Utilizzo dell’indice di connessione
χ2
1
ESEMPIO: In una sperimentazione per valutare l’efficacia
della vaccinazione per il morbillo, i familiari di malati di
morbillo furono in parte sottoposti a vaccinazione, e in parte
no:
si ammalarono
1
vaccinati
(244)
non vaccinati
(244)
non si ammalarono 243
si ammalarono
non si ammalarono
8
236
2
proporzione di soggetti che si ammalano tra i
vaccinati:
1
= 0,00409 = 4,09‰
244
proporzione di soggetti che si ammalano tra i non
vaccinati:
8
= 0,03278 = 32,78‰
244
Posso affermare che la vaccinazione previene la malattia?
NO! Perché anche se nei due gruppi, quello sottoposto a
vaccinazione ha una minor proporzione di malati, è
possibile che il risultato sia casuale (ovvero dovuto a
errore di campionamento)
3
Formalizzo il problema avanzando due ipotesi
(H0): ipotesi zero, o ipotesi nulla, le due proporzioni
differiscono per effetto dell’errore di campionamento.
Il vaccino non può essere considerato efficace
(H1): ipotesi alternativa, o altra ipotesi le due proporzioni
non differiscono per effetto dell’errore di campionamento
Il vaccino può essere considerato efficace.
IL TEST DEL
χ2 CONSENTE DI SAGGIARE L’IPOTESI NULLA
4
1. Costruzione della tabella di contingenza (2x2):
malati
non malati totale
vaccinati
1
243
244
non vaccinati
8
236
244
totale
9
479
488
5
Il calcolo del chi quadro si basa sul confronto fra frequenze osservate e frequenze attese nelle
singole sottocategorie. Le frequenze attese si calcolano a partire dalle frequenze osservate
2. Calcolo delle frequenze attese
si costruisce una nuova tabella di contingenza in cui si
trascrivono i soli totali marginali
malati
non malati totale
vaccinati
244
non vaccinati
244
totale
9
479
488
6
2. Calcolo delle frequenze attese
calcolo delle frequenze attese sotto (H0):
(il vaccino non è efficace)
malati
vaccinati
9:488=A1:244
A1=4,5
non malati totale
479:488=A2:244
A2=239,5
244
244
non vaccinati
9:488=A3:244
479:488=A4:244
A3=4,5
A4=239,5
totale
9
479
488
7
3. Confronto tra la tabella di contingenza con frequenze
osservate
malati
non malati
vaccinati
1
243
non vaccinati
8
236
e la tabella di contingenza con frequenze attesa:
malati
non malati
vaccinati
4,5
239,5
non vaccinati
4,5
239,5
8
Confronto tra frequenze campionarie
2
χ =
s
t
∑ ∑
i =1
h =1
(O − A)
A
2
Dove:
O = frequenze assolute osservate
A = frequenze assolute attese
9
Calcolo del chi-quadrato
χ2 =
∑
(O - A) 2
A
2
2
2
(1 − 4,5) (1 − 239,5) (8 − 4,5)
+
=
+
+
4,5
4,5
239,5
2
(236 − 239,5)
= 5,54
239,5
10
2
χ
4. Confronto tra il valore del calcolato e quello
riportato sulle tavole della distribuzione del
χ
2
per
(r-1) x (c-1) = gradi di libertà
Dove:
r = numero di righe della tabella di contingenza
c = numero di colonne della tabella di contingenza
Nel caso in esame:
(2-1) x (2-1) = 1 grado di libertà
11
12
13
Tale valore delimita esattamente l’area di
accettazione e di rigetto
Area di accettazione
Area di rigetto
0,95
0,05
3,841
Valore
Sperimentale
4,075
Rifiuto l’ipotesi nulla (p<0,05)
14
Supponiamo, di voler
stabilire l’esistenza di una
relazione tra valore della
pressione diastolica e razza di
appartenenza
15
Riportiamo le frequenze empiriche, rilevate da
un campione casuale, nella tabella di
contingenza (3x2)
DISTRIBUZIONE DELLE FREQUENZE DI DIVERSI VALORI DELLA
PRESSIONE DIASTOLICA SECONDO LE DIVERSE RAZZE IN UN
CAMPIONE DI 2.000 SOGGETTI
NERI
BIANCHI
TOTALE
>100
300
400
700
90 - 100
400
550
950
<90
150
200
350
TOTALE
850
1150
2000
16
Formalizzo il problema avanzando due ipotesi
(H0): ipotesi zero, o ipotesi nulla, inesistenza di
relazioni statisticamente significative tra la
razza di appartenenza e la pressione
diastolica
(H1): ipotesi alternativa, o altra ipotesi, esistenza
di connessione tra razza e pressione diastolica
IL TEST DEL
χ2 CONSENTE DI SAGGIARE L’IPOTESI NULLA
17
Calcolo delle frequenze attese
DISTRIBUZIONE DELLE FREQUENZE TEORICHE
NERI
BIANCHI
TOTALE
>100
a
b
700
90 - 100
c
d
950
<90
e
f
350
TOTALE
850
1150
2000
LE FREQUENZE DI OGNUNA DELLE CASELLE DELLA
TABELLA SI CALCOLANO COME SEGUE:
850 × 700
a=
;
2000
1150 × 700
b=
;
2000
850 × 950
c=
;
2000
1150 × 950
d=
;
2000
850 × 350
e=
;
2000
1150 × 350
f =
;
2000 18
Le frequenze teoriche saranno pertanto
distribuite come in tabella
TABELLA DI INDIPENDENZA
POPOLAZIONE
PRESSIONE
NERI
BIANCHI
TOTALE
>100
297,5
402,5
700
90 - 100
403,75
546,25
950
<90
148,75
201,25
350
TOTALE
850
1150
2000
19
Una volta ottenute le frequenze teoriche è
possibile passare al calcolo del valore del
χ2 nel campione
χ2
=
(300 − 297,5)
297,5
2
(
400 − 402,5)
+
(
550 − 546,25)
+
546,25
2
402,5
2
(
400 − 403,75)
+
403,75
2
+
2
(
150 − 148,75)
+
148,75
+
2
(
200 − 201,25)
+
= 0,1152
201,25
20
CONFRONTO TRA IL VALORE DEL χ2 CALCOLATO E
QUELLO RIPORTATO SULLA TAVOLA DELLA
DISTRIBUZIONE DEL χ2 PER
(r – 1) (c – 1) = gradi di libertà
DOVE:
r = NUMERO DI RIGHE DELLA TABELLA DI CONTINGENZA
c = NUMERO DI COLONNE DELLA TABELLA DI CONTINGENZA
NEL NOSTRO CASO
(3 – 1) (2 – 1) =2 GRADI DI LIBERTÀ
21
NELLA TAVOLA DI
DISTRIBUZIONE DEL χ2 PER 2
GRADI DI LIBERTÀ E A UN
LIVELLO DI SIGNIFICATIVITÀ
DELLO 0,01 SI TROVA UN
VALORE DI
χ2 = 9,210
χ2
0
22
TALE VALORE DELIMITA ESATTAMENTE
L’AREA DI ACCETTAZIONE E DI RIGETTO
α= 0,01
AREA DI ACCETTAZIONE
0,01 AREA DI RIGETTO
0,99
9,21
VALORE SPERIMENTALE
0,1152
23
ESSENDO IL VALORE DEL χ2
SPERIMENTALE INFERIORE AL VALORE
CHE DELIMITA L’AREA DI RIFIUTO
POSSIAMO, A UN LIVELLO DI
SIGNIFICATIVITÀ DELLO 0.01
0.01,,
ACCETTARE L’IPOTESI NULLA
OVVERO NON VI È CONNESSIONE
STATISTICAMENTE SIGNIFICATIVA TRA LA
RAZZA DI APPARTENENZA E LA PRESSIONE
DIASTOLICA
24
ESEMPIO:
Si vuole confrontare l’efficacia di 3 farmaci anti-ipertensivi.
Si scelgono 3 campioni di ipertesi; al primo campione si
somministra il farmaco A, al secondo il farmaco B e al terzo
il farmaco C. I risultati sono indicati nella tab. di contingenza 2*3:
miglioramento
non miglioramento
totale
prop. di miglior.
I camp.
farmaco A
10
10
20
(50%)
II camp.
farmaco B
10
5
15
(67%)
III camp.
farmaco C
10
20
30
(33%)
totale
30
35
65
Le diverse proporzioni di miglioramento sono casuali (H
H0) o i
tre farmaci sono caratterizzati da diversa efficacia (H
H1)?
Il test del χ2 consente di saggiare l’ipotesi nulla
25
1. Tabella di contingenza con frequenze osservate:
miglioramento
non miglioramento
farmaco A
10
10
farmaco B
10
5
farmaco C
10
20
2. Tabella di contingenza con frequenze attese:
miglioramento
non miglioramento
farmaco A
30:65=x:20
9.23
35:65=x:20
10.77
farmaco B
30:65=x:15
6.92
35:65=x:15
8.08
farmaco C
30:65=x:30
13.85
35:65=x:30
16.15
26
3. Calcolo del chi – quadrato (con
correzione di Yates
Yates):
( O − A − 1 )2
2 =
Χ 22 = Σ
A
( 10 − 9.23 − 0.5) 2 ( 10 − 10.77 − 0.5) 2 ( 10 − 6.92 − 0.5) 2
=
+
+
+
9.23
10.77
6.92
( 5 − 8.08 − 0.5) 2 ( 10 − 13.85 − 0.5) 2 ( 20 − 16.15 − 0.5) 2
+
+
+
= 3.306
8.08
13.85
16.15
27
4. Confronto con il χ2 teorico per
(3-1)*(2-1)=2 gradi di libertà:
g. l.
0.05
0.025
0.01
0.005
2
5.991
7.378
9.210
10.597
2
2
χ = 3.306
si accetta l’ipotesi nulla (p>0.05)
non è possibile scartare l’ipotesi che i tre farmaci
dimostrino diversa efficacia per effetto del caso
28