1
I triangoli rettangoli
Consideriamo un triangolo ABC, rettangolo in B, e indichiamo con α la
misura dell’angolo acuto in A. Tracciamo una qualsiasi retta parallela
al cateto BC, chiamiamo B′ e C′ i punti di intersezione con i prolungamenti di AB e AC (fig. 1).
Otteniamo un triangolo AB′C′, in cui l’angolo A è in comune al triangolo ABC, B ≅ B′ e C ≅ C′.
I triangoli ABC e AB′C′ sono simili per il primo criterio di similitudine, perciò i lati omologhi AC e AC′, AB e AB′, BC e BC′ sono in proporzione:
BC = B ′C ′
AC
AC ′
AB = AB ′
AC
AC ′
C′
C
α
BC = B ′C ′
AB
AB ′
A
B
B′
Figura 1
Il valore di ciascun rapporto risulta essere indipendente dalla posizione di C, C′ purché siano allineati con A. Perciò è pienamente giustificata l’associazione di ciascuno dei rapporti considerati alla
misura dell’angolo α. In particolare, ritroviamo le definizioni di seno, coseno e tangente che abbiamo dato nel volume di Algebra:
BC = B ′C ′ = sen α
AC
AC ′
AB = AB ′ = cos α
AC
AC ′
BC = B ′C ′ = tgα
AB
AB ′
Gli angoli saranno misurati sia in gradi sessagesimali sia in radianti; laddove non ci siano ambiguità, la scrittura α indicherà sia la misura in gradi sessagesimali sia la misura in radianti.
Riproduciamo nella tabella 1 i valori di seno, coseno, tangente di alcuni angoli acuti.
Tabella 1
Angolo in gradi
Angolo in radianti
sen a
cos a
tg a
30°
π
6
1
2
3
2
1
3
45°
π
4
1
2
60°
π
3
3
2
1
2
1
2
1
3
Le relazioni che abbiamo riproposto sono anche espresse come teoremi sui triangoli rettangoli.
Vale il seguente teorema.
Teorema sui triangoli rettangoli In un triangolo rettangolo:
a) un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto;
b) un cateto è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente;
c) un cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo.
1
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Facendo ricorso a questo teorema siamo in grado di risolvere qualunque triangolo rettangolo.
ESEMPI
C
1. Il triangolo ABC rappresentato in figura 2, ha il cateto AB = 3, rispetto a una prefissata unità di misura, e gli angoli acuti di 45°. Calcolare l’ipotenusa.
Applichiamo il caso b) del teorema enunciato:
1
AB = AC cos 45° Æ 3 = AC
2
AC = 3 2
45°
A
B
Figura 2
Abbiamo così ritrovato la ben nota relazione tra lato e
diagonale del quadrato (ABC è la metà di un quadrato).
Talvolta, anziché il valore di uno degli angoli acuti di un triangolo, è assegnata una delle funzioni, come nel prossimo esempio.
C
2. Del triangolo rettangolo ABC (fig. 3) sappiamo che
la misura dell’ipotenusa AC, rispetto a una prefissa13
5 .
ta unità di misura, è 13 e che sen A =
Calco13
lare le misure dei cateti.
90°
A
B
Applicando il teorema sui triangoli rettangoli, caso
Figura 3
a), otteniamo la misura del cateto BC:
BC = AC sen A = 5 ⋅ 5 = 5
13
Il cateto AB può essere immediatamente ricavato con il teorema di Pitagora e vale:
AB = 12.
C
3. Il triangolo rettangolo ABC, rappresentato in figura
4, ha il cateto AB di misura 8, rispetto a una prefissata unità di misura, e l’angolo α tale che tgα = 3 .
4
Calcolare i lati del triangolo.
Applicando il teorema sui triangoli rettangoli, caso c),
otteniamo:
BC = AB tgα = 8 ⋅ 3 = 6
4
Per il teorema di Pitagora l’ipotenusa AC ha misura
10, terzo elemento della terna pitagorica 6, 8, 10.
4. Una scala a pioli è alta 2 m. A che altezza arriva se
viene appoggiata a un muro inclinata di 70° rispetto
al piano orizzontale?
In figura 5 sono rappresentate schematicamente la
scala AB e il muro a cui è appoggiata; la misura del
cateto HB esprime l’altezza a cui arriva la scala.
Applicando il teorema sui triangoli rettangoli, caso
a), otteniamo:
HB = AB sen 70°
2
α
A
8
Figura 4
B
B
2
70°
A
Figura 5
H
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Poiché l’angolo di 70° non corrisponde ad alcuno dei valori notevoli presenti nella tabella 1, calcoliamo sen 70° con la calcolatrice scientifica e trascriviamo il risultato approssimato alla seconda cifra decimale: sen 70° ≈ 0,93. Dunque:
HB ≈ 2 m ⋅ 0,93 = 1,86 m
Mettiti alla prova
1
1. Un angolo acuto può avere seno maggiore di 1? E coseno? Perché? tra loro?
sen 30 ∞
.
2. Verifica che tg 30 ∞ =
cos 30 ∞
2
3. Verifica che (sen 60°) + (cos 60°)2 = 1.
2
[S]
Funzioni di angoli maggiori dell’angolo retto
Come abbiamo visto nel volume di Algebra, per calcolare le funzioni di angoli che superano l’angolo retto è necessario inserire un sistema di riferimento cartesiano. Il vertice dell’angolo è sempre
posto nell’origine degli assi O e il primo lato giace sul semiasse delle ascisse positive, come in figura 6.
y
r
▲
Possiamo pensare di aver descritto l’angolo α facendo ruotare la
semiretta r in senso antiorario a partire dalla posizione iniziale che
la vede sovrapposta al semiasse delle ascisse positive.
α
x
O
Figura 6
Osservazione
In un piano dotato di un sistema di riferimento cartesiano:
a qualunque segmento non degenere può essere associata
la misura assoluta espressa da un numero positivo (cap. 8);
ai segmenti situati sugli assi cartesiani, o ad essi paralleli,
può essere associata anche una misura con segno, positivo se il segmento è descritto nel verso in cui è orientato
l’asse, negativo in caso opposto.
Nel seguito della nostra trattazione avremo a che fare con
segmenti di origine O, come il segmento OP di figura 7.
Tracceremo le proiezioni di P sugli assi cartesiani e considereremo i segmenti OH e OK:
OP ha misura assoluta;
OH ha misura con segno negativa;
OK ha misura con segno positiva.
3
y
P
H
K
O
x
Figura 7
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Consideriamo un angolo ottuso α.
Indicato con P2 un punto sul secondo lato dell’angolo, sia H2 la sua proiezione sull’asse delle ascisse (fig. 8):
OP2 ha misura assoluta;
OH2 ha misura con segno negativa, essendo orientato in very
so opposto all’asse x;
H2P2 ha misura con segno positiva, essendo orientato come
P2
l’asse y.
Pertanto:
H P
è un numero positivo
sen α = 2 2
OP2
cosα =
OH 2
OP2
H 2 P2
OH 2
tgα =
α
è un numero negativo
O
H2
x
Figura 8
è un numero negativo
Si giustifica così quello che possiamo verificare anche con una calcolatrice scientifica: il seno di
un angolo che varia tra 90 e 180 è positivo, mentre il coseno e la tangente dello stesso angolo risultano negativi.
Che cosa accade se superiamo l’angolo piatto?
y
Consideriamo un angolo β tale che 180° < β < 270°.
Il primo lato dell’angolo β è sempre sul semiasse delle ascisse positive, mentre il secondo lato è nel 3° quadrante (fig. 9).
Proiettiamo un suo punto P3 sull’asse x in H3 e consideriamo
il triangolo OH3P3; come si vede in figura 9, entrambi i cateti sono orientati in verso opposto a uno degli assi cartesiani,
pertanto sia OH3 sia H3P3 sono negativi.
β
H3
x
O
P3
Figura 9
Dunque:
H3 P3
OP3
senβ =
è negativo
cosβ =
OH3
OP3
è negativo
tgβ =
H3 P3
OH3
è positiva
Infine consideriamo un angolo γ tale che 270° < γ < 360° (fig. 10).
Proiettando il punto P4 sull’asse x in H4 otteniamo il triangolo rettangolo OH4P4 che ha il cateto
OH4 orientato come l’asse x e il cateto H4P4 orientato in verso opposto all’asse y. Pertanto:
H P
y
sen γ = 4 4
è negativo
OP4
cos γ =
tg γ =
OH 4
OP4
H 4 P4
OH 4
è positivo
H4
O
x
γ
è negativa
P4
Figura 10
4
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ESEMPI
1. Calcolare sen150°, cos150°.
Rappresentiamo in un sistema cartesiano l’angolo di 150° (fig. 11), indichiamo con P
un punto qualunque sul secondo lato dell’angolo e con H la proiezione di P sull’asse x.
Il triangolo OHP è rettangolo in H e ha un angolo di 30°; perciò è la metà di un triangolo equilatero di lato OP e altezza HO.
OP
y
HP
1
2
sen150∞ =
=
=
P
OP
OP
2
cos150∞ = OH =
OP
− OP 3
2
=− 3
OP
2
150°
30°
x
O
H
Figura 11
2. È assegnato un angolo α che ha misura in radianti 5 π.
4
Calcolare tg 5 π.
4
Ricordiamo che i radianti sono un’unità di misura
degli angoli che abbiamo introdotto al capitolo 8.
5
π
Osservando che π = π + , disegniamo il se4
4
condo lato dell’angolo e proiettiamo un suo punto
P sull’asse x.
Otteniamo così un triangolo rettangolo OHP che è la
metà del quadrato OHPK rappresentato in figura 12.
I cateti del triangolo OHP sono congruenti e hanno
entrambi misura negativa, perciò:
tg 5 π = HP = 1
4
OH
Mettiti alla prova
y
π + π–
4
H
O
P
K
x
Figura 12
2
1. Calcola:
a) sen 5 π , cos 5 π , tg 5 π
3
3
3
b) sen 120 ∞, cos 120 ∞, tg 120 ∞
[S]
sen 120 ∞
2. Confronta il valore di tg 120° con il rapporto
; quali considerazioni suggerisce il ricos 120 ∞
sultato ottenuto?
3
Prime proprietà delle funzioni goniometriche
Abbiamo ricondotto il calcolo di seno, coseno e tangente di angoli maggiori dell’angolo retto al
rapporto tra cateti e ipotenusa di un opportuno triangolo rettangolo.
Presentiamo ora le proprietà fondamentali delle funzioni goniometriche.
5
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Alcuni valori notevoli
a = 0°
Il secondo lato dell’angolo è sul semiasse delle ascisse positive, la proiezione di qualunque suo punto P sull’asse x cade in H ∫ P.
Come si vede in figura 13, HOP = 0°, HP = 0, OH = OP;
y
di conseguenza:
sen 0∞ = HP = 0
OP
H≡P
x
cos 0∞ = OH = 1
O
OP
tg 0∞ = HP = 0
OH
Figura 13
a = 90°
Il secondo lato dell’angolo è sul semiasse delle ordinate
positive, la proiezione di un qualunque suo punto P cade
nel vertice O dell’angolo (fig. 14).
Si ottengono i valori:
sen 90° = 1
cos 90° = 0
tg 90° non può essere calcolata perché il rapporto HP
OH
ha il denominatore uguale a zero.
y
P
90°
Figura 14
a = 180° Il secondo lato dell’angolo è sul semiasse delle ascisse negative, abbiamo ottenuto un angolo piatto (fig. 15):
OP è sempre positivo perché non è un segmento orientato;
OH è un segmento orientato in verso opposto all’asse x,
perciò ha misura negativa.
Si ottengono allora i valori:
sen 180° = 0
cos 180° = −1
tg 180° = 0
x
H≡O
y
180°
H≡ P
O
x
Figura 15
a = 270° Il secondo lato dell’angolo è sul semiasse delle ordinate negative e la proiezione di un
qualunque suo punto cade in O (fig. 16).
Riguardo alle misure dei segmenti OP e HP vale una considerazione analoga a quella
fatta nel caso dell’angolo piatto:
y
OP ha misura positiva;
HP ha misura negativa perché è orientato in verso opposto
all’asse y.
Procedendo nel calcolo si ottengono i valori:
sen 270° = −1
cos 270° = 0
tg 270° non si può calcolare
270°
H≡O
x
P
Figura 16
6
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a = 360° Il secondo lato dell’angolo ha fatto un giro completo, è così
ritornato alla posizione iniziale, come si vede in figura 17.
y
Perciò valgono le uguaglianze:
sen 360° = sen 0° = 0
cos 360° = cos 0° = 1
tg 360° = 0
H≡O
360°
P
x
Figura 17
Riassumiamo nella tabella 2 i valori delle funzioni calcolate e accompagniamo la misura
in radianti degli angoli a quella in gradi.
Angolo in gradi
Angolo in radianti
sen a
cos a
tg a
0°
0
0
1
0
1
0
non esiste
0
–1
0
–1
0
non esiste
0
1
0
π
2
π
3π
2
90°
180°
270°
360°
Tabella 2
2π
Limitatezza
Quali valori possono assumere il seno e il coseno di un angolo?
Se riguardiamo i valori raccolti nella tabella 1, quelli ottenuti negli esempi e i valori notevoli su cui
ci siamo appena soffermati, riconosciamo che sia per il seno sia per il coseno di un angolo non abbiamo mai ottenuto valori maggiori di 1 e minori di –1. Infatti, sia la definizione di seno sia quella
di coseno fanno calcolare il rapporto tra un cateto e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo; pertanto,
poiché sappiamo che in tali triangoli l’ipotenusa è il lato maggiore, valgono le disuguaglianze:
−1 £ sen α £ 1
e
−1 £ cos α £ 1
Quali valori può assumere la tangente di un angolo?
Riguardo a tg α, si dimostra invece che non è soggetta a limitazioni, pertanto può assumere qualunque valore reale.
Identità fondamentale o prima identità
Considerato un angolo di ampiezza arbitraria, come nelle figure 18.a e 18.b, indichiamo con P un
punto sul secondo lato dell’angolo e lo proiettiamo in H sull’asse x.
y
y
P
P
α
O
Figura 18.a
7
H
x
H
O
x
Figura 18.b
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Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo OHP:
HP 2 + OH 2 = OP 2
[1]
2
Dividiamo primo e secondo membro della [1] per OP :
2
2
⎛ HP ⎞ + ⎛ OH ⎞ = ⎛ OP ⎞
⎝ OP ⎠
⎝ OP ⎠
⎝ OP ⎠
In tale uguaglianza riconosciamo:
2
(sen α)2 + (cos α)2 = 1
Osservazione
È consuetudine alleggerire la scrittura dell’identità fondamentale adottando la seguente convenzione: nella scrittura di (sen α)2 si omette la parentesi e per indicare che l’esponente 2 non
è attribuito all’angolo ma al seno dell’angolo lo si scrive tra sen e α, così: sen2 α. Adottando
una scrittura analoga anche per il coseno si esprime l’identità fondamentale nella forma:
sen2 α + cos2 α = 1
e si legge “seno al quadrato di alfa più coseno al quadrato di alfa uguale a uno” o, più speditamente, “sen quadro alfa più cos quadro alfa uguale a uno”.
Seconda identità
I valori di seno, coseno e tangente di un angolo non sono indipendenti l’uno dall’altro, purché la
tangente possa essere calcolata. Esploriamo questo legame.
Riferendoci ancora alla figura 18, in cui α è diverso sia da 90° sia da 270°, scriviamo:
dividiamo numeratore e denominatore per OP
tgα = HP =
OH
HP
→ sen α
= OP =
OH
cos α
→
OP
La relazione
tg α =
sen α
cos α
è nota come seconda identità e vale se α π 90°, α π 270°
ESEMPI
1 .
1. Di un angolo acuto a si sa che sen α
Calcolare cos α e tg α.
5
Nell’identità fondamentale sen2 α + cos2 α = 1 sostituiamo a sen α il valore noto, così
otteniamo:
1 + cos2 α = 1 Æ
cos2 α = 4
5
5
2
L’equazione di secondo grado ha due radici ±
, ma una sola è accettabile.
5
Poiché il coseno di un angolo acuto è positivo, allora cosα = 2
5
8
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Per calcolare la tangente applichiamo la seconda identità:
1
sen α
tg α =
= 5 = 1 ⋅ 5 = 1
2
cos α
2
5 2
5
12 .
2. Dell’angolo α rappresentato in figura 19 si sa che cosα =
Calcolare sen α e tg α.
13
Applichiamo ancora l’identità fondamentale e sostituiamo a cos α il valore noto:
sen 2 α + 144 = 1 Æ
sen 2 α = 25
169
169
5
L’equazione di secondo grado ha due radici ± .
13
Per decidere quale delle due è accettabile guardiamo la
figura 19, in cui si vede che il segmento HP è orientato
y
in verso opposto all’asse y.
Pertanto il seno dell’angolo α è negativo e vale:
sen α = − 5
H
13
x
O
Per calcolare il valore della tangente basta applicare la
α
seconda identità:
P
sen α
5
13
5
tg α =
=−
⋅
=−
Figura 19
cos α
13 12
12
4
Dalle relazioni tra gli angoli alle relazioni tra le funzioni
Alcune simmetrie ci guideranno nella scoperta della relazione tra le funzioni di alcuni angoli. In questo paragrafo misureremo sempre gli angoli in radianti perché è bene conoscere
le relazioni che introdurremo nella loro forma definitiva.
I primi angoli che prendiamo in considerazione sono gli angoli associati.
Ricordando che la misura in radianti dell’angolo piatto è π e
che quella dell’angolo giro è 2π, rappresentiamo in figura 20,
gli angoli:
β supplementare di α, β = π − α
γ, che differisce da α per un angolo piatto, γ = π + α
δ esplementare di α, δ = 2π − α
y
P1
P
β
K
γ
α
H
O
x
δ
P3
P2
Figura 20
Tali angoli sono detti angoli associati a a.
Angoli supplementari
Dalla costruzione si deduce che OP e OP1 sono simmetrici rispetto all’asse y, perciò i punti H, K
sono equidistanti da O; tenendo conto dei versi dei segmenti valgono le relazioni HP = KP1 e
OK = − OH. Di conseguenza:
KP2
sen β = sen ( π − α ) =
= HP = sen α
OP1
OP
9
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cos β = cos ( π − α ) = OK = −OH = − cos α
OP1
OP
tg β = tg ( π − α ) =
sen β
sen α
=
= − tg α
cos β − cos α
In modo analogo, guardando la figura 20, si ricavano le seguenti altre relazioni.
Angoli che differiscono per un angolo piatto
sen (π + α) = −sen α
cos (π + α) = −cos α
tg (π + α) = tg α
Angoli esplementari
sen (2π − α) = −sen α
cos (2π − α) = cos α
tg (2π − α) = −tg α
ESEMPI
Negli esempi che seguono calcoleremo le funzioni di angoli assegnati, riconoscendoli come associati a un angolo acuto.
1. sen 4 π = sen ⎛ π + π ⎞ = − sen π = − 3
⎝
3
3⎠
3
2
cos 4 π = cos ⎛ π + π ⎞ = − cos π = − 1
⎝
3
3⎠
3
2
⎛
11
π⎞
π
1
2. tg π = tg ⎝ 2 π − ⎠ = − tg = −
6
6
6
3
3. In figura 21 è rappresentato un angolo acuto α di cui si sa
che cosα = 3 . Calcoliamo il coseno e il seno del sup5
plementare di α.
cos ( π − α ) = − cos α = − 3
5
Come abbiamo visto, noto il coseno di un angolo, se ne
calcola il seno applicando l’identità fondamentale:
sen 2 ( π − α ) + cos2 ( π − α ) = 1
y
π–a
α
O
x
Figura 21
3
Sostituiamo il valore noto − ottenendo:
5
2
sen ( π − α ) + 9 = 1
25
4
16
L’equazione di secondo grado sen 2 ( π − α ) =
ha due radici: ± , ma è accettabile
5
25
solo quella positiva perché stiamo calcolando il seno di un angolo ottuso.
sen ( π − α ) = 4 è il valore cercato.
5
10
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Angoli complementari
Due angoli α, β sono complementari se la loro somma è un angolo retto: α + β = π
2
Disponiamo gli angoli α e β = π − α in un sistema di assi
y
2
cartesiani con il primo lato di entrambi gli angoli sul semiasK
se delle ascisse positive (fig. 22); a, b sono le semirette del
secondo lato, rispettivamente, di α e β.
b
P′
P a
β
Indicati con P, P′ due punti di a e b equidistanti da O, proiettiamo P sull’asse x e P′ sull’asse y in H, K, rispettivamente. I
triangoli POH e P′OK sono congruenti per il 2° criterio di
congruenza, perché sono rettangoli, hanno l’ipotenusa congruente e gli angoli α e ● congruenti perché differenza di angoli congruenti. Pertanto, tra i cateti sussistono le relazioni:
KP′ ≅ HP
e
α
O
OK ≅ OH
x
H
Figura 22
Consideriamo le funzioni dell’angolo β = π − α:
2
sen ⎛ π − α ⎞ = OK = OH = cos α
sen ⎛ π − α ⎞
⎝2
⎠ OP ′ OP
⎝2
⎠
cos α
tg ⎛ π − α ⎞ =
=
= 1
⎝2
⎠
tgα
sen
α
⎛
π
⎞
cos
−α
cos ⎛ π − α ⎞ = KP ′ = HP = sen α
⎝
⎠
2
⎝2
⎠ OP ′ OP
Angoli che differiscono di un angolo retto
In figura 23 rappresentiamo gli angoli α e β = π + α
2
Non conduciamo la dimostrazione per esteso, facciamo solo
notare che i cateti KP′ e HP sono congruenti ma hanno misure di segno opposto. Da questa osservazione e dalla congruenza dei triangoli OHP e OKP′ si ricava:
sen ⎛ π + α ⎞ = cos α
⎝2
⎠
cos ⎛ π + α ⎞ = − sen α
⎝2
⎠
b
y
K
P′
β
O
P a
α
H
x
tg ⎛ π + α ⎞ = − 1
⎝2
⎠
tg α
Figura 23
ESEMPI
⎛π
⎞
1. Riportare all’angolo α l’espressione: sen ( π − α ) ⋅ cos ⎝ + α ⎠ + cos (2 π − α ).
2
Esprimerla in modo che contenga solo la funzione coseno.
Sostituendo le relazioni tra angoli e funzioni ricaviamo l’espressione:
sen ( π − α ) ⋅ cos ⎛ π + α ⎞ + cos (2 π − α ) = sen α ⋅ (− sen α ) + cosα =
⎝2
⎠
= − sen 2 α + cos α
Applichiamo l’identità fondamentale:
−sen2 α + cos α = −(1 − cos2 α) + cos α = −1 + cos2 α + cos α
11
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2 .
2. α è un angolo acuto tale che sen α =
Calcolare il seno, il coseno e la tangente del5
l’angolo β complementare di α.
sen β = sen ⎛ π − α ⎞ = cos α
⎝2
⎠
Applicando l’identità fondamentale otteniamo:
2
⎛
⎞
cos α = 1 − sen α = 1 − ⎜ 2 ⎟ = 1
⎝ 5⎠
5
perciò senβ = 1 .
5
Le relazioni sugli angoli complementari danno: cos β = sen α = 2
5
1
sen β
= 5 = 1
Applicando la seconda identità calcoliamo tg β =
cos β
2
2
5
2
3. È dato il triangolo rettangolo AB, i cui cateti sono AB = 9 e BC = 6 (fig. 24). Calcolare
la tangente dell’angolo formato dalla semiretta r e dal lato AB del triangolo.
⎛π
1
⎞
È richiesto il calcolo di tg ⎝ + α ⎠ = −
2
tg α
C
r
Le relazioni sui triangoli rettangoli danno:
tgα = 6 = 2
9 3
tg ⎛ π + α ⎞ = − 1 = − 3
Perciò:
⎝2
⎠
tg α
2
5
6
α
A
9
Figura 24
B
Teoremi fondamentali
La geometria gioca un ruolo fondamentale nella definizione delle funzioni trigonometriche e, a sua
volta, acquista un nuovo strumento di indagine; si arricchisce così di nuove relazioni tra angoli e
segmenti. In questo volume impariamo a risolvere un triangolo in casi più generali di quelli sin qui
studiati. All’inizio del nostro studio abbiamo detto che per definire un triangolo è sufficiente assegnare tre elementi, dei quali almeno uno sia un lato. Risolvere il triangolo significa determinare gli
elementi mancanti.
Oltre alla risoluzione dei triangoli rettangoli, come abbiamo visto nei precedenti paragrafi, sappiamo risolvere anche triangoli di altro tipo se si presentano particolari condizioni.
Consideriamo, per esempio, il triangolo isoscele ABC di base BC, rappresentato in figura 25. Sono
dati: il lato obliquo AB, che ha misura 10 rispetto a un’assegnata unità di misura,
A
e cos A BC = 3 .
5
Se tracciamo l’altezza AH otteniamo un triangolo rettangolo ABH a
cui applichiamo il teorema sui triangoli rettangoli, calcolando così
metà base:
BH = AB ⋅ cos A BC = 10 ⋅ 3 = 6
5
12
10
β
B
H
Figura 25
C
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Calcoliamo ora la base: BC = 2BH = 12.
Abbiamo così determinato tutti i lati del triangolo.
Per determinare l’angolo al vertice ci serviamo della calcolatrice.
Indicato con β l’angolo alla base, calcoliamo il suo valore approssimato in gradi sessagesimali con
una calcolatrice scientifica.
Dopo aver controllato che la calcolatrice sia disposta su D, in modo da misurare gli angoli in gradi
sessadecimali, digitiamo SHIFT (o INV) cos 3 (l’ordine in cui digitare può differire da calcolatrice
5
a calcolatrice) e otteniamo come risultato 53,130...°, che è la misura sessadecimale dell’angolo alla
base β. Infine calcoliamo l’angolo al vertice α = 180° − 2β = 180° − 2 ⋅ 53,130° = 73,74°. Passiamo ora alla misura in gradi sessagesimali (digitare ° ′ ′′): α = 73°44′.
Risalire dal coseno all’angolo vuol dire invertire la funzione coseno.
Il triangolo risolto è isoscele, ma siamo in grado di risolvere triangoli qualsiasi, comunque si presentino?
Rispondono al problema alcuni importanti teoremi di questo ramo della matematica detto trigonometria.
Partiamo da un teorema che, sotto opportune ipotesi, consente di risolvere un triangolo generico
suddividendolo in due triangoli rettangoli a cui applicare il teorema di Pitagora.
Teorema 139 (Teorema di Carnot) In un triangolo ABC, dati due lati b, c e l’angolo α
tra essi compreso, per il terzo lato a vale:
a2 = b2 + c2 – 2bc ⋅ cos α
In figura 26 sono rappresentati due possibili triangoli che soddisfano le ipotesi del teorema, in uno l’angolo α è acuto (fig. 26.a) mentre nell’altro è ottuso (fig. 26.b). Condurremo la dimostrazione solo del caso a), lasciando la dimostrazione del caso b) come
esercizio.
C
C′
b
α
A
π–α
H
c
Figura 26.a
B
H′
B′
A′
Figura 26.b
Dimostrazione
a è un angolo acuto
Per dimostrare il teorema tracciamo l’altezza CH. Il triangolo ABC viene diviso in due triangoli rettangoli e il lato incognito BC è ipotenusa del triangolo CHB: se riusciamo a calcolarne i cateti applichiamo il teorema di Pitagora e il gioco è fatto.
CH = b ⋅ sen α
HB = AB − AH = c − b ⋅ cos α
13
per il teorema sui triangoli rettangoli
ancora per il teorema sui triangoli rettangoli
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Ora applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo CHB indicando con a la misura dell’ipotenusa:
2
2
BC = CH + HB
2
a2 = (b ⋅ sen α)2 + (c − b ⋅ cos α)2 = b2sen2α + c2 – 2bc ⋅ cos α + b2cos2α =
= b2 (sen2α + cos2α) + c2 – 2bc ⋅ cos α
Ricordando l’identità fondamentale sen2α + cos2α = 1 otteniamo:
a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cos α
Osservazioni
π
1. Nel caso in cui sia α = la tesi del teorema di Carnot si riduce al teorema di Pitagora.
2
Infatti:
cos = π = 0
2
Æ
a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ 0 = b2 + c2
È spontaneo chiedersi come mai abbiamo dimostrato il teorema di Pitagora se lo si ritrova
anche come caso particolare del teorema di Carnot. Un esame della dimostrazione del teorema di Carnot suggerisce immediatamente la risposta: nel corso della dimostrazione siamo ricorsi più volte al teorema di Pitagora!
γ
2. Illustriamo con una figura la tesi del teorema di Carnot.
Rappresentiamo una semicirconferenza γ che ha diametro
BC = a.
Preso un punto A su γ, disegniamo il triangolo ABC (fig. 27).
ABC è un triangolo rettangolo di ipotenusa BC e vale la relazione pitagorica a2 = b2 + c2.
e
b < b1
b
c
a
B
C
Figura 27
A1
Che cosa accade se prendiamo un punto A1 esterno al semicerchio e disegniamo il triangolo A1BC?
Disegniamo A1 sulla perpendicolare al diametro passante
per A (fig. 28).
A1BC è un triangolo acutangolo.
Confrontiamo i suoi lati con quelli di ABC:
c < c1
A
a1
A
γ
b1
c1
c
B
a
Figura 28
b
C
pertanto:
a2 = b2 + c2 < b12 + c12
coerentemente, nella relazione che esprime il teorema di Carnot per il triangolo A1BC, è presente una differenza che coinvolge l’angolo α1 opposto al lato a:
a2 = b12 + c12 − 2 b1c1 ⋅ cos α1
E se prendiamo un punto A2 interno al semicerchio?
Per agevolare il confronto lo disegniamo allineato con A e A1, non per questo le considerazioni che faremo perdono generalità.
14
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A2BC è ottusangolo (fig. 29); confrontando i suoi lati con
quelli di ABC abbiamo:
c > c2 e b > b2
pertanto
a2 = b2 + c2 > b22 + c22
[1]
La relazione che esprime il teorema di Carnot è:
A1
a1
γ
c1
A
b1
A2 b
c
a2
c2
b2
a
B
a2 = b22 + c22 −2 b2c2 ⋅ cos α 2
C
Figura 29
che, a prima vista, sembra non essere coerente con la disuguaglianza [1]. È solo un’apparenza perché α 2 è un angolo ottuso e cos α 2 < 0, perciò:
−2 b2c2 ⋅ cos α 2 > 0
Al secondo teorema relativo ai lati di un triangolo fa da premessa
un teorema sulla corda di una circonferenza, detto teorema della
corda.
Ricordiamo la relazione che sussiste tra gli angoli alla circonferenza che sottendono la stessa corda rappresentati in figura 30.
α ≅ α′
β≅π−α
D
A
β
B
O
perché insistono sullo stesso arco
perché insistono su archi esplementari
α′
α
Essendo α e β supplementari sussiste la relazione:
C
C′
sen α = sen β
Figura 30
In sintesi:
Angoli alla circonferenza che sottendono la stessa corda sono congruenti o supplementari, quindi hanno tutti lo stesso seno.
Teorema 140 (Teorema della corda) La corda di una circonferenza di raggio r ha misura pari al prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che sottendono la corda.
Dimostrazione
A partire da uno degli estremi della corda AB tracciamo un
diametro AC (fig. 31); il triangolo ABC è rettangolo in B perché inscritto in una semicirconferenza. Indicato con γ l’angolo
alla circonferenza ACB, applichiamo il teorema dei triangoli
rettangoli:
AB = AC sen γ
Æ
A
B
2r
O
AB = 2r sen γ
Grazie alla proprietà appena ricordata, di cui godono gli angoli
alla circonferenza che sottendono la stessa corda, abbiamo dimostrato la tesi del teorema.
γ
C
Figura 31
Veniamo ora al teorema che mette in relazione i lati di un triangoli con i seni degli angoli ad essi
opposti.
15
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Teorema 141 (Teorema dei seni) In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo a esso opposto è costante, ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta.
C
Riferendoci alla figura 32, scriviamo in modo simbolico la tesi:
a = b = c = 2r
sen α sen β sen γ
b
γ
α
A
a
Dimostrazione
c
La dimostrazione è un’immediata applicazione del teorema della corda, visto che ogni triangolo è inscrittibile in una circonferenza.
Se disegniamo la circonferenza circoscritta al triangolo ABC, come in
figura 33, abbiamo una nuova prospettiva sui lati del triangolo che ora
appaiono come corde di una stessa circonferenza.
Indicato con r è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo, e con O il suo centro, applichiamo il teorema della corda a ciascun lato:
A
a = 2r ⋅ sen α
b = 2r ⋅ sen β
c = 2r ⋅ sen γ
β
B
Figura 32
C
b
γ
α
a
O
c
β
seguono i rapporti:
a = b = c = 2r
sen α sen β sen γ
Mettiti alla prova
B
Figura 33
3
Dimostra il teorema di Carnot nel caso dell’angolo ottuso.
[S]
ESEMPI
1. I lati di un triangolo ABC hanno, rispetto a una prefissata unità di misura, le seguenti
misure: AB = 2, AC = 3 e BC = 7. Risolvere il triangolo.
I tre segmenti assegnati soddisfano la disuguaglianza triangolare, come si può facilmente verificare. Per il terzo criterio di congruenza definiscono un unico triangolo.
Per risolvere il triangolo restano da determinare solo gli angoli.
Indicato con α l’angolo di vertice A (fig. 34), applichiamo al
C
triangolo ABC il teorema di Carnot:
γ
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ⋅ AC ⋅ cos α
3
Sostituendo i valori noti otteniamo:
cosα = 1
2
Ricordando i valori notevoli raccolti nella tabella 1 e che l’angolo interno di un triangolo è minore di 180°, scriviamo: α = 60°
7 = 4 + 9 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ cosα
16
Æ
α
A
7
β
2
Figura 34
B
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Ricaviamo anche l’angolo β applicando il teorema di Carnot:
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2AB ⋅ BC ⋅ cos β
Sostituiamo i valori noti:
9 = 4 + 7 − 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ cosβ
Æ
1
cosβ =
2 7
Questo non è un valore notevole, perciò calcoliamo il valore di β, approssimato ai primi, con la calcolatrice: β ≈ 79° 6′.
Per differenza calcoliamo: γ = 180° − (α + β) ≈ 40° 54′
2. Una circonferenza γ ha raggio r = 10 cm. Calcolare la misura della corda AB sottesa da un angolo α = 40°.
In figura 35 è rappresentata una corda AB sottesa da un angolo di 40°.
Applichiamo il teorema della corda:
AB = 2 ⋅ 10 cm ⋅ sen 40° ≈
≈ 20 cm ⋅ 0,64 = 12,8 cm
B
A
O
40°
Figura 35
C
3. Data una circonferenza γ di raggio r, tutte le corde che sono sottese da angoli alla circonferenza di 60° o di 120° hanno misura r 3.
In figura 36 sono rappresentate una circonferenza γ di raggio r e una corda AB sottesa
da un angolo alla circonferenza α di 60°. Gli angoli ottusi che sottendono la corda AB
sono i supplementari di α, quindi misurano 120°. Se applichiamo il teorema della corda otteniamo:
γ
AB = 2r sen 60∞ = 2r sen 120∞ = 2r
3 =r 3
2
Consideriamo, in particolare, il triangolo isoscele ABC
di base AB, inscritto nella circonferenza γ (fig. 36). Non
solo l’angolo di vertice C misura 60°, ma anche gli angoli alla base, perciò ABC è un triangolo equilatero inscritto in γ. Abbiamo ritrovato un risultato già ottenuto
per via geometrica: tutti i triangoli equilateri inscritti in
una circonferenza di raggio r hanno lato di misura r 3.
C
60°
60°
B
120°
A
Figura 36
4. Un triangolo ABC ha i lati BC = 4, AC = 3 rispetto a una prefissata unità di misura, e
l’angolo ABC = 30°. Risolvere il triangolo.
Per costruire il triangolo disegniamo un segmento BC di miA1
sura 4 e una semiretta r che ha origine in B e forma un angolo di 30° con BC. Il terzo vertice del triangolo deve avere
r
3
distanza 3 da C, e deve essere situato sulla semiretta r. Lo
A2
otteniamo come punto di intersezione tra r e la circonferen- 30°
3
za che ha centro in C e raggio 3. Come si vede in figura 37, B
4
C
i punti di intersezione sono due, perciò sono due i triangoli
Figura 37
che soddisfano le condizioni assegnate.
Veniamo ora al calcolo delle misure del terzo lato e dei rimanenti due angoli.
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Visto che l’angolo assegnato è opposto a uno dei lati di misura nota, applichiamo il teorema dei seni, indicando con α l’angolo opposto a BC:
AC = BC
sen β sen α
Æ
3 = 4
1 sen α
2
Æ
sen α = 2
3
2
Con la calcolatrice scientifica calcoliamo l’angolo α che ha seno uguale a sen α = ;
3
otteniamo:
α ≈ 41,81° ≈ 41°48 ′
che corrisponde all’angolo acuto di vertice A1 disegnato in figura 37.
Questo è l’unico risultato che dà la calcolatrice, per ottenere anche l’altro angolo che
ha seno uguale a 2 ricordiamo che due angoli supplementari hanno lo stesso seno; ab3
biamo così:
α′ ≈ 180° − 41,81° ≈ 138,18° ≈ 138°11′
è questo l’angolo di vertice A2.
Attraverso l’applicazione del teorema dei seni e delle relazioni tra angoli e rispettivo
seno, ritroviamo il risultato ottenuto mediante la costruzione: sono due i triangoli che
soddisfano le condizioni assegnate!
La misura del terzo angolo di ciascuno dei due triangoli si ottiene per differenza dalla
somma degli angoli interni di un triangolo:
γ ≈ 180° − (41,81° + 30°) ≈ 108°11′
γ ′ ≈ 180° − (138,18° + 30°) ≈ 11°49′
Infine ricaviamo il terzo lato di ciascuno dei due triangoli applicando il teorema dei
seni:
A1 B
A1 B
A1C
A1 B ≈ 5,7
= 3 Æ
=
Æ
0,95
1
sen γ
sen 30∞
2
Per l’altro triangolo:
A2 B
A2C
=
sen γ ′
sen 30∞
18
Æ
A2 B
= 3
0,20
1
2
Æ
A2 B ≈ 1,2
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PROVA DI STUDIO 1
(sino al paragrafo 11.3 incluso)
1. Quanto misurano gli angoli acuti di un triangolo rettangolo che ha i cateti AB = 4 cm e
BC = 8 cm? (calcolare il valore approssimato in gradi sessagesimali)
2. Un rettangolo ABCD ha il lato AB = 6 cm e la diagonale AC = 10 cm. Calcolare la misura degli angoli che la diagonale forma con ciascuno dei lati. (calcolare il valore approssimato in gradi sessagesimali)
3. Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano l’angolo che ha misura in radianti 7 π . Calcolare il seno e il coseno dell’angolo.
4
4. L’angolo α è un angolo ottuso. Quali tra le affermazioni che seguono sono vere?
a. sen α > 1
b. sen α £ 1
c. cos α = −sen α
d. cos α = sen α
e. cos α £ 0
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
5. Quali, tra le espressioni che seguono, non possono essere calcolate?
1
a.
sen 180 ∞
b. sen 180°
c. tg 90°
d. 1 + cos 180°
e. cos 90° − sen 90°
6. Calcolare il valore dell’espressione:
sen π + cos π + 2 cos π
2
3
4
7. Calcolare il valore dell’espressione:
tg 60° + tg 180° + tg 30°
8. Un angolo α è tale che cos α = − 3 . Quali, tra le affermazioni che seguono, sono vere?
5
V F
a. sen α < 0
V F
b. sen α = 4
5
V F
c. 90° < α < 270°
V F
d. sen α > 1
4
V F
e. tg α = −
3
9. Un angolo acuto α è tale che sen α =
3 . Calcolare cos α e tg α.
10
10. Un angolo α è tale che 270° < α < 360° e sen α = − 3 . Calcolare cos α e tg α.
5
19
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PROVA DI STUDIO 2
(dal paragrafo 11.4 alla fine)
1. Calcola i valori delle espressioni:
⎛
π ⎞ + sen ⎛ π − π ⎞ =
a. sen π +
⎝
⎝
4⎠
4⎠
b. cos ⎛ π − π ⎞ + cos ⎛ π + π ⎞ =
⎝
⎝
3⎠
3⎠
c. tg ⎛ π − π ⎞ + tg ⎛ π + π ⎞ =
⎝
⎝
6⎠
6⎠
............
............
............
2. Due angoli che differiscono per un angolo piatto hanno:
a. seno opposto
b. coseno opposto
c. tangente reciproca
d. tangente opposta
e. lo stesso seno
3. α e β sono tali che β = π + α. Allora:
2
a. sen β = −cos α
b. sen β = cos α
c. − cos β = sen α
d. tg α ⋅ tg β = −1
e. tg α = −tg β
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
4. Calcola il valore dell’espressione:
cos ⎛ π − α ⎞ ⋅ sen ( π + α ) + sen ⎛ π − α ⎞ ⋅ cos ( π + α )
⎝2
⎠
⎝2
⎠
5. Un triangolo ABC ha i lati AB = 3 cm, AC = 6 2 cm e l’angolo CAB = 45°.
Calcola la misura del terzo lato del triangolo.
6. Un triangolo ABC ha il lato AB = 16 3 cm e gli angoli ACB = 60°, ABC = 45°.
Calcola AC.
7. Esiste il triangolo ABC che ha i lati AB = 10 cm, BC = 7 cm e l’angolo BAC di 100°?
Giustifica la risposta che hai dato.
8. Due angoli alla circonferenza che sottendono la stessa corda hanno:
a. uguale coseno
b. uguale tangente
c. uguale seno
d. coseno opposto
e. seno opposto
20
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
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?
21
DI CHE COSA ABBIAMO PARLATO
Valori notevoli
gradi
radianti
seno
coseno
tangente
0°
0
0
1
0
30°
π
6
1
2
3
2
1
3
45°
π
4
1
2
1
2
1
60°
π
3
3
2
1
2
3
90°
π
2
1
0
non esiste
120°
2π
3
3
2
−1
2
− 3
135°
3π
4
1
2
− 1
2
−1
150°
5π
6
1
2
−
180°
π
0
210°
7π
6
−1
2
225°
5π
4
− 1
2
240°
4π
3
−
270°
3π
2
300°
5π
3
−
315°
3
2
−1
−
3
2
− 1
2
3
2
− 1
3
0
1
3
1
−1
2
3
0
non esiste
3
2
1
2
− 3
7π
4
− 1
2
1
2
−1
330°
11 π
6
−1
2
3
2
− 1
3
360°
2π
0
1
0
–1
Identità fondamentale
sen2 α + cos2 α = 1
Seconda identità
tg α =
sen α
(se cos α ≠ 0 )
cos α
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?
Teorema sui triangoli rettangoli
In un triangolo rettangolo:
a) un cateto è l’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto;
b) un cateto è l’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente;
c) un cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo.
Relazioni tra angoli e funzioni
angoli
seno
coseno
tangente
supplementari
sen ( π − α ) = sen α
cos ( π − α ) = − cos α
tg ( π − α ) = − tg α
differiscono di
un angolo piatto
sen ( π + α ) = − sen α
cos ( π + α ) = − cos α
tg ( π + α ) = − tg α
esplementari
sen ( 2π − α ) = − sen α
cos ( 2π − α ) = cos α
tg ( 2π − α ) = − tg α
complementari
sen ⎛ π − α ⎞ = cos α
⎝2
⎠
cos ⎛ π − α ⎞ = sen α
⎝2
⎠
tg ⎛ π − α ⎞ = 1
⎝2
⎠
tg α
differiscono di
un angolo retto
sen ⎛ π + α ⎞ = cos α
⎝2
⎠
cos ⎛ π + α ⎞ = − sen α
⎝2
⎠
tg ⎛ π + α ⎞ = − 1
⎝2
⎠
tg α
Teorema di Carnot In un triangolo ABC, dati due lati b, c e l’angolo α tra essi compreso, per
il terzo lato a vale: a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cos α.
C
C′
a
b
a
b
α
A
π–α
H
c
B
H′
c
A′
Teorema della corda La corda di una circonferenza di
raggio r ha misura pari al prodotto del diametro per il seno
di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che sottendono la corda:
B′
D
A
β
B
O
AB = 2r ⋅ sen α = 2r ⋅ sen β
α′
α
C
C′
C
Teorema dei seni In un triangolo il rapporto tra un lato e il
seno dell’angolo a esso opposto è costante, ed è uguale al
diametro della circonferenza circoscritta:
a = b = c = 2r
sen α
sen β sen γ
γ
b
A
α
a
c
β
B
22
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ESERCIZI
Valori notevoli
Calcolare le espressioni utilizzando i valori delle funzioni riportati nella tabella 1.
1
a. sen 30° + sen 60°
b. sen (30° + 60°)
⎡ 1+ 3
⎤
; b. 1 ⎥
⎢⎣ a.
2
⎦
2
a. sen 30° + cos 30°
b. sen 60° + cos 60°
⎡
1+ 3 ⎤
⎢⎣ a. e b.
2 ⎥⎦
3
a. sen 45° + cos 45°
b. sen 45° − cos 45°
4
π
π
a. sen + cos
3
6
b. sen
5
a. tg
6
a. tg 30° + sen 60°
b. tg 30° − cos 30°
7
a. cos 45° + tg 45°
b. tg 45° − sen 45°
π − cos π
4
3
a. tg π + cos π
3
6
tg π
π
6
9 a. tg +
3 tg π
3
tg π
π
3
10 a. sen +
3 tg π
4
8
b. tg
⎡⎣ a.
π + cos π
6
3
⎡⎣ a. 3 ; b. 1 ⎤⎦
⎡ 1
2⎤
⎢⎣ a. 2 ; b. 3 ⎥⎦
π + cos π
4
3
b. tg π − cos3
3
tg π
π
4
b. tg −
3 tg π
6
cos π
π
3
b. tg −
3 cos π
6
2 ; b. 0 ⎤⎦
⎡ 5 3
3⎤
⎢⎣ a. 6 ; b. − 6 ⎥⎦
⎡
⎢⎣ a.
2+2
2− 2⎤
; b.
2
2 ⎥⎦
⎡ 3 3
3⎤
⎢⎣ a. 2 ; b. 2 ⎥⎦
⎡ 4
⎤
a. ; b. 0 ⎥
⎣⎢ 3
⎦
⎡ 3 3
2 ⎤
⎥
⎢ a. 2 b.
3⎦
⎣
Triangoli rettangoli
I problemi dal n. 11 al n. 21 richiedono l’applicazione dei teoremi sui triangoli rettangoli.
11 Un triangolo rettangolo ABC ha l’ipotenusa AC = 20 cm, l’angolo α ad essa adiacente ha
[48 cm]
cos α = 4 . Calcolare il perimetro del triangolo.
5
12 Un triangolo rettangolo ABC ha il cateto AB = 6 cm, l’angolo α ad esso adiacente ha cos α = 2 .
3
Calcolare il perimetro del triangolo.
⎡⎣ (15 + 3 5 ) cm ⎤⎦
13 Un triangolo rettangolo ABC ha il cateto AB = 12 cm, l’angolo γ ad esso opposto ha sen γ = 3 .
5
[48 cm]
Calcolare il perimetro del triangolo.
14 Un triangolo rettangolo ABC ha il cateto AB = 10 cm, l’angolo α ad esso adiacente ha tg α = 2.
[100 cm2]
Calcolare l’area del triangolo.
5
15 Un triangolo rettangolo ABC ha il cateto AB = 50 cm, l’angolo γ ad esso opposto ha tg γ = .
2
[500 cm2]
Calcolare l’area del triangolo.
19
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16 Un trapezio isoscele ha le basi di misura,
rispettivamente, 4 cm e 12 cm, gli angoli
adiacenti alla base maggiore hanno tangente uguale a 1 . Calcolare l’area del trapezio.
4
[8 cm2]
19 Con una pedana inclinata di 25° rispetto al
piano orizzontale si superano due gradini,
ciascuno dei quali è alto 30 cm. Quanto è
[≈142 cm]
lunga la pedana?
20 Un triangolo ABC ha il lato AC = 2 cm, l’angolo CAB = 45° e l’angolo ABC tale che
tg ABC = 1 . Calcolare l’area del triangolo.
2
(Si consiglia di tracciare l’altezza relativa
[3 cm2]
al lato AB).
17 Un trapezio isoscele ha le basi di misura,
rispettivamente, 4 cm e 16 cm, gli angoli
adiacenti alla base maggiore hanno coseno
3
uguale a . Calcolare il perimetro del tra4
[36 cm]
pezio.
21 Un triangolo ABC ha il lato AC = 8 cm, l’angolo CAB = 60° e l’angolo ABC tale che
sen ABC = 3 . Calcolare il perimetro del
triangolo. 4
18 Un trapezio rettangolo ABCD ha la base minore AD = 20 cm, la base maggiore BC = 80
4
cm e tgBCD = . Calcolare l’area del tra3
pezio.
[4000 cm2]
⎡ ( 28 + 4 13 ) cm ⎤
⎣
⎦
Angoli maggiori dell’angolo retto
22 Riferendosi alla figura, completare:
y
y
α
O
y
γ
β
x
O
y
x
O
a. è negativo il seno degli angoli ………………… e ………….……… .
b. è positivo il coseno degli angoli ………………… e ………….……… .
c. è negativa la tangente degli angoli ………………… e ………….……… .
δ
x
x
O
[a. α, γ; b. β, γ; c. γ, δ]
23 Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base di 40°, che segno hanno il seno e il coseno dell’ango[seno positivo, coseno negativo]
lo al vertice?
24 α, β‚ γ, sono gli angoli interni di un triangolo ottusangolo e γ è il maggiore dei tre angoli. Che
[solo cos γ è negativo]
segno ha il coseno di ciascuno dei tre angoli?
25 Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano l’angolo di 210°. Calcolare sen 210°, cos 210°,
tg 210°. (Nota: 210° = 180° + 30°)
⎡ 1
3
3⎤
⎢⎣ − 2 ; − 2 ; + 3 ⎥⎦
26 Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano l’angolo di 330°. Calcolare sen 330°, cos 330°,
tg 330°. (Nota: 330° = 360° − 30°)
⎡ 1
3
3⎤
⎢⎣ − 2 ; + 2 ; − 3 ⎥⎦
27 Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano l’angolo che ha misura in radianti 4 π . Cal3
colare sen 4 π , cos 4 π , tg 4 π.
⎡
⎤
3
1
3
3
3
−
;− ; 3
⎢⎣
20
2
2
⎥⎦
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28 Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano l’angolo che ha misura in radianti 3 π. Cal4
colare sen 3 π , cos 3 π , tg 3 π. Nota: 3 π = π − π
⎡ 1
1
⎤
;−
; − 1⎥
4
4
4
4
4
⎢+
)
(
⎣
2
⎦
2
29 Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano l’angolo che ha misura in radianti 7 π.
4
Calcolare sen 7 π , cos 7 π , tg 7 π. Nota: 7 π = 2 π − π
⎡ 1
1
⎤
4
4
4
4
4
⎢ − 2 ; + 2 ; − 1⎥
⎣
⎦
(
)
30 Un rombo ha gli angoli acuti di 60°. Calcolare il seno e il coseno dei due angoli ottusi.
⎡ 3
1⎤
⎢⎣ 2 ; − 2 ⎥⎦
31 Un trapezio rettangolo ha l’angolo acuto di 45°. Calcolare il seno e il coseno dell’angolo ottuso.
⎡ 1
1 ⎤
⎢+ 2 ; − 2 ⎥
⎣
⎦
32 Gli angoli adiacenti alla base maggiore di un trapezio isoscele misurano 30°. Quanto valgono il
seno e il coseno degli angoli adiacenti alla base minore?
⎡ 1
3⎤
⎢⎣ + 2 ; − 2 ⎥⎦
33 Gli angoli adiacenti alla base maggiore di un trapezio isoscele misurano 60°. Quanto valgono il
seno e il coseno degli angoli adiacenti alla base minore?
⎡ 3
1⎤
⎢⎣ 2 ; − 2 ⎥⎦
ESERCIZIO GUIDA
In figura è rappresentato un vettore v che ha modulo 10 rispetto a una prefissata unità di misura, e
forma un angolo di 160° con la direzione positiva dell’asse x. Calcolare le componenti del vettore.
Ricordiamo che:
• i componenti di un vettore v lungo gli assi cartesiani sono i vettori proiezioni di v sugli assi. In figura sono i vettori, in rosso, di origine O ed estremi H, K.
• le componenti dello stesso vettore v sono due numeri con segno:
− il valore assoluto di ogni componente è uguale al modulo del corrispondente componente;
− il segno di ogni componente è positivo se il corrispondente componente è orientato come l’asse
cartesiano su cui giace, negativo in caso contrario.
Nel nostro caso la componente OH è negativa mentre la
componente OK è positiva.
Ricordando che:
cos160° = OH
OA
e
y
A
K
→
v
sen160° = HA
OA
160°
H
O
x
otteniamo:
OH = OA · cos 160°
OK = OA · sen 160°
Sostituendo il valore noto di OA e calcolando il seno e il coseno di 160° (approssimati alla seconda
cifra decimale), abbiamo i valori delle componenti di v.
OH ≈ 10 · (−0,94) = −9,4
OK ≈ 10 · 0,34 = 3,4
21
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Negli esercizi dal n. 34 al n. 40 calcolare le
componenti di ciascuno dei vettori rappresentati,
sapendo che tutti i vettori hanno modulo 10.
34
40
y
290°
O
y
x
195°
x
O
35
y
Prime proprietà delle funzioni
Calcolare il valore delle seguenti espressioni.
115°
x
O
36
y
[1]
42 sen 90° + cos 180°
[0]
43 tg 0° + sen 270°
70°
x
O
37
41 cos 0° + tg 180°
y
340°
x
O
44 sen 180° + sen 360°
[0]
45 cos 360° + cos 0°
[2]
46 sen 270° + cos 180°
[− 2]
47 cos 90° − sen 90°
[−1]
48 sen 180° − cos 360°
[−1]
49 cos 270° − sen 270°
[1]
50 tg 360° + cos 90°
[0]
cos 3 π − sen π
2
2
[−1]
51
38
y
52 sen π – cos π
[1]
53 tg 2π + tg π
[0]
sen 3 π + tg 0
2
π
55 cos 2π + cos
2
56 cos 0 – cos π
54
20°
x
O
39
y
57 sen 2π + tg 2π
250°
O
22
[−1]
58 tg π + cos π
x
59
sen 3 π + cos 3 π
2
2
60
sen π − sen 3 π
2
2
[−1]
[1]
[2]
[0]
[−1]
[−1]
[2]
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61 Quali, tra i valori che seguono, possono rappresentare il seno di un angolo?
a) 5
c) 2
3
b) − 2
d) 1
[S]
5
62 Quali, tra i valori che seguono, possono rappresentare il coseno di un angolo acuto?
a) 1
c) 4
3
2
b) − 3
2
d) 3
4
[S]
63 Quali, tra i valori che seguono, possono rappresentare il coseno di un angolo ottuso?
a) − 3
c) − 7
5
6
4
b) −
5
d)
3
2
[S]
64 L’angolo α soddisfa le limitazioni
180° < α < 270°
Quali tra i valori che seguono possono rappresentare il suo coseno?
a) 0
b) –1
c) 1
2
d) −
5
[S]
65 L’angolo α soddisfa le limitazioni
180° £ α £ 270°
Quali tra i valori che seguono possono rappresentare il suo seno?
3
a) –1
c) −
2
b) 0
d) 1
[S]
66 L’angolo α soddisfa le limitazioni
270° £ α £ 360°
Quali tra i valori che seguono possono rappresentare il suo seno?
a) 1
c) 0
1
b) –1
d) −
[S]
2
67 L’angolo α soddisfa le limitazioni
270° < α < 360°
Quali tra i valori che seguono possono rappresentare il suo coseno?
a) 0
c) –1
1
b)
d) 5
[S]
2
5
ESERCIZIO GUIDA
1. Determinare per quali valori del parametro reale k ha significato la relazione:
sen α = 5 – k
0° £ α £ 90°
La limitazione sull’angolo α fa sì che sen α sia non negativo; inoltre per qualunque angolo deve
essere soddisfatta la limitazione –1 £ sen α £ 1.
Poniamo a sistema le due condizioni:
⎧5 − k ≥ 0
⎧k ≤ 5
⎨ −1 ≤ 5 − k ≤ 1 Æ ⎨ 4 ≤ k ≤ 6
⎩
⎩
Le soluzioni del sistema sono: 4 £ k £ 5
2. Determinare per quale valore del parametro reale k ha significato la relazione:
tg α = k + 1
0° < α < 90°
Ricordando che la tangente può assumere qualunque valore reale e che è positiva se l’angolo è
acuto, l’unica condizione da porre è:
k + 1 > 0 Æ k > −1
Determinare per quali valori del parametro reale k hanno significato le relazioni indicate.
68 sen α = 3k – 1
1
69 sen α = 1 +
k
70 sen α = 4k
71 sen α = 1
k +1
23
0° < α < 90°
90° < α < 180°
180° £ α £ 270°
270° < α < 360°
⎡1
2⎤
< k < ⎥
3⎦
⎣⎢ 3
[k < −1]
⎡ 1
⎤
⎢⎣ − 4 ≤ k ≤ 0 ⎥⎦
[k < −2]
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72 sen α =
1
k2 + 5
73 cos α = 5k + 2
74
cos α =
1
2k + 5
cos α = 1 − 2
k
76 cos α = 8k
75
77
cos α = 5 + k 2
2
90° < α < 180°
90° < α < 180°
[1 < k < 2]
270° < k < 360°
⎡
1⎤
⎢⎣ 0 < k < 8 ⎥⎦
270° < k < 360°
[per nessun valore di k]
79 tg α = k2 – 1
90° < α < 180°
81 tg α = k2
82 tg α =
7
5 − k2
[k < −3]
180° < k < 270°
0° < α < 90°
3k
k−2
⎡ 2
1⎤
− ≤k ≤− ⎥
5⎦
⎣⎢ 5
0° £ α £ 90°
78 tg α = 6k – 2
80 tg α =
[per ogni valore di k]
⎡
1⎤
⎢⎣ k > 3 ⎥⎦
[− 1 < k < 1]
180° < α < 270°
[k < 0 ∨ k > 2]
180° < α < 270°
[k π 0]
⎡⎣ − 5 < k <
270° < α < 360°
5 ⎤⎦
Assegnata una funzione trigonometrica dell’angolo, è richiesto di calcolare le rimanenti utilizzando
la prima e la seconda identità.
83 sen α =
2 −1
0° < α < 90°
94
cos α =
2
84 sen α =
5
90° < α < 180°
95
cos α = 5
13
85 sen α = − 12
13
270° < α < 360°
96
cos α =
86 sen α = 0
180° £ α £ 270°
97 cos α = 1
87 sen α = 1 − 5
4
180° < α < 270°
98
cos α = − 1
5
88 sen α = 1 − 2
270° < α < 360°
2
89 sen α =
3
0<α < π
2
99
cos α =
90 sen α =
5 −1
4
0<α < π
2
2 −1
1− 5
4
0° < α < 90°
270° £ α £ 360°
90° < α < 180°
0° £ α £ 90°
5 −1
4
90° < α < 180°
0<α < π
2
3
100 cos α = −
5
π < α < 3π
2
91 sen α = − 3
5
0<α < π
2
1
101 cos α =
4
3 π < α < 2π
2
5
92 sen α = −
13
3 π < α < 2π
2
102 cos α = − 5
13
π <α < π
2
93 cos α = 2
3
0° < α < 90°
103 cos α = 12
13
0<α < π
2
24
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Dalle relazioni tra gli angoli
alle relazioni tra le funzioni
112
sen ( π − α )
sen ( 2 π − α )
[–1]
113 sen(π + α) + sen(π – α) + sen(2π – α)
[–sen α]
Indicare a piacere un angolo acuto e decidere
quali tra le relazioni proposte sono vere
e quali false.
114 cos (π + α) – cos (2π – α)
115 cos (π – α) cos α
Vero o falso?
104 Il supplementare di α ha:
a) lo stesso seno di α
b) lo stesso coseno di α
c) lo stesso seno di α e coseno
opposto a quello di α
d) la stessa tangente di α
V
F
V
F
V
F
V
F
105 L’angolo che differisce da α per un angolo
piatto ha:
V F
a) lo stesso seno di α
V F
b) coseno opposto a quello di α
V F
c) la stessa tangente di α
V F
d) tangente opposta a quella di α
106 Il complementare di α ha:
a) seno uguale al coseno di α
b) coseno opposto al seno di α
c) tangente opposta alla tangente
di α
d) tangente reciproca della tangente
di α
F
V
F
V
F
V
F
[–cos2α]
116
cos( π + α )
cos( π − α )
[1]
117
cos( 2π − α )
cos( π − α )
[–1]
118 cos (π + α) + cos (π – α) + cos (2π – α)
[–cos α]
119 tg (π + α) + tg (π – α)
120 tg α – tg (2π – α)
121
tg( π + α )
tg( 2 π − α )
122 tg (π – α) ⋅ tg (2π – α)
V
[–2cos α]
[0]
[2tg α]
[–1]
[tg 2α]
123 tg (π + α) + tg (π – α) + tg (2π – α) [– tg α]
Riportare all’angolo a le seguenti espressioni,
che presentano tutte le relazioni introdotte.
⎛ π + α ⎞ + cos( π − α )
124 sen
⎝2
⎠
[0]
⎛ π + α⎞
125 sen ( π + α ) + cos
⎝2
⎠
[–2senα]
⎛ π − α ⎞ ⋅ cos( 2 π − α )
126 sen
⎝2
⎠
[cos2α]
⎛ π − α ⎞ ⋅ sen ( π − α )
127 cos
⎝2
⎠
[sen2α]
⎛ π − α ⎞ + sen ( π − α )
128 cos
⎝2
⎠
[2sen α]
Riportare all’angolo a le seguenti espressioni,
che presentano relazioni solo sugli archi
associati.
⎛ π + α ⎞ + sen ( 2 π − α )
129 cos
⎝2
⎠
[–2sen α]
109 sen (2π – α) + sen (π – α)
⎛ π + α ⎞ cos( π + α )
130 sen
⎝2
⎠
[–cos2α]
⎛ π + α ⎞ cos( π + α )
131 sen
⎝2
⎠
[–cos2α]
107 L’angolo che differisce da α per un angolo
retto ha:
V F
a) seno uguale al coseno di α
V F
b) coseno opposto al seno di α
c) tangente reciproca della tangente
V F
di α
d) tangente uguale alla tangente di α V F
108 L’angolo esplementare di α ha:
a) seno opposto a quello di α
b) coseno uguale a quello di α
c) tangente uguale a tg α
d) tangente opposta a tg α
110 sen α ⋅ sen(π + α)
111
25
sen ( π + α )
sen ( π − α )
V
F
V
F
V
F
V
F
[0]
[–sen2α]
[–1]
© 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce
⎛π
⎛π
⎛π
⎞
⎞
⎞
132 sen ⎝ + α ⎠ + sen ⎝ − α ⎠ + cos ⎝ − α ⎠
2
2
2
[2cosα + sen α]
⎛ π + α ⎞ + cos ⎛ π − α ⎞ + sen ⎛ π − α ⎞
133 cos
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎝2
⎠
[cos α]
⎛ π + α ⎞ + tg ⎛ π − α ⎞ + tg( π + α )
134 tg
⎝2
⎠
⎝2
⎠
[tg α]
⎛ π + α ⎞ + sen ( 2 π − α )
135 sen ( π − α ) + sen
⎝2
⎠
[cos α]
⎛ π + α ⎞ + cos( 2 π − α )
136 cos( π − α ) + cos
⎝2
⎠
[–sen α]
⎛ π + α ⎞ + tg( 2 π − α )
137 tg( π + α ) + tg
⎝2
⎠
[–1/tg α]
⎛ π − α ⎞ + cos( π − α ) + 3cos ⎛ π + α ⎞
138 sen
⎝2
⎠
⎝2
⎠
[–3sen α]
⎛ π − α ⎞ + sen ( π − α ) + 2sen ⎛ π + α ⎞
139 cos
⎝2
⎠
⎝2
⎠
[2 sen α + 2cos α]
⎛ π + α ⎞ + cos( π + α ) tg( π − α )
140 sen ( π + α ) cos
⎝2
⎠
141 sen ⎛ π − α ⎞ tg( π + α ) cos ⎛ π − α ⎞ − 4 sen 2 ( π − α )
⎝2
⎠
⎝2
⎠
142 cos ⎛ π + α ⎞ tg ⎛ π − α ⎞ − 3sen ⎛ π + α ⎞ cos( 2 π − α )
⎝2
⎠ ⎝2
⎠
⎝2
⎠
143 sen ⎛ π − α ⎞ sen ⎛ π + α ⎞ + tg ⎛ π − α ⎞ sen ( π − α )
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎝2
⎠
[sen2α + sen α]
[–3sen2α]
[–cos α – 3cos2α]
[cos2α + cos α]
144 cos( π − α ) tg( π + α ) cos ⎛ π − α ⎞ − 2sen ( π − α )
⎝2
⎠
[–sen2α – 2sen α]
1
+ 6sen ⎛ π − α ⎞ cos( π + α )
⎝2
⎠
tg( π − α )
[cos α – 6cos2α ]
145 sen ( π + α )
146 sen ( 2 π − α ) cos( 2 π − α ) + 3cos ⎛ π − α ⎞ sen ( π + α )
⎝2
⎠
147 cos( π + α ) cos( π − α ) + 7sen ⎛ π + α ⎞ sen ( π + α )
⎝2
⎠
148 tg( π − α ) tg ⎛ π + α ⎞ + cos( 2 π − α )
⎝2
⎠
[–sen α cos α − 3sen2α]
[cos2α − 7sen α cos α]
[1 + cos α]
Riportare all’angolo a ed esprimere attraverso la sola funzione coseno le seguenti espressioni.
149 cos ⎛ π + α ⎞ cos ⎛ π − α ⎞
⎝2
⎠
⎝2
⎠
[cos2α – 1]
150 sen ( π + α ) sen ( π − α ) + 1
[cos2α]
26
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151 sen ( 2 π − α ) cos ⎛ π − α ⎞ − 1
⎝2
⎠
[cos2α – 2]
152 1 + sen ( 2 π − α ) cos ⎛ π + α ⎞
⎝2
⎠
[2 – cos2α]
153 cos ⎛ π − α ⎞ sen ( π + α )
⎝2
⎠
[cos2α – 1]
154 cos ⎛ π + α ⎞ sen ( π − α )
⎝2
⎠
[cos2α – 1]
155 2 + sen (2π – α) · sen (π – α)
[1 + cos2α]
156 sen (π + α) · tg α cos (π + α)
[1 – cos2α]
157 1 + sen (π – α) tg α · cos (π – α)
[cos2α]
158 1 + tg( π + α ) sen ⎛ π + α ⎞ sen ( π + α )
⎝2
⎠
[cos2α]
159 tg (π – α) cos (2π – α) sen (2π – α)
[1 – cos2α]
160 tg (2π − α) cos (π – α) sen (π + α)
[cos2α – 1]
161 sen ⎛ π + α ⎞ tg ⎛ π − α ⎞ sen ( π − α )
⎝2
⎠ ⎝2
⎠
⎛π
⎞ ⎛π
⎞
162 sen ( π + α ) sen ( π − α ) + cos ⎝ + α ⎠ tg ⎝ − α ⎠
2
2
[cos2α]
[cos2α – cos α – 1]
163
sen ( π − α )
+ 9sen ( 2 π − α ) cos ⎛ π − α ⎞
⎝2
⎠
tg( π + α )
[9cos2α + cos α – 9]
164
sen ( π + α )
+ 2 cos ⎛ π − α ⎞ sen ( 2 π − α )
⎝2
⎠
tg( π + α )
[2cos2α – cos α – 2]
165 tg (π + α) tg (π – α) cos2(π – α) + 2cos (π + α)
[cos2α – 2cos α – 1]
4 cos ⎛ π − α ⎞
⎝2
⎠
+ sen ( π − α ) cos ⎛ π + α ⎞
166
⎝2
⎠
tg( 2 π − α )
⎛ π − α ⎞ ⋅ cos ⎛ π + α ⎞ − sen ( π − α )
167 cos
⎝2
⎠
⎝2
⎠
tg ( π + α )
sen ( π + α ) ⋅ cos ⎛ π − α ⎞
⎝2
⎠
168
+ sen ⎛ π − α ⎞ ⋅ sen ⎛ π + α ⎞
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎞
2 ⎛ π
2
cos
+ α + cos α
⎝2
⎠
[cos2α – 4cos α – 1]
[cos2α – cos α – 1]
[2cos2α – 1]
Riportare all’angolo a ed esprimere attraverso la sola funzione seno le seguenti espressioni.
169 sen ⎛ π + α ⎞ ⋅ sen ⎛ π − α ⎞
⎝2
⎠
⎝2
⎠
[1 – sen2α]
170 cos (π + α) cos (π − α) + 1
[2 – sen2α]
27
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171 cos (2π – α) cos (π + α)
[sen2α – 1]
172 1 + sen ⎛ π − α ⎞ ⋅ cos (π + α )
⎝2
⎠
[sen2α]
173 2 + sen ⎛ π + α ⎞ ⋅ cos (π − α )
⎝2
⎠
[1+ sen2α]
174 2 + cos (π − α ) ⋅ sen ⎛ π + α ⎞
⎝2
⎠
[1 + sen2α]
175 cos (2 π − α ) ⋅ sen ⎛ π − α ⎞ − 1
⎝2
⎠
[–sen2α]
176 2 + cos (2π – α) cos (π – α)
[1 + sen2α]
177 cos (π + α ) ⋅ tg ⎛ π − α ⎞ ⋅ sen (π + α )
⎝2
⎠
[1 – sen2α]
178 1 + cos (π − α ) ⋅ tg ⎛ π + α ⎞ ⋅ sen (π − α )
⎝2
⎠
[2 – sen2α]
179 1 + tg ⎛ π + α ⎞ ⋅ cos ⎛ π − α ⎞ ⋅ cos (π + α )
⎝2
⎠
⎝2
⎠
[2 – sen2α]
180 tg ⎛ π − α ⎞ ⋅ sen (2 π − α ) ⋅ cos (2 π − α )
⎝2
⎠
[sen2α – 1]
181 cos ⎛ π + α ⎞ ⋅ tg ⎛ π − α ⎞ ⋅ cos (π − α )
⎝2
⎠
⎝2
⎠
[1 – sen2α]
182 tg (π − α ) ⋅ sen ⎛ π + α ⎞ + 2 cos (2 π − α ) ⋅ cos (π + α )
⎝2
⎠
[2sen2α – sen α – 2]
183 sen (π + α ) + tg ⎛ π + α ⎞ ⋅ cos (2 π − α ) ⋅ cos ⎛ π − α ⎞
⎝2
⎠
⎝2
⎠
[sen2α − sen α – 1]
184 cos (2π – α) cos α + 5cos (π – α) tg (π + α)
[1 – sen2α – 5sen α]
185 tg (π − α ) ⋅ cos (π + α ) + 6sen ⎛ π − α ⎞ ⋅ cos (π − α )
⎝2
⎠
[6sen2α + sen α – 6]
186 4 cos (π + α ) ⋅ cos (π − α ) + 3 tg (π − α ) ⋅ sen ⎛ π + α ⎞
⎝2
⎠
187 7sen (π + α ) ⋅ tg ⎛ π − α ⎞ ⋅ cos α + sen (π + α )
⎝2
⎠
cos (α + π ) ⋅ sen ⎛ π + α ⎞
⎝2
⎠
− cos ⎛ π − α ⎞ ⋅ sen (2 π − α )
188
⎝2
⎠
⎞
2 ⎛ π
2
sen
+ α + sen (π + α )
⎝2
⎠
189 Calcolare il valore dell’espressione:
cos(π − 2) ⋅ cos(π + 2) − sen (π + 2) ⋅ sen(π − 2)
28
[–4 sen2α – 3sen α + 4]
[7 sen2α – sen α – 7]
[2sen2α – 1]
[1]
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1
190 Un angolo ottuso α ha coseno uguale a − .
4
Calcolare il seno e la tangente del supplementare di α.
3
191 Un angolo ottuso α ha coseno uguale a − .
4
Calcolare il seno e la tangente del supplementare di α.
5
192 Un angolo ottuso α ha coseno uguale a .
3
Calcolare il seno e la tangente dell’esplementare di α.
5
193 Un angolo acuto α ha tangente uguale a .
3
Calcolare la tangente dell’angolo che differisce di un angolo retto da α.
5
194 Un angolo acuto α ha tangente uguale a .
3
Calcolare la tangente dell’angolo che differisce di un angolo piatto da α.
2
.
3
Calcolare la tangente dell’angolo esplementare di α.
2
Un angolo acuto α ha coseno uguale a .
3
Calcolare il seno e la tangente del supplementare di α.
2
Un angolo acuto α ha coseno uguale a .
3
Calcolare il seno e la tangente dell’angolo
che differisce da α di un angolo retto.
2
Un angolo acuto α ha coseno uguale a .
3
Calcolare il seno e la tangente dell’angolo
che differisce da α di un angolo piatto.
2
Un angolo acuto α ha coseno uguale a .
3
Calcolare il seno e la tangente dell’angolo
esplementare di α.
195 Un angolo acuto α ha tangente uguale a
196
197
198
199
ESERCIZIO GUIDA
Nella figura sono rappresentati un triangolo rettangolo ABC che, rispetto a una prefissata unità di
misura, ha il cateto BC = 1 e l’ipotenusa AC = 5 , e un triangolo ABD che ha il lato AD = 1 perpendicolare ad AC. Calcolare il seno e il coseno dell’angolo DAB e l’area del triangolo ABD.
π
Posto α = CAB e β = DAB, i due angoli sono legati dalla relazione β = + α.
2
⎛
π
⎞
Pertanto cos β = cos
+ α = − sen α . Applicando la definizione si ricava:
⎝2
⎠
1
Æ cos β = − 1
sen α =
D
5
5
Veniamo ora all’area del triangolo ABD.
h 1
Una base possibile è il segmento AB, facilmente calcolaα
bile applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABC.
AB =
2
2
AC − BC =
H
5−1 = 2
A
C
5
1
B
L’altezza relativa al lato AB è il segmento DH = h, cateto del triangolo rettangolo DHA di cui conosciamo l’ipotenusa.
Per calcolare sen HAD osserviamo che:
H AD = π − β = π − ⎛ π + α ⎞ = π − α
⎝2
⎠
2
quindi
sen H AD = sen ⎛ π − α ⎞ = cos α = 2
⎝2
⎠
5
2
2
h = AD ⋅ sen H AD = 1 ⋅
=
5
5
Pertanto il triangolo ABD ha area:
29
A = 1 ⋅2⋅ 2 = 2
2
5
5
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200 Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti
AB = 12 cm, BC = 5 cm. Calcolare il coseno dell’angolo che ciascuno dei cateti forma
con il prolungamento dell’ipotenusa.
12 ⎤
⎡ 5
⎢⎣ − 13 ; − 13 ⎥⎦
201 Un trapezio isoscele ABCD ha base maggiore AB = 20 cm, base minore CD = 10 cm e
altezza 12 cm. Calcolare il coseno di ciascuno degli angoli del trapezio.
12
⎡
⎢⎣ sen A = 13, tutti gli angoli hanno lo stesso seno;
5
5 ⎤
, cos C = cos D = − ⎥
cos A = cos B =
13
13 ⎦
202 Riferendosi alla figura, calcolare il coseno
dell’angolo che la semiretta r forma con il
cateto AB.
r
B
4
3
A
⎡ 3⎤
⎢⎣ − 5 ⎥⎦
C
203 Un trapezio rettangolo ABCD ha la base minore DC lunga 5 cm, il lato obliquo CB di
1 .
5 cm e cos BC D = −
Calcolare l’area
5
del trapezio.
[15 cm2]
204 Un trapezio rettangolo ABCD ha la diagonale AC perpendicolare al lato obliquo BC e
tg CAB = 2. Calcolare:
a) la tangente dell’angolo che AC forma con
l’altezza AD;
b) la tangente dell’angolo che BC forma con
la base minore CD.
1⎤
⎡ 1
⎢⎣ a. 2 ; b. − 2 ⎥⎦
205 Riferendosi alla figura, calcolare tg CAH e
C
tg BAK.
K
4
⎢⎣ − 4 ⎥⎦
207 È assegnato un triangolo rettangolo ABC
che ha i cateti AB = 8 cm e AC = 4 cm.
Tracciata la retta r perpendicolare all’ipotenusa BC in C, indicare con D il punto in cui
r interseca il prolungamento di AB. Calcolare
il coseno degli angoli del triangolo ACD.
⎡
2
1 ⎤
; cos A = 0; cos D =
⎢ cos C =
⎥
5
5⎦
⎣
208 Un triangolo isoscele ABC ha base AB = 8
cm e gli angoli alla base α, β che hanno tan3
gente uguale a .
4
a) Dimostrare che ABC è un triangolo ottusangolo.
b) Tracciare la semiretta di origine C perpendicolare al lato obliquo BC e indicare con D il suo punto d’intersezione con
la base AB. Calcolare la misura di BD.
[b. l’altezza CH = 4 cm ⋅ tgβ = 3 cm,
25
⎤
cm ⎥
perciò CBH < 45°, HD = 3 cm ⋅ tgβ, BD =
4
⎦
209 Data una semicirconferenza di diametro
AB = 20 cm, inscrivere in essa il trapezio
isoscele ABCD che ha i lati obliqui di misura 4 5 cm. Calcolare il seno di ciascuno
degli angoli del trapezio.
[tracciata una diagonale…, il seno di ciascuno
⎤
degli angoli del trapezio vale 2 ⎥
5⎦
Risoluzione di un triangolo con
il teorema di Carnot (Teoria a pag. 400)
210 È dato un triangolo ABC di lati AB = 5 cm,
BC = 7 cm, AC = 3 cm. Risolvere il triango[BAC = 120°, ABC ≈ 21°47′]
lo.
211 È dato un triangolo ABC di lati AB = 5 cm,
3
A
H
B
3
4⎤
⎡
⎢⎣ tg C AH = − 4 , tg B AK = − 3 ⎥⎦
30
206 Data una semicirconferenza γ che ha diametro
AB = 12 cm, tracciare la corda AC = 9 cm e
la retta t tangente a in C. Calcolare il seno
dell’angolo che t forma con AC.
⎡ 3⎤
BC = 3 2 cm, AC = 1 cm. Risolvere il
[BAC ≈ 36°52′, ABC ≈ 8°7′]
triangolo.
212 È dato un triangolo ABC di lati AB = 5
cm, BC = 1 cm, AC = 2 cm. Risolvere il
triangolo.
[BAC ≈ 26°33′, ABC ≈ 63°26′, ACB = 90°]
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213 È dato un triangolo ABC di lati AB = 4 cm,
BC = 7 cm, AC = 3 3 cm. Risolvere il
triangolo.
[BAC = 30°, ABC ≈ 100°53′]
214 È dato un triangolo ABC di lati AB = 7 cm,
AB = 4 2 cm, AC = 2 cm. Risolvere il
[BAC = 41°24′, ABC ≈ 13°31′]
triangolo.
215 È dato un triangolo ABC tale che AC = 4 cm,
AB = 4 2 cm, BAC = 135°. Risolvere il
triangolo. ⎡ BC = 4 5 cm, A BC ≈ 26∞33′ ⎤
⎣
⎦
216 È dato un triangolo ABC tale che BC = 3 cm,
AB = 2 2 cm, ABC = 45°. Risolvere il
triangolo.
⎡ AC = 5 cm, BC A ≈ 63∞ 26 ¢ ⎤
⎣
⎦
217 È dato un triangolo ABC tale che BC = 4 cm,
AB = 2 2 cm, ABC = 135°. Risolvere il
triangolo. ⎡
⎤
⎣ AC = 2 10 cm, BC A ≈ 18∞ 26 ¢ ⎦
218 È dato un triangolo ABC tale che AC = 4 cm,
BC = 3 cm, ACB = 60°. Risolvere il triangolo.
⎡ AB = 13 cm, B AC ≈ 46∞6 ¢ ⎤
⎣
⎦
219 È dato un triangolo ABC tale che AB = 1 cm,
BC = 5 cm, ABC = 120°. Risolvere il triangolo.
⎡ AC = 31 cm, BC A ≈ 8∞56 ¢ ⎤
⎣
⎦
220 È dato un triangolo ABC tale che AB = 6 cm,
AC = 8 cm, BAC = 60°. Risolvere il triangolo.
⎡ BC = 2 13 cm, A BC ≈ 73∞53 ¢ ⎤
⎣
Teorema della corda
⎦
(Teoria a pag. 402)
221 La corda AB di una circonferenza di raggio
r è sottesa da un angolo alla circonferenza
che ha misura 45°. Calcolare AB.
⎡⎣ r 2 ⎤⎦
222 La corda AB di una circonferenza di raggio
r è sottesa da un angolo alla circonferenza
che ha misura 135°. Calcolare AB. ⎡⎣ r 2 ⎤⎦
223 La corda AB di una circonferenza di raggio
r è sottesa da un angolo alla circonferenza
che ha misura 120°. Calcolare AB. ⎡⎣ r 3 ⎤⎦
224 La corda AB di una circonferenza di raggio
r è sottesa da un angolo alla circonferenza
[r]
che ha misura 30°. Calcolare AB.
225 La corda AB di una circonferenza di raggio
r è sottesa da un angolo alla circonferenza
[r]
che ha misura 150°. Calcolare AB.
31
226 La corda AB = 10 3 di una circonferenza è
sottesa da un angolo alla circonferenza di
60°. Quanto misura il raggio della circonfe[10 cm]
renza?
227 La corda AB = 10 cm di una circonferenza è
sottesa da un angolo alla circonferenza di
120°. Quanto misura il raggio della circonferenza?
⎡ 10
⎤
⎢ 3 cm ⎥
⎣
⎦
228 La corda AB = 8 cm di una circonferenza è
sottesa da un angolo alla circonferenza di
45°. Quanto misura il raggio della circonferenza?
⎡⎣ 4 2 cm ⎤⎦
229 La corda AB = 12 cm di una circonferenza è
sottesa da un angolo alla circonferenza di
135°. Quanto misura il raggio della circonferenza?
⎡⎣ 6 2 cm ⎤⎦
230 La corda AB = 6 cm di una circonferenza è
sottesa da un angolo alla circonferenza di
30°. Quanto misura il raggio della circonfe[6 cm]
renza?
231 La corda AB = 20 cm di una circonferenza è
sottesa da un angolo alla circonferenza di
150°. Quanto misura il raggio della circon[20 cm]
ferenza?
ESERCIZIO GUIDA
Sia AB = 15 cm la corda di una circonferenza
che ha raggio 10 cm. Calcolare il seno e il
coseno degli angoli alla circonferenza che sottendono AB.
In figura sono rappresentati due degli angoli
alla circonferenza che sottendono la corda AB.
D
α è un angolo
B
β
acuto come tutti gli A
angoli ACB che
hanno il vertice sul
maggiore dei due
archi AB.
α
β è un angolo ottuso come tutti gli
C
angoli ADB che
hanno il vertice sul minore dei due archi AB.
La relazione α + β = π implica:
sen β = sen α
cos β = −cos α
Se applichiamo il teorema della corda otteniamo:
AB = 2r ⋅ sen α
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Sostituendo i valori assegnati, si ha:
15 cm
= 3
15 cm = 20 cm ⋅ sen α sen α =
20 cm
4
239 In una circonferenza di raggio 25 cm è tracciata una corda AB = 15 cm. Qual è il valore del coseno degli angoli alla circonferenza
che sottendono la corda AB?
Per calcolare cos α applichiamo l’identità fondamentale:
⎡
91
91 ⎤
⎢ − 10 , + 10 ⎥
⎦
⎣
cos α = 1 − sen 2α = (α è un angolo acuto,
perciò il suo seno è positivo)
7
= 1− 9 =
16
4
⎡
21
21 ⎤
⎢− 5 , + 5 ⎥
⎣
⎦
Quindi: cos β = − cos α = − 7
4
232 In una circonferenza di raggio 20 cm è tracciata una corda AB = 5 cm. Qual è il valore
del seno degli angoli alla circonferenza che
sottendono la corda AB?
⎡1⎤
⎢⎣ 8 ⎥⎦
233 In una circonferenza di raggio 12 cm è tracciata una corda AB = 9 cm. Qual è il valore
del seno degli angoli alla circonferenza che
sottendono la corda AB?
⎡3⎤
⎢⎣ 8 ⎥⎦
234 In una circonferenza di raggio 20 cm è tracciata una corda AB = 32 cm. Qual è il valore del seno degli angoli alla circonferenza
che sottendono la corda AB?
⎡4⎤
⎢⎣ 5 ⎥⎦
235 In una circonferenza di raggio 25 cm è tracciata una corda AB = 10 cm. Qual è il valore del seno degli angoli alla circonferenza
⎡1⎤
che sottendono la corda AB?
⎢⎣ 5 ⎥⎦
236 In una circonferenza di raggio 8 cm è tracciata una corda AB = 8 2 cm. Quanto misurano gli angoli alla circonferenza che sot[45°, 135°]
tendono la corda AB?
237 In una circonferenza di raggio 10 cm è tracciata una corda AB = 12 cm. Qual è il valore del coseno degli angoli alla circonferenza
che sottendono la corda AB?
4⎤
⎡ 4
⎢⎣ − 5 , + 5 ⎥⎦
238 In una circonferenza di raggio 10 cm è tracciata una corda AB = 4 5 cm. Qual è il
valore del coseno degli angoli alla circonferenza che sottendono la corda AB?
⎡ 2
2 ⎤
,
⎥
⎢−
5
5⎦
⎣
32
240 In una circonferenza di raggio 10 cm è tracciata una corda AB = 8 cm. Qual è il valore
del coseno degli angoli alla circonferenza
che sottendono la corda AB?
241 In una circonferenza di raggio 16 cm è tracciata una corda AB = 8 cm. Qual è il valore
del coseno degli angoli alla circonferenza
che sottendono la corda AB?
⎡
15
15 ⎤
⎢− 4 , + 4 ⎥
⎦
⎣
242 Una corda AB = 10 cm è sottesa da un angolo alla circonferenza α tale che
cos α = − 1
5
Calcolare il raggio della circonferenza.
⎤
⎡5 5
⎢ 2 cm ⎥
⎦
⎣
243 Una corda AB = 24 cm è sottesa da un angolo alla circonferenza α tale che
cos α = 3
5
Calcolare il raggio della circonferenza.
[15 cm]
244 Una corda AB = 48 cm è sottesa da un angolo alla circonferenza α tale che
cos α = − 5
13
Calcolare il raggio della circonferenza.
[26 cm]
245 Una corda AB = 40 cm è sottesa da un angolo alla circonferenza α tale che
cos α = 12
13
Calcolare il raggio della circonferenza.
[52 cm]
246 Una corda AB = 36 cm è sottesa da un angolo alla circonferenza α tale che
cos α = − 4
5
Calcolare il raggio della circonferenza.
[30 cm]
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La risoluzione di un triangolo anche con il teorema dei seni (Teoria a pag. 403)
ESERCIZIO GUIDA
Discutiamo l’esistenza di un triangolo nel caso in cui sono assegnati due lati e l’angolo adiacente a
uno di essi, distinto dall’angolo compreso tra i due lati.
1. È possibile costruire il triangolo ABC che ha lati BC =
3 cm, AC = 1 cm e l’angolo ABC di 60°?
Per rispondere alla domanda disegniamo il lato BC e la semiretta r che ha origine B e forma un
angolo di 60° con BC. Il terzo vertice A è il punto di r che ha distanza 1 cm da C; per individuarlo disegniamo la circonferenza γ che ha centro C e raggio 1
r
cm, come in figura. Dalla figura si vede che non ci sono intersezioni tra r e γ; ma, come sappiamo, un disegno non costituiγ
sce una dimostrazione.
H
Indicata con H la proiezione di C su r, calcoliamo la misura
1 cm
di CH.
60°
Applicando il teorema sui triangoli rettangoli otteniamo:
B
C
CH = BC ⋅ sen 60° =
=
3 cm ⋅
3
= 3 cm = 1, 5 cm
2
2
Confrontiamo CH con CA : 1,5 cm > 1 cm, dunque la semiretta r ha distanza dal centro maggiore del raggio, perciò non ci sono punti d’intersezione tra r e γ.
Dal calcolo segue che non esistono triangoli che soddisfano le condizioni assegnate.
2. È possibile costruire il triangolo ABC che ha lati BC =
3 cm, AC = 2 cm e l’angolo ABC di 60°?
Siamo di fronte a dati dello stesso tipo del problema precedente, ma è aumentata la misura del lato AC. Come prima,
partiamo dalla costruzione grafica del triangolo.
Come si vede in figura, la circonferenza, che ha raggio 2 cm,
interseca la semiretta r in un punto: questo è il terzo vertice A
del triangolo.
E il calcolo cosa dice?
La distanza di C da r è:
CH = BC ⋅ sen 60° =
=
3 cm ⋅
A
γ
r
2 cm
H
60°
B
C
3
= 3 cm = 1, 5 cm
2
2
Ma 1,5 cm < 2 cm quindi la distanza di C da r è minore del raggio di γ, perciò γ interseca r in un
punto che indichiamo con A.
Generalizziamo i risultati raggiunti.
Discutiamo l’esistenza di un triangolo ABC che ha i lati BC = a, AC = b e l’angolo ABC = β.
È necessario distinguere tre casi.
1. β è un angolo acuto.
L’esistenza e l’unicità della soluzione dipendono, come abbiamo iniziato a vedere negli esempi,
dall’esistenza e unicità delle intersezioni tra la circonferenza γ che ha centro C e raggio b e la
semiretta r che forma un angolo β con il lato BC:
− se b < asen β, non esiste il triangolo ABC (fig. a);
− se b = asen β, il triangolo ABC è rettangolo in A (fig. b);
33
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r
r
γ
H
H
a senβ
b
b
β
a
B
γ
a senβ
β
a
B
C
a)
C
b)
− se b > a, il triangolo ABC è unico (fig. c);
− se asen β < b < a, ci sono due triangoli ABC e A′BC che soddisfano le condizioni assegnate
(fig. d ).
A
γ
r
A
r
H
H
a senβ b
A′
β
B
a
C
β
γ
a senβ
b
a
B
c)
C
d)
2. β è un angolo ottuso
Si presentano due casi:
− se b < a, il triangolo non esiste perché ad angolo maggiore è opposto lato maggiore (fig. a)
− se b > a, il triangolo esiste ed è unico (fig. b).
γ
γ
β
B
a)
A
r
a
b
r
C
β
B
a
C
b)
3. Se β è un angolo retto, in forza del teorema di Pitagora, esiste il triangolo ABC ed è unico se b > a.
34
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Discutere l’esistenza dei triangoli che
soddisfano le condizioni assegnate.
Se esistono, risolverli.
247 Sono assegnati i lati BC = 4a, AC = 2 6 a
e l’angolo ABC di 120°.
ESERCIZIO GUIDA
È dato un triangolo ABC tale che BC = 4 cm,
l’angolo BAC è di 30° e l’angolo ABC è di 45°.
Risolvere il triangolo.
C
⎡ A = 45∞, C = 15∞, AB = 2 ( 3 − 1) a ⎤
⎣
⎦
4 cm
3a , AC = 8 a
5
248 Sono assegnati i lati BC =
e l’angolo ABC di 60°.
30°
45°
A
B
[esiste ed è unico]
249 Sono assegnati i lati BC =
l’angolo ABC di 120°.
3a, AC = a e
250 Sono assegnati i lati BC =
l’angolo ABC di 120°.
3a, AC = 4a e
[non esiste]
[esiste ed è unico]
251 Sono assegnati i lati BC = 6a, AC = 4a e
l’angolo ABC di 60°.
[non esiste]
15 a
e
252 Sono assegnati i lati BC = 8a, AC =
2
l’angolo ABC di 60°.
[esistono due triangoli]
253 Sono assegnati i lati BC = 3a, AC = 8a e
l’angolo ABC di 135°.
[esiste ed è unico]
254 Sono assegnati i lati BC = 10a, AC = 9a e
l’angolo ABC di 45°.
[esistono due triangoli]
255 Sono assegnati i lati BC = 8a, AC = 5a e
l’angolo ABC di 30°.
[esistono due triangoli]
256 Sono assegnati i lati BC = 6a, AC = 4a e
l’angolo ABC di 135°.
[non esiste]
257 Sono assegnati i lati BC = 2a, AC = 3a, l’an3
golo ABC è acuto e sen A BC = .
5
[esiste ed è unico]
258 Sono assegnati i lati BC = 2a, AC = 5 a ,
2
1 .
l’angolo ABC è tale che cos A BC = −
5
[esiste ed è unico]
35
Del triangolo ABC, rappresentato in figura, è
immediato calcolare il terzo angolo.
ACB = 180° − ( 30° + 45°) = 105°
Restano da trovare due lati, partiamo dal lato
AC.
Applichiamo il teorema dei seni:
AC = BC
sen B
sen A
Sostituiamo i valori noti:
AC = BC
sen 45∞ sen 30 ∞
Æ
AC = 4 cm
1
1
2
2
AC = 4 2 cm
Per calcolare la misura del terzo lato possiamo
seguire due strade:
a) applicare il teorema di Carnot, noti AC, BC
e l’angolo tra essi compreso;
b) applicare il teorema dei seni.
Seguiamo la seconda strada e scriviamo:
AB = BC
sen C
sen A
Sostituendo i valori noti passiamo a:
AB = BC
sen 105∞ sen 30 ∞
AB = 4 cm
Æ AB = 8 cm ⋅ sen 105°
sen 105∞
1
2
Otterremo un risultato approssimato perché calcoliamo sen 105° con la calcolatrice e approssimiamo il risultato delle operazioni alla seconda
cifra decimale:
AB ª 7,72 cm
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259 È dato un triangolo ABC tale che
AB = 8 2 cm, l’angolo BAC è di 60° e l’angolo ACB è di 45°. Risolvere il triangolo.
⎡⎣ B = 75∞, BC = 8 3 cm , AC ≈ 15, 45 cm ⎤⎦
260 È dato un triangolo ABC tale che
AC = 6 3 cm, l’angolo ABC è di 60° e l’angolo ACB è di 45°. Risolvere il triangolo.
⎡⎣ A = 75∞, AB = 6 2 cm , BC ≈ 11, 60 cm ⎤⎦
261 È dato un triangolo ABC tale che
AC = 8 2 cm, l’angolo BAC è di 120° e
l’angolo ABC è di 45°. Risolvere il triangolo.
⎡⎣ C = 15∞, BC = 8 3 cm , AB ≈ 4 , 14 cm ⎤⎦
262 È dato un triangolo ABC tale che
BC = 4 3 cm, l’angolo BAC è di 120° e
l’angolo ABC è di 45°. Risolvere il triangolo.
⎡⎣ C = 15∞, AC = 4 2 cm , AB ≈ 2,07 cm ⎤⎦
263 È dato un triangolo ABC tale che
BC = 3 2 cm, l’angolo BAC è di 45° e
l’angolo ACB è di 60°. Risolvere il triangolo.
⎡⎣ B = 75∞, AB = 3 3 cm , AC ≈ 5,79 cm ⎤⎦
264 È dato un triangolo ABC tale che AC = 10 cm,
l’angolo BAC è acuto e il suo seno vale
3,
l’angolo ABC è di 30°. Risolvere il
4
triangolo.
[BC = 15 cm, AB ≈ 19,60 cm, C ≈ 101°24′ ]
36
265 È dato un triangolo ABC tale che
AC = 26 3 cm, l’angolo BAC è acuto e il
5 ,
suo seno vale
l’angolo ABC è di 60°.
13
Risolvere il triangolo.
[BC = 20 cm, AB ≈ 51,57 cm, C ≈ 97°22′ ]
266 È dato un triangolo ABC tale che AC = 5 cm,
l’angolo BAC è acuto e il suo seno vale
4,
l’angolo ABC è di 30°. Risolvere il
5
triangolo.
[BC = 8 cm, AB ≈ 9,92 cm, C ≈ 96°52′ ]
267 È dato un triangolo ABC tale che BC = 12 cm,
l’angolo BAC è acuto e il suo seno vale
3 ,
l’angolo ABC è di 120°. Risolvere il
10
triangolo.
[AC = 20 3 cm , AB ≈ 27,04 cm, C ≈ 42°32′ ]
268 È dato un triangolo ABC tale che AC = 8 cm,
l’angolo BAC è acuto e il suo seno vale
1,
l’angolo ABC è di 150°. Risolvere il
5
triangolo.
[BC = 20 cm, AB ≈ 12,67 cm, C ≈ 18°27′ ]
269 È dato un triangolo ABC tale che
AB = 5 2 cm, l’angolo BAC è acuto e il
3
suo seno vale , l’angolo ABC è di 45°.
5
Risolvere il triangolo.
[BC = 6 cm, AC ≈ 9,90 cm, B ≈ 98°07′ ]
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