delle fasi
Tale curva, detta traiettoria, rappresenta tutti i possibli e soli stati del
sistema ed ogni punto può essere una condizione iniziale. Lo spazio in cui
giace la traiettoria è detto spazio delle fasi.
L’obiettivo dei metodi di analisi nonlineari è quello di agire all’inverso:
dato il sistema, vogliamo disegnare le traiettorie da cui estrarre le informazioni sulle soluzioni.
Consideriamo un sistema d’esempio:
ẋ = sin x
e immaginiamo che x rappresenti la posizione di una particella e ẋ la sua
velocità. Abbiamo detto di poter rappresentare il sistema in un grafico
che in questo caso risulta il piano (x, ẋ). Il sistema, quindi, rappresenta
un campo vettoriale sulla linea che a sua volta indica il vettore velocità ẋ
per ogni x.
2
Capitolo 1. Tecniche di analisi di sistemi nonlineari
Figura 1.2: Spazio delle fasi esempio
In questo caso, avendo un sistema del primo ordine, lo spazio delle fasi è
rappresentato dall’asse x (fig. 1.2). Il punto si muove lungo l’asse reale
in accordo alla traiettoria x(t) (ovvero la soluzione dell’equazione differenziale). Il moto è verso destra dove ẋ > 0 e verso sinistra dove ẋ < 0. Nei
punti in cui ẋ = 0 (velocità nulla) non c’è moto. Tali punti sono chiamati
punti fissi e si distinguono principalmente in 2 categorie:
• Punti fissi stabili: rappresentati da un pallino nero (spesso chiamati
attrattori perchè la soluzione del sistema vi converge).
• Punti fissi instabili: rappresentati da cerchi (spesso chiamati sorgenti).
In termini di equazioni differenziali tali punti rappresentano soluzioni di
equilibrio. Come possiamo osservare risulta ora molto semplice predire
qualitativamente l’evoluzione della soluzione. Ad esempio, cominciando
da una condizione iniziale xo = π/4, il punto si muove verso destra con
3
Capitolo 1. Tecniche di analisi di sistemi nonlineari
velocità crescente fino a raggiungere il massimo, per poi rallentare fino ad
arrestarsi in π.
1.2
Analisi di stabilità
Fino ad ora ci siamo affidati a metodi grafici per determinare la stabilità
dei punti fissi. Ma spesso è richiesta una misura di stabilità quantitativa,
come la velocità di convergenza ad un punto fisso stabile. Questa informazione può essere ottenuta linearizzando il sistema intorno al punto fisso
come mostrato di seguito.
Sia x∗ un punto fisso e sia η(t) = x(t) − x∗ una piccola perturbazione
intorno ad x∗ . Per vedere se la perturbazione cresce o decade, ricaviamo
un’equazione differenziale per η :
η̇ =
d
(x − x∗ ) = ẋ,
dt
siccome x∗ è costante. Da qui, η̇ = ẋ = f (x) = f (x∗ + η). Utilizzando
l’espansione in serie di Taylor otteniamo
f (x∗ + η) = f (x∗ ) + ηf 0 (x∗ ) + O(η 2 ),
siccome per definizione di punto fisso f (x∗ ) = 0 e in ipotesi di intorno
sufficientemente piccolo, i termini quadratici e superiori sono trascurabili,
per f 0 (x∗ ) 6= 0 otteniamo η̇ ≈ ηf 0 (x∗ ). Quest’espressione mostra che se
f 0 (x∗ ) > 0 la perturbazione cresce esponenzialmente, mentre decade se
f 0 (x∗ ) < 0. Nel caso in cui f 0 (x∗ ) = 0 i termini quadratici non sono trascurabili, l’approssimazione non è valida e sono richieste analisi nonlineari
per determinare la stabilità.
4
Capitolo 1. Tecniche di analisi di sistemi nonlineari
1.3
Biforcazioni
Come visto fin’ora la dinamica dei sistemi del primo ordine è molto
limitata. Le soluzioni o convergono all’equilibrio o divergono all’infinito.
L’aspetto interessante di questi sistemi è la dipendenza dai parametri: al
variare di essi la struttura qualitativa dello spazio delle fasi può cambiare. In particolare i punti fissi possono essere creati o distrutti o la loro
stabilità può variare. Questi cambiamenti nella dinamica sono chiamati
biforcazioni ed il cambiamento di parametro al quale occorrono è detto
punto di biforcazione.
1.3.1
Biforcazione Nodo-Sella
La biforcazione nodo-sella è il meccanismo di base con cui i punti fissi
sono creati o distrutti. Al variare di un parametro, due punti fissi possono
muoversi l’uno verso l’altro, allontanarsi, collidere o annichilirsi. L’esempio
tipico è dato dal sistema
ẋ = r + x2 , r ∈ R
• r < 0: ci sono due punti fissi, uno stabile ed uno instabile. Con
l’aumentare di r verso lo 0 la parabola si muove verso l’alto facendo
incontrare i punti fissi (fig 1.3)
• r = 0: i punti collassano in un punto fisso semi-stabile.
• r > 0: non ci sono punti fissi.
In questo caso si dice che c’è stata una biforcazione a r = 0 siccome i
campi vettoriali per r < 0 e r > 0 sono qualitativamente differenti.
5
Capitolo 1. Tecniche di analisi di sistemi nonlineari
Figura 1.3: Biforcazione nodo-sella
1.3.2
Biforcazione Transcritica
Ci sono alcune situazioni in cui un punto fisso non può essere distrutto:
quindi deve esistere per tutte le variazioni del parametro. Può però variare
la sua stabilità. La biforcazione transcritica è il meccanismo standard per
variare la stabilità di un punto fisso. Un sistema prototipo che presenta
questo fenomeno è del tipo:
ẋ = rx − x2 , r ∈ R
si noti che c’è un punto fisso ad x∗ = 0 ∀r. Abbiamo che:
• r < 0: c’è un punto fisso instabile a x∗ = r ed uno stabile in x∗ = 0.
• r = 0: i punti critici collidono in un punto fisso semi-stabile.
• r > 0: l’origine diventa instabile e x∗ = r è ora stabile.
1.3.3
Biforcazione a Forcone
Questo tipo di biforcazione è comune in problemi fisici che hanno delle
simmetrie, ossia, nel caso in cui il sistema è invariante al cambiamento
6
Capitolo 1. Tecniche di analisi di sistemi nonlineari
Figura 1.4: Biforcazione transcritica
x → −x. Il modello tipico è della seguente forma
ẋ = rx − x3 , r ∈ R
Nel caso r < 0 l’unico punto fisso è nell’origine ed è stabile. Nel caso
r = 0 l’origine continua ad essere l’unico punto fisso e non decade più
esponenzialmente ma con una funzione algebrica del tempo. Tale fenomeno
è chiamato critical slowing down. Per r > 0 compaiono due punti stabili
√
a ± r.
Figura 1.5: Biforcazione a forcone
Esiste anche il caso duale a quello appena descritto, se il sistema è nella
forma ẋ = rx+x3 . In questa situazione la stabilità dei punti è esattamente
speculare a quella precedente e la biforcazione prende il nome di subcritica.
7
Capitolo 2
Analisi del laser a stato
solido
Ora verranno applicate, ad un caso pratico, tutte le tecniche d’analisi
viste fin’ora. Il sistema scelto è il laser a stato solido che consiste in una
collezione di atomi incastrati in una matrice a stato solido, delimitata da
specchi parzialmente riflettenti alle estremità. Una fonte di energia esterna
eccita gli atomi (fig 2.1).
Figura 2.1: Laser
Ogni atomo può essere immaginato come una piccola antenna che irradia
8
Capitolo 2. Analisi del laser a stato solido
energia. Quando l’eccitazione è relativamente piccola, il laser agisce come
una lampadina; gli atomi eccitati oscillano indipendentemente l’uno dall’altro ed emettono in modo casuale le onde luminose.
Ora supponiamo di aumentare l’energia di eccitazione. Inizialmente non
accade nulla ma, improvvisamente, quando l’energia supera una certa soglia, gli atomi oscillano in maniera sincronizzata e la lampada diventa un
laser. I trilioni di piccole antenne agiscono come un’unica grande antenna
che produce un raggio di radiazione che è molto più consistente ed intenso
di quello prodotto al di sotto della soglia.
2.1
Derivazione del modello
Per non complicare il problema non scenderemo troppo a fondo nella
fisica del laser ma si userà un modello semplificato. La variabile dinamica
è il numero di fotoni n(t) all’interno del materiale attivo. Il tasso di variazione è dato da ṅ = gain − loss = GnN − kn. Il termine di gain viene dal
processo di emissione stimolata in cui, i fotoni, stimolano gli atomi eccitati a emettere ancora più fotoni. Questo processo si verifica ad un tasso
proporzionale ad n e al numero di atomi eccitati denotato da N (t) poichè
avviene tramite incontri casuali tra fotoni ed atomi eccitati. Il parametro
G > 0 è conosciuto come coefficiente di guadagno. Il termine loss modella
la perdita di fotoni attraverso le terminazioni del laser (gli specchi). Il
parametro k > 0 è una costante di velocità ed il suo reciproco 1/k indica
il tempo di vita di un fotone nel laser.
Dopo che un atomo eccitato emette un fotone ricade ad uno stato a minore energia e non è più eccitato. Quindi N decresce all’emissione di fotoni.
Bisogna quindi mettere in relazione n(t) ed N (t). Si supponga che, in
assenza di azione del laser, l’energia esterna mantenga il numero di atomi
9
Capitolo 2. Analisi del laser a stato solido
eccitati ad No : allora il numero di atomi eccitati verrà ridotto dal processo
del laser. In particolare, assumiamo:
N (t) = No − αn,
dove α > 0 è la velocità con cui gli atomi ritornano allo stato a bassa
energia. Infine:
ṅ = Gn(No − αn) − kn = (GNo − k)n − (αG)n2 .
Quest’espressione è molto più familiare e risulta semplice applicare ad essa
le considerazioni fatte nel Cap.1.
2.2
Analisi
Abbiamo un sistema dinamico nonlineare del primo ordine in n(t). I
parametri G, k ed α sono fissati dal sistema fisico. L’unico su cui si può
agire è No che rappresenta la forza dell’energia esterna.
Per il sistema scelto solo valori positivi di n hanno significato fisico.
Imponiamo ṅ = 0 per trovare i punti fissi. Si ottiene:
(GNo − K)n − Gαn2 = 0
da cui n∗1 = 0 e n∗2 =
GNo −k
Gα .
Per studiarne la stabilità si deve calcolare la
derivata del lato destro dell’equazione e calcolarla nei punti fissi:
f 0 (n) = (GNo − k) − 2Gαn
f 0 (n∗1 ) = f 0 (0) = GNo − k
o −k
f 0 (n∗2 ) = f 0 ( GNGα
) = k − GNo
10
Capitolo 2. Analisi del laser a stato solido
Da cui:
• No < k/G: unico punto fisso stabile nell’origine n∗ = 0. Questo significa che non c’è emissione stimolata ed il laser agisce come
una lampadina. Per qualunque condizione iniziale il modo converge
sempre a 0 (fig. 2.2)1 .
• No = k/G: con l’aumentare dell’energia esterna il sistema subisce
una biforcazione. Fisicamente tale valore rappresenta la soglia del
laser.
• No > k/G: l’origine perde la stabilità e compare un nuovo punto
fisso stabile che attrae la soluzione per qualunque no (fig. 2.3)1 .
Figura 2.2: Modi pre-bif
1
Le figure 2.2 e 2.3 sono state realizzate col tool dfield di John C. Polking del dipartimento di matematica della Rise University scaricabile dal sito
http://math.rice.edu/∼dfield/index.html
11
Capitolo 2. Analisi del laser a stato solido
Figura 2.3: Modi post-bif
L’equazione del sistema è molto simile a quella dei sistemi che presentano
una biforcazione transcritica. Infatti il punto fisso nell’origine non scompare ma cambia solo la sua stabilità. In figura 2.4 è possibile osservare lo
spazio delle fasi prima, durante e dopo la biforcazione.
Figura 2.4: Biforcazione Laser
12
Capitolo 2. Analisi del laser a stato solido
2.3
Simulazione
Per osservare il comportamento del sistema procediamo ad una simulazione al MATLAB/SIMULINK. Bisogna innanzitutto fissare i valori
dei parametri: G=2, k=4, α = 1. La condizione iniziale è fissata ad un
valore n(0) = 0.5 prossimo all’origine. In questo caso in No = 2 c’è il
punto di biforcazione. Le simulazioni verranno fatte rispettivamente da
prima a dopo la soglia, per osservare in che modo cambia l’evoluzione della soluzione. Il seguente schema simulink (fig 2.5) è stato realizzato per
effettuare la simulazione:
Figura 2.5: Schema Simulink
il blocchettino Slider Gain serve per far variare comodamente il parametro
No . Il blocco subsystem contiene l’implementazione dello schema dell’equazione differenziale del laser come si può osservare nella fig 2.6:
Figura 2.6: Schema subsystem
Avviando la simulazione per un valore di No = 1 otteniamo il risultato in
13
Capitolo 2. Analisi del laser a stato solido
Figura 2.7: Simulazione 1
Figura 2.8: Simulazione 2
fig 2.7. Come ci aspettavamo, il modo è partito dalla condizione iniziale
per poi essere attratto dal punto fisso stabile nell’origine.
Dopo la biforcazione (No > 2), nonostante si parta da una condizione iniziale molto prossima all’origine, il modo viene respinto per essere attratto
dal punto fisso stabile.
14
Capitolo 3
Progetto del controllore
Procederemo ora al progetto di un controllore in grado di soddisfare alcune specifiche desiderate. Successivamente ne verrà fatta una simulazione
al MATLAB/SIMULINK per verificarne il funzionamento.
3.1
Specifiche
Vogliamo realizzare un controllore in grado di ottenere determinate
specifiche sia prima che dopo la biforcazione. In particolare si vuole che:
• le dinamiche transitorie raggiungano l’equilibrio nell’origine in meno
di 1s (ta < 1s).
• dopo la biforcazione il punto d’equilibrio nell’origine sia stabile.
3.2
Sintesi del controllore
Per non complicare troppo il problema, un modo di procedere è quello
di linearizzare il sistema intorno al punto di equilibrio in esame. Ricordiamo che tale procedura ha validità in un intorno sufficientemente piccolo
15
Capitolo 3. Progetto del controllore
del punto d’equilibrio per cui valgono |δx| << 1 e |δu| << 1.
Dalle specifiche si evince che l’unico punto di equilibrio che interessa è
l’origine.
Procediamo nel caso in cui No = 1 ovvero, prima della biforcazione. Il
sistema linearizzato risulta:
δ ṅ = −2δn + δu
dove u è l’ingresso dato dal controllore. Ancora una volta, come ci aspettavamo, notiamo che l’unico autovalore del sistema è negativo (λ = −2)
e quindi il punto di equilibrio è stabile in accordo con quanto detto fin’ora. Siccome il sistema è dato nel dominio del tempo e le specifiche sono
sulla performance e l’equilibrio, è stato scelto un controllore a retroazione
di stato (noto anche come SFC). In particolare l’ingresso dato da questo
tipo di controllore è pari a δu = −Kδn, dove K ∈ R è un valore di guadagno da determinare affinchè il sistema a ciclo chiuso rispetti le specifiche.
Sostituendo l’equazione dell’ingresso in quella del sistema si ottiene:
δ ṅ = (−2 − K)δn
con autovalore λ = −(2 + K). Quindi risulta ora possibile scegliere il parametro K per regolare a piacimento il valore dell’autovalore. In questo
caso ta < 1s ed è noto che ta ≈ 5τ e τ = − λ1 , quindi K > 3. Ora si può
scegliere un valore del guadagno che rispetti l’intervallo trovato al fine di
soddisfare le specifiche.
16
Capitolo 3. Progetto del controllore
Bisogna però fare delle considerazioni sul valore di K:
1. non va scelto al limite dell’intervallo (K ≈ 3) perchè a causa di
una possibile variabilità del parametro non si rispetterebbero più le
specifiche.
2. non può essere scelto arbitrariamentre grande a causa dei vincoli
tecnologici che pongono un limite superiore.
È quindi opportuno scegliere un valore di K sufficientemente grande ma
non troppo, ad esempio distante almeno una decade dal limite inferiore
K=15. Con questo valore di K si avrà ta = 0.3s.
Consideriamo ora il caso post biforcazione (No = 3), il sistema linearizzato
risulta:
δ ṅ = (2 − K)δn
dove è già stata sostituita l’equazione del controllore. In questo caso l’origine è instabile e quindi bisogna scegliere K al fine di rispettare sia la
richiesta di stabilità che quella di performance. Imponendo tali condizioni
abbiamo:


 2 − K < 0 per la stabilità


5
K−2
< 1 per la dinamica
da cui K > 7. Quindi il valore di K precedentemente scelto è ancora
adeguato. Ricordiamo infine che siccome δn = n − n∗ l’ingresso effettivo
dato dal controllore sarebbe u = −K(n − n∗ ) ma poichè n∗ = 0 resta
inalterato.
17
Capitolo 3. Progetto del controllore
3.3
Simulazione del controllore
Continuiamo ora con una simulazione al MATLAB/SIMULINK per
verificare che la sintesi sia stata fatta correttamente. Innanzitutto lo schema simulink è stato modificato come segue:
Figura 3.1: SFC
il controllore SFC, come dice il nome stesso, si implementa riportando in
ingresso al sistema lo stato stesso moltiplicato per il fattore di guadagno
K. La simulazione pre biforcazione (No = 1) ci da proprio il risultato che
ci aspettavamo, il modo si estingue in un tempo pari a 0.3s come si può
osservare nella figura 3.2. Nel caso post biforcazione (No = 3) il modo
non viene più respinto dall’origine per essere attratto nell’altro punto fisso
stabile ma converge a zero ancora con un tempo di circa 0.3s. In effetti il
controllore sta avendo due effetti sul sistema:
1. sta forzando il sistema ad agire come una lampadina nonostante la
forza di eccitazione esterna sia tale da farlo agire come laser.
2. sta spostando il punto di biforcazione ad un valore maggiore in
accordo alla relazione No =
k+K
G
al variare di K.
18
Capitolo 3. Progetto del controllore
Figura 3.2: Simulazione1 SFC
Figura 3.3: Simulazione2 SFC
19
Capitolo 4
Conclusioni
In questo breve elaborato abbiamo visto le principali tecniche d’analisi
dei sistemi nonlineari che, tramite considerazioni grafiche, ci permettono
di estrarre informazioni qualitative sulle soluzioni evitando la risoluzione
analitica. Abbiamo innanzitutto visto grazie allo spazio delle fasi come sia
possibile predire l’andamento della soluzione del sistema per certi valori
della condizione iniziale. Sono stati definiti i punti di equilibrio del sistema
come punti fissi, è stato studiato un modo per studiarne la stabilità e con
quale rapidità i modi convergono o divergono da essi. Sono stati analizzati
dei nuovi fenomeni introdotti dalle nonlinearità: le biforcazioni, che influiscono sullo spazio delle fasi e sulla stabilità dei punti fissi. Nel capitolo 2 è
stato preso in considerazione il caso pratico del laser a stato solido da cui
abbiamo derivato un modello matematico al quale è stato possibile applicare tutte le tecniche viste. A supporto di tale analisi è stato realizzato
uno schema SIMULINK con cui sono state effettuate le simulazioni. Infine
abbiamo progettato un controllore SFC che ci ha permesso di soddisfare
alcune specifiche. Anch’esso è stato simulato al MATLAB/SIMULINK per
verificarne il funzionamento.
20
Bibliografia
[1] Steven H. Strogatz, ”Nonlinear Dynamics and Chaos”,
Perseus Books 1994.
[2] P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni, ”Fondamenti di
controlli automatici 3/ed”, McGraw Hill 2008.
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Solid-state laser (visualizzato il 21/11/2014)
21