Prof. Enrico Castello
 LA STORIA
 COSA SONO
 APPARTENENZA E NON
APPARTENENZA
 RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME
 SOTTOINSIEMI
 LE OPERAZIONI
LA STORIA
•
Il concetto di insieme è sicuramente nato con l’uomo,si pensi a un insegnante
che si rivolge agli alunni della propria classe come ad un unico soggetto .
– Per una teoria organica bisogna giungere però a Georg Cantor (18451918) matematico tedesco di origine russa, il quale intorno al 1870 fornì
una trattazione sistematica della teoria degli insiemi e solo nel 1895
pubblicò l’opera «I CONTRIBUTI A UNA FONDAZIONE
TRASFINITA DEGLI INSIEMI». In essa Cantor afferma che non ha
importanza la natura degli elementi con cui si opera bensì le leggi delle
operazioni a caratterizzare l’insieme risultato.
– Gli studi di Cantor diedero origine alla cosiddetta teoria ingenua degli
insiemi che però non era priva di contraddizioni.
– Il primo a mettere in evidenza tali contraddizioni fu il matematico e
filosofo inglese Bertrand Russel (1872-1970), con lui comincia il
cosiddetto” periodo della crisi dei fondamenti “ della matematica che
però fu superato grazie a studi successivi che limitavano e precisavano i
criteri per comprendere un insieme.
– Agli inizi del 1900 Ernst Zermelo (1871-1953)sviluppava una nuova
teoria detta assiomatica che superava le contraddizioni della teoria
ingenua e che è ancora oggi attuale.
COSA SONO
• Pare che una volta CANTOR
per far conoscere la propria
concezione degli insiemi
abbia esclamato, guardando
verso l’infinito: «Io mi
raffiguro un insieme come un
abisso»
• DEDEKIND, invece, si
raffigurava un insieme
come un sacco chiuso
che contenesse degli
oggetti determinati, che
non si potevano né
vedere, né conoscere
salvo il fatto che erano
determinati.
• UN GRUPPO DI
NAVI FORMA UNA
«FLOTTA»
• UN GRUPPO DI
UCCELLI IN
VOLO É
CHIAMATO
«STORMO»
…QUINDI UN INSIEME È UNA
COLLEZIONE DI OGGETTI,
CONSIDERATI NELLA LORO
GLOBALITÀ
Gli oggetti, le persone, ecc. che formano un
insieme si definiscono elementi. Essi devono
essere riconoscibili e distinti fra loro.
Stabilisci quali delle seguenti
frasi individuano un insieme
 I libri di una biblioteca
SI
NO
I ragazzi studiosi
SI
NO
 Gli uomini alti
SI
NO
 I giorni della settimana
SI
NO
Forse non hai
capito il concetto.
Rivedilo e poi
riprova.
APPARTENENZA E NON APPARTENENZA
Indicheremo, in generale, gli insiemi con
le lettere maiuscole A, B, C….. e gli
elementi con quelle minuscole: a, b,
c…..
Per affermare che S è un insieme e a un
suo elemento useremo i simboli  e 
Il primo per indicare che a appartiene a
S e il secondo per indicare che non vi
appartiene.
Dato l’insieme A = { 2, 3, 5, 7 } indica quali delle
seguenti affermazioni sono vere o false:
• a) 2  A
V
F
• b) c  A
V
F
A
V
F
• d) 4 A
V
F
• c) 3

Forse non hai
capito il concetto.
Rivedilo e poi
riprova.
RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME
 TABULARE
 GRAFICA
 PER CARATTERISTICA
La rappresentazione tabulare
consiste nell’elencare se possibile
tutti gli elementi di un insieme.
Per esempio l’insieme A delle
lettere della parola mare è:
A = { m, a, r, e }
• La rappresentazione grafica consiste nell’indicare gli
elementi di un insieme con punti interni a una linea
piana chiusa e non intrecciata.Tale rappresentazione si
deve al logico inglese VENN che ideò il metodo più
originale, anche se altri come EULERO e LEIBNIZ
avevano utilizzato questa tecnica soprattutto per la sua
efficacia didattica.
.a
.b
.c
La rappresentazione caratteristica consiste nello
specificare un certo numero di proprietà, che servano
a decidere, in modo inequivocabile, quali elementi
appartengano all’insieme considerato e quali non vi
appartengano.
L’insieme A = { 4, 5, 6, 7 } ha la seguente
rappresentazione caratteristica:
A ={x|x  N e 3 < x < 8}
SOTTOINSIEMI
Sottoinsiemi di un insieme
Dati due insiemi A e B si dice che B è sottinsieme di
A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A.
Si dice anche che B è incluso in A e si scrive :
B A
Oppure che A include B e si scrive:
A  B.
.4 .6
.8
.2
.16
B
A
.
14
.10
.12
Considera gli insiemi A = {1,2, 3, 4}, B = {1,2},
C = {2,5}. Quali delle seguenti affermazioni sono
vere e quali false?
a. A  B
V
F
b. B  C
V
F
c. B = C
V
F
d. B  A
V
F
Forse non hai
capito il concetto.
Rivedilo e poi
riprova.
LE OPERAZIONI
 INTERSEZIONE
 UNIONE
 DIFFERENZA
 PRODOTTO CARTESIANO
I simboli da ricordare

Simbolo di appartenen za


Simbolo di non appartenen za
Simbolo di unione tra insiemi

-
Simbolo di intersezio ne tra insiemi
Simbolo di differenza tra insiemi

/
Insieme vuoto
Tale che

Simbolo di congiunzio ne tra proposizio ni

Simbolo di disgiunzio ne tra proposizio ni
A
Complement are dell' insieme A rispetto all' ambiente universo U
C U A Complement are dell' insieme A rispetto all' ambiente universo U
INTERSEZIONE
Dati due insiemi A e B, si dice loro intersezione l’insieme
C i cui elementi appartengono sia ad A che a B. Per indicare
che C è l’intersezione di A e B si scrive:
C=A  B
A
1
3
4 5
6 8
7
B
Può capitare che due insiemi non abbiano elementi
comuni, ad esempio gli insiemi P = {a, b, c, d} e
Q = { r, s, t}; in questo caso l’intersezione dei due
insiemi è l’insieme vuoto e si dice che i due insiemi
sono disgiunti. I due insiemi si rappresentano
separatamente.
P
Q
.a .b
.c
.d
.r .s
.t
L’UNIONE
Dati due insiemi A e B, si dice loro unione l’insieme D i
cui elementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare
che D è l’unione di A e B si scrive:
D = A B
A
1
3
2
B 4
D
2 3
1 5 6
4
56
LA DIFFERENZA
Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza A – B
l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B.
Quando B è un sottinsieme di A, allora l’insieme
differenza viene anche detto insieme complementare di B
rispetto ad A.
A
A – B = {a,c}
.a
.c
A–B
B
.b
.d
.e
.f
.g
B–A
PRODOTTO CARTESIANO
COPPIE ORDINATE
PRODOTTO CARTESIANO
Coppie ordinate
Per
coppia ordinata si intende un insieme di due
elementi nei quali è fissato chi deve essere il primo e
chi il secondo.
Se i due elementi della coppia sono x e y, si scrive
(x,y), se x è il primo elemento e y il secondo;
(y,x), se y è il primo elemento e x il secondo.
PRODOTTO CARTESIANO
Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano
A  B = {( x,y) | x A e y
B }.
Si può rappresentare in vari modi,i più comuni
sono: per
elencazione, i diagrammi di Venn, le tabelle a doppia entrata.
Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b}
A  B = {( 1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}
Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b}
A
. .
3.
1 2
.(1,a)
.a .b
.(1,b)
.(2,b)
.(3,b)
A B
.(2,a)
.(3,a)
B
Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b}
A
B
1
2
3
a
( 1, a ) ( 2, a ) ( 3, a )
b
( 1, b) ( 2, b ) ( 3, b )