OSCILLATORE ARMONICO
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“G. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
MOTO ARMONICO (1)
y
Py(t)
v(t)
Moto circolare uniforme
raggio R, velocità v
velocità angolare ω = v / R
P(t)
θ(t)
R
θ0
O
Px(t)
P(0)
θ(t) = ωt +θ0
O’ x
x(t) = OPx(t)
x(t) = R cos(OO’,OP(t))
x(t) = R cos(θ(t))
x(t) = R cos(ωt+θ0)
y(t) = R sen(ωt+θ0)
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MOTO ARMONICO (2)
• Il moto di Px e di Py è sinusoidale o
armonico
• Definizioni:
R = ampiezza
ω = pulsazione
θ(t) = ωt + θ0 = fase, fase al tempo t
θ0 = fase iniziale
• Il moto armonico è periodico, il suo periodo è il
periodo del moto circolare uniforme di P
T = 2π / ω
f = ω / 2π
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MOTO ARMONICO (3)
y
Velocità di Px
v(t)
E’ la componente x della
P(t)
velocità di P
θ(t)
R
P(0)
θ0
O vx(t) Px(t) O’ x
vx(t) = v cos( OO’ ,v(t) )
vx(t) = v cos(θ(t) + π/2)
vx(t) = - v sen(θ(t))
vx(t) = - ωR sen(ωt+θ0)
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MOTO ARMONICO (4)
Angolo tra v(t) e Ox
v(t)
P(t)
ωt+θ0+ π/2
ωt+θ0
v(t)
O
x
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MOTO ARMONICO (5)
y
Accelerazione di Px
E’ la componente x della
P(t)
accelerazione di P
a(t)
θ(t)
R
P(0)
θ0
O ax(t) Px(t) O’ x
ax(t) = a cos( OO’ ,v(t) )
ax(t) = a cos(θ(t) + π)
ax(t) = - a cos(θ(t))
ax(t) = - ω2R cos(ωt+θ0)
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MOTO ARMONICO (6)
P(t)
a(t)
ωt+θ0+ π
π
ωt+θ0
O
x
a(t)
Angolo tra a(t) e Ox
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MOTO ARMONICO (7)
• Dall’espressione dell’accelerazione
ax(t) = - ω2R cos(ωt+θ0)
e dalla legge oraria
x(t) = R cos(ωt+θ0)
otteniamo la seguente relazione:
ax(t) = - ω2 x(t)
o più brevemente:
a = - ω2 x
• Questa relazione tra coordinata di posizione e
accelerazione è caratteristica del moto
armonico
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INTRODUZIONE
• Nella Cinematica abbiamo studiato la legge oraria
del moto armonico che era stato introdotto come il
moto della proiezione su di un diametro di un punto
che descrive un moto circolare uniforme
• Adesso studieremo, dal punto di vista dinamico,
degli esempi di sistemi meccanici il cui moto è un
moto armonico
• Un sistema fisico caratterizzato da un moto
armonico si chiama oscillatore armonico
• Molti sistemi fisici hanno un comportamento di
questo tipo, da cui l’importanza degli esempi che
vedremo
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DEFINIZIONE
• Un oscillatore armonico è un sistema
dinamico la cui equazione del moto è:
a = - ω2x
dove x è una coordinata (eventualmente
curvilinea o angolare) che rappresenta la
posizione del sistema
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MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (1)
• PRIMO ESEMPIO: sistema costituito da una massa
m attaccata ad una molla di costante elastica k
U
(
k
m
L
F = - kx0 m - F = kx0
x0
x
• Spostiamo la massa dalla sua posizione di equilibrio
di una distanza x0 e manteniamola ferma
O
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MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (2)
• Lasciamo libera la massa in modo che essa sia
soggetta alla sola forza elastica della molla
F = - kx0 m
O
x0
x
• Ad un istante successivo, la massa si troverà più
vicina alla posizione di equilibrio
F = - kx m
O
x
x
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MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (3)
F = - kx
m
x
x
• Applichiamo alla massa m la seconda legge di
Newton:
- kx = ma
a = -(k/m)x
poiché k e m sono due costanti positive, possiamo
scrivere:
a = - ω2x
dove ω2 = k/m. L’equazione del moto di questo
sistema è quella di un oscillatore armonico
O
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MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (4)
• Quindi la massa m attaccata alla molla di costante
elastica k descrive un moto armonico con pulsazione
ω = √(k/m)
• Il periodo delle oscillazioni è dato dalla formula
generale T = 2π/ω. Nel caso di questo oscillatore, il
periodo diventa:
T = 2π√(m/k)
• La legge oraria generale del moto armonico è:
x(t) = R cos(ωt + ϕ)
inoltre la velocità è data da:
v(t) = - ωR sen(ωt + ϕ)
per trovare il valore delle costanti R e ϕ dobbiamo fare
riferimento alle condizioni iniziali
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MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (5)
• Le condizioni iniziali sono la posizione e la velocità
nell’istante in cui abbiamo lasciato andare la massa
F = - kx0 m
O
x0
x
• Ovvero: x(0) = x0 e v(0) = 0
ma x(0) = R cosϕ e v(0) = - ωR senϕ
otteniamo il sistema di equazioni:
 R cosϕ = x0

- ωR senϕ = 0
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MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (6)
• Il precedente sistema ha due soluzioni:
ϕ = 0 e R = x0
oppure
ϕ = π e R = - x0
In entrambi i casi la legge oraria diventa:
x(t) = x0 cos(ωt)
• Notiamo che dei tre parametri che compaiono
nella legge oraria ω, R, e ϕ, il primo dipende dalle
caratteristiche fisiche del sistema, mentre gli altri
due dipendono dalle condizioni iniziali del moto. R
è l’ampiezza delle oscillazioni perché è il massimo
valore di x(t), e ϕ la fase iniziale cioè la fase a t = 0
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MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (7)
• In realtà dalla legge oraria generale del moto
armonico:
x(t) = R cos(ωt + ϕ)
vediamo che R è sempre l’ampiezza delle
oscillazioni perché è il massimo valore di x(t)
• Nell’esempio precedente si poteva osservare che
poiché la massa partiva da ferma l’ampiezza delle
oscillazioni era uguale alla posizione iniziale x0 e
calcolare successivamente ϕ
• La velocità in funzione del tempo è:
v(t) = - ωx0 sen(ωt)
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MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (8)
• Con delle diverse condizioni iniziali avremmo avuto
dei diversi valori delle costanti R e ϕ ma non di ω
m
O
v0
x
• Ad esempio se imprimiamo, nella posizione di riposo
della molla, una velocità iniziale v0 alla massa m, le
condizioni iniziali sono:
x(0) = 0 e v(0) = v0 da cui otteniamo il sistema di
equazioni:
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MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (9)
 R cosϕ = 0

- ωR senϕ = v0
• Il sistema ha due soluzioni:
ϕ = π/2 e R = - v0/ω
oppure
ϕ = - π/2 e R = v0/ω
• In entrambi i casi la legge oraria diventa:
x(t) = v0/ω cos(ωt - π/2) = v0/ω sen(ωt)
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MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA (10)
• Notiamo che v0/ω ha la dimensione di una
lunghezza ed è il massimo valore di x(t) quindi
rappresenta l’ampiezza delle oscillazioni
x(t) = X sen(ωt)
con X = v0/ω
• Notiamo anche che:
v(t) = - ωR sen(ωt + ϕ) con R = - (v0/ω) e ϕ = π/2
v(t) = ω (v0/ω) sen(ωt + π/2)
v(t) = v0 cos(ωt)
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PENDOLO SEMPLICE (1)
• Il pendolo è costituito da un corpo di massa m
attaccato ad un filo di lunghezza costante L del
quale la seconda estremità è sospesa ad un punto
fisso. Il corpo è soggetto alla forza peso e alla
tensione del filo
• Il pendolo semplice è un’idealizzazione nella quale
si considera il corpo un punto materiale e il filo privo
di massa
• Supponiamo che il pendolo compia delle oscillazioni
in un piano verticale e inoltre limitiamo lo studio al
caso di piccole oscillazioni vicino alla posizione di
equilibrio (sulla verticale del punto di sospensione
del filo)
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PENDOLO SEMPLICE (2)
L
θ(t)
s(t)
T
m
mg
Poiché la massa m è
vincolata a muoversi lungo
un arco di circonferenza, la
posizione del pendolo è
individuata dall’angolo θ(t)
oppure dall’ascissa
curvilinea s(t)
La relazione tra queste due
grandezze è:
s(t) = Lθ(t)
La freccia curva in basso
indica il verso positivo di
θ(t) e s(t)
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PENDOLO SEMPLICE (3)
F = T+ mg
θ
F = ma
L
T
m
mg
Notiamo che la forza
risultante F non è
tangente alla traiettoria.
Infatti deve esserci una
componente centripeta
perché il punto descrive
un arco di circonferenza
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PENDOLO SEMPLICE (4)
θ
L
F = ma
T
mg θ
m
Scomponiamo queste
forze lungo le direzioni
tangente e radiale:
Ft = - mg senθ
Fr = T – mg cosθ
Poiché F = ma è una
relazione vettoriale essa
equivale alle due relazioni:
Ft = mat = mLα
Fr = mar = mv2/L
dove α è l’accelerazione
angolare e v la velocità
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PENDOLO SEMPLICE (5)
θ
L
F = ma
T
mg θ
m
Otteniamo quindi le
equazioni:
mLα = - mg senθ
mv2/L = T – mg cosθ
La seconda ci dà la
tensione del filo:
T = mg cosθ + mv2/L
La prima ci dà
l’accelerazione angolare:
α = - (g/L) senθ
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PENDOLO SEMPLICE (6)
Osserviamo che per angoli piccoli senθ ≅ θ
senθ θ
O
1
Possiamo esprimere l’accelerazione angolare come:
α = - (g/L) θ
Questa è l’equazione del moto di un oscillatore
armonico:
α = - ω2 θ
dove ω = g/L
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PENDOLO SEMPLICE (7)
• Quindi, per piccoli angoli di oscillazione, il pendolo
semplice descrive un moto armonico con
pulsazione ω = √(g/L)
• Il periodo delle oscillazioni è dato dalla formula
generale T = 2π/ω. Nel caso del pendolo semplice,
il periodo è:
T = 2π√(L /g)
• Osserviamo che il periodo non dipende dalla
massa del pendolo, ma solo dalla lunghezza del filo
e dall’accelerazione di gravità. Il periodo aumenta
all’aumentare della lunghezza del filo
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PENDOLO SEMPLICE (8)
!
Osserviamo che in questo caso ω = g/L è la
pulsazione mentre la velocità angolare del
pendolo è Ω = v/L (che non è costante!)
!
Analogamente, non bisogna confondere
l’angolo θ che individua la posizione del
pendolo, con l’angolo ωt + ϕ che
rappresenta la fase del moto armonico
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PENDOLO SEMPLICE (9)
• La legge oraria del moto armonico del pendolo
semplice esprime le variazioni nel tempo
dell’angolo θ che definisce la posizione del pendolo
stesso:
θ(t) = Θ cos(ωt + ϕ)
dove Θ è l’ampiezza (angolare) delle oscillazioni e
ϕ la fase iniziale
• Inoltre la velocità angolare è data da:
Ω(t) = - ωΘ sen(ωt + ϕ)
i valori delle costanti di integrazione Θ e ϕ
dipendono dalle condizioni iniziali
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PENDOLO SEMPLICE (10)
θ0
L
T
m
mg
Ad esempio se scostiamo
il pendolo dalla verticale
di un angolo θ0 e lo
lasciamo partire da fermo
le condizioni iniziali
saranno:
θ(0) = θ0 e Ω(0) = 0
da cui:
Θ cosϕ = θ0
- ωΘ senϕ = 0
Si ottiene la legge oraria:
θ(t) = θ0 cos(ωt)
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PENDOLO SEMPLICE (11)
L
T
m
v0
mg
Se invece il pendolo è
inizialmente sulla verticale
e gli imprimiamo una
velocità iniziale v0 le
condizioni iniziali saranno:
θ(0) = 0 e Ω(0) = v0/L
da cui:
Θ cosϕ = 0
- ωΘ senϕ = v0/L
Si ottiene la legge oraria:
θ(t) = v0/(ωL) cos(ωt - π/2)
θ(t) = v0/(ωL) sen(ωt)
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PENDOLO SEMPLICE (12)
Notiamo che le due precedenti leggi orarie possono
essere espresse mediante l’ascissa curvilinea s(t)
Nel primo caso, da θ(t) = θ0 cos(ωt) otteniamo:
Lθ(t) = Lθ0 cos(ωt), ovvero:
s(t) = s0 cos(ωt)
dove s0 = Lθ0
Nel secondo caso, da θ(t) = v0/(ωL) sen(ωt) otteniamo:
Lθ(t) = v0/ω sen(ωt), ovvero:
s(t) = v0/ω cos(ωt)
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ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (1)
Negli esempi precedenti le forze che agiscono
sull’oscillatore armonico sono conservative (forza
elastica e forza di gravità) quindi ci aspettiamo che
l’energia meccanica totale di questi oscillatori sia
costante
Tuttavia è istruttivo studiare in dettaglio l’evoluzione
nel tempo dell’energia meccanica totale. Consideriamo
solo il caso della massa attaccata alla molla per
semplicità. Dei risultati analoghi valgono per il pendolo
semplice
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ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (2)
L’espressione dell’energia meccanica totale della
massa attaccata alla molla in funzione del tempo è:
ET(t) = (1/2)mv2(t) + (1/2)kx2(t)
con:
x(t) = x0 cos(ωt + ϕ)
v(t) - ωx0 sen(ωt + ϕ)
dove:
x0 è l’ampiezza delle oscillazioni, ω = √(k/m) la
pulsazione e ϕ la fase iniziale
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ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (3)
Sostituendo nell’espressione dell’energia meccanica
totale l’espressione esplicita della posizione e della
velocità otteniamo:
ET(t) = (1/2)mω2x02sen2(ωt + ϕ) + (1/2)kx02cos2(ωt + ϕ)
Osserviamo che l’energia meccanica dell’oscillatore
armonico è la somma di due termini oscillanti (la cui
somma come abbiamo detto è costante). Questi due
termini oscillano in opposizione di fase (uno è
massimo quando l’altro è minimo e viceversa). Ad
esempio, quando ωt+ϕ = π/2, il primo termine è
massimo e il secondo è minimo
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ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (4)
Supponiamo per semplicità che ϕ = 0. L’espressione
dell’energia totale diventa:
ET(t) = (1/2)mω2x02sen2(ωt) + (1/2)kx02cos2(ωt)
Inoltre osserviamo che mω2 = k, quindi possiamo
scrivere:
ET(t) = (1/2)kx02sen2(ωt) + (1/2)kx02cos2(ωt)
dove vediamo che i due termini oscillanti hanno lo
stesso valore massimo (1/2)kx02
E’ utile rappresentare questi due termini in un grafico
in funzione del tempo
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ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (5)
EC, U
kx0/2
EC= (1/2)mω2x02sen2(ωt) U = (1/2)kx02cos2(ωt)
kx0/4
0
π/2ω
π/ω
3π/2ω
t
2π/ω
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ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (6)
Possiamo infine verificare che l’energia meccanica è
costante e calcolarla. Infatti
ET(t) = (1/2)kx02 [sen2(ωt) + cos2(ωt)]
e poiché sen2(ωt) + cos2(ωt) = 1
ET(t) = (1/2)kx02
Osserviamo che l’energia totale dell’oscillatore è
uguale all’energia potenziale della molla al massimo
allungamento o alla massima compressione. Infatti in
quelle posizioni l’energia cinetica è nulla.
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ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (7)
Poiché k = mω2 l’energia è anche uguale a
ET(t) = (1/2)mω2x02
ET(t) = (1/2)mV2
dove V = ωx0 è la velocità massima dell’oscillatore che
esso raggiunge alla posizione di riposo della molla.
Infatti in quella posizione l’energia potenziale della
molla è nulla
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ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (8)
Per ogni x, (1/2)mv2 + (1/2)kx2 = (1/2)kx02
da cui: v2 = (k/m)(x02 – x2) = ω2(x02 – x2)
U
U = (1/2)kx2
ET = (1/2)kx02
EC = (1/2)mv2
- x0
0
x
x0
x
v = ω√(x02 – x2)
Dalla conservazione
dell’energia abbiamo
una relazione tra
velocità e posizione
In particolare,
per x = 0, v = ωx0
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ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (9)
OSSERVAZIONE:
Se un oscillatore armonico è inizialmente a riposo la
sua energia totale è nulla. Affinché esso oscilli deve
ricevere l’energia dall’esterno. Ovvero, si deve
compiere lavoro su di esso in modo che aumenti la
sua energia totale.
Ad esempio se scostiamo la massa dalla posizione
di riposo allungando la molla, compiamo un lavoro
contro la forza elastica che aumenta l’energia
potenziale. Quando lasciamo andare la massa
questa energia rimane all’oscillatore armonico.
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ENERGIA DELL’OSCILLATORE
ARMONICO (10)
OSSERVAZIONE (segue):
Al contrario, se fermiamo la massa, o la freniamo,
l’energia totale dell’oscillatore si annulla o
diminuisce.
Quindi, nell’oscillatore lasciato a se stesso, quando
agisce solo la forza elastica della molla, l’energia
meccanica si conserva. Però la stessa energia
meccanica può variare per l’intervento di forze
esterne all’oscillatore
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