Equazioni di secondo grado:
dai Babilonesi …
…ai banchi nostri.
Presentazione di
 Bruno Jannamorelli Liceo Scientifico “E.Fermi” Sulmona (AQ)
 Premessa:
Primi giorni di scuola, III Liceo Scientifico …
 x2 = 9
 (x – 1)2 = 9
X2 – 2x +1 = 9
X2 – 2x - 8 = 0
… e poi applico
la formula!
 x2 + x + 1 > 0
D < 0, a > 0,
discordi …
PROBLEMA
Trovare due numeri
conoscendone la somma
(o la differenza) e il prodotto
Esempio 1.
Trovare due numeri la cui somma
è 18 e il cui prodotto è 72
Interpretazione della soluzione dei
babilonesi con l’uso della moderna
simbologia:
Indichiamo i due numeri la cui somma è 18 con
i simboli 9 – x , 9 + x .
Si ha :
 (9 + x)(9 – x) = 72
 81 – x2 =
72 2
x =
9
 vera se x = 3 o x = -3
I due numeri richiesti sono :
9 + 3 = 12 e 9 – 3 = 6
a
a
a
b
b
b
a-b
-b
 (a + b)(a -ab)
a-b
a-b
b
b
b
b
b
b
b
a-b
a-b
a-b
b
b
a-b
a-b
a-b
a-b
a-b

b
a2
–
b2
b
Esempio 2.
Trovare due numeri la cui
differenza è 8 e il cui prodotto è 20
Interpretazione della soluzione dei
babilonesi con l’uso della moderna
simbologia:
Indichiamo i due numeri la cui differenza è 8
con i simboli k + 4 , k - 4 .
Si ha :
 (k + 4) - (k – 4) = 8
 (k + 4)(k – 4) = 20
 k2 - 16 = 20
 k2 = 36
 vera se
k = 6 o k = -6
I due numeri richiesti sono :
6 + 4 = 10 e 6 – 4 = 2 (o i loro opposti)
 Ricaduta didattica:
Radicali doppi
 Problema:
Esistono due numeri reali positivi x , y tali che
a b  x  y
?
Eleviamo al quadrato
a  b  x  y  2 xy
Vera se:
x  y  a


b
 xy  4
(sistema somma-prodotto)
Con lo stesso procedimento, i
babilonesi risolvevano anche equazioni
algebriche di secondo grado
Esempio 3.
Risolvere l’equazione :
x2 + 8x = 20
L’equazione può essere scritta :
x(x + 8) = 20
Se poniamo x + 8 = y si ha : y – x = 8 ,
allora si devono trovare due numeri x , y
tali che : y – x = 8 , xy = 20 .
(vedi Esempio 2)
Metodo diofanteo (Diofanto di Alessandria III sec. d.C)
Esempio 4.
Risolvere l’equazione :
18x - x2 = 72
L’equazione può essere scritta :
x(18 - x) = 72
Se poniamo 18 - x = y si ha : x + y = 18 ,
allora si devono trovare due numeri x , y
tali che : x + y = 18 , xy = 72 .
(vedi Esempio 1)
Esempio 5.
Risolvere l’equazione :
3x2 + 5x = 2
I babilonesi non dividevano per 3 per
ottenere l’equazione
5
2
2
x  x
3
3
 3x2 + 5x = 2
Ma moltiplicavano per 3 ottenendo
l’equazione : (3x)2 + 5(3x) = 6
ponendo 3x = z si ha :
z2 + 5z = 6
vera se z = 1
(o z = - 6) ,
per cui x = 1/3 (o x = - 2)
Numerazione posizionale sessagesimale
dei babilonesi
Ambiguità della numerazione babilonese
Testo inciso sulla tavoletta
d’argilla AO 8862





Base, altezza.
Ho moltiplicato la base per l’altezza ed ho
trovato l’area.
Ho poi addizionato la differenza tra la base e
l’altezza all’area trovando 183 [3;3].
Inoltre la somma tra la base e l’altezza è 27.
Calcolare la base, l’altezza e l’area.
Soluzione babilonese:
1.
27 + 183 = 210
2
2 + 27 = 29
3
29 : 2 = 14,5
4
14,5 x 14,5 = 210,25
5
210,25 – 210 = 0,25
6
0,25  0,5
7
14,5 + 0,5 = 15 (base)
8
14,5 – 0,5 = 14
9
14 – 2 = 12 (altezza)
10
15 x 12 = 180 (area)
Interpretazione della soluzione babilonese :
Sia x la base , y l’altezza:
 x  y  27

 xy  x  y   183
Sostituisco la seconda equazione con la
somma delle due equazioni:
 x  y  27

 xy  x  y   x  y  183  27
1. 183+27=210
 x  y  27

 xy  2 x  210
 x  y  27

 x y  2   210
Aggiungo 2 a sinistra e a destra nella prima
equazione :
 x   y  2   2  27

 x y  2   210
2.
2+27 =29
Ottengo un nuovo sistema (somma-prodotto)
 X  Y  29

 XY  210
Con
X=x ,
Y = y+2
Indico i due numeri la cui somma è 29 con
14,5 + k , 14,5 - k
(14,5 + k)(14,5 – k) = 210
210,25 – k2 = 210
K2 = 210,25 – 210 = 0,25
k  0,25  0,5
14,5 + 0,5 = 15 (base)
14,5 – 0,5 = 14
I due numeri sono:
14,5 + 0,5 = 15
14,5 – 0,5 = 14
X = x = 15
Y = y +2 = 14
x = 15 (base) y = 14 – 2 = 12 (altezza)
Hisab al-jabr w’al-muqabala
Prima metà del IX secolo
al-Khuwarizmi
 al-jabr (restaurazione):
Addizionare o moltiplicare la stessa quantità
 al-muqabala (riduzione):
Sottrazione di quantità uguali
4a equazione di al-Khuwarizmi:
 Risolvete mal (quadrati) e 10 radici uguale a 39.
x2 + 10x = 39
1. Dividete per due il numero (coeff.) delle radici:
risultato 5.
2. Moltiplicate 5 per se stesso: risultato 25.
3. Addizionate 25 a 39: risultato 64.
 x  5
2
 25  39  64
4. Prendete la radice quadrata di 64: risultato 8.
x 5 8
5. Sottraete da 8 il risultato dato al passo 1:
soluzione 3.
x  85  3
Veniva ignorata la radice negativa
x  8  5  13
Abbiamo detto abbastanza,
per quanto riguarda i numeri,
sui sei tipi di equazione.
Ora è necessario dimostrare
geometricamente la verità degli
stessi problemi che sono stati
spiegati con i numeri.
Al-Khuwarizmi
x
x2
x
X2 + 10x = 39
5
5x
x
x2
5x
x
5
 Per completare il quadrato si deve aggiungere
un quadrato di lato 5.
X2 + 10x +25= 39 + 25 = 64
5
25
x
x
 x  5
2
5
 64
Thabit ibn Qurra (836-901 d.C):
‫ثابت بن قرة بن مروان‬
ษาบิต อิบนู กูรอ(Thabit Ibn Qurra)
836-901(256-321 H)
 Kitab filtatli listikhrag amal al-masail handasiya
(Sulla soluzione corretta di problemi algebrici con
metodi geometrici)
A
B G.
x
x2
D
x
H
bx
C
b
F
Problema di
applicazione delle
aree per eccesso
(iperbolico)
Euclide, Elementi, (libro II, Prop.5, Prop. 6)
2
1 
1 
x  bx   b   c   b 
2 
2 
2
2
2
1 

1 
 x  b  c   b
2 

2 
1
1 
x  b   c   b
2
2 
2
2
1
1 
x   b  c   b
2
2 
2
Ricadute didattiche:
 Risolvi la disequazione:
x  x 1  0
2
 Disegna la parabola d’equazione: y  x  x  1
2
 Disegna la conica d’equazione:
4x  y  4x  6 y  9  0
2
 Calcola l’integrale:
2
1
dx
 x2  x 1
Applicando il metodo del
completamento del quadrato le
risposte ai quesiti precedenti
diventano più semplici, meno
insidiose, più popolari…

Le nozioni che si
potevano offrire
con luminosa
chiarezza
venivano date
oscure, contorte,
imbrogliate, come
per via di veri e
propri indovinelli.
Jan Amos Komensky ( Comenius)
1592-1670