Insiemi numerici
I Naturali
I numeri naturali sono quegli oggetti
matematici che servono per contare le cose
che ci circondano.
0,1,2,3, … , 9, …
10 dita  base 10
0
1
2
3
N
Operazioni
•Somma a+b
3
1+2=?
0
1
2
3
N
Operazioni
•Somma a+b
b volte
•Moltiplicazione axb = a+a+… +a
•Elevamento a potenza ab = axax … xa
b volte
•Sottrazione a-b=c a=b+c
1
3-2=?
0
1
2
3
a≥b
N
Operazioni
•Somma a+b
b volte
•Moltiplicazione axb = a+a+… +a
•Elevamento a potenza ab = axax … xa
b volte
•Sottrazione a-b=c a=b+c
•Divisione con
a:b=q
resto
 a=bxq
a b
• q
r
a≥b
 a=bxq +r
•Estrazione della radice b√a = c  a=cb
Proprietà delle operazioni
Somma
•Commutativa a+b=b+a
•Associativa a+(b+c)=(a+b)+c
•Esistenza elemento neutro 0
a+0=a
Sottrazione
•Commutativa
(7-2)-1 ≠ 7-(2-1)
•Associativa
(7-1)-2
7-(1-2)
•Esistenza elemento neutro 0
a-0=a
Proprietà delle operazioni
Prodotto
•Commutativa axb = bxa
•Associativa ax(bxc) = (axb)xc
•Esistenza elemento neutro 1
ax1=a
•ax0=0
•Legge di annullamento del prodotto
axb=0  (a=0  b=0)
Prodotto e somma
Distributiva ax(b+c) = axb + axc
Proprietà delle operazioni
Divisione
Commutativa
Associativa
(8:4):2 ≠ 8:(4:2)
Esistenza elemento neutro 1
a:1=a
0:a=0
a:0 IMPOSSIBILE
0:0
forma indeterminata
Divisione e somma
Distributiva
(a+b):c = a:c + b:c
Distributiva
a:(b+c) ≠ a:b + a:c
Divisione e prodotto
a:(bxc) ≠ (a:b)xc
Proprietà delle operazioni
Elevamento a potenza
•ab x ac = ab+c
•ab
:
n=1
1
c
a = ab-c
0n=0
•(ab) c = abxc
0=1
a
•ab x cb = (axc)b
abbx: c
ab0 = (a:c)
ab+0 =b ab
•a
00
mcm e MCD
Dato un numero naturale a si dice che b è
multiplo di a se esiste un altro naturale n
tale b=an.
Dati due numeri naturali a e b il loro minimo
comune multiplo, mcm(a,b), è il numero m
multiplo di a e di b tale che ogni altro multiplo
comune ad a e b sia anche multiplo di m.
mcm e MCD
2
3
4
6
8
10
12
…
6
9
12
15
18
…
mcm e MCD
Dato un numero naturale a si dice che b è
divisore di a se esiste un altro naturale n
tale a=bn.
Dati due numeri naturali a e b il loro massimo
comune divisore, Mcd(a,b), è il numero d
divisore di a e di b tale che ogni altro divisore
comune ad a e b sia anche divisore di d.
mcm e MCD
24
18
2
4
6
12
24
…
2
3
6
9
18
…
Gli Interi
I numeri col segno
a+(-a)=0
OPPOSTO
-2
SEGNO
-1
0
MODULO
-a
1
2
3
Z
N
Operazioni
•Somma a+b
a+(-a)=0
a-a=0
1+(-2)=1-2=?-1
-2
-1
0
1
2
3
N
Z
Operazioni
•Somma a+b
•Moltiplicazione axb
+x+=+
+x-=-x+=-x-=+
•Elevamento a potenza ab, b>0
(+a)b=+ab
(-a)b=+ab se b è pari
(-a)b=-ab se b è dispari
Operazioni
•Sottrazione a-b = a+(-b)
a-(-b) = a + (-1)x(-b) = a+b
•Divisione a:b
+:+=+
+:-=-:+=-:-=+
•Estrazione della radice, b>0
b√a se b è pari e a ≥ 0 ±
b√a
se b è dispari
Proprietà delle operazioni
Somma
•Commutativa
•Associativa
•Esistenza elemento neutro 0
•Esistenza dell’opposto
a  -a | a+(-a)=0
Proprietà delle operazioni
Elevamento a potenza
a0=1
1= ab : ab = ab-b = a0
ab : ab = ab-b = ab+(-b) = ab x a-b
I razionali Q
Numeratore
p
con p,q  Z, q≠0
q
Denominatore
1
ax =1
a
INVERSO
-2
-1
0
½
1
2
3
Q
Z
Operazioni
•Somma
𝑎 𝑐
𝑎+𝑐
+ =
𝑏 𝑑
𝑏+𝑑
Se ieri ho vinto 2 partite su 3
e oggi ne ho vinte 5 su 7, in
tutto ho vinto 7 partite su 10.
𝒂+𝒃
𝒂+𝒄
5+3 3
≠
5+7 7
𝑥+𝑦
𝑎+𝑦
Operazioni
•Somma
•Moltiplicazione
𝒂+𝒃 𝟏
∙
𝒄
𝒂
5+2 1 2
∙ ≠
7
5 7
𝒂
𝒃
∙
𝒃+𝒄 𝟏
Operazioni
•Somma
•Moltiplicazione
•Elevamento a potenza
n
a
 p
p
   n
q
q
n
 p
 
q
n
n
1
 n
a
n
q
qn
   n
p
 p
Operazioni
•Sottrazione
•Divisione
•Estrazione della radice, b>0
b
p

q
b
p
b
q
Proprietà delle operazioni
Somma
•Commutativa
•Associativa
•Esistenza elemento neutro 0
•Esistenza dell’opposto
p
p
 
q
q
Proprietà delle operazioni
Prodotto
•Commutativa
•Associativa
•Esistenza elemento neutro 1
p
•Esistenza dell’inverso

q
•ax0=0
•Legge di annullamento del prodotto
axb=0  (a=0  b=0)
q
p
Elevamento a potenza
p
q
a  a
q
p
p
p
a  a  a  (a )
1
p
1
p
Esercizi
33
2
3
4 2
: 35
3
2 1
+
3 2
4
∙ 33 2 :
1 1
−
4 3
∙
2
∙
2
4
2−
3
22
1 1
: −
3 2
3
3 2 0
2
10
:
−1
3
2
Gli irrazionali
Esistono?
0,01 001 000100001 …
?
Q
Z
N
Gli irrazionali
√2
sin1
√3
π
e
ln5
I Reali
R
Q
Z
N
I Reali
Assiomi relativi alle operazioni
•
•
•
•
•
•
Commutativa
Associativa
Distributiva
Esistenza elemento neutro
Esistenza dell’opposto
Esistenza dell’inverso
+
x
I Reali
Assiomi relativi all’ordinamento ≤
•
•
•
•
Dicotomia a ≤ b oppure b ≤ a
Asimmetria se a ≤ b e b ≤ a allora a=b
Se a ≤ b allora a+c ≤ b+c
Se 0 ≤ a e 0 ≤ b allora 0 ≤ a+b e 0 ≤ axb
IlIlprodotto
quadratodididue
un
numero
numeri positivo
positivi èè
positivo
I Reali
Assioma di completezza
Siano A e B due sottoinsiemi dei Reali tali
che a ≤ b per ogni aA e bB allora esiste
almeno un cR tale che a ≤ c ≤ b
Rappresentazione grafica
-2
-1
0
½
1
2
3
QR
Legge di annullamento del prodotto
axb=0

a=0 v b=0
• ax0=0
a + ax0 = a x (1+0) = ax1 = a
• Se axb=0 e a≠0 allora b=0
b = bx1 = bx(axa-1) = (bxa)xa-1 = 0xa-1 = 0
Regole dei segni
+x+=+
dagli assiomi
+x-=0 = ax0 = ax(b-b) = axb + ax(-b)
-x-=+
0 = (-a)x0 = (-a)x(b-b) = -axb + (-a)x(-b)
Potenze ad esponente reale
π
3
3,1
3,14
…
8
8,8
8,82
…
4
3,2
3,15
…
2π
9
8,9
8,83
…