L’infinito potenziale
«Se gli esseri sono molti è necessario
che essi siano tanti quanti sono e né
di più né di meno. Ma se sono tanti
quanti sono, saranno limitati. Se sono
molti, gli esseri sono infiniti. Infatti tra
l'uno e l'altro di questi esseri ve ne
saranno sempre altri e tra l'uno e
l'altro di questi altri ancora. E così gli
esseri sono infiniti»
virginia alberti-FORTIC B
Achille
e la tartaruga
Il paradosso di Zenone
Secondo argomento contro il moto
di Aristotele
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Ha osservato
Bertrand Russell
“La
singolarità della
filosofia è di cominciare
con qualcosa di così
evidente da non sembrare
neanche degno di essere
affermato, e di finire con
qualcosa di così
paradossale che nessuno
ci crederebbe”.
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Cos’è un paradosso?
etimologicamente
definizione
• è un’asserzione che
va contro (in greco
parà) l’opinione
comune (doxa).
• è «una conclusione
apparentemente
inaccettabile, che deriva
da premesse
apparentemente
accettabili, mediante un
ragionamento
apparentemente
accettabile».
Mark Sainsbury
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Aristotele (384-322 a.C.) nella Fisica
,(
Phys., VI, 9, 239b 14 ):
"Il secondo argomento è quello detto di
Achille. Eccolo: il più lento corridore non
sarà mai raggiunto nella sua corsa dal più
veloce. Infatti sarà necessario che
l'inseguitore proceda fin là donde si è
mosso il fuggitivo, quindi è necessario che
il corridore più lento si trovi sempre un po'
più innanzi".
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Supponiamo che Achille sia due volte più veloce della
tartaruga e che entrambi gareggino lungo un percorso di
un metro. Supponiamo inoltre che Achille dia mezzo metro
di vantaggio alla tartaruga.
½+1/4+1/8
0
1/2
½+1/4
1 metro
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Michele Emmer scrive:
• La difficoltà si basa sulla divisibilità infinita
dello spazio.
Ma allora Achille raggiunge o no la
tartaruga?
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Schema riassuntivo del problema
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Quando Achille avrà percorso mezzo
metro, la tartaruga si troverà più avanti di
Achille di un quarto di metro; quando
Achille avrà percorso quel quarto, la
tartaruga si troverà avanti di un ottavo di
metro e così via all'infinito cioè Achille
non raggiungerà mai la tartaruga.
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•Se osserviamo il percorso di Achille
troviamo che esso è dato da infiniti tratti che
costituiscono la successione
1/2 ; 1/2 + 1/4 = 3/4; 3/4 + 1/8 = 7/8; 7/8 + 1/16 = 15/16;
... ; (2n - 1)/2n
• è facile osservare che questa è una successione
e tende a 1. Vediamo così che una somma di
quantità finite in un numero illimitato non è
necessariamente finita.
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Le successioni di numeri reali sono delle
funzioni da N ad  . Cioè :
f :N 
dove N è l'insieme dei numeri naturali ed
 è l'insieme dei numeri reali.
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La differenza tra 1 ed sn, per n
opportunamente grande, si fa più piccola di
un qualsiasi numero per quanto piccolo da
noi scelto.
È questa una proprietà caratteristica
del Limite definito nell'Ottocento da
Weierstrass.
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