Funzioni reali di due variabili
reali
Andrea Cammarota
V ITC Montagnana
Definizione
Una funzione reale di due variabili reali è un’applicazione che
associa ad ogni punto P di un dato sottoinsieme del piano
cartesiano un numero reale
Esempio:
La funzione f(x,y)=4x-2y+3 associa al punto P(5,6) del piano il
valore reale f(5,6)=4·5-2·6+3=11.
La stessa funzione associa al punto Q(1,4) il valore reale
f(1,4)=4·1-2·4+3=-1
Notazioni
Una funzione in due variabili è generalmente indicata con la
seguente notazione
f : ( x, y)  D  R 2  z  R
2
L’intero insieme dei punti del piano si indica con R, cioè, l’insieme
di coppie ordinate di numeri reali (che si può indicare anche come
RR)
L’insieme D del piano è detto dominio della funzione ed è un
sottoinsieme di R 2
Più brevemente, la funzione può essere indicata anche come
z=f(x,y)
NOTA BENE: ad ogni COPPIA di numeri reali (x,y) appartenente a
D corrisponde UN SOLO numero reale z.
Dominio di una funzione
Non a tutte le coppie di numeri reali è detto che corrisponda un
numero reale: il dominio è il sottoinsieme di piano dei punti per cui è
possibile calcolare un numero z che vi corrisponda
Esempi:
a)
b)
f ( x, y )  x  y :
è possibile calcolare il valore di questa
funzione solo quando è definita la radice, il che accade
quando il radicando è non negativo (x≥0). Il dominio sarà,
pertanto costituito dai punti (x,y) con ascissa non negativa,
cioè dai punti del primo e del quarto quadrante, compreso
l’asse y.
f ( x, y )  x  y  2 : è possibile calcolare il valore di questa
funzione per qualunque punto del piano. Il dominio sarà,
pertanto l’intero piano cartesiano.
Rappresentazione di una funzione reale di
due variabili reali

Considereremo due diverse modalità di
rappresentare le funzioni in due variabili:


La rappresentazione nello spazio;
La rappresentazione mediante curve di livello.
Rappresentazione nello spazio -1

Assegnata una funzione
reale di due variabili reali f,
possiamo scegliere una
coppia di valori (x,y) e
calcolare il valore della
funzione in corrispondenza
di tale coppia f(x,y). La
terna (x,y,f(x,y)) la si può
rappresentare in un
sistema di coordinate
spaziali: il valore assunto
dalla funzione si può
leggere dalla quota
(coordinata verticale) del
punto nello spazio.
Rappresentazione nello spazio -2

Ripetiamo questa stessa operazione per diversi punti del dominio (fig. a
sinistra): il risultato finale sarà una superficie di punti (x,y,f(x,y)) (fig. a
destra):
Rappresentazione nello spazio -3

Rappresenta nello spazio le seguenti funzioni
f ( x, y)  3x  2 y  1
g ( x, y)  10  x 2  y 2
h( x, y)  x 2  y 2
Piano
Paraboloide
Iperboloide
Rappresentazione mediante le curve di
livello - 1

Per comprendere il concetto di curve di livello, consideriamo
l’esempio geografico di un’isola

Definiamo il livello 0 quello del mare
Rappresentazione mediante le curve di
livello - 2
Riportiamo su un diagramma piano una proiezione dei margini delimitati dall’acqua (cioè il bordo
delle terre emerse)


Supponiamo che l’acqua salga di 10m: i margini della terra emersa si restringono;
riportiamo su un diagramma piano i nuovi margini che rappresentano la curva di livello
10m
Rappresentazione mediante le curve di
livello - 3

Ripetiamo la stessa operazione per i casi in cui l’acqua salga di 20 e 30m rispetto al livello 0
Rappresentazione mediante le curve di
livello - 4


Riportiamo, infine, tutte le proiezioni su uno stesso diagramma piano
Il risultato finale, sebbene bidimensionale, offre una visione piuttosto chiara della forma dell’isola
Rappresentazione mediante le curve di
livello - 5

Quanto più fitte sono
le curve di livello,
tanto più precisa è
l’immagine fornita
della superficie
tridimensionale. Il
metodo delle curve
di livello è
comunemente
adoperato in
geografia per
riprodurre altitudini e
profondità sul globo
terrestre. Molto
spesso si usano
colorazioni diverse
per livelli diversi, in
modo da facilitare la
leggibilità del grafico.
Rappresentazione mediante le curve
di livello - 6

Vi riporto un’animazione che spiega in maniera chiara
come si tracciano le curve di livello:




Si sceglie una quota e si considera il piano perpendicolare all’asse
z per tale quota;
Si individua l’intersezione della superficie che è grafico
tridimensionale della funzione e il piano suddetto;
Si ripete questa stessa operazione per quante più quote è
possibile;
Si riportano i risultati in proiezione sul piano xy.
Rappresentazione mediante le curve di
livello - 7

La stessa strategia
descritta si può
applicare anche alle
funzioni in più
variabili:
consideriamo, ora, la
funzione
h( x, y)  x 2  y 2
il cui grafico nello
spazio è qui a destra
Rappresentazione mediante le curve di
livello - 8

Scegliamo un valore di z, ad esempio -0,5 e tracciamo il piano
parallelo al piano xy a quota -0,5. L’intersezione tra questa due
superfici fornisce la curva di livello -0,5.
Rappresentazione mediante le curve di
livello - 9

Ripetiamo lo stesso procedimento per z=0…
Rappresentazione mediante le curve di
livello - 10

…e per z=0,5
Rappresentazione mediante le curve di
livello - 11
Aggiungendo ulteriori curve di livello e riportando tutto su un
diagramma piano, otteniamo


Le zone chiare sono quelle a quota maggiore, quelle scure a quota
minore
Rappresentazione mediante le curve di
livello - 12

Rappresenta con le curve di livello le seguenti funzioni
f ( x, y)  3x  2 y  1
g ( x, y)  10  x 2  y 2
h( x, y)  x 2  y 2
Determinazione analitica delle curve
di livello - 1

Per determinare le curve di livello si sostituisce z con un
parametro k:

al variare del parametro k nell’insieme dei numeri reali, ottengo
una famiglia di curve di livello ciascuna delle quali ha livello
proprio pari a k.
Esempio
Se la funzione è z=x2+y2, allora la famiglia delle curve di
livello è data da x2+y2=k.
La curva di livello k=1 è la x2+y2=1 che è una
circonferenza di raggio 1
La curva di livello k=4 è la x2+y2=4 che è una
circonferenza di raggio 2
Determinazione analitica delle curve
di livello - 2
Esempio
(continuazione)
Per ogni k>0
ottengo che la
linea di livello è
una circonferenza
di raggio r  k
x2+y2=k
r k
Il piano - 1
Un’equazione lineare in
3 variabili rappresenta
un piano dello spazio
cartesiano.
ax+by+cz+d=0
in cui a, b e c non sono
contemporaneamente
nulli
Il piano - 2
Se nell’equazione
ax+by+cz+d=0
il coefficiente c è diverso da 0, allora
si può ricavare la forma esplicita del
piano
ax  by  cz  d  0
cz  ax  by  d
a
b
d
z   x y
c
c
c
che può essere riscritta come
z  mx  ny  p
che è una funzione reale di due
variabili reali
Piani particolari - 1

Se l’equazione del piano
manca del termine noto, il
piano passa per l’origine degli
assi

Se l’equazione del piano manca
del termine in x, il piano è
parallelo all’asse x
Piani particolari - 2

Se l’equazione del piano
manca del termine in y, il piano
è parallelo all’asse y

Se l’equazione del piano manca
del termine in z, il piano è
parallelo all’asse z
Piani particolari - 3


Se l’equazione del piano manca dei
termini in x e y (del tipo z=k), il piano
è parallelo al piano coordinato xy (e
ortogonale all’asse z)
In particolare z=0 è l’equazione
del piano coordinato xy


Se l’equazione del piano manca dei
termini in x e z (del tipo y=k), il piano
è parallelo al piano coordinato xz (e
ortogonale all’asse z)
In particolare y=0 è l’equazione
del piano coordinato xz
Piani particolari - 4


Se l’equazione del piano manca dei
termini in y e z (del tipo x=k), il piano
è parallelo al piano coordinato yz (e
ortogonale all’asse z)
In particolare x=0 è l’equazione
del piano coordinato yz
Piani paralleli

Due piani
a 1 x  b1 y  c1z  d1  0
a 2 x  b2 y  c2z  d 2  0
sono paralleli se i coefficienti delle
incognite sono proporzionali, cioè se
esiste un numero k tale che
a 1  ka 2

b1  kb 2
c1  kc 2
se, inoltre anche
d1  kd 2
allora i piani sono coincidenti
Esempio
I piani 2x+3y-4z+1=0 e
4x+6y-8z+8=0 sono paralleli poiché
4=2∙2; 6=2∙3; -8=2∙(-4) ma non
coincidenti visto che 8≠2∙1
Piani perpendicolari

Due piani
a 1 x  b1 y  c1z  d1  0
a 2 x  b2 y  c2z  d 2  0
sono perpendicolari se la somma dei
prodotti dei rispettivi coefficienti delle
incognite è nulla, cioè se
a 1  a 2  b1  b 2  c1  c 2  0
Esempio
I piani 2x+3y-4z+1=0 e
x+2y+2z+8=0 sono perpendicolari
poiché
2∙1+3∙2+(-4)∙2=0
Linee di livello del piano

Dato un piano in forma esplicita
z=mx+ny+q
in cui m e n non siano contemporaneamente 0 (cioè, una funzione non costante),
le linee di livello si ricavano, al solito, diagrammando le curve che si ottengono per
z=k, dove k è un parametro che varia nell’insieme reale.
In questo caso, le curve suddette sono date dall’equazione
mx+ny+q=k
che descrive un fascio di rette improprio.
Le curve di livello di un piano non costante sono, dunque, un fascio di rette
parallele
Elementi di topologia in

Dato un punto P del
piano, si definisce
intorno circolare di P
di raggio r (e si indica
con I(P,r)) l’insieme
dei punti del cerchio
di centro P e raggio r
esclusa la
circonferenza di
bordo
2
R
-Intorno
Esempio: Intorno del punto P(1;1)
di raggio 0.1
P
Elementi di topologia in
frontiera di un insieme

Dato un insieme S del
piano, si dice che un
punto P è di frontiera
per S se in ogni
intorno circolare di P
vi sono punti che
appartengono ad S e
punti che non vi
appartengono
2
R
Esempio:
L’insieme
rosso S
ammette
P(1;1)
come
punto di
frontiera
–Punto di
S
P
Elementi di topologia in
chiuso
Esempi:

Un insieme S del
piano si dice
chiuso se
contiene tutti i
suoi punti di
frontiera.
2
R
Il semipiano
S è chiuso
perché
contiene la
sua frontiera
(retta rossa).
Il semipiano
T non è
chiuso
perché non
contiene la
sua frontiera
–Insieme
S
T
Elementi di topologia in
aperto



2
R
–Insieme
Un insieme S del piano si dice aperto se per
tutti i punti P di S c’è almeno un intorno
circolare di P interamente contenuto in S.
Si può anche affermare che un insieme è
aperto se il suo complementare è chiuso.
N.B.: gli intorni circolari sono insiemi aperti
Elementi di topologia in
limitato

Un insieme S del
piano si dice
limitato se esiste
una palla del
piano (un intorno
circolare di un
punto del piano)
che lo contiene
interamente. Se
tale proprietà non
si verifica,
l’insieme si dice
non limitato
2
R
Esempio:
L’insieme S
è limitato,
l’insieme T
non lo è
–Insieme
S
T
Teorema di Weierstrass
Anche per le funzioni in due variabili vale il teorema di
Weierstrass che può essere esposto come segue:
Una funzione f : ( x, y)  D  R 2  z  R definita e
continua nell’insieme D chiuso e limitato ammette in D
massimo e minimo assoluto.
Occorre dunque che l’insieme di definizione sia chiuso
e limitato e che la funzione sia continua per garantire
l’esistenza degli estremi assoluti.
Notate che non abbiamo dato la definizione di
continuità per le funzioni in due variabili: vi basti avere
la nozione intuitiva che la funzione è continua se la
superficie che ne descrive il grafico non ha “buchi”.
Programmazione lineare – 1



Programmazione lineare è la branca della
ricerca operativa che risolve i problemi di
ottimizzazione con funzione obiettivo e vincoli
lineari.
Se le variabili di scelta sono due, la funzione
obiettivo lineare z=mx+ny+q ha come grafico un
piano dello spazio cartesiano e le sue linee di
livello sono un fascio di rette parallele se essa
non è costante.
Se variabili di scelta sono due, i vincoli lineari
definiscono una regione di piano delimitata da
segmenti, semirette o rette.
Programmazione lineare - 2

La formulazione generale di un problema di P.L. è la seguente
z  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
22 2
2n n
2
 21 1

...
a x  a x  ...  a x  b
m2 2
mn n
m
 m1 1
con i  1,2,...,n
 xi  0






I coefficienti c1, c2,…, cn si chiamano coefficienti economici o prezzi;
I coefficienti aki con k=1,2,…, n e i=1,2,…,m si chiamano coefficienti
tecnologici;
I coefficienti b1, b2,…, bn si chiamano richieste.
La regione del piano delimitata dai vincoli si chiama regione ammissibile.
Programmazione lineare - 3


Siccome le funzioni lineari sono sempre
continue, l’esistenza degli estremi
assoluti è garantita se l’insieme definito
dai vincoli e chiuso (cioè contiene la sua
frontiera) e limitato (cioè è contenuto in
una palla di diametro finito).
I punti in corrispondenza dei quali si ha il
massimo e il minimo assoluto sono dei
punti di frontiera dell’insieme, di norma i
punti d’intersezione delle rette di frontiera
dei vincoli (quelli intercettati dalla linee di
livello più alta e più bassa).
Se l’insieme definito dai vincoli non è chiuso oppure non è limitato, non è
garantita l’esistenza degli estremi assoluti. Comunque, qualora essi
esistessero, si otterrebbero ancora in corrispondenza di punti della
frontiera di tale insieme.