CONTROLLI AUTOMATICI LS
Ingegneria Informatica
Analisi modale
Prof. Claudio Melchiorri
DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093034
e-mail: [email protected]
http://www-lar.deis.unibo.it/~cmelchiorri
Analisi Modale
2
Si vuole studiare l’evoluzione nel tempo di un sistema dinamico. A tale scopo, si
faccia riferimento a:
„Sistema tempo continuo
(1)
„Sistema tempo discreto
(2)
L’evoluzione nei due casi dipende dalle funzioni del tempo di tipo eA t o Adk, le cui
proprietà strutturali possono essere evidenziate tramite una opportuna
trasformazione di similarità
dove le matrici T sono costanti e le A, Ad hanno forma più semplice (forma di
Jordan: diagonali o diagonali a blocchi) rispetto a quelle originali.
Claudio Melchiorri
Controlli Automatici LS
A.A. 2008/2009
Analisi Modale
3
„ Definizione: le funzioni del tempo che compaiono in eA t o Adk, in (1) o (2)
rispettivamente prendono il nome di modi del sistema.
„ Mediante l’analisi dei modi (analisi modale) si può caratterizzare la risposta
libera di un sistema a partire dai suoi autovalori.
Autovalori distinti
„ In questo caso la matrice A (Ad) è in forma diagonale del tipo
Caso tempo continuo
Claudio Melchiorri
Caso tempo discreto
Controlli Automatici LS
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Analisi Modale
4
„
I modi del sistema sono funzioni linearmente indipendenti in quanto gli autovalori
λ1, …, λn sono distinti.
eλ1 t, …, eλn t
λ1k, …, λnk
„
Se lo stato iniziale x0 appartiene all’autospazio relativo ad un particolare autovalore,
allora l’evoluzione libera del sistema appartiene allo stesso autospazio.
„
Ciascun modo può venire “eccitato” indipendemente dagli altri modi; ciascun modo
complesso in generale viene eccitato assieme al suo complesso, a meno che lo stato
iniziale sia a componenti complesse.
1.5
1
x0
0.5
0
-0.5
-1
V
-1.5
1
0
-1
-1.5
Claudio Melchiorri
Controlli Automatici LS
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
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Analisi Modale
Autovalore sul piano complesso
1
5
60
Andamento del modo
50
0.5
40
0
30
λ = 0.5
20
Sistemi tempo continuo
-0.5
10
-1
-1
-0.5
0
0.5
0
0
1
1
2
0.5
1.5
0
1
-0.5
0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1
0
0
2
4
6
Autovalori reali semplici
λ=0
2
4
6
eλ t
8
1
0.8
0.5
0.6
λ = -0.5
0
0.4
-0.5
-1
Claudio
Melchiorri
-1
-0.5
0
8
0.2
0.5
1
0
0
2
Controlli
Automatici
LS
6
8
4
A.A. 2008/2009
Analisi Modale
6
Autovalore sul piano complesso
2
Andamento del modo
60
50
1
40
0
λ = 1.5
30
20
Sistemi tempo discreto
-1
10
-2
-2
-1
0
1
2
2
0
0
5
10
Autovalori reali semplici
1.5
1
1
λ=1
0
λk
0.5
-1
-2
-2
2
-1
0
1
2
0
0
1.5
5
10
1
1
0
λ = 0.5
0.5
-1
-2
-2
Claudio Melchiorri
-1
0
1
2
0
0
5
10
Controlli Automatici
LS
A.A. 2008/2009
Analisi Modale
Autovalore sul piano complesso
2
7
1
Andamento del modo
0.8
1
0.6
0
λ=0
0.4
-1
-2
-2
0.2
-1
0
1
2
2
0
0
5
Autovalori reali semplici
10
1
1
0.5
λ = -0.5
0
Sistemi tempo discreto
λk
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
-0.5
0
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
Claudio
-2
-1Melchiorri
0
1
2
-2
0
5
10
λ = -1
5
Controlli Automatici
LS
10
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Analisi Modale
Autovalore sul piano complesso
8
Andamento del modo
3
60
2
40
1
20
0
0
-1
-20
-2
-40
-3
-2
0
2
3
-60
λ = 0.5 ± 2j
Sistemi tempo continuo
0
5
10
Autov. complessi semplici
2
2
1
1
0
λ = ± 2j
0
eσ t cos(ω t)
-1
-1
-2
-3
-2
0
2
3
-2
0
5
10
2
2
1
1
0
0
-1
λ = -0.5 ± 2j
-1
-2
-3
-2 Melchiorri
0
Claudio
2
-2
0
5 Controlli Automatici
10
LS
A.A. 2008/2009
Analisi Modale
Autovalore sul piano complesso
2
9
1.5
Andamento del modo
1
1
0.5
0
λ = e ± j π/4
0
-0.5
Sistemi tempo discreto
-1
-1
-2
-2
2
-1
0
1
2
-1.5
0
1.5
5
Autov. complessi semplici
10
1
1
0.5
0
λ = 0.5 e ± j π/4
0
eσ t cos(k ω)
-0.5
-1
-1
-2
-2
-1
0
1
2
2
-1.5
0
5
10
1.5
1
1
0.5
0
λ = e ± j π/2
0
-0.5
-1
-1
-2Claudio
-2
-1
Melchiorri
0
1
2
-1.5
0
5
Controlli Automatici
LS
10
A.A. 2008/2009
Analisi Modale – Autovalori multipli
10
„ Nel caso tempo continuo si ha:
I modi del sistema sono
„ Nel caso tempo discreto si ha:
I modi del sistema sono
Claudio Melchiorri
Controlli Automatici LS
A.A. 2008/2009
Analisi Modale – Autovalori multipli
11
„ Invarianza: se lo stato iniziale xo appartiene al sottospazio generato da una
catena (miniblocco) relativa ad un autovalore λ, allora la traiettoria è
completamente contenuta nel medesimo sottospazio.
„ Interdipendenza: non è possibile in alcun modo eccitare singolarmente i modi
appartenenti ad un miniblocco di Jordan
„ Sia x0 lo stato iniziale
Sistema tempo continuo
Sistema tempo discreto
Claudio Melchiorri
Controlli Automatici LS
A.A. 2008/2009
Analisi Modale - Esempio
12
„ Sia dato un sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicità 2
2
10
2
2
1
1.5
0
1
-1
0.5
8
1
6
0
4
-1
2
-2
-2
-1
0
1
2
0
0
Modi m1 = eλ t ed m2 = t e
Claudio Melchiorri
5
λ t
10
con λ = 0
-2
-2
-1
0
1
2
0
0
5
Modi m1 = eλ t ed m2 = t eλ t con λ = -0.5
Controlli Automatici LS
A.A. 2008/2009
10
Analisi Modale - Esempio
13
„ Sia dato un sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicità 2
2
2
15
1.5
1
1
1
10
0
0
0.5
5
-1
-1
-2
-2
-1
0
1
2
0
0
5
10
Modi m1 = λk ed m2 = k λk-1 con λ = 1
Claudio Melchiorri
-2
-2
-1
0
1
2
0
0
5
10
Modi m1 = λk ed m2 = k λk-1 con λ = 0.5
Controlli Automatici LS
A.A. 2008/2009
Analisi modale - Autovalori complessi coniug. multipli
14
„ Sulla base della forma reale di Jordan, è possibile considerare i modi reali
corrispondenti a coppie di autovalori complessi coniugati con grado di
molteplicità maggiore di uno.
„ Caso tempo discreto
…
„ Caso tempo continuo
…
Claudio Melchiorri
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A.A. 2008/2009
Analisi modale – carattere di convergenza dei modi
15
„ Dato un SL stazionario (tempo continuo o tempo discreto), il modo m(t) (reale
o complesso) definito per t ≥ 0 è:
„ Convergente se:
„ Limitato ma non convergente, se ∃ un numero reale
„ Non limitato se
M > 0 tale che
∀ M > 0, esiste t tale che
„ Proposizione 1: I modi del sistema
sono:
„ Convergenti sse tutti λ(A) hanno parte reale < 0
„ Limitati
sse tutti λ(A) hanno parte reale · 0 e quelli a parte reale nulla sono
associati a miniblocchi di Jordan di dimensione unitaria (radici semplici del
polinomio minimo)
„ Proposizione 2: I modi del sistema
sono:
„ Convergenti sse tutti λ(A) hanno modulo < 1
„ Limitati
sse tutti λ(A) hanno modulo · 1 e quelli a modulo = 1 sono associati a
miniblocchi di Jordan di dimensione unitaria (radici semplici del polinomio minimo)
Claudio Melchiorri
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A.A. 2008/2009
Analisi modale – Modi dominanti
„
16
L’evoluzione libera del sistema lineare
a partire dallo stato iniziale x(0) = x0 è data da
al tendere di t (di k) all’infinito, i modi del sistema tendono a zero, rimangono costanti o
divergono a seconda del valore degli autovalori.
„
Alcuni di essi, però, tendono a zero più rapidamente rispetto ad altri, per cui la loro
influenza sul comportamento asintotico del
2
sistema diventa trascurabile all’aumentare del
1.8
tempo
1.6
1.4
1.2
Modo dominante
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Claudio Melchiorri
Controlli Automatici LS
1
2
3
Tempo (sec)
4
5
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Analisi modale – Modi dominanti
17
„ Consideriamo per semplicità il caso di autovalori reali distinti
„ Definizione: Siano λi gli autovalori della matrice A.
L’autovalore λ1 è l’autovalore dominante della matrice A se vale
la seguente relazione:
„
Caso tempo continuo
„
Caso tempo discreto
„ Proprietà. Al tendere di t (di k) all’infinito, l’evoluzione libera
x(t) [x(k)] di un sistema lineare tempo continuo [tempo
discreto] tende ad appiattirsi lungo il sottospazio corrispondente
all’autovalore dominante, cioè l’autovalore λ1 a parte reale
[modulo] maggiore.
Claudio Melchiorri
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Analisi modale – Modi dominanti
18
„ Siano vi gli autovettori associati agli autovalori λi. Dato che gli autovettori vi
costituiscono una base dello spazio degli stati, una qualsiasi condizione iniziale
x0 può essere espressa come somma delle sue componenti lungo i vi
dove le componenti x0,i si possono esprimere come
x0,i = vi*T x0
cioè come prodotto scalare tra x0 e le righe v*i di T-1
„ Le evoluzioni libere x(t) e x(k) corrispondenti alla condizione iniziale x0 sono
Claudio Melchiorri
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Analisi modale – Modi dominanti
19
„ Le evoluzioni libere x(t) e x(k) corrispondenti alla condizione iniziale x0 sono
„ Indipendentemente dalla condizione iniziale x0, se x0,1 ≠ 0 l’evoluzione del
sistema tende verso l’autospazio corrispondente al polo (modo) dominante
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
1
0.8
0.5
0.6
0.4
0.2
0
Claudio Melchiorri
0
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Analisi modale – Modi dominanti
20
„ Nel caso di autovalori complessi coniugati, la coppia di autovalori λ1,2=σ ± j ω
è detta dominante se (tempo continuo)
„ Se v1 è l’autovettore complesso corrispondente a λ1 e v1R, v1I le sue
componenti reali ed immaginarie, si può dimostrare che
cioè l’evoluzione libera del sistema tende verso il sottospazio generato dai
vettori v1R e v1I.
„ Considerazioni simili valgono anche nel caso di sistemi tempo-discreti con
autovalori complessi coniugati dominanti.
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Analisi modale - Esempio
21
„ Determinare il sottospazio corrispondente al modo dominante del sistema
dinamico LS tempo continuo
„ Polinomio caratteristico di A:
„ Vi sono quindi tre autovalori coincidenti: λ = 2. Il corrispondente autovettore
v1 si ottiene risolvendo il sistema
Claudio Melchiorri
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Analisi modale - Esempio
22
„ Gli autovettori generalizzati v2 e v3 si ricavano da
„ Utilizzando la matrice di trasformazione
si ottiene
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Analisi modale - Esempio
23
„ Se x3 ≠ 0 si ha che
La direzione lungo la quale si “appiattisce” la traiettoria x(t) è quindi
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Invarianti
24
In termini matematici, un invariante è un aspetto, una proprietà, o una
caratteristica che non cambia se soggetta ad una trasformazione.
Esempi:
„ Parte reale e valore assoluto di un numero complesso con la operazione di coniugazione;
„ Il grado di un polinomio con una trasformazione lineari delle variabili;
„ Gli autovalori o i valori singolari di una matrice con una trasformazione di similitudine;
„ La norma Euclidea (lunghezza di vettori) con una trasformazione ortonormale (rotazione);
„ L’angolo tra due vettori con una trasformazione ortonormale (rotazione);
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Invarianti
25
Dati:
„
„
„
„
„
e3
v1
spazio vettoriale
base principale (colonne della matrice I)
sottospazio
base del sottospazio V
matrice di base del sottospazio V
v2
e2
e1
R3:
{e1, e2, e3}:
V:
{ v1, v2}:
V = [v1. v2]:
V
Claudio Melchiorri
Data una matrice A n x n, lo spazio V si dice invariante
in A se è
Proprietà:
AV⊆V
„
„
La somma di due invarianti è un invariante
L’intersezione di due invarianti è un invariante
„
V è invariante in A se
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Invarianti
26
Esempio: Siano date
e3
V è invariante in A se
v1
v2
È immediato verificare in questo caso che questa proprietà vale.
e2
e1
V
Esempio: Siano date
V è invariante in A se
In questo caso questa proprietà non vale.
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Alcune proprietà geometriche
27
Cambiamenti di base
e3
v1
v2
„
Al posto della base e1, e2, e3 si assume una nuova
base h1, h2, h3 con T = [h1, h2, h3] non singolare.
„
Si indica con x il vettore delle componenti di un
punto p nella base principale, con z le componenti
nella nuova. Si ha
e2
V
e1
e3
x = T z,
„
p
h2
h3
z = T-1 x
Nella nuova base, ad una matrice
corrisponde la matrice A1
A nxn
A1 = T-1 A T
e2
Infatti
h1
e1
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Alcune proprietà geometriche
28
T
A = T A1
„
T-1
T-1
A1 = T-1 A T
Data una matrice A, sia dato un invariante V rispetto ad A con
dimensione k < n, ed una sua matrice di base V, n x k. Assumendo
T = [V, V’]
non singolare, la matrice A1 = T-1 A T ha la struttura
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A.A. 2008/2009
Alcune proprietà geometriche
„
29
Esempi: il vettore p nella base principale {e1, e2, e3} ha
e3
componenti
p = [3, 2, 5]T;
h2
h3
Sia
p
e2
h1
la matrice che definisce la nuova base. Allora:
e1
p’ = T-1 p = [-0.6548, 3.7892, 4.8180]T
con
h2 e3
1
p
2
h3
Claudio Melchiorri
Controlli Automatici LS
e1
3
h1
e2
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Alcune proprietà geometriche
30
„ Esempio: data la matrice A e l’invariante descritto da V
„ Si ottiene
k=2
n-k=1
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Alcune proprietà geometriche
31
„ Esempio: data la matrice A e l’invariante descritto da V
„ Si ottiene
k=1
n-k=2
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A.A. 2008/2009
CONTROLLI AUTOMATICI LS
Analisi modale
FINE
Prof. Claudio Melchiorri
DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093034
e-mail: [email protected]
http://www-lar.deis.unibo.it/~cmelchiorri