Cap. 5 I segmenti
Definizione
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Dal vocabolario sappiamo che segmento significa Porzione,
parte di un corpo, di un organo, di un oggetto
Se lo troviamo ora sappiamo che il segmento deve essere una
parte di qualcosa che abbiamo già studiato.
Consideriamo un retta r e poniamo su di essa due punti A e B
I due punti individuano un parte di retta
Si dice segmento una porzione di retta
delimitata da due punti detti estremi del
segmento
I segmenti si indicano con
una lettera minuscola
Segmenti consecutivi
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


Cosa è un segmento lo sappiamo ma cosa
significa consecutivo?
Consecutivi sono degli eventi od elementi
che vengono uno dietro l’altro
Perciò anche i segmenti consecutivi debbono
venire uno dietro l’altro
Consideriamo i segmenti AB e CD sono
consecutivi?
Per rispondere facciamo la seguente
considerazione: una formica può andare a D
ad A senza toccare il piano a
B C
A
La risposta è no perché c’è una discontinuità (un
intervallo) fra i due segmenti
a
D
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
Per ripristinare questa continuità debbo far
coincidere due estremi
Come si vede gli estremi B e C vanno a
coincidere
Definiamo consecutivi due segmenti che
hanno un estremo in comune
B
Segmenti consecutivi
A
C
D
a
Spezzata
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
A cosa vi fa pensare una spezzata?
Qualcosa che si rompe in tanti pezzi
A me dà l’idea di un spaghetto che si
rompe
Se noi rompiamo uno spaghetto e
manteniamo uniti i vari pezzi per un
punto abbiamo l’idea della spezzata
In pratica la spezzata è data
dall’unione di tanti segmenti
uno consecutivi all’altro
C
B
D
A
E
F
Elementi di una pezzatavertici
I punti di inizio e di fine della
spezzata prendono il nome di
estremi della spezzata
C
lati
D
I punti che uniscono i
segmenti consecutivi
prendono il nome di vertici
della spezzata
I segmenti consecutivi che
formano la spezzata
prendono il nome di lati della
spezzata
B
A
estremi
E
F
Tipi di spezzata
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Spezzata aperta semplice
Spezzata aperta intrecciata
Spezzata chiusa semplice
Spezzata chiusa intrecciata
Spezzata aperta


Una spezzata si dice aperta semplice se i
suoi estremi non coincidono
Una spezzata aperta (con gli estremi che
non coincidono) si dice intrecciata quando
ha Spezzata
due oaperta
più lati che si intersecano
Spezzata aperta
intrecciata
Spezzata Chiusa


Una spezzata semplice si dice chiusa se i
suoi estremi coincidono
Una spezzata chiusa si dice intrecciata se ha
almeno due lati che si intersecano
Spezzata semplice
chiusa
p
Spezzata chiusa
intrecciata
Segmenti adiacenti
Due segmenti si dicono
adiacenti se sono
consecutivi e se giacciono
sulla stessa retta
A
B
Segmenti adiacenti
C
Contributo esterno
r
Confronto di segmenti
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
Confrontare: Mettere di fronte persone o cose,
per conoscerne la somiglianza, le affinità, le
differenze
Nel nostro caso, siccome i segmenti si
assomigliano tutti, ci dobbiamo limitare alle
differenze di lunghezza
Confrontare due segmenti si riduce quindi a
vedere quale è maggiore, quale minore o
verificare se sono uguali
Segmento maggiore di un altro
A
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

Consideriamo i segmenti AB e CD
Facciamo coincidere gli estremi di
inizio e vediamo cosa succede
Si vede che AB è maggiore di CD
C
Un segmento è maggiore di
un altro quando facendo coincidere
l’inizio dei due segmenti
l’estremo del secondo segmento
cade all’interno del primo
D
B
Segmento minore di un altro
A
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

Consideriamo i segmenti AB e CD
Sovrapponiamoli e vediamo cosa succede
Si vede che AB è minore di CD
C
Un segmento è minore di
un altro quando facendo coincidere
l’inizio dei due segmenti
l’estremo del secondo segmento
cade all’esterno del primo
B
D
Segmenti congruenti
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

Consideriamo i segmenti AB e CD
Sovrapponiamoli e vediamo cosa succede
Si vede che AB è uguale a CD
A
B
C
D
Un segmento è congruente ad
un altro quando facendo coincidere
l’inizio dei due segmenti l’estremo
del secondo coincide con
l’estremo del primo
Somma di segmenti

Per sommare due segmenti occorre metterli uno
dopo l’altro facendo coincidere l’inizio del secondo
segmento con la fine del primo in modo da avere
C
D
due segmenti adiacenti


Consideriamo i segmenti AB e CD
Facciamo coincidere B con C
Otteniamo il segmento AD
Tale segmento è la somma di AB + CD

AD = AB + CD


A
B
Differenza di segmenti
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



Consideriamo i segmenti AB e CD
con AB maggiore di CD
Facciamo coincidere A con C
Otteniamo il segmento DB
Tale segmento è la differenza di AB
– CD
DB = AB – CD
A
C
B
D
Per sottrarre due segmenti occorre far
coincidere l’inizio dei due segmenti, la
differenza sarà data da quel segmento
che sommato al secondo riproduce il
primo
Multiplo di un segmento

Col termine multiplo ci riferiamo a qualcosa che contiene un
numero intero di volte qualcos’altro

Perciò un segmento sarà multiplo di un altro se
lo contiene un numero intero di volte

Consideriamo il segmento AD esso contiene 4 volte BC
AD = 4 x BC

D
A
C
D
Sottomultiplo di un segmento

Col termine sottomultiplo ci riferiamo a qualcosa che è
contenuta un numero intero di volte qualcos’altro

Perciò un segmento sarà sottomultiplo di un
altro se questo lo contiene un numero intero di
volte

Consideriamo il segmento BC esso è contenuto 4 volte BC
BC = AD : 4

D
A
C
D
Punto medio di un segmento



Medio significa ciò che è nel mezzo tra due
estremi
Riferito ad un segmento sarà quel punto che è
equidistante (cioè che ha la stessa distanza)
dagli estremi
Il punto medio di un segmento è quel
punto che lo divide in due parti
congruenti
A
M
B
Problema 1

La somma di 2 segmenti è 35 cm la loro
differenza è 5 cm trovare i due segmenti
Cosa succede se elimino questa differenza?
Rimangono due segmenti uguali (a e b)
a
c
b
eliminato
Differenza 5 cm
La cui somma è
Se a = b sarà anche a + b =
b + b = 2b
Da cui
Ed infine
a = 15 cm e c = 5 cm perciò
s
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La somma di due segmenti a e b è 65 cm la
loro differenza è di 15 cm trovare i due
segmenti
a + b = 65 cm
a – b = 15 cm
Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del
segmento b
2b = 65 cm – 15cm = 50 cm
b = 50 cm : 2 = 25 cm
a = 25 cm + 15 cm = 40 cm
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La somma di due segmenti a e b è 65 cm la
uno supera l’atro di 15 cm trovare i due
segmenti (problema uguale al precedente, se
uno supera l’altro significa che c’è una
differenza fra i due)
a + b = 65 cm
a = b + 15 cm
Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del
segmento b
2b = 65 cm – 15cm = 50 cm
b = 50 cm : 2 = 25 cm
a = 25 cm + 15 cm = 40 cm
La somma di due segmenti è 60 cm uno è
il triplo dell’altro. Trovare la lunghezza
dei due segmenti
Poniamo il segmento più piccolo pari ad u
AB = u
C
u
A u
L’altro segmento sarà il suo triplo, cioè tre
volte CD = 3u
La loro somma sarà CD + AB = 4u
3u
D
u
u
60 cm
B
AB = 15 cm
CD = 3 u = 3 x 15 cm = 45 cm
Il tutto con una lunghezza di 60 cm
Cioè 4u = 60 cm …. Cosa debbo fare per
sapere quanto vale u (cioè uno dei due
segmenti di cui si vuole conoscere il valore?)
La somma di due segmenti è di 37,5 cm uno è il
quadruplo dell’altro. Trovare la lunghezza dei due
segmenti
È uguale a
AB = u
CD = 4 u
AB + CD = u + 4 u = 5 u
5u = 37,5 cm
u = 37, 5 cm : 5 = 7,5 cm
perché
AB = 7,5 cm
CD = 7,5 cm x 4 =30 cm
CD = 30 cm
la differenza di due segmenti è 42 cm
uno è il triplo dell’altro, trovare la
lunghezza dei due segmenti
Poniamo il segmento più piccolo
pari ad u AB = u
L’altro segmento sarà il suo triplo,
cioè tre volte CD = 3u
CA = CD – AB = 3u – u = 2u
2u = 42 cm
u = 42cm : 2 = 21 cm
AB = 21 cm
CD = 3 x AB = 3 x 21 cm = 63 cm
CD = 63 cm
2u
3u
C
u
A u
u
42 cm
B
D
u
La differenza di due segmenti è
64 cm uno è il quintuplo
dell’altro
AB = u
CD = 5 u
CA = CD – AB = 5u – u = 4 u
CA = 4u = 64 cm
u = 64 cm : 4 = 16 cm
AB = 16 cm
CD = 5 x u = 5 x 16 cm = 80 cm
CD = 80 cm
80 cm