LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI Consideriamo il seguente triangolo rettangolo: Dove con πΌ, π½, πΎ abbiamo indicato rispettivamente gli angoli di vertici A, B, C e con a, b, c rispettivamente le lunghezze dei lati BC (opposto allβangolo di vertice A), AC (opposto allβangolo di vertice B) e AB (opposto allβangolo di vertice C). Trattandosi di un triangolo rettangolo a e b saranno ovviamente le misure dei cateti e c la misura dellβipotenusa e inoltre πΎ = 90°. 1. In un triangolo rettangolo, si definisce seno* (si abbrevia con sen oppure sin) di un angolo il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto allβangolo e la lunghezza dellβipotenusa. In formule: π πππΌ = π π , π πππ½ = π π 2. In un triangolo rettangolo, si definisce coseno (si abbrevia con cos) di un angolo il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente allβangolo e la lunghezza dellβipotenusa. In formule: πππ πΌ = π π , πππ π½ = π π Da considerazioni di goniometria che ora omettiamo si ha che π ππ90° = 1, πππ 90° = 0; inoltre essendo un cateto sempre minore dellβipotenusa avremo che il seno e il coseno di un angolo acuto sono sempre quantità comprese tra 0 e 1 (estremi ovviamente esclusi). Dalle formule precedenti si può osservare che π πππΌ = πππ π½ e in maniera analoga π πππ½ = πππ πΌ e questo succede perché gli angoli πΌ π π½ sono complementari πΌ + π½ = 90°. 3. In un triangolo rettangolo, si definisce tangente (si abbrevia con tan o tg) di un angolo il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto allβangolo e il cateto adiacente. In formule: π‘ππΌ = π π , π‘ππ½ = π π Dalle formule dei punti 1 e 2 ricaviamo π = π β π πππΌ, π = π β πππ πΌ β π‘ππΌ = tangente di un angolo è data dal rapporto tra il seno e il coseno di questβangolo. !β!"#$ !β!"!" = !"#$ !"#$ quindi la 3. In un triangolo rettangolo, si definisce cotangente (si abbrevia con cotan o ctg) di un angolo il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente allβangolo e il cateto opposto. In formule: ππ‘ππΌ = π π , ππ‘ππ½ = π π 2 !β!"#! Dalle formule del punto 1 e 2 ricaviamo ad esempio π = π β π πππ½, π = π β πππ π½ β π‘ππ½ = !β!"#! = !"#! !"#! quindi la cotangente di un angolo è data dal rapporto tra il coseno e il seno di questβangolo. Anche in questo caso avremo π‘ππΌ = πππ‘ππ½, π‘ππ½ = πππ‘ππΌ. * OSS: π πππΌ non si deve leggere come sen moltiplicato πΌ ma è un operatore matematico βcompattoβ. LA CALCOLATRICE SCIENTIFICA Con la calcolatrice, una volta noti il seno, coseno o la tangente di un angolo non è difficile risalire allβangolo stesso. Tutte le calcolatrici scientifiche sono dotate di un tasto funzione inversa. Sopra il tasto sin potrai trovare sin-1 e in maniera analoga per il coseno e la tangente; questo tasto ti permette di calcolare la misura di un angolo noto il suo seno (attenzione! La notazione della calcolatrice non è la stessa che si usa in matematica: sin-1 è la funzione inversa del seno secondo la notazione della calcolatrice mentre in matematica intendiamo il reciproco del seno!). Esempi β’ β’ β’ β’ β’ β’ π πππΌ=0,5 dopo aver digitato 0,5 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) sin ottieni πΌ = 30°; πππ πΌ=0,5 dopo aver digitato 0,5 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) cos ottieni πΌ = 60°; π‘ππΌ=1 dopo aver digitato 1 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) tg ottieni πΌ = 45°; π πππΌ=0,425 dopo aver digitato 0,425 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) sin ottieni πΌ = 25,15°; πππ πΌ=0,83 dopo aver digitato 0,83 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) cos ottieni πΌ = 33,90°; π‘ππΌ=3,17 dopo aver digitato 3,17 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) tg ottieni πΌ = 72,50°. OSS. 1: In alcune calcolatrici con la scrittura βnaturaleβ per calcolare, ad esempio, lβangolo per il quale π‘ππΌ=3,17 dovrai prima digitare 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) e poi 3,17. OSS. 2: nei calcoli con i decimali arrotonderemo sempre a due cifre dopo la virgola (25,46=25,50; 43,34=43,34 ecc.). RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI Risolvere un triangolo rettangolo significa determinare la misura di tutti gli angoli e di tutti i lati che lo compongono; per fare questo occorre avere due informazioni (oltre allβangolo retto) di cui una almeno dovrà essere un lato. Per tutti gli esempi farò riferimento alla figura: 3 1. Sono noti due cateti: a=40, b=110 !" π‘ππΌ = !!" = 0, 36 β πΌ β 19,98° β πΌ β 19°58! 59!! π½ = 90° β 19°58! 59!! = 70°1β²1β²β² π΄πππππππππ πππ‘πππππ: π = π! + π ! = 13700 = 117,05 2. Sono noti un cateto e lβipotenusa: a=21,13, c=50 π πππΌ = !",!" !" = 0,42 β πΌ β 25° π½ = 90° β 25 = 65° π΄πππππππππ πππ‘πππππ: π = π ! β π! = 2053,52 = 45,31 Oppure anche in questo modo π = π β πππ πΌ = 50 β πππ 25° = 50 β π ππ65° 3. Sono noti un cateto e un angolo acuto: a=8, πΆ = ππ° π½ = 90° β 28° = 62° β π = π β π‘ππ½ = 8 β π‘π62° β 15,04 π΄πππππππππ πππ‘πππππ: π = π! + π ! = 290,38 = 17,04 4. Sono noti lβipotenusa e un angolo acuto: c=28,3, πΆ = ππ° π½ = 90° β 58° = 32 π = π β π πππ = 28,3 β π ππ58° β 24 π = π β π ππ π½ = 28,3 β π ππ32° β 15 ESERCIZI Risolvi i seguenti esercizi (qualora gli angoli fossero βparticolariβ ossia 30°, 60°, 45° dei quali sappiamo quanto valgono seno, coseno e tangente, non usate la calcolatrice e lasciate i risultati indicati, ad esempio 3 2). 1. In un triangolo rettangolo ABC i cateti sono AB e AC rispettivamente lunghi c e b, lβipotenusa è lunga a. Risolvilo sapendo che: b=15 πΎ = 30° a=24 π½ = 60° b=8 π=8 3 a=48 c=24 c=10 πΎ = 60° b=22 πΎ = 45° b=46 π½ = 30° a=84 π = 42 3 a=28 πΎ = 45° 4 2. In un triangolo rettangolo conosciamo lβipotenusa lunga 10 cm e un cateto lungo 5 3 cm. 3. In un triangolo rettangolo conosciamo un cateto lungo 8 cm e il seno dellβangolo opposto uguale a 3/5. 4. In un triangolo rettangolo conosciamo lβipotenusa lunga 15 cm e il coseno di un angolo acuto uguale a 1/4. 5. In un triangolo rettangolo conosciamo un cateto lungo 8 cm e il coseno di un angolo acuto uguale a 4/5. PROBLEMI 1. In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 10 cm e lβangolo opposto ad esso è di 40°. Trova il perimetro del triangolo. 2. In un triangolo rettangolo il rapporto tra un cateto e lβipotenusa è 5/13 e lβaltro cateto è lungo 48 cm. Determina lβareaa del triangolo e le misure degli angoli. 3. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, un cateto è lungo 20 cm e il coseno dellβangolo acuto ad esso adiacente è 0,7. Determina lβarea e il perimetro del triangolo. 4. Nel triangolo rettangolo ABC la lunghezza dellβipotenusa BC è 41 cm e la tangente dellβangolo π΅ è 40/9. Determina perimetro e area del triangolo. 5. Nel triangolo rettangolo ABC le proiezioni dei cateti sullβipotenusa BC sono BH=25 cm e CH=49 cm. Determina i cateti e gli angoli acuti. 6. In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 75 cm e il seno del suo angolo opposto è 15/17. Determina il perimetro del triangolo e lβaltezza relativa allβipotenusa. 7. In un triangolo isoscele la base è lunga 24 cm e il coseno dellβangolo al vertice è 7/25. Determina le altezze del triangolo. 8. Nel trapezio isoscele ABCD di base AB è AD=DC=82 cm e π‘ππ΄ = 9/40 . Determina perimetro e area del trapezio. 9. In un triangolo ABC, π΄ = 30°, π΅ = 45°. Essendo AC=20 cm e CB=10 2 cm, calcola la lunghezza del lato AB. 10. In un triangolo rettangolo la differenza tra i cateti è 6 cm e la tangente dellβangolo opposto al cateto maggiore è 21/20. Calcola il perimetro e lβarea del triangolo. 11. Una funivia collega due località, A e B, distanti 1200 m ed è inclinata di 42° sul piano orizzontale. A che altezza, rispetto ad A, si trova la stazione B? 12. La rampa di un parcheggio sotterraneo è lunga 8,4 m e forma un angolo di 21° con il piano orizzontale. A che profondità si trova il parcheggio? 13. Su un cartello stradale si legge: βpendenza del 14%β. Percorrendo un tratto di 280 m, quanto si sale in altezza? Che angolo forma la strada con il piano orizzonale?
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