LE STRUTTURE
ALGEBRICHE
Si dice che un insieme è dotato di una
struttura se è definito un legame o
una relazione tra gli elementi
dell’insieme dato.
Legge Di Composizione Interna
Dato un insieme di enti A diremo che un
operazione ┴ e' di composizione interna
se presi comunque due elementi di A quali
a, b, esiste l'elemento c appartenente ad
A tale che vale a ┴ b = c.
Se in un insieme I è definita una legge
di composizione interna (┴),si dice che
l’insieme I è dotato di struttura
algebrica e si scrive (I,┴).
B= -1,0,1 
A=1,2,3

1
2
3
1
1
2
3
2
2
4
6
3
3
6
9
In questo caso la moltiplicazione non si
può definire legge di composizione
interna perche in tabella compaiono
anche elementi diversi da quelli
dell’insieme iniziale.

-1
0
1
-1
1
0
-1
0
0
0
0
1
-1
0
1
In questo caso la moltiplicazione si può
definire legge di composizione interna
perche in tabella compaiono solo elementi
appartenenti all’insieme iniziale.
STUDIO LEGGE DI
COMPOSIZIONE INTERNA
Per studiare una legge di composizione
┴ data su un insieme I si deve:
1. Verificare se ┴ è legge di composizione
interna.
2. Verificare se ┴ è commutativa.
3. Verificare se ┴ è associativa.
4. Verificare se esiste l’elemento neutro.
5. Verificare se ci sono elementi
simmetrizzabili.
Le Proprietà delle leggi di
composizione interna
ELEMENTO
SIMMETRICO
O INVERSO
PROPRIETA’
COMMUTATIVA
PROPRIETA’
ASSOCIATIVA
ELEMENTO
NEUTRO
☼
PROPRIETA’ COMMUTATIVA
Si dice che una struttura algebrica, e'
commutativa, o che l'operazione gode
della proprietà commutativa, se vale:
 a,b  A
a┴b=b┴a
B=a,b,c 
A=-1,0,1

-1
0
1
-1
1
0
-1
0
0
0
0
☼
1
-1
0
1
In questo caso la legge  è legge di
composizione interna, tracciando la
diagonale principale della tabella si può
notare che tutti gli elementi simmetrici
rispetto ad essa sono uguali quindi gode
della proprietà commutativa.
┴
a
b
c
a
c
c
a
b
a
c
b
c
a
b
c
In questo caso la legge ┴ è legge di
composizione interna, tracciando la
diagonale principale della tabella si può
notare che tutti gli elementi simmetrici
rispetto ad essa non sono uguali quindi
non gode della proprietà commutativa.
PROPRIETA’ ASSOCIATIVA
Nella struttura algebrica (I,┴) la legge di
composizione interna ┴ è associatva se
per ogni terna a,b,c  I si ha:
(a ┴ b) ┴ c = a ┴ (b ┴ c)
A= a,b,c 
┴
a
b
c
a
c
c
a
b
a
c
b
B= a,d,c 
c ┴ a d c
a a c c d
b d c d c
c c a c c
E’ associativa poichè la legge di
composizione interna (┴) :
(a┴b)┴c=a┴c=a
Non è associativa poichè la legge di
composizione interna (┴) :
(a┴d)┴c=c┴c=c
quindi è associativa
a┴(b┴c)=a┴b=a
quindi non è associativa
a┴(d┴c)=a┴c=d
☼
ELEMENTO NEUTRO
Nella struttura algebrica (I,┴) si dice che
un elemento dell’insieme I è elemento
neutro u se per ogni a  I si ha:
a┴u=u┴a=a
Se esiste è unico.
ELEMENTO NEUTRO
Per trovare l’elemento
neutro di una struttura
algebrica basta compilare
la tabella di composizione
e cercare la riga e la
colonna che sono uguali
alla linea e alla colonna
principali,dove si
incrociano c’è l’elemento
neutro
┴
1
2
3
1
3
1
2
2
1
2
3
☼
3
2
3
1
In questo caso il 2 è l’elemento neutro
ELEMENTO SIMMETRICO O
INVERSO
Dato un insieme di enti A e su di esso un'
operazione ┴ diremo che a' appartenente
ad A e' l'elemento simmetrico rispetto
all’elemento a di A vale:
a ┴ a' = a' ┴ a = n
2 + (-2) = (-2) + 2 = 0
☼
STRUTTURE ALGEBRICHE
PARTICOLARI
GRUPPO
ANELLO
CAMPO
Se in una strutture algebrica (I,┴) la legge di composizione interna è
associativa allora si chiama monoide.
☺
GRUPPO
Un'operazione applicata ad un insieme A può
costituire un gruppo. Ciò avviene se:
┴ è chiuso in A.
Vale la proprietà associativa.
Esiste un elemento neutro.
Esiste un inverso di un elemento rispetto a ┴.
Nel caso valga anche la proprietà commutativa
il gruppo si dice commutativo, o abeliano.
☼
CAMPO
Per definire un campo sono necessari un
insieme A e due operazioni ┴ e ×. Questi
costituiscono un campo se:
(A,┴) è un gruppo.
(A,×) è un gruppo.
Vale la proprietà distributiva.
☼
ANELLO
Per definire un anello sono necessari un
insieme A e due operazioni ┴ e ×. Questi
costituiscono un anello se:
(A,┴) è un gruppo commutativo.
(A,×) è un gruppo commutativo.
Vale la proprietà distributiva.
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Questa presentazione
è stata realizzata
da:
Soliani Mirco
&
Menini Samuele