Cagliari Maggio 2012
Sassari Novembre 2012
Dalle pavimentazioni
al teorema di PICK
misura delle superfici
Un laboratorio
per scoprire
la matematica.
Prof. Sandro Deplano
Centro Ricerca e Sperimentazione dell’ Educazione Matematica
Target docenti:
• Insegnanti scuola primaria
• Insegnanti scuola media
• Insegnanti primo biennio superiori
Abstract
Il seminario
1. Presentazione di PicK, come uomo; della famiglia e degli amici;
come scienziato e i suoi lavori; dei suoi collaboratori e dei
“colleghi” con cui ha lavorato e che hanno condiviso i suoi stessi
interessi;
2. Riflessione sulla presentazione di alcuni brani dell’articolo di
Pick, in cui sono esposte le considerazioni fondamentali di
geometria reticolare Geometriches zur Zahlenlehre
(La
geometria per la teoria dei numeri), e sull’esperienza fatta in 4°
liceo scientifico da G.T. Bagni. (tratta da Bagni, “Il piano di Pick
e i numeri primi” e pubblicata in: “Periodico di Matematiche”,
serie VI, 65, n. 3, Luciani, Roma 1990).
3. Proposta di un laboratorio che permette una rivisitazione dei
geopiani ed una estensione del loro uso dalla scuola primaria
alla scuola media e superiore. Si parte dal teorema di Pick
come occasione per riflettere sui punti reticolari; si lavora:
1. su un gruppo di poligoni reticolari equivalenti;
2. su poligoni equivalenti e contemporaneamente
isoperimetrici, riuniti in famiglie ;
3. sulla visualizzazione nel geopiano e la costruzione di
pavimentazioni poligoni reticolari
4. sulla classificazione delle famiglie e il loro ordinamento
senza far uso dei calcoli
Vita di
Georg
Alexander
Pickso
Georg Alexander Pick
matematico austriaco
(Vienna 10 agosto 1859
- 26 luglio 1942).
Georg Pick nasce in una famiglia ebrea.
Sua madre era Schleisinger Josefa e suo
padre Adolf Josef Pick, capo di un istituto
privato.
Georg viene educato a casa da suo padre fino
all'età di undici anni, entra poi nella quarta
classe del Ginnasio Comunale Leopoldstaedter,
e sostiene la “maturità”
nel 1875 che lo
qualifica per l'ammissione all'università.
Si iscrive all'Università di Vienna nel 1875
e l'anno successivo,
a soli diciassette anni,
pubblica un articolo di matematica .
Si laurea in
matematica e fisica,
nel 1879
Pick studia presso l’Università di
Vienna e difende il suo Ph.D. nel 1880
sotto Leone Königsberger e Emil Weyr.
Dopo aver ricevuto il dottorato è
nominato assistente di Ernest Mach
presso
la
Charles-Ferdinand
dell’Università di Praga.
Ed è a capo del comitato
della stessa
università che nomina Albert Einstein alla
cattedra di fisica matematica nel 1911.
Pick introduce al calcolo differenziale
assoluto i matematici italiani Gregorio
Ricci-Curbasto e Tullio Levi-Civita e più
tardi nel 1915 collabora con Einstein alla
formulazione della teoria della relatività
generale .
Fatta eccezione per l'anno accademico 1884-1885
passati a studiare sotto Klein all'Università di
Lipsia, rimane a Praga per il resto della sua
carriera.
Viene eletto membro dell'Accademia Ceca
delle scienze e delle arti , ma quando i
nazisti prendono Praga, ne viene escluso.
Nel 1927, torna a Vienna, ma quando nel
1938 i nazisti marciano sull’ Austria rientra a
Praga.
Nel marzo del 1939 i nazisti
invadono la Cecoslovacchia e
Pick viene inviato al campo di
concentramento di Theresienstadt
13 luglio 1942.
Muore due settimane dopo.
Il suo lavoro matematico è estremamente
ampio e le sue pubblicazioni (67)
riguardano molti argomenti quali
algebra lineare, teoria degli
invarianti, calcolo integrale,
teoria del potenziale, analisi
funzionale, geometria ecc.
E’ ricordato, tuttavia, per il teorema di
Pick, che appare nel suo articolo, del
1899.
Tutto il lavoro di Pick passa sotto
silenzio fino a quando nel 1969
Steinhaus non lo include nel suo libro
Mathematical Snapshots (Istantanee di
matematici).
Da quel momento il teorema di Pick
attira molta attenzione e ammirazione
per la sua semplicità ed eleganza.
L’articolo di Pick in cui sono esposte
le considerazioni fondamentali di
geometria reticolare si intitola
Geometriches zur Zahlenlehre
(La geometria per la teoria dei numeri);
è il resoconto di una conferenza
tenuta dall’Autore presso la
Società Matematica Tedesca di
Praga e venne pubblicato a
Praga nel 1899.
Così esordisce Pick in tale articolo:
“A partire da Gauss (1777-1855), i
reticoli a forma di parallelogramma nel
piano... sono stati più volte utilizzati...
come metodo euristico nella teoria dei
numeri.
A confronto di tutte queste
applicazioni, le prossime righe
perseguono uno scopo molto
più modesto:
sarà fatto il tentativo di porre le basi
della teoria dei numeri in
modo nuovo e, fin dal principio,
su basi geometriche.
Per questo scopo è necessaria
una formula per calcolare
l’area dei poligoni
tracciati in un reticolo,
rimasta fino ad oggi inosservata
a dispetto, come si potrà vedere,
della sua semplicità”
[Pick, 1899, p. 311].
Pick introduce il reticolo come
“due sistemi di rette parallele
equidistanti nel piano”, dette
rette reticolari principali;
le intersezioni di tali rette sono
denominate punti reticolari
[Pick, 1899, p. 311];
Tutte le rette passanti per
più di un punto reticolare
sono dette rette reticolari.
Egli suggerisce inoltre di utilizzare
come unità di misura di superficie
“la metà di ogni singola maglia
parallelogramma del reticolo”
[Pick, 1899, p. 312].
Un poligono avente tutti i vertici
coincidenti con punti reticolari si
dice poligono reticolare.
Per quanto sopra definito, tutti i
lati di un poligono reticolare
appartengono a rette reticolari
[Pick, 1899, p. 312].
Pick suggerisce
di scomporre
un poligono reticolare
in due poligoni mediante
una retta reticolare
passante per due punti
reticolari appartenenti al
perimetro.
Si indichi
•con i il numero dei punti reticolari
all’interno del poligono
inizialmente considerato,
•con u il numero dei punti
reticolari appartenenti al suo
perimetro,
•e con i1, u1, i2, u2 i numeri
dei punti reticolari
corrispondenti dei due
nuovi poligoni ottenuti;
•si indichi inoltre con d
il numero dei punti
reticolari appartenenti
al segmento di retta
reticolare che divide
il poligono originale
nelle due parti.
Risulta allora:
i = i1+i2+ d
u = u1+u2-2d-2
Da ciò segue:
2i+u-2 = (2i1+u1-2) + (2i2+u2-2)
Pick indica l’espressione
(2 i + u - 2)
come numero di punti del poligono
Considerato ( Area del poligono ).
[Pick, 1899, pp. 312-313]
Da
“il
quanto
sopra
esposto,
numero di punti
costituito da due parti
emerge
che
di un poligono
è uguale alla
somma dei numeri di punti delle
singole parti.
Una ripetuta applicazione di questo
risultato mostra che esso è accettabile
anche per un numero qualsivoglia di parti”
Proprietà di composizione
[Pick, 1899, p. 313].
Il numero di punti di un poligono reticolare ha
un’importante interpretazione geometrica:
Pick afferma che
“per ogni poligono
reticolare l’area è uguale
al suo numero di punti”
[Pick, 1899, p. 314]
Per dimostrare ciò, Pick nota
innanzitutto che il risultato in
esame vale nel caso di un poligono
costituito da una sola maglia:
i=0 e
u=4
da cui il numero di punti:
2i+u-2 = 2
Anche per un poligono limitato
esclusivamente da segmenti
appartenenti a rette reticolari
principali
il risultato precedente vale “in base alla
citata proprietà di composizione”
[Pick, 1899, p. 313].
Inoltre, se suddividiamo un
parallelogramma avente il perimetro
interamente appartenente a rette reticolari
principali in due triangoli congruenti
aventi in comune una diagonale (e la congruenza
di tali triangoli implica anche la congruenza dei
rispettivi insiemi di punti reticolari ad essi
appartenenti), il numero di punti di
ciascuno di essi viene ad essere la metà di
quello del parallelogramma;
dunque, anche in questo caso il numero di punti
ha il valore dell’area.
Osserva infine Pick che un qualsiasi
poligono
reticolare può essere
scomposto in parallelogrammi con il
perimetro interamente appartenente a rette
reticolari principali ed in triangoli
ottenuti
dimezzando
parallelogramma di questo
un
genere
mediante una diagonale.
Da ciò segue che per ogni
poligono reticolare l’area
risulta uguale al numero
di punti
[Pick, 1899, p. 314].
Nelle diapositive
seguenti si trovano
tre esperienze
basate tutte sulla
ricerca della
superficie relativa
alla medesima
figura
Con Pick si contano
i = 27 e u = 8
Area = 2x27+8-2 = 60
Area =
60 mezzi quadretti
Oppure 30 quadretti
Formula dell'area di Gauss
La formula dell'area di Gauss, è un algoritmo
matematico utilizzato per determinare l'area di un poligono
i cui vertici siano descritti in coordinate cartesiane.
Il risultato si ottiene moltiplicando in croce le coordinate
corrispondenti e seguendo uno schema simile a quello dei
lacci della scarpa.
La formula può essere rappresentata dall'espressione:
dove
•A è l'area del poligono,
•n il numero di lati
•(xi, yi), i = 1, ,..., n sono i vertici del poligono.
Oppure, servendosi delle sommatorie:
L'area del poligono vale:
3
4
5 11
12 8
9
5
5
6
3
4
→
3
4
5 11
12 8
9
5
5
6
3
4
3
4
5 11
12 8
9
5
5
6
3
4
A = [ 4x5 + 11x12 +8x9 + 5x5 +
+ 6x3 - 11x3 – 8x5 – 5x12 +
– 6x9 – 4x5 ] / 2 =
= 60/2 = 30
Disegnare e calcolare superfici
Con il computer
Disegnare e calcolare superfici
Con il computer
L’esperienza in una classe di IV liceo
dall’ articolo di G.T. Bagni 1990
METODOLOGIA DELLA RICERCA
Determinare una formula per calcolare
l’area di un poligono reticolare
non intrecciato non degenere (calcolata
rispetto all’area di una maglia del reticolo)
sulla base della valutazione del numero i
dei punti reticolari all’interno del poligono
e del numero u dei punti reticolari
appartenenti al suo perimetro.
Il tempo per la risoluzione 30 minuti
Sintesi dei risultati
Solo 4 allievi su 24
(Andrea, Guido, Martino e
Nicoletta) hanno
ricavato
la formula corretta per
determinare l’area di un poligono
reticolare non intrecciato e non
degenere.
Gli altri hanno consegnato il foglio con
alcuni tentativi, ovvero con la
rappresentazione di casi particolari
l’approccio al problema è
stato quasi sempre basato sull’esame
di singoli casi, dai quali, mediante
osservazioni e supposizioni, è stata
ricavata la formula.
Gli allievi
che hanno determinato la
formula richiesta sono stati invitati
a
giustificare le loro affermazioni
e ad indicare i procedimenti
seguiti.
La netta maggioranza degli altri allievi,
ovvero di quelli che non hanno ottenuto
la soluzione, ha ammesso di avere
esaminato molti casi particolari senza
tuttavia giungere ad intuire la formula
generale cercata.
Il colloquio con Andrea
è stato certamente interessante; riteniamo
opportuno riportarne ampi brani:
Andrea:
“Ho pensato che la formula da trovare
fosse di primo grado”.
Intervistatore:
“Perché proprio di primo grado?”
Andrea:
“Mi
è sembrato logico cominciare dal
caso più semplice. e poi se associamo ad
ogni punto un quadratino, ad esempio
quello che si trova in alto a sinistra, si
vede che più crescono i punti più cresce
l’area.
Naturalmente
con
le
opportune
correzioni, perché si vede subito che la
formula A = u + i
non va bene”.
(Andrea disegna i rettangoli evidenziando le
maglie ed i punti reticolari sul perimetro).
Andrea: “Quando ho capito che la formula
A=u+i
non era quella giusta, ho pensato di cercare una
formula un po’ più complicata, ma sempre di
primo grado.
Ho pensato ad una formula del tipo:
A = a x U + b·x I + c
con a, b, c numeri opportuni.
Ho pensato di ricavare a, b, c con un sistema.
Ho preso tre figure semplici”.
(Andrea disegna i rettangoli evidenziando i punti
reticolari sul perimetro ed i punti reticolari interni).
Intervistatore:
“ Perché hai scelto proprio quelle tre figure?”
Andrea:
“Ho
cercato di considerare figure
abbastanza semplici che abbiano però
Il quadratino
anche dei punti interni.
[costituito da una sola maglia del reticolo]
per esempio non ha punti interni e non so
se vada bene.
Sostituendo i numeri dei punti sul perimetro,
dei punti interni e le aree nell’equazione, ho
trovato:
{
8a + b + c = 4
4a + b + c = 2
6a + 2b + c = 4
Ho risolto il sistema ed ho trovato:
a = 1/2 ;
b = 1; c = –1
Dunque la formula è:
Area = 1/2u + i - 1
Noi concludiamo che
“Andrea passa da uno
strumento grafico”
ad uno “strumento algebrico”
{
8a + b + c = 4
4a + b + c = 2
6a + 2b + c = 4
Proposta di laboratorio
•rivisitazione dei geopiani ed
estensione del loro uso dalla
scuola primaria alla scuola
media e superiore
•si parte dal teorema di Pick
come occasione per riflettere
sui punti reticolari
Un procedimento
empirico
Scegliamo un reticolo a maglia rombica e
tale che la sua metà, da usare come unità
di misura, sia un triangolo equilatero.
Area = 1, come dice Pick, tre punti sul
perimetro quindi in questo caso
A=3 –2
Area = 2,
Area = 4 - 2
Ora A = 5 – 2
Se si prosegue aggiungendo triangoli
la formula funziona ancora ……….
Nella figura a sinistra A = 7 – 2 = 5
ed aggiungendo un triangolo come nella
figura a destra A = 8 – 2 = 6
Mentre nella figura in basso
non solo il numero dei punti sul perimetro
non aumenta ma addirittura diminuisce
da 7 a 6, quindi poiché compare un punto
interno questo deve valere il doppio e l’area
diventa A = 6 + ( 2 ) – 2 = 6
A = u + 2i - 2
Verificate che l’area in
questi poligoni degeneri non
corrisponde a quella
calcolabile con Pick
Poligoni Non Validi
Esperienza
Laboratoriale
Cercare l’area di figure
in un reticolo
Ordinate i poligoni
dalla superficie
minore alla maggiore
i = 3; u = 4;
u=9
A=7
A=8
i = 2; u = 6;
i = 1; u = 6
A=8
A=6
i=2; u=6
A=7
A=8
i=1; u=7
Poligoni con Area = 8
i=1; u=8
e il Perimetro ?
i=2 ; u=6
u=10
Dimostrazione
grafica che il
perimetro della
figura gialla è
maggiore del
perimetro della
figura viola
Sapete verbalizzare
la dimostrazione?
Un’altra
Esperienza
Laboratoriale
Laboratorio
Con otto mattonelle
si possono costruire un gran numero di
Pavimenti reticolari
posizionandole l’una affianco all’altra in
modo da ottenere Poligoni Reticolari.
Un esempio può essere la figura
qui a destra.
Se si considera il perimetro
si possono contare dieci
segmenti , 4 ipotenuse
e 6 cateti.
I due poligoni a
destra hanno lo stesso
perimetro e fanno
parte della stessa
famiglia.
Che chiameremo
4I+6C
i due poligoni
a sinistra fanno,
invece parte della
famiglia 10 C perché
hanno il perimetro
formato da 10 cateti della
mattonella unitaria.
Ecco altri
rappresentanti
della Famiglia
6C + 4I
Tutti questi poligoni
hanno
la stessa area
e lo stesso perimetro
Attraverso il laboratorio
rispondete alle seguenti domande
•
Quante famiglie di superficie otto
mattonelle si possono ottenere ?
•
Fase 1 : Disegnate o riproducete
almeno un rappresentante per ogni
famiglia
•
Fase 2 : Ordinate le famiglie da quella
che ha il perimetro più corto a quella
che ha il perimetro più lungo.
•
Giustificate le vostre affermazioni
Si trovano
11
……..
famiglie
Che si possono
suddividere in tre
gruppi
Primo gruppo
con perimetro di dieci segmenti
Non hanno
punti interni
Secondo gruppo
con perimetro di otto segmenti
Hanno tutte un punto interno
Terzo gruppo
con perimetro di sei segmenti
Hanno due punti interni
Fase 1
Si devono ordinare le
famiglie trovate
Senza far calcoli…..
Si consideri il primo dei
tre gruppi
Questa famiglia ha il perimetro di 10 C
Scambiando due C con due I si ha
Che ha il perimetro più grande della
precedente infatti
10 C < 8C +2I
sottraendo 8C ai due membri della
diseguaglianza si ha
2C < 2I
oppure
a
C< I
In modo analogo
Questa famiglia ha il perimetro di 8 C + 2I
Scambiando due C con due I si ha
Che ha il perimetro più grande
della precedente infatti
8C +2I < 6C +4I
Sottraendo 6C e 2I
si ha 2C < 2 I
Proseguendo
Il gruppo
è ordinato
Anche per
il secondo gruppo
L’ultimo gruppo
Hanno due punti interni
Per ordinare le famiglie
Si è cominciato con l’ ordinare
quelle dello stesso gruppo
Con dieci segmenti
1. C C C C C C C C C C
2. C C C C C C C C I I
3. C C C C C C I I I I
4. C C C C I I I I I I
5. C C I I I I I I I I
D1
D2
D3
D4
D5
Con otto segmenti
1. C C C C C C C C
2. C C C C C C I I
3. C C C C I I I I
4. C C I I I I I I
Con sei segmenti
1. C C I I I I
2. I I I I I I
S1
S2
O1
O2
O3
O4
Per ordinare
ulteriormente
le famiglie senza far calcoli
Si è usato
un processo manipolativo:
contare le mattonelle
L’idea è quella
di confrontare quadrati
e di concludere che
tra due quadrati
il quadrato maggiore
ha il lato maggiore
C < I
2C> I
2 C < 2I
Il confronto tra i quadrati
( numero di mattonelle )
permette il confronto tra i
lati anche se ….. (irrazionali)
4C>2I
se si smonta la
figura per ottenere
la seguente
Occorrono due mattonelle verdi in più
quindi
3C>2I
3I>4C
Le mattonelle
verdi in più
conducono a
3I<5C
Le mattonelle
rosse in più
conducono a
4I>5C
Oppure
Per ordinare le famiglie
La scelta di
un processo aritmetico
calcolo basato
su i punti interni
e quelli sul perimetro
1
2
C<I
4
I<2C
18
2I<3C
8
16
4C<3I
32
36
3I<5C
64
50
5C<4I
Per ordinare le famiglie
Dalle procedure precedenti
otteniamo come strumento
la lista seguente:
C<I
2C>I
2C<2I
3C>2I
3C<3I
4C<3I
5C>3I
5C<4I
6C>4I
S1
Ordiniamo
i più piccoli dei tre
gruppi
O1
4I +2C < 8C
Infatti
4I < 6C
Inoltre 8C < 10C
D1
Costruiamo la retta d’ordine
S1
O1
D1
D2
D3
D4
D5
Si possono anche aggiungere D2, D3, D4, D5
Confrontiamo O1
Con S2
8C < 6I
Infatti
dividendo per 2
entrambi i membri si
arriva alla
disequazione
4C<3I
S2
Il confronto
tra S2 e D1
6I < 10 C
discende da
3I < 5C
S1
O1
D1
D2
D3
D4
Quindi inseriamo S2
nella retta
di ordinamento
D5
S1
O1
S2
D1
D2
D3
D4
D5
2I<3C
4I<6C
Quindi
CC I I I I
CCCCCCCC
I I I I I I
CCCCCCCCCC
4C<3I
8C<6I
3I<5C
Confronto tra S2 e O2
O2
Da 6I < 6IC+ 2I
Si ha 4I < 6C
Visto che si sa già che
O3 > O2
Allora il confronto si deve
fare con D1
O3
Per cui 4I + 4C < 10C
Infatti 4I < 6C
Inserendo O2 e O3 nella retta di orientamento
S1
O1
S2
O2
O3
D1
D2
D3
D4
D5
Manca da inserire solo O4
Che si deve confrontare con D1
allora 10 C < 2C + 6I
da cui 8C < 6I
e
4C < 3I
quindi
D1 < O4
O4
Serve un ulteriore controllo
tra O4 e D2
2C+6I < 6C+4I
Conduce a 2I < 4C e così si
può posizionare anche O4
D2
S1
O1
S2
O2
O3
D1
O4
D2
D3
D4
D5
Se i cateti delle mattonelle sono uguali
ad 1, applicando il teorema di
Pitagora l’ipotenusa è uguale a √2;
con la calcolatrice si trova che
√2 = 1,4142……
che arrotondato per eccesso è uguale
a 1,415.
Si trova così il perimetro delle figure
illustrate e in seguito si costruisce
anche qui una retta di orientamento.
7,66
8
8,49
S1
O1
S2
7,66
8
8,49
8,83
9,66
10
S1
O1
7,66
8
S2
O2
O3
D1
8,49 8,83 9,66
10
10,49
11,66
10,83
S1
O1
7,66
8
S2
O2
O3
D1
8,49 8,83 9,66
10
O4
D2
D3
10,66 10,83 11,66
12,49
13,31
S1
O1
7,66
8
S2
O2
O3
D1
8,49 8,83 9,66
10
O4
D2
D3
D4
D5
10,66 10,83 11,66 12,49 13,31
S1
14
7,66
O1
8
S2
8,49
13
O2
8,83
12
O3
9,66
D1
10
In questa retta
la posizione è
legata in modo
proporzionale
alla lunghezza
del perimetro
11
O4
D2
10,66
10,83
10
D3
11,66
9
D4
12,49
8
D5
13,31
7
S1
O1
S2
O2
O3
D1
O4
D2
D3
D4
D5
Conclusione
Si trovano
11 famiglie (con 8 mattonelle)
6 famiglie (con 6 mattonelle)
nel poster 5 più una qui sotto
Grazie
Per osservazioni
e chiarimenti
contattatemi a
[email protected]
Bibliografia
[Bagni, 1990] G.T. Bagni, Il piano di Pick e i numeri primi, in:
“Periodico di Matematiche”, serie VI, 65, n. 3, Luciani, Roma 1990.
[D’Amore, 1993] B. D’Amore, Problemi, Franco Angeli, Milano
1993.
[Duval, 1993] R. Duval, Registres de répresentation sémiotique
et fonctionnement cognitif de la pensée, in: “Annales de Didactique
et de Sciences Cognitives”, v. 5, IREM, Strasbourg 1993.
[Gambarelli, 1989] G. Gambarelli, Su alcuni risultati di G. Stocco,
in:
“Periodico di matematiche”, serie VI, 65, Luciani, Roma 1989.
[Kaldrimidou, 1995] M. Kaldrimidou, Lo status della
visualizzazione presso gli studenti e gli insegnanti di matematica,
in: “La matematica e la sua didattica”, 1995/2, pp. 181 -194, Bologna
1995.
[Pick, 1899] G. Pick, Geometriches zur Zahlenlehre, Zeitschrift
für Natur-Wissenschafen, hrsg. vom Naturhistorisch. Vereine
“Lotos” in Prag, Prag 1899, pp. 311-319. La traduzione dei brani
riportati è di Monica Mariotti.
[Schoenfeld, 1986] A.H. Schoenfeld, On having and using
Geometric
knowledge, in: J. Hiebert (a cura di), “Conceptual and procedural
knowledge: the case of mathematics”, pp. 225-263, Erlbaum,
Hillsdale
1986.
[Stocco, 1986] G. Stocco, Proposta per una Geometria
Reticolare, in:
“Periodico di Matematiche”, serie VI, 62, Luciani, Roma 1986.