Continuità delle funzioni
Funzione continua in un punto
Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo,
aperto o chiuso, e sia x0 un punto interno a questo
intervallo; diciamo che la funzione f(x) è continua
in x0 se risulta:
lim f(x) = f(x0)
x  x0
Deduzioni
• Esiste il valore della funzione nel punto x0
• Esiste ed è finito il limite della funzione per
• Il limite coincide con il valore assunto dalla
funzione nel punto
x  x0
Se conveniamo di porre x = x0 +h, con h variabile,
la condizione di continuità si può esprimere
nella forma:
lim f(x0 +h) = f(x0)
h 0
Se una funzione f(x) è continua in un punto x0
il calcolo del limite per x tendente a x0
si ottiene ponendo nella funzione x = x0
Esempi di funzioni continue
a) La funzione f(x) = k è continua in ogni suo
punto; cioè qualunque sia x0
lim k = k
x  x0
Esempi di funzioni continue
b) La funzione f(x) = x è continua in ogni suo
punto; cioè qualunque sia x0
lim x = x0
x  x0
Esempi di funzioni continue
c) La funzione f(x) = xn con n intero e positivo
è continua in ogni suo punto;
cioè qualunque sia x0
x0n
lim xn =
x  x0
Esempi di funzioni continue
d) Se la funzione f(x) è continua in x0 lo è pure
la funzione k*f(x) con k costante;
cioè
lim k * f ( x)  k * f ( x0 )
x  x0
Esempi di funzioni continue
e) Se le due funzioni f(x) e g(x) sono continue in x0
lo sono pure:
f(x) + g(x)
f ( x)
g ( x)
f(x) - g(x)
(con
f(x) * g(x)
g ( x0 )  0 )
Esempi di funzioni continue
f) La funzione razionale fratta è continua in ogni
x che non annulla il denominatore
Esempi di funzioni continue
f) La funzione f(x) =
n
x
È continua in ogni x se n è un intero positivo dispari
È continua in ogni x>0 se n è un intero positivo pari
Esempi di funzioni continue
f) La funzione f(x) =
a
x
è continua in ogni x
(con a>0)
Esempi di funzioni continue
f) La funzione f(x) =log a
x (a  0, a  1 )
è continua in ogni x>0
Esempi di funzioni continue
f) Le funzioni f(x) =senx e g(x)=cosx
sono continue in ogni x
Funzione continua in un intervallo
Una funzione è continua in un intervallo
chiuso [a,b] se è continua in ogni punto
dell’intervallo.
Proprietà
Se una funzione è continua in un intervallo
chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo
il massimo e il minimo assoluto.
Teorema di Weirstrass
Proprietà
Se una funzione è continua in un intervallo
chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo ogni
valore compreso tra il suo minimo e massimo
assoluti.
Teorema di Bolzano
Proprietà
Se una funzione è continua in un intervallo
chiuso [a,b], e se agli estremi dell’intervallo
assume valori di segno opposto, essa si annulla in
almeno un punto interno all’intervallo.
Teorema
Funzioni monotone
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b).
Se per ogni coppia di punti x1 e x2 dell’intervallo, con x1 < x2
risulta:
f ( x1 )  f ( x2 )
allora f(x) è crescente
f ( x1 )  f ( x2 )
non decrescente
f ( x1 )  f ( x2 )
decrescente
f ( x1 )  f ( x2 )
non crescente
M
O
N
O
T
O
N
A
Funzioni limitate
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b).
Se esiste un numero reale h tale che per ogni x
dell’intervallo è f(x)<h allora f(x) è limitata
superiormente
Se esiste un numero reale k tale che per ogni x
dell’intervallo è f(x)>k allora f(x) è limitata
inferiormente
I valori h e k possono non appartenere al codominio.
Se h e k appartengono al codominio della
funzione allora si chiamano
minimo assoluto e massimo assoluto.
Funzione di funzione
Sia z=g(x) una funzione definita in un
intervallo (a,b);
Sia inoltre y=f(z) una funzione della
variabile z, definita per ogni valore della
variabile z che si ricava dalla funzione
z=g(x) al variare di x nell’intervallo
suddetto.
Dicesi funzione di funzione o
funzione composta la funzione
y=f[g(x)]
esempio
Z  x  4x  6
2
y  log Z
Forme indeterminate di limiti
0
0


0*

Limiti notevoli
senx
lim
1
x
x0
lim( 1  )  e
x  
1 x
x
log( 1  x)
lim
1
x
x 0
e 1
lim
1
x o x
x
Punti di discontinuità di una funzione
Discontinuità di prima specie
La funzione è discontinua di prima specie
in x0 quando in tale punto esistono
finiti e diversi il limite sinistro e destro.
lim f ( x)  lim f ( x)


x  x0
x  x0
La differenza
lim f ( x)  lim f ( x)
x  x0
xx

0
Si chiama salto della funzione in x0
Discontinuità di seconda specie
La funzione è discontinua di seconda specie
in x0 quando in tale punto o non esiste o non è
finito uno dei limiti sinistro e destro..
lim f ( x)
xx

0
; lim f ( x)

x  x0
Discontinuità di terza specie
La funzione è discontinua di terza specie
in x0 quando in tale punto esiste finito
lim f ( x)
x  x0
ma la f(x) non è definita in tale punto
o il suo valore è diverso da detto limite.
La discontinuità di terza specie è eliminabile
perché si può sostituire ad f(x0 ) il valore
del limite.
esempi
Asintoti
La retta x=x0 si dice asintoto verticale della
funzione y=f(x) se:
lim f ( x)  
xx

0
oppure
lim f ( x)  
xx

0
Asintoti
La retta y=l si dice asintoto orizzontale
della funzione y=f(x) se:
lim f ( x)  l
x 
Asintoti
La retta y=mx+q si dice asintoto obliquo
della funzione y=f(x) se:
lim mx  q)  f ( x)]  0
x 
con
f ( x)
m  lim
x  x
e
q  lim [ f ( x)  mx]
x 
Infinitesimi
Una funzione f(x) si dice infinitesimo
per x che tende a x0 se:
lim f ( x)  0
x  x0
Se f(x) e g(x) sono infinitesimi per x che
tende a x0 e se esiste un intorno di tale
punto tale che in tutti i punti dell’intorno
risulti g(x) diverso da zero allora si potrà
avere:
f ( x)
a ) lim
0
x  x0 g ( x )
f(x) è un infinitesimo di ordine superiore
a g(x); cioè tende a zero più velocemente.
f ( x)
b) lim

x  x0 g ( x)
f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore
a g(x); cioè tende a zero meno velocemente.
f ( x)
c) lim
l 0
x  x0 g ( x )
f(x) è un infinitesimo dello stesso ordine di
g(x); cioè tende a zero con la stessa velocità.
f ( x)
d ) lim
non esiste
x  x0 g ( x)
f(x) e g(x) non sono confrontabili.
Per confrontare più infinitesimi spesso si fa
riferimento ad un medesimo infinitesimo
chiamato infinitesimo principale che sarà:
 ( x)
f(x) è un infinitesimo di ordine n rispetto
all’infinitesimo principale se:
f ( x)
lim

l

0
n
x  x0 [ ( x)]
Infinito
Una funzione f(x) si dice infinito
per x che tende a x0 se:
lim f ( x)  
x  x0
Infiniti