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15.7 Esempi di verifica di elementi strutturali snelli secondo la Normativa Italiana
Nota. In generale, le procedure di progetto e verifica di elementi strutturali snelli in
conglomerato armato tengono conto della non linearità connessa al comportamento
meccanico dei materiali (conglomerato e armature), brevemente chiamata non linearità di
materiale o meccanica. Di conseguenza, il problema diviene doppiamente non lineare
dovendo, da un lato tenere conto della non linearità geometrica, connessa agli effetti del
secondo ordine (deformate ed eccentricità dei carichi), dall’altro lato di quella meccanica,
conseguente al comportamento non lineare dei materiali al di fuori del campo elastico.
Nell’applicare le principali prescrizioni della Normativa Italiana sull’instabilità, si è voluto
tenere anche conto di tutte quelle utili indicazioni riportate dal D.M. 9 gennaio 1996;
lasciando eventualmente libertà al Progettista di rifarsi integralmente alle indicazioni
maggiormente dettagliate contenute nell’Eurocodice 2.
Nota. Il particolare valore numerico calcolato della lunghezza libera d'inflessione
dell'elemento strutturale verrà indicato con il simbolo l0 ; mentre, con L0 si indicherà il
parametro lunghezza libera d'inflessione funzione dei valori numerici riportati all'interno
delle tabelle utilizzate nel metodo della "colonna modello".
ESEMPIO 1 (procedura di verifica). Un ritto singolo alto L = 8,75 m e di sezione costante
40 cm x 60 cm (vedere particolari in figura 15.18) è sollecitato da una forza di compressione
di progetto pari a N Sd = 150 t = 1,5 10 5 daN . Ai soli fini della presentazione della procedura
di verifica, si supponga che il ritto sia armato solo con Ff = Ff = 2 26 . Si ipotizzi inoltre che
l’eccentricità geometrica dell’azione assiale rispetto all’asse dell’elemento strutturale
indeformato sia pari a e0 = 10 cm, nel senso del lato minore (in condizioni non sismiche).
Sapendo che il valore del parametro della lunghezza libera d’inflessione è stimato pari a
0,8 e che i materiali impiegati sono Rck40 per il conglomerato e fyk = 430 MPa per gli acciai
delle armature, si verifichi l’elemento strutturale nei confronti dell’instabilità utilizzando il
metodo della “colonna modello”. Si controllino i minimi di armatura longitudinale e
trasversale.
838
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Nota per la composizione: disporre figura su intera pagina per agevolare la lettura.
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 15)\Figura 15_18.tif
Figura 15.18 – Sezione pressoinflessa di ritto snello nella sezione d’incastro. Per la verifica, sono state
considerate e disegnate le sole armature longitudinali poste agli angoli della sezione.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
conglomerato:
fcd = 175 daN / cm 2 (tab. 9.2);
f
430 MPa
fyd = yk =
= 374 MPa .
acciai:
s
1,15
Calcolo luce libera d’inflessione:
l0 = L = 0,8 (875 cm) = 700 cm .
Calcolo momento d’inerzia minimo della sezione (trascurando, per sicurezza, le aree delle
armature longitudinali):
b 3 H (40 cm)3 (60 cm)
(J id )min =
320000 cm 4 .
12
12
Calcolo valore minimo del raggio d’inerzia della sezione reagente (per sicurezza, si considera
resistente il solo conglomerato: vedere calcolo (J id )min ):
839
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imin =
(J id )min
(320000 cm 4 )
=
11,5 cm .
Fid
(40 cm) (60 cm)
Calcolo armature e staffature adottate.
Armature longitudinali superiori e inferiori:
Ff = Ff = 2 26 = 2 (5,30 cm 2 ) = 10,62 cm 2 .
Totale armature longitudinali:
Ff + Ff = 4 26 = 4 (5,30 cm 2 ) = 21,24 cm 2 .
Staffatura presente: 1 8 / 20 .
Calcolo percentuale di armatura longitudinale e snellezza.
Area dell’intera sezione trasversale del ritto:
Fc = b H = (40 cm) (60 cm) = 2400 cm 2 .
Percentuale geometrica di armatura longitudinale:
F + Ff (21,24 cm 2 )
μ f tot = f
=
0,00885 .
Fc
(2400 cm 2 )
Snellezza ritto:
L l0
(700 cm)
=
=
=
61 .
imin (11,5 cm)
imin
Verifica snellezza ritto.
Valore della snellezza di riferimento(1), secondo la Normativa Italiana:
60 (1 + 15 μ f tot ) 60 (1 + 15 0,00885)
* =
=
27 .
0,5
(N Sd / Fc )0,5
1,5 10 6 N 240000 mm 2 Il ritto è da considerarsi snello. Infatti: = 61 > * = 27 .
Principali prescrizioni sull’armatura longitudinale.
Nei pilastri soggetti a compressione centrata od eccentrica deve disporsi un’armatura
longitudinale di diametro non inferiore a 12 mm, di sezione non inferiore a 0,15 N Sd / fyd e
compresa fra lo 0,3 e il 6% (10% nei tratti di giunzione per ricoprimento) della sezione
effettiva. Il numero minimo di barre longitudinali è 4 per pilastri rettangolari o quadrati, 6 per
quelli a sezione circolare. Va, inoltre, posta una staffatura con interasse non superiore a 15
volte (D.M. 09.01.96) a 10 volte (Norme Tecniche) il diametro minimo delle barre
longitudinali o di 25 cm. Le staffe devono essere chiuse e tali da contrastare efficacemente gli
spostamenti delle barre longitudinali verso l’esterno ed il loro diametro non deve essere
minore di 6 mm o di 1/4 (D.M. 09.01.96) o di 1/3 (Norme Tecniche) di quello delle barre
longitudinali.
Verifica della quantità di armatura longitudinale presente.
La verifica è positiva perché risulta:
N
(150000 daN )
6 cm 2 ;
Ff + Ff = 21,24 cm 2 > 0,15 Sd = 0,15 fyd
(3740 daN / cm 2 )
0,003 Fc = 7,20 cm 2 Ff + Ff = 21,24 cm 2 0,06 Fc = 144 cm 2 .
1
In questo paragrafo, per il solo calcolo delle snellezze limite vengono tenute in considerazione le disposizioni contenute nel
D.M. 09.01.96.
840
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Verifica staffatura minima del ritto.
Risultando:
10 min = 10 (2,6 cm) = 26 cm
t s = 20 cm < min 25 cm
la staffatura rispetta i minimi di Normativa (Norme Tecniche).
Nota. Nel caso di D.M. 09.01.96, sarebbe risultato:
15 min = 15 (2,6 cm) = 39 cm
t s = 20 cm < min 25 cm.
Notare, inoltre. che il diametro della staffatura è in accordo con le prescrizioni del D.M.
09.01.96 ma non rispetta il minimo previsto dalle Norme Tecniche. Infatti, si ha
rispettivamente:
1
1
8 = 8 mm > long max (26 mm) = 6,5 mm ;
4
4
1
1
8 = 8 mm < long max = (26 mm) = 8,6 mm .
3
3
Verifiche disposizioni Normativa Italiana per carico assiale.
Le diverse prescrizioni della normativa italiana risultano soddisfatte, infatti:
il diametro delle barre longitudinali non è inferiore a 12 mm;
(rid )
calcolato per compressione centrata con
lo sforzo normale risulta minore di quello N Rd
maggiorazione del 25% del coefficiente c di sicurezza del conglomerato a compressione:
fck
f
(rid )
N Rd
= Fc + ( Ff + Ff ) fyd = Fc cd + ( Ff + Ff ) fyd .
1,25 c
1,25
Sostituendo i valori numerici, si ottiene:
(175 daN / cm 2 )
(rid )
N Rd
= (2400 cm 2 ) + (21,24 cm 2 ) (3740 daN / cm 2 ) 415500 daN .
1,25
(rid )
Risultando N Rd = 415500 daN > N Sd = 150000 daN , la verifica è soddisfatta.
Calcolo eccentricità aggiuntive per incertezze geometriche.
Essendo in presenza di ritto singolo, la normativa impone una eccentricità aggiuntiva pari a:
l
(700 cm)
ea = 0 =
= 2,3 .
300
300
Calcolo sollecitazioni di calcolo del I° ordine.
Sollecitazione normale:
N Sd = 1,5 10 5 daN (compressione);
sollecitazione flettente (I° ordine):
M Sd = M I = N Sd (e0 + ea ) = (1,5 10 5 daN ) [(10 cm) + (2,3 cm)] 1,85 10 6 daNcm .
Costruzione della curva M( ).
Per determinare la curva M = M ( ) , assunto come positivo il momento di verso orario, si
valutano i momenti rispetto all’asse m–m baricentrico della sezione di solo conglomerato,
utilizzando la procedura illustrata nel paragrafo 15.2.2.1.
841
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Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 15)\Figura 15_19.tif
Figura 15.19 – Discretizzazione in strisce della sezione d’incastro del ritto: calcolo delle deformazioni
nei baricentri delle diverse strisce. Da “Teoria e tecnica delle strutture”; vol. II; Ettore Pozzo.
Una volta divisa la sezione del ritto all’incastro (figura 15.19), in un numero arbitrario di
strisce (ad esempio 4 strisce di 10 cm), si inizia con il calcolare il valore di M ( ) fissando un
valore della curvatura pari a = 10 10 5 cm 1 . Assumendo, poi, per m un valore di
tentativo pari a m = 1,0 10 4 (compressione) e sfruttando la relazione (paragrafo
15.2.2.1):
yn = m + 0,5 H ,
si ottiene, sostituendo i valori numerici:
( 1,0 10 4 )
yn = + 0,5 (40 cm) = 21 cm .
(10 10 5 cm 1 )
Facendo riferimento al baricentro di ciascuna delle 4 strisce, si determinano i valori delle
deformazioni dei baricentri delle strisce tramite la relazione di conservazione delle sezioni
piane (scritta in funzione della curvatura nella sezione maggiormente critica):
i = (yn yi ) .
Sostituendo i valori numerici, si calcola:
striscia 1 (in compressione):
c1 = (yn y1 ) = [(21 cm) (5 cm)] (10 10 5 cm 1 ) 0,0016 < 0 ;
striscia 2 (in compressione):
c2 = (yn y2 ) = [(21 cm) (15 cm)] (10 10 5 cm 1 ) 0,0006 < 0 ;
armatura superiore (in compressione):
f = (yn h ) = [(21 cm) (4 cm)] (10 10 5 cm 1 ) 0,0017 < 0 ;
armatura inferiore (in trazione):
f = (yn [H h ]) = [(21 cm) (40 cm 4 cm)] (10 10 5 cm 1 ) 0,0015 > 0 .
Risultando l’armatura inferiore con una deformazione unitaria f > 0 , si deduce che la
sezione deve essere parte compressa e parte tesa, con asse neutro passante al di sopra del
baricentro delle armature inferiori Ff.
Passando ai valori assoluti, per il conglomerato in compressione si osserva:
c1 0,0016 = 1,6 ‰ < 2 ‰ e c2 0,0006 = 0,6 ‰ < 2 ‰ .
842
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Applicando come legame costitutivo del conglomerato in compressione, ad esempio, il
modello parabola-rettangolo (vedere figura 9.3 al paragrafo 9.3), risultando i < 2 ‰ , si
utilizzerà la seguente equazione:
c = 1000 fcd c (1 250 c )
c [0; 2 ‰];
avendo cura di considerare i valori assoluti degli accorciamenti unitari del conglomerato:
c = c . Sostituendo i valori numerici, si calcola:
striscia 1:
c1 = 1000 fcd c1 (1 250 c1 ) =
= 1000 (175 daN / cm 2 ) 0,0016 (1 250 0,0016) 168 daN / cm 2
striscia 2:
c2 = 1000 fcd c2 (1 250 c2 ) =
= 1000 (175 daN / cm 2 ) 0,0006 (1 250 0,0006) 89 daN / cm 2 .
Per l’acciaio, si considerano le seguenti relazioni costitutive:
fyd
(3740 daN / cm 2 )
=
E
<
=
=
0,00178
f
f
f
f
yd
E f (2,110 6 daN / cm 2 )
= f
yd f 0,01.
yd
f
Pertanto, risultando f = 0,0017 < 0,00178 e f = 0,0015 < 0,00178 si calcola:
f = E f f = (2,110 6 daN / cm 2 ) (0,0017) 3570 daN / cm 2 ;
f = E f f = (2,110 6 daN / cm 2 ) (0,0015) 3150 daN / cm 2 .
Si può, quindi, valutare lo sforzo normale, in funzione della curvatura nella generica sezione x
dell’elemento strutturale:
N Rd =
n
ci Fci +
i=1
n
fi
Ffi .
i=1
Sostituendo i valori numerici, si ottiene (considerando, ad esempio, positive le compressioni):
N Rd = [ c1 Fc1 + c2 Fc2 ] + f Ff f Ff =
= [(168 daN / cm 2 ) (60 cm) (10 cm) + (89 daN / cm 2 ) (60 cm) (10 cm)] +
+ (3570 daN / cm 2 ) (10,62 cm 2 ) (3150 daN / cm 2 ) (10,62 cm 2 ) 158660 daN N Sd = 150000 daN .
Occorre pertanto procedere con un nuovo valore di tentativo per m e così via, reiterando il
calcolo, sino a che, per m 0,00002 (con yn = 19,8 cm ), risulta:
N Rd = 1502 kN N Sd = 1500 kN .
A questo punto, con analoga procedura, avendo ricalcolato le deformazioni unitarie e quindi
le tensioni nei materiali, si può calcolare il valore della sollecitazione flettente di calcolo
M ( ) che porta la sezione esaminata del ritto alla curvatura fissata di = 10 10 5 cm 1 . In
particolare, il calcolo della sollecitazione flettente M ( ) = M Sd (momento valutato rispetto
all’asse baricentrico della sezione di solo calcestruzzo) con cui è sollecitata la sezione critica,
quando la curvatura raggiunge nella sezione il valore , si effettua tramite la relazione:
M ( ) = M Sd =
n
i=1
[( ci Fci ) zi ] +
n
[(
fi
Ffi ) zi ] ;
i=1
dove con zi si è indicata sia la distanza dall’asse baricentrico della sezione di conglomerato
dal baricentro delle strisce di calcestruzzo, sia la distanza dell’asse baricentrico suddetto dal
baricentro delle armature che eventualmente si trovassero alla quota zi .
Sostituendo i valori numerici, si ottiene:
M ( ) = M (10 10 5 cm 1 ) = 2883000 daNcm = 288,3 kNm .
843
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Eseguendo l’intera procedura per differenti valori della curvatura (con l’ausilio di un foglio di
calcolo), esprimendo ad esempio le curvature in termini di mm 1 e le sollecitazioni flettenti
in termini di kNm, si ottengono i seguenti ulteriori punti:
2 = 20 10 6 mm 1 con M ( 2 ) = 313,3 kNm ;
2 = 15 10 6 mm 1 con M ( 2 ) = 314,3 kNm ;
2 = 5 10 6 mm 1 con M ( 2 ) = 209,2 kNm ;
con i quali si traccia la curva M ( ) = M Sd riportata in figura 15.20.
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 15)\Figura 15_20.tif
Figura 15.20 – Grafico della funzione M() e retta delle sollecitazioni esterne del I° e II° ordine
(sezione critica: incastro).
Verifica non instabilità del ritto.
La retta M II (momento flettente del II° ordine, funzione di ) passante per l’origine degli
assi, è data dall’equazione: M = N e [P 0,1 l 2 ] . Avendo considerato, per la
II
Sd
2
e
0
Normativa Italiana (paragr. 15.3): e2 = 0,1 (l0 ) . Ciò posto, la suddetta retta è
2
immediatamente tracciabile sul grafico ( kNm; 10 6 mm 1 ) una volta determinato il relativo
valore del coefficiente angolare, che vale:
Pe 0,1 l02 = (1500 kN ) 0,1 (7000 mm)2 = 7350 10 6 kNmm 2 .
Infatti, moltiplicando il valore della curvatura (espresso in mm 1 ) per il suddetto coefficiente
angolare (espresso in kNmm 2 ) si ricava il valore della sollecitazione flettente del II° ordine in
termini di kNmm . Infine, trasformando i kNmm in kNm , si ottengono i valori delle
sollecitazioni flettenti riportati in ordinata nel grafico in figura 15.20.
Dal grafico della figura 15.20, traslando parallelamente a se stessa la retta M = M () nel
punto di tangenza W alla curva M ( ) , si può “leggere” la distanza misurata da M I , max che in
questo caso vale appunto 215,8 kNm. Tale valore risulta maggiore del numero
M I = 185 kNm , indicante l’intensità del momento sollecitante del I° ordine; pertanto, si
deduce che la verifica di resistenza e stabilità del ritto è soddisfatta: M I , max > M I .
844
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Calcolo freccia d’inflessione del II° ordine.
Infine, è possibile valutare la freccia d’inflessione e2 del secondo ordine, data dall’equazione:
2
l e2 = 0 .
L’intersezione K della curva M ( ) con la retta M = M () individua poi il valore = *
della curvatura relativo alla configurazione di equilibrio stabile (punto di intersezione tra le
due curve M ( ) e M () ). Direttamente dal grafico è possibile leggere il particolare valore:
* 6 10 6 mm 1 . Pertanto, la freccia del II° ordine risulta pari a:
2
2
7000 mm l e2 = 0 = (6 10 6 mm 1 ) 30 mm .
3,14 ESEMPIO 2 (procedura di verifica). Un ritto isolato, alto L = 5,50 m e avente sezione
trasversale costante pari a 60 cm x 40 cm, sia considerato, ai fini della presente verifica,
armato con armatura doppia pari a Ff = Ff = 6 20 rispetto all’asse della sollecitazione
pressofettente (vedere dettagli in figura 15.21). Supponendo che l’elemento strutturale sia
stato confezionato con un conglomerato Rck35 e con acciai fyk = 375 MPa , verificare il ritto
all’instabilità per le seguenti sollecitazioni di progetto agenti in testa al ritto:
N Sd = 112 t = 1,12 10 5 daN (compressione);
M Sd = 8 tm = 8,0 10 6 daNcm (tendente le armature inferiori Ff );
VSd = 2 t = 2000 daN (sollecitazione di taglio in testa e al piede).
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 15)\Figura 15_21.tif
Figura 15.21 – Particolari sezione trasversale del ritto da verificare (sezione critica: incastro).
Disegnate le sole armature longitudinali da considerare nella verifica ad instabilità. Disegnata una
singola staffa per non appesantire il disegno.
845
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Si supponga, infine, che tramite procedura di calcolo automatico sia stato possibile tabellare
per punti l’andamento della curvatura del ritto nella sezione critica (incastro al piede) in
funzione delle deformazioni unitarie dei materiali ( c e f ) e in funzione dei momenti
( I +II )
(I )
(adimensionali) totali mSd
max e del I° ordine mSd max (con N Rd N Sd ) riferiti ad una sezione
rettangolare piena:
Punto
c 10 3
f 10 3
1
0,00
0,00
2
0,83
0,26
3
0,91
0,36
4
1,01
0,49
5
1,12
0,64
6
1,24
0,81
7
1,39
1,02
8
1,56
1,26
9
1,77
1,54
10
1,94
1,94
11
2,16
2,39
12
2,42
2,92
13
2,72
3,54
14
3,08
4,27
15
3,50
5,13
(Dati presi dal testo: “Il calcolo del
384; III° ed.)
( I +II )
mSd
10 3
max
0,00
0,000
1,17
0,119
1,38
0,122
1,61
0,135
1,89
0,151
2,22
0,168
2,60
0,188
3,05
0,210
3,58
0,236
4,20
0,242
4,93
0,243
5,78
0,245
6,78
0,246
7,95
0,246
9,33
0,247
cemento armato”; R. Calzona, C, Cestelli
(I )
mSd
max
0,000
0,082
0,090
0,098
0,107
0,117
0,128
0,140
0,154
0,145
0,130
0,112
0,090
0,046
0,033
Guidi; pag.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
conglomerato:
fcd = 153daN / cm 2 (tab. 9.2);
f
375 MPa
fyd = yk =
= 326 MPa .
acciai:
s
1,15
Calcolo lunghezza libera d’inflessione (schema di mensola incastrata):
l0 = L = 2 (550 cm) = 1100 cm .
Calcolo momento d’inerzia sezione trasversale (trascurando, per sicurezza, le armature
longitudinali):
b a 3 (60 cm) (40 cm)3
J cid =
320000 cm 4 .
12
12
Calcolo sezione trasversale resistente (solo conglomerato):
Fc = b a = (60 cm) (40 cm) = 2400 cm 2 .
Calcolo giratore d’inerzia (minimo):
imin J cid
(320000 cm 4 )
=
11,5 cm .
Fc
(2400 cm 2 )
Calcolo snellezza (massima) dell’asta:
l
(1100 cm)
= 0 =
96 .
imin (11,5 cm)
Calcolo snellezza di riferimento.
Calcolo rapporto geometrico armatura longitudinale (complessiva):
846
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μ f tot =
Ff + Ff 12 (3,14 cm 2 )
=
0,0157 .
Fc
(2400 cm 2 )
Ponendo, come da Normativa, Fc = (600 mm) (400 mm) = 240000 mm 2 e N Sd = 1120000 N ,
si calcola:
60 (1 + 15 μ f tot )
60 (1 + 15 0,0157)
* =
=
34 .
0,5
[(1120000 N ) / (240000 mm 2 )]0,5
(N Sd / Fc )
Risultando:
* = 34 = 96 3 * = 102
è necessario verificare all’instabilità l’elemento strutturale.
Calcolo eccentricità e momento del I° ordine.
Calcolo eccentricità geometrica:
e0 = M Sd / N Sd = (8 tm) / (112 t) 0,07 m = 7 cm .
Calcolo eccentricità accidentale (per ritto isolato):
L 2 (550 cm)
l0
=
=
3,7 cm
ea = 3,7 cm = max 300 300
300
2 cm.
Calcolo sollecitazione flettente di progetto (I° ordine) per la verifica all’instabilità:
M Sd( I ) = N Sd (e0 + ea ) + VSd L =
= (112 t) [(7 cm) + (3,7 cm)] + (2,0 t) (5,5 m) = 11,98 tm + 11 tm 2,3 10 6 daNcm .
Calcolo sollecitazione flettente adimensionale (I° ordine) – sezione rettangolare piena:
M Sd( I )
(2,3 10 6 daNcm)
(I )
mSd
=
=
0,157 .
b a 2 fcd (60 cm) (40 cm)2 (153daN / cm 2 )
Verifica non instabilità ritto.
In base ai dati riportati nella tabella, si evince che la massima sollecitazione flettente
(adimensionale) del I° ordine sopportabile dalla sezione maggiormente cimentata è:
(I )
(I )
(I )
mSd
mSd
max = 0,154 . Risultando, però
max = 0,154 < mSd = 0,157 , la sezione risulta non
verificata: sezione soggetta ad instabilità.
ESEMPIO 3 (procedura di verifica). Utilizzando le tabelle della “colonna modello” per
sezione rettangolare piena (vedere paragrafo 15.5.1), verificare all’instabilità il ritto
schematizzato in figura 15.22. Nella figura, la sezione è stata disegnata considerando le sole
armature longitudinali da considerare ai fini della presente verifica. È stata inoltre disegnata
una singola staffa per non appesantire il disegno e per consentire il calcolo dell’altezza utile
della sezione resistente.
847
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Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 15)\Figura 15_22.tif
Figura 15.22 – Particolari sezione trasversale del ritto da verificare (sezione critica: incastro).
Si supponga che l’elemento strutturale, supposto isolato, sia stato confezionato con un
conglomerato Rck40 e con acciai fyk = 430 MPa . Infine, le sollecitazioni di progetto, in testa
al ritto incastrato alla base e libero in sommità, risultino:
VSd = 1,0 t (sollecitazione tagliante);
N Sd = 40 t (compressione);
M Sd = N Sd e0 = 2 tm (asse della sollecitazione parallela al lato maggiore della sezione).
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
conglomerato:
fcd = 175 daN / cm 2 (tab. 9.2);
f
430 MPa
fyd = yk =
= 374 MPa .
acciai:
s
1,15
Calcolo lunghezza libera d’inflessione (schema di mensola incastrata):
848
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l0 = L = 2 (800 cm) = 1600 cm .
Calcolo momento d’inerzia sezione trasversale (trascurando, per sicurezza, le armature
longitudinali):
b a 3 (40 cm) (50 cm)3
J cid =
416666 cm 4 .
12
12
Calcolo sezione trasversale resistente (solo conglomerato):
Fc = b a = (40 cm) (50 cm) = 2000 cm 2 .
Calcolo giratore d’inerzia (minimo):
imin J cid
(416666 cm 4 )
=
14 cm .
Fc
(2000 cm 2 )
Calcolo snellezza (massima) dell’asta:
l
(1600 cm)
= 0 =
114 .
imin
(14 cm)
Calcolo snellezza di riferimento.
Calcolo rapporto geometrico armatura longitudinale (complessiva):
F + Ff 10 (2,01 cm 2 )
μ f tot = f
=
0,0101 .
Fc
(2000 cm 2 )
Ponendo, come da Normativa, Fc = (400 mm) (500 mm) = 200000 mm 2 e N Sd = 400000 N , si
calcola:
60 (1 + 15 μ f tot )
60 (1 + 15 0,0101)
* =
=
48 .
0,5
(N Sd / Fc )
[(400000 N ) / (200000 mm 2 )]0,5
Risultando:
* = 48 = 114 3 * = 144
è necessario verificare all’instabilità l’elemento strutturale.
Calcolo eccentricità e momento del I° ordine.
Calcolo eccentricità geometrica:
e0 = M Sd / N Sd = (2 tm) / (40 t) = 0,05 m = 5 cm .
Calcolo eccentricità accidentale (per ritto isolato):
L 2 (800 cm)
l0
=
=
5,3 cm
ea = 5,3 cm = max 300 300
300
2 cm.
Calcolo sollecitazione flettente di progetto (I° ordine) per la verifica all’instabilità:
M Sd( I ) = N Sd (e0 + ea ) + VSd L =
= (40 t) [(5 cm) + (5,3 cm)] + (1,0 t) (8,0 m) = 4,12 tm + 8 tm 1,212 10 6 daNcm .
Calcolo sollecitazione flettente adimensionale (I° ordine) – sezione rettangolare piena:
M Sd( I )
(1,212 10 6 daNcm)
(I )
mSd
=
=
0,079 .
b a 2 fcd (40 cm) (50 cm)2 (153daN / cm 2 )
Calcolo sollecitazione assiale adimensionale – sezione rettangolare piena:
N Sd
(40000 daN )
nSd =
=
0,131
b a fcd (40 cm) (50 cm) (153daN / cm 2 )
Calcolo rapporto meccanico di armatura longitudinale (complessiva):
( F + Ff ) fyd
10 (2,01 cm 2 ) (3740 daN / cm 2 )
f tot = f
=
0,24 .
ba
fcd (40 cm) (50 cm) (153daN / cm 2 )
Calcolo distanza adimensionale baricentro armature longitudinali dai casseri (figura 15.22):
h / a = (4,7 cm) / (50 cm) = 0,094 0,10 .
849
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Verifica non instabilità ritto (metodo tabellare della “colonna modello”).
I parametri di progetto sono:
sezione rettangolare:
piena;
armatura longitudinale:
doppia simmetrica;
valore del rapporto adimensionale:
h / a = 0,10 ;
fyk = 430 MPa ;
tipo di acciai:
rapporto geometrico asta:
rapporto meccanico armature (totali):
L0 / a l0 / a = (1600 cm) / (50 cm) = 32 ;
0,20 < f tot = 0,24 < 0, 40 ;
sollecitazione assiale adimensionale:
0,1 < nSd = 0,131 < 0,2 .
Si utilizzano, quindi, le tabelle riportate nel paragrafo 15.5.1. In particolare, per comodità di
lettura, si riportano di seguito le tabelle relative a f tot = 0,20 (tabella a) e f tot = 0, 40
(tabella b) che soddisfano i dati di progetto precedentemente elencati:
Tabella a: f tot = 0,20 ; h / a h / a = 0,10
nSd
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
L0 / a
0
10
20
30
40
0,084
0,124
0,159
0,184
0,198
0,198
0,182
0,162
0,139
0,109
0,074
0,039
0,084
0,115
0,142
0,164
0,175
0,170
0,152
0,132
0,108
0,079
0,048
0,021
0,084
0,103
0,118
0,125
0,118
0,105
0,092
0,074
0,050
0,025
0,007
0,084
0,087
0,081
0,064
0,055
0,044
0,027
0,005
0,084
0,064
0,038
0,031
0,018
Tabella b: f tot = 0, 40 ; h / a h / a = 0,10
nSd
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
L0 / a
0
10
20
30
40
0,164
0,203
0,239
0,264
0,278
0,276
0,255
0,232
0,206
0,178
0,148
0,114
0,077
0,040
0,164
0,193
0,221
0,244
0,255
0,248
0,223
0,198
0,172
0,145
0,114
0,082
0,051
0,023
0,164
0,179
0,194
0,202
0,195
0,169
0,147
0,127
0,105
0,080
0,053
0,029
0,012
0,164
0,162
0,154
0,137
0,107
0,079
0,060
0,041
0,018
0,164
0,137
0,099
0,054
0,036
0,019
È necessario interpolare tra i dati riportati nelle due tabelle. Per chiarezza, in questo esempio,
verrà spiegata passo per passo una proposta di procedura per l’interpolazione. In particolare,
si ponga attenzione ai seguenti valori relativi a L0 / a = 30 :
f tot
0,20 (tabella a)
0,24 (valore effettivo)
0,40 (tabella b)
(I )
mSd
max (nSd = 0,1 ; L0 / a = 30; f tot
(I )
mSd
max = f (nSd = 0,1 ; L0 / 2 = 30)
0,087 (letto da tabella a)
0,102 (valore calcolato per interpolazione lineare)
0,162 (letto da tabella b)
(0,162 0,087)
= 0,24) = 0,087 + (0,24 0,20) 0,102 .
(0, 40 0,20)
850
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f tot
0,20 (tabella a)
0,24 (valore effettivo)
0,40 (tabella b)
(I )
mSd
max (nSd = 0,2 ; L0 / a = 30; f tot
(I )
mSd
max = f (nSd = 0,2 ; L0 / 2 = 30)
0,081 (letto da tabella a)
0,096 (valore calcolato per interpolazione lineare)
0,154 (letto da tabella b)
(0,154 0,081)
= 0,24) = 0,081 + (0,24 0,20) 0,096 .
(0, 40 0,20)
Analogamente, considerando i valori corrispondenti a L0 / a = 40 , si ha:
f tot
0,20 (tabella a)
0,24 (valore effettivo)
0,40 (tabella b)
(I )
mSd
max (nSd = 0,1 ; L0 / a = 40; f tot
(I )
mSd
max = f (nSd = 0,1 ; L0 / 2 = 40)
0,064 (letto da tabella a)
0,079 (valore calcolato per interpolazione lineare)
0,137 (letto da tabella b)
(0,137 0,064)
= 0,24) = 0,064 + (0,24 0,20) 0,079 .
(0, 40 0,20)
f tot
0,20 (tabella a)
0,24 (valore effettivo)
0,40 (tabella b)
(I )
mSd
max (nSd = 0,2 ; L0 / a = 40; f tot
(I )
mSd
max = f (nSd = 0,2 ; L0 / 2 = 40)
0,038 (letto da tabella a)
0,050 (valore calcolato per interpolazione lineare)
0,099 (letto da tabella b)
(0,099 0,038)
= 0,24) = 0,038 + (0,24 0,20) 0,050 .
(0, 40 0,20)
Ricapitolando, si hanno i seguenti valori calcolati per interpolazione lineare:
(I )
1) mSd
max (nSd = 0,1 ; L0 / a = 30; f tot = 0,24) 0,102 ;
(I )
2) mSd
max (nSd = 0,2 ; L0 / a = 30; f tot = 0,24) 0,096 ;
(I )
3) mSd
max (nSd = 0,1 ; L0 / a = 40; f tot = 0,24) 0,079 ;
(I )
4) mSd
max (nSd = 0,2 ; L0 / a = 40; f tot = 0,24) 0,050 .
A questo punto, posto L0 / a = 32 e utilizzando i valori ai punti 1) e 3), si può considerare la
seguente tabella:
(I )
L0 / a
mSd
max
0,102 (calcolato al punto 1)
0,097 (calcolato per interpolazione lineare)
0,079 (calcolato al punto 3)
30
32
40
(0,079 0,102)
(I )
mSd
0,097 .
max (nSd = 0,1 ; L0 / a = 32; f tot = 0,24) = 0,102 + (32 30) (40 30)
Analogamente, posto L0 / a = 32 , utilizzando i valori ai punti 2) e 4), si può considerare la
seguente tabella:
(I )
L0 / a
mSd
max
0,096 (calcolato al punto 2)
0,087 (calcolato per interpolazione lineare)
0,050 (calcolato al punto 4)
(I )
mSd
max (nSd = 0,2 ; L0 / a = 32; f tot
30
32
40
(0,050 0,096)
= 0,24) = 0,096 + (32 30) 0,087 .
(40 30)
A questo punto, si dispongono dei due valori finali:
851
Documento #:
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(I )
mSd
max (nSd = 0,1 ; L0 / a = 32; f tot = 0,24) 0,097 ;
(I )
mSd
max (nSd = 0,2 ; L0 / a = 32; f tot = 0,24) 0,087 .
È possibile, quindi, scrivere la seguente tabella:
(I )
mSd
max
0,097 (calcolato con nSd = 0,1 )
0,094 (calcolato per interpolazione lineare)
0,087 (calcolato con nSd = 0,2 )
nSd
0,1
0,131
0,2
(I )
mSd
max (nSd = 0,131 ; L0 / a = 32; f tot = 0,24) =
= 0,097 + (0,131 0,1) (0,087 0,097)
0,094 .
(0,2 0,1)
Risultando:
(I )
(I )
mSd
max (nSd = 0,131 ; L0 / a = 32; f tot = 0,24) = 0,094 > mSd = 0,079 ,
la verifica di resistenza e stabilità del ritto è soddisfatta, con coefficiente di sicurezza (allo
stato limite di instabilità) pari a circa CS = 0,094 / 0,079 1,19 .
ESEMPIO 4 (procedura di verifica). Sia data la pila da ponte a sezione trasversale circolare
piena, riportata nella figura 15.23, alta L =10 m il cui peso di progetto è stato valutato
(compreso il pulvino) pari a PSG = 800 kN .
852
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Nota per la composizione: disporre figura su intera pagina per agevolare la lettura.
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 15)\Figura 15_23.tif
Figura 15.23 – Particolari sezione trasversale del fusto della pila da ponte da verificare (sezione
critica: incastro).
853
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La struttura è stata confezionata con un conglomerato del tipo Rck30 e con acciai ad aderenza
migliorata fyk = 430 MPa . Ipotizzando, per sicurezza, uno schema statico a mensola
incastrata, le sollecitazioni (di progetto) trasmesse agli appoggi dall’impalcato siano
considerati come forze applicate in sommità su un sistema vincolato isostaticamente (vedere
schema in figura 15.23). Si considerino, oltre alle eccentricità accidentali prescritte da
Normativa, anche l’eccentricità per gli effetti dei fenomeni viscosi nel lungo periodo. In
particolare, si assuma un valore del coefficiente di viscosità (a tempo teoricamente infinito)
pari a (+ ; t0 ) 2 . In particolare, il valore del carico verticale di lunga durata N g che dà
luogo alle deformazioni viscose risulti praticamente coincidente con la risultante delle azioni
assiali quasi permanenti assunte con il loro valore caratteristico maggiorato con il coefficiente
= 1,15 e pari a circa N g = 3400 kN . Si verifichi all’instabilità la pila suddetta, utilizzando
il metodo tabellare della “colonna modello”. In particolare, si trascuri l’eccentricità della
risultante del peso proprio della pila in condizioni deformate e il relativo peso proprio.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
conglomerato:
fcd = 132daN / cm 2 (tab. 9.2);
f
430 MPa
fyd = yk =
= 374 MPa .
acciai:
s
1,15
Calcolo lunghezza libera d’inflessione (schema di mensola incastrata):
l0 = L = 2 (1000 cm) = 2000 cm .
Calcolo sollecitazioni di progetto agenti.
Risultante azioni di calcolo verticali: N Sd = (1400 kN ) + (3083 kN ) = 4483 kN ;
Azione tagliante orizzontale: VSd = 126 kN .
Calcolo eccentricità geometrica carico verticale (ultimo di progetto) in testa alla pila:
2
e0 =
N
Sdi
xi
i=1
2
N
=
[(3083 kN ) (50 cm) + (1400 kN ) ( 50 cm)]
19 cm .
(3083 kN ) + (1400 kN )
Sdi
i=1
Calcolo snellezza fusto pila.
Calcolo momento d’inerzia sezione trasversale circolare piena (trascurando, per sicurezza, le
armature longitudinali):
D 4 3,14 (160 cm)4
J cid =
32153600 cm 4 .
64
64
Calcolo sezione trasversale resistente (solo conglomerato):
D 2 (160 cm)2
Fc =
=
20096 cm 2 .
4
4
Calcolo giratore d’inerzia (minimo):
imin J cid
(32153600 cm 4 )
=
= 40 cm .
Fc
(20096 cm 2 )
Calcolo snellezza (massima) della pila:
l
(2000 cm)
= 0 =
50 .
imin
(40 cm)
Calcolo snellezza di riferimento.
Calcolo rapporto geometrico armatura longitudinale (complessiva):
F + Ff 24 (4,52 cm 2 )
μ f tot = f
=
0,0054 .
Fc
(20096 cm 2 )
854
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Ponendo, come da Normativa,
Fc = (20096 cm 2 ) (10 2 mm 2 / cm 2 ) = 2009600 mm 2 ;
N Sd = 4483000 N ,
si calcola:
60 (1 + 15 μ f tot )
60 (1 + 15 0,0054)
* =
=
43 .
(N Sd / Fc )0,5
[(4483000 N ) / (2009600 mm 2 )]0,5
Risultando:
* = 43 = 50 3 * = 129
è necessario verificare all’instabilità l’elemento strutturale.
Calcolo eccentricità del I° ordine (esclusi effetti per viscosità).
Eccentricità geometrica (calcolata):
e0 = 19 cm .
Calcolo eccentricità accidentale (per ritto isolato):
L 2 (1000 cm)
l0
=
=
7 cm
ea = 7 cm = max 300 300
300
2 cm.
Calcolo eccentricità per fenomeni viscosi di lungo periodo.
Calcolo modulo elastico ridotto del conglomerato:
Ec* = 0, 4 Ec (t = 28 gg) = 0, 4 5700 (Rck [N / mm 2 ])0,5 =
= 0, 4 {5700 (30 N / mm )
2 0,5
{
} 12488 N / mm
}
2
= 124880 daN / cm 2 .
Calcolo momento d’inerzia sezione circolare (trascurando le armature longitudinali):
D 4 3,14 (160 cm)4
J cid =
32153600 cm 4 .
64
64
Lunghezza libera d’inflessione (schema di mensola isostatica):
l0 = L = 2 (1000 cm) = 2000 cm .
Carico critico di Eulero:
2 Ec* J cid 10 Ec* J cid 10 (124880 daN / cm 2 ) (32153600 cm 4 )
N Eu =
=
1,0 10 5 kN .
l02
l02
(2000 cm)2
Essendo N g = 3400 kN , si calcola l’eccentricità per effetti viscosi di lungo periodo:
(t; t0 )N g N Eu N g evis cosi (t) = (e0 + ea ) e
1 (eN + ea ) 0,073 = [(7 + 19) cm] 0,073 2 cm .
Calcolo sollecitazione flettente di progetto (I° ordine) per la verifica all’instabilità:
M Sd( I ) = N Sd (e0 + ea + eviscosa ) + VSd L =
= (4483 kN ) [(19 cm) + (7 cm) + (2 cm)] + (126 kN ) (1000 cm) =
= 125524 kNcm + 126000 kNcm 2516 kNm .
Sollecitazioni di progetto per il metodo tabellare della “colonna modello”.
Sollecitazione assiale complessiva:
N Sd = 4483 kN = 448300 daN ;
Sollecitazione flettente complessiva (I° ordine): M Sd = 2516 kNm = 2,516 10 7 daNcm .
Calcolo sollecitazione flettente adimensionale (I° ordine) – sezione circolare piena:
M Sd( I )
(2,516 10 7 daNcm)
(I )
mSd
=
=
0,060 .
( D 3 / 4) fcd [ (160 cm)3 / 4] (132daN / cm 2 )
Calcolo sollecitazione assiale adimensionale – sezione circolare piena:
855
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N Sd
(448300 daN )
=
0,168 .
2
( D / 4) fcd [ (160 cm)2 / 4] (132daN / cm 2 )
Calcolo rapporto meccanico di armatura longitudinale (complessiva):
Ff long
fyd
24 (4,52 cm 2 ) (3740 daN / cm 2 )
f tot =
=
0,153 .
( D 2 / 4) fcd [ (160 cm)2 / 4] (132daN / cm 2 )
Calcolo distanza adimensionale baricentro armature longitudinali dai casseri (figura 15.23):
h / D = (6 cm) / (160 cm) = 0,0375 0,05 .
nSd =
Verifica non instabilità ritto (metodo tabellare della “colonna modello”).
I parametri di progetto sono:
sezione circolare:
piena;
armatura longitudinale:
distribuita uniforme sul contorno;
valore del rapporto adimensionale:
h / D = 0,05 ;
fyk = 430 MPa ;
tipo di acciai:
rapporto geometrico pila:
rapporto meccanico armature (totali):
L0 / D l0 / D = (2000 cm) / (160 cm) = 12,5
0,00 < f tot = 0,153 < 0,20 ;
sollecitazione assiale adimensionale:
0,1 < nSd = 0,168 < 0,2 .
Si utilizzano, quindi, le tabelle riportate nel paragrafo 15.5.3. In particolare, per comodità di
lettura, si riportano di seguito le tabelle relative a f tot = 0,00 (tabella a) e f tot = 0,20
(tabella b) che soddisfano i dati di progetto precedentemente elencati:
Tabella a: f tot = 0,00 ; h / D = 0,05
nSd
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
L0 / D
0
10
20
30
40
0,000
0,040
0,069
0,088
0,099
0,101
0,096
0,083
0,061
0,032
0,000
0,033
0,056
0,070
0,078
0,077
0,070
0,055
0,033
0,010
0,000
0,026
0,039
0,045
0,044
0,037
0,023
0,006
0,000
0,020
0,025
0,022
0,012
0,000
0,015
0,013
0,003
Tabella b: f tot = 0,20 ; h / D = 0,05
nSd
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
L0 / D
0
10
20
30
40
0,080
0,109
0,131
0,145
0,153
0,152
0,145
0,132
0,115
0,092
0,065
0,035
0,080
0,099
0,114
0,123
0,127
0,123
0,114
0,099
0,082
0,059
0,034
0,013
0,080
0,079
0,082
0,080
0,072
0,064
0,053
0,039
0,020
0,004
0,080
0,057
0,043
0,036
0,027
0,014
0,080
0,033
0,021
0,011
Con procedura perfettamente analoga a quella illustrata nell’esempio precedente, si calcola:
mSd( I )max (nSd = 0,1 ; L0 / a = 10; f tot = 0,153) = 0,033 + (0,153 0,00) mSd( I )max (nSd = 0, 2 ; L0 / a = 10; f tot = 0,153) = 0,056 + (0,153 0,00) (0,099 0,033)
(0, 20 0,00)
(0,114 0,056)
(0, 20 0,00)
0,083 ;
0,100 ;
856
Documento #:
Doc_b11_(2).doc
mSd( I )max (nSd = 0,1 ; L0 / a = 20; f tot = 0,153) = 0,026 + (0,153 0,00) mSd( I )max (nSd = 0, 2 ; L0 / a = 20; f tot = 0,153) = 0,039 + (0,153 0,00) mSd( I )max (nSd = 0,1 ; L0 / a = 12, 5; f tot = 0,153) = 0,083 + (12, 5 10) mSd( I )max (nSd = 0, 2 ; L0 / a = 12, 5; f tot = 0,153) = 0,100 + (12, 5 10) (0,079 0,026)
(0, 20 0,00)
(0,082 0,039)
(0, 20 0,00)
(0,067 0,083)
(20 10)
(0,072 0,100)
(20 10)
0,067 ;
0,072 ;
0,079 ;
0,093 ;
Infine, si interpola:
mSd( I )max (nSd = 0,168 ; L0 / a = 12, 5; f tot = 0,153) = 0,079 + (0,168 0,1) (0,093 0,079)
(0, 2 0,1)
0,088 .
Risultando:
(I )
mSd( I )max (nSd = 0,168 ; L0 / a = 12, 5; f tot = 0,153) 0,088 > mSd
= 0,060 ,
la verifica di resistenza e stabilità della pila è ampiamente soddisfatta, con coefficiente di
sicurezza (allo stato limite di instabilità) pari a circa CS = 0,088 / 0,060 1, 47 . Si ritiene
non necessario, quindi, verificare il calcolo considerando anche l’eccentricità del peso proprio
della pila in condizioni deformate e il relativo peso proprio.
ESEMPIO 5 (procedura di verifica). Sia data una pila da ponte di sezione circolare cava
(con sezione trasversale costante lungo l’altezza del fusto della pila) del diametro esterno
Dest = 3,0 m e con spessore delle pareti pari a s fusto = 0,35 m (vedere dettagli in figura
15.24). Si supponga che l’altezza dell’intera pila dall’intradosso dell’impalcato (compreso il
pulvino il cui peso proprio è stato stimato dell’ordine dei 2000 kN) fino alla sezione a due
metri circa dal piano campagna sia di L* = 33 m e che prosegua verso il basso, per motivi di
natura geologica e geotecnica, per ulteriori 7 m (di cui 5 m all’interno del terreno, dal piano
campagna) con sezione circolare piena fino al dado di fondazione ancorato su pali. Si ipotizzi,
inoltre, che l’intera pila sia stata confezionata con un conglomerato Rck40 e con acciai ad
aderenza migliorata del tipo fyk = 430 MPa .
Inserire figura:
857
Documento #:
Doc_b11_(2).doc
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 15)\Figura 15_24.tif
Figura 15.24 – Particolari sezione trasversale del fusto della pila da ponte da verificare (sezione
critica: incastro).
Supponendo che la sezione sia stata armata, costantemente lungo tutto il fusto, con
un’armatura longitudinale distribuita uniformemente sul contorno in ragione di 2 36 26 e
con un ricoprimento delle armature più esterne di 40 mm (e un ricoprimento delle armature
longitudinali di 56 mm), verificare all’instabilità la pila sapendo che l’entità dell’eccentricità
causata da fenomeni lenti di creep è stata valutata al più pari a circa ecreep = 15 mm . Si
ipotizzi, infine, che si sia preventivamente accertato che la resistenza ultima locale venga
raggiunta nella sezione di piede della pila e che sia, quindi, possibile applicare la teoria del
metodo della “colonna modello” (vedere dettagli sulla disposizione dei carichi in testa alla
pila nella figura 15.25).
858
Documento #:
Doc_b11_(2).doc
Nota per la composizione: disporre figura su intera pagina per agevolare la lettura.
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 15)\Figura 15_25.tif
Figura 15.25 – Pila schematizzabile come incastrata al piede e relativo schema di carico: peso proprio
del fusto della pila e del pulvino considerati simmetricamente inglobati nelle forze concentrate agenti
in testa alla pila.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
859
Documento #:
Doc_b11_(2).doc
fcd = 175 daN / cm 2 ;
f
430 MPa
fyd = yk =
= 374 MPa .
acciai:
s
1,15
Si supponga che, anche da considerazioni di natura geotecnica sull’interazione pali-terreno,
risulti una lunghezza libera d’inflessione (incastro cedevole) pari a:
l0 = L 9000 cm .
conglomerato:
Nota. In linea generale, nel calcolo della lunghezza libera d’inflessione della pila si devono
sempre tenere in considerazione i seguenti due punti:
la fondazione della pila non costituisce mai un incastro perfetto poiché si ha la
deformabilità (elastica ed anelastica) del suolo e degli eventuali pali di fondazione. Ciò fa
scadere il grado d’incastro e quindi fa aumentare la lunghezza L0 = L . Questo fatto può
essere molto rilevante nel caso di fondazioni su pali molto lunghi che trasmettano il
carico al terreno prevalentemente attraverso la punta. In questo caso, è necessario
considerare nei calcoli l’intera struttura costituita da pali, dado di fondazione e pila;
la sommità della pila può risultare vincolata elasticamente quando le travate poggiano su
di essa con appoggi in gomma sintetica (neoprene). Poiché questo materiale presenta
modulo di elasticità trasversale basso ma non nullo ( 0,8 ÷ 1 N / mm 2 ), la sua
deformazione può avvenire solo con l’insorgere di forze orizzontali che si oppongono allo
spostamento della testa della pila. Qualcosa di simile avviene in presenza di appoggi in
acciaio o PTFE che forniscono una reazione orizzontale dovuta all’attrito. Peraltro, questo
fatto è difficilmente quantizzabile perché dipende dalla deformabilità di tutte le pile
adiacenti a quella che si analizza per cui, agendo a favore di stabilità e per compensare in
parte l’approssimazione che si fa sul vincolo alla base, è consigliabile considerare la pila
come effettivamente libera in sommità.
Calcolo sollecitazioni di progetto agenti.
Risultante azioni di calcolo verticali: N Sd = (2511 kN ) + (5211 kN ) = 7722 kN ;
Azione tagliante orizzontale: VSd = 270 kN .
Calcolo eccentricità geometrica carico verticale (ultimo di progetto) in testa alla pila:
2
e0 =
N
Sdi
xi
i=1
2
N
=
[(5211 kN ) (50 cm) + (2511 kN ) ( 50 cm)]
17,5 cm .
(2511 kN ) + (5211 kN )
Sdi
i=1
Calcolo snellezza fusto pila.
Calcolo momento d’inerzia sezione trasversale circolare piena (trascurando, per sicurezza, le
armature longitudinali):
4
(Dest
Dint4 ) 3,14 [(300 cm)4 (230 cm)4 ]
J cid =
260109259 cm 4 .
64
64
Calcolo sezione trasversale resistente (solo conglomerato):
2
2
(Dest
Dint
) [(300 cm)2 (230 cm)2 ]
Fc =
=
29123 cm 2 .
4
4
Calcolo giratore d’inerzia (minimo):
imin J cid
(260109259 cm 4 )
=
= 94,5 cm .
Fc
(29123 cm 2 )
Calcolo snellezza (massima) della pila:
l
(9000 cm)
= 0 =
95 .
imin (94,5 cm)
860
Documento #:
Doc_b11_(2).doc
Calcolo snellezza di riferimento.
Calcolo rapporto geometrico armatura longitudinale (complessiva):
F + Ff 2 36 (4,52 cm 2 )
μ f tot = f
=
0,0112 .
Fc
(29123 cm 2 )
Ponendo, come da Normativa,
Fc = (29123 cm 2 ) (10 2 mm 2 / cm 2 ) = 2912300 mm 2 ;
N Sd = 7722000 N ,
si calcola:
60 (1 + 15 μ f tot )
60 (1 + 15 0,0112)
* =
=
43 .
0,5
(N Sd / Fc )
[(7722000 N ) / (2912300 mm 2 )]0,5
Risultando:
* = 43 = 95 3 * = 129
è necessario verificare all’instabilità l’elemento strutturale.
Calcolo eccentricità del I° ordine (esclusi effetti per viscosità).
Eccentricità geometrica (calcolata):
e0 = 17,5 cm .
Calcolo eccentricità accidentale (per ritto isolato):
L 9000 cm
l0
=
=
= 30 cm
ea = 30 cm = max 300 300
300
2 cm.
Sollecitazione flettente di progetto (I° ordine).
Calcolo sollecitazione flettente di progetto (I° ordine) per la verifica all’instabilità:
M Sd( I ) = N Sd (e0 + ea + ecreep ) + VSd L =
= (7722 kN ) [(17,5 cm) + (30 cm) + (1,5 cm)] + (270 kN ) (3500 cm) 13234 kNm .
Verifica instabilità pila cava.
La retta M II (momento flettente del II° ordine, funzione di ) passante per l’origine degli
assi, è data dall’equazione: M II = N Sd e2 [Pe 0,1 l02 ] . Se si decide, ad esempio, di
esprimere le sollecitazioni flettenti in termini di daNcm e le curvature in termini di cm – 1 , il
relativo coefficiente angolare vale:
Pe 0,1 l02 = (772200 daN ) 0,1 (7000 cm)2 = 3,78 10 12 daNcm 2 .
Tramite procedura di calcolo automatico, si traccia la curva del legame tra momento
resistente ultimo interno M Sd ( ) della sezione e curvatura , per una sollecitazione assiale
costante di progetto pari a N Sd = 7722 kN (vedere figura 15.26).
861
Documento #:
Doc_b11_(2).doc
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 15)\Figura 15_26.tif
Figura 15.26 – Andamento dei momenti flettenti in funzione della curvatura della sezione della pila
nella sezione d’incastro, maggiormente sollecitata.
La pendenza della retta in questione M II (vedere grafico riportato in figura 15.26) si può
ottenere unendo il punto di origine del sistema cartesiano di riferimento con, ad esempio, il
punto di ascissa = 1,0 10 5 cm 1 . Risulta un valore dell’ordinata corrispondente:
M II (1,0 10 5 ) (3,78 10 12 daNcm 2 ) (1,0 10 5 cm 1 ) 6,0 10 7 daNcm .
Avendo traslato questa retta (passante per l’origine) per i due punti K e W, si evince
immediatamente che la verifica di stabilità e resistenza per la pila è positiva. In particolare, la
curvatura critica che porta la sezione nel punto W risulta: crit = 1,5 10 5 cm 1 a cui
corrisponde un
momento
flettente massimo
del
primo
ordine pari
a
8
M I , max ( crit ) 1,6 10 daNcm ; mentre, la curvatura effettiva della sezione della pila in
condizioni limite è: * = 0,82 10 5 cm 1 con un momento flettente agente del primo ordine
calcolato pari a M Sd = 13234 kNm 1,33 10 8 daNcm . Pertanto, il relativo coefficiente di
sicurezza allo stato limite di instabilità può valutarsi pari al rapporto:
M I , max ( crit ) (1,6 10 8 daNcm)
CS =
1,20 .
M Sd ( * )
(1,33 10 8 daNcm)
862