GEOMETRIA
Il nome significa…
Misura della terra
Nacque….
In Egitto all’incirca nel 1000 A.C.
Per ripristinare i confini delle terre coltivabili
dopo le inondazioni del Nilo
Infatti …
Ai contadini veniva dato in gestione un
appezzamento di terra che dovevano ripagare al
Faraone devolvendogli una quantità del raccolto
direttamente proporzionale alla grandezza del
terreno affidato.
Per questo era importante, dopo
un’inondazione, saper ricostruire i confini dei
vari appezzamenti di terra.
Per realizzare questo obiettivo
c’erano…
• Gli agrimensori (misuratori di terra), che
tramite l’uso delle corde sapevano tracciare
rette e cerchi.
• Loro sono stati i primi geometri della storia
Costruzione di un angolo retto con
corda e picchetti
CORDA
NILO
punto in cui voglio
disegnare l’angolo retto
punto scelto a caso
Costruzione di un angolo retto con
corda e picchetti
NILO
RADDOPPIAMO LA LUNGHEZZA DELLA CORDA
PROSEGUENDO LA STESSA DIREZIONE DELLA PRIMA
Costruzione di un angolo retto con
corda e picchetti
NILO
PRENDIAMO UNA CORDA PIU’ LUNGA
FISSIAMO UN’ESTREMITA’
E LASCIAMO LIBERA L’ALTRA
Costruzione di un angolo retto con
corda e picchetti
NILO
FACCIAMO LO STESSO USANDO COME
PUNTO FISSO.
SI OTTIENE
Costruzione di un angolo retto con
corda e picchetti
NILO
TIRANDO LA CORDA DAL PUNTO SCELTO ALL’INTERSEZIONE DELLE
DUE TRACCIE SI OTTIENE L’ANGOLO RETTO.
Geometria Euclidea
La geometria che noi studieremo è la Geometria
Euclidea in onore al matematico e scienziato
greco vissuto nel terzo secolo A.C.
Scrisse GLI ELEMENTI
Fondamentale opera di geometria che racchiudeva
tutti i risultati ottenuti fino ad allora
Ma quindi esistono anche Geometrie
non Euclidee?
Sì. La geometria Euclidea è ottima per studiare
oggetti posti in un piano.
Esistono altre geometrie che sono più indicate
per lo studio di oggetti che si muovono su
superfici diverse ad esempio la sfera.
Esempio
Per la geometria Euclidea la via più breve per
congiungere due punti è sempre la linea retta:
Ma questo non è più ovviamente vero per un
aereo che viaggia fra due città.
Purtroppo…
• Le Geometrie non Euclidee non fanno parte
del nostro piano di studi
I concetti Primitivi
Si definisce concetto primitivo (o anche ente
primitivo) un concetto che non si può spiegare
meglio del significato intuitivo che ha.
Gli enti primitivi sono le fondamenta su cui si
basa il nostro “edificio geometrico” e sono:
ENTI PRIMITIVI
Il punto
La retta
Il piano
Da un punto e una retta nasce
… LA SEMIRETTA (ha un inizio e non una fine)
Da due punti e una retta nasce…
Il segmento.
Definizione di segmento: la porzione di retta
compresa fra due punti
Osservazioni
La semiretta ha un inizio e non una fine. Adatta
quindi a rappresentare graficamente l’insieme
dei numeri Naturali:
0 1 2 3 4
L’insieme dei numeri interi invece non ha un
inizio né una fine. Per rappresentarlo
graficamente si usa una retta
-3 -2 -1
0 +1 +2 +3 +4
Da due semirette aventi la stessa
origine …
Definizione: L’ angolo è la porzione di piano
compresa fra due semirette aventi la stessa origine
Angoli “famosi”
Se le due semirette sono sovrapposte si ottiene
l’angolo giro (che coincide con tutto il piano)
Angoli “famosi”
Se le due semirette sono opposte (cioè giacciono sulla
stessa retta) si ottiene l’angolo piatto
Angoli “famosi”
L’angolo retto (metà dell’angolo piatto)
Angoli acuti e ottusi
Un angolo contenuto in (minore di) un angolo
retto si dice
angolo acuto
Un angolo contenente (maggiore del) l’angolo
retto si dice
angolo ottuso
Unità di misura dell’angolo
L’unità di misura dell’angolo è il grado.
Si definisce un grado (simbolo °) la 360esima
parte dell’angolo giro
Di conseguenza:
- un angolo giro misura 360°
- un angolo piatto misura 180°
- un angolo retto misura 90°
L’angolo si misura con il goniometro
Rette parallele, incidenti,
perpendicolari
Definizione: due rette si dicono parallele se non
si intersecano mai
Definizione: due rette non parallele si dicono
Incidenti
Definizione: due rette incidenti si dicono
perpendicolari se formano 4 angoli retti
Angoli opposti al vertice
Se abbiamo due rette incidenti
gli angoli
si dicono opposti al vertice.
Così come sono opposti al vertice gli angoli
Teorema: angoli opposti al vertice
sono uguali
Ipotesi: a e b opposti al vertice
Tesi: a=b
a
g
b
Sia g l’angolo in figura.
Si osserva che a e g insieme formano un angolo piatto. Ma
anche b e g formano un angolo piatto, quindi risulta che
g+a=180° e anche g+b=180°. Ne segue che a=b
Il punto medio
Definizione: si definisce punto medio di un
segmento AB, il punto M tale che AM=MB
A
B
M
Problemi con il punto medio
Si consideri il segmento AB.
Si prolunghi dalla parte di A di un segmento CA
e dalla parte di B di un segmento BD tale che
BD=CA.
Si dimostri che il punto medio M del segmento
AB è anche il punto medio di CD.
C
A
M
B
D
Formuliamo ipotesi (i dati) e tesi (ciò
che vogliamo dimostrare)
Hp: AM=MB (perché M è punto medio di AB)
CA=BD
Th: CM=MD (perché vogliamo dimostrare che M
è punto medio anche di CD)
Risolvo:
CM=CA+AM=BD+MB=MD
Quindi CM=MD.
c.v.d.
Figure aperte chiuse intrecciate
Figura chiusa
Figura aperta
Figura chiusa
Figura aperta
non intrecciata
non intrecciata
intrecciata
intrecciata
DEFINIZIONE DI POLIGONO: un poligono è una figura
chiusa non intrecciata il cui bordo è formato solo da
segmenti detti lati
I triangoli
Definizione: Il triangolo è un poligono di 3 lati
Classificazione dei triangoli
(secondo i lati)
Triangolo equilatero (3 lati e 3 angoli uguali)
Triangolo isoscele (2 lati e 2 angoli uguali)
Triangolo scaleno (angoli e lati tutti diversi)
Teorema
La somma dei gradi degli angoli di un triangolo è
sempre 180.
PROBLEMI
- Un triangolo scaleno ha un angolo di 55° ed un
altro di 45°. Determinare il terzo angolo
- Un triangolo isoscele ha l’angolo al vertice di 50°.
Determinare l’angolo alla base
- Determina gli angoli di un triangolo equilatero
Altezza di un triangolo
Definizione: l’altezza relativa ad un lato è il
segmento perpendicolare al lato stesso, che
congiunge il vertice opposto con il lato (od un
suo prolungamento)
Osservazione: ogni lato ha la “sua altezza”
pertanto ogni triangolo ha 3 altezze
C
Esempio
K
L
A H
B
L’altezza relativa al lato AB è il segmento CH
L’altezza relativa al lato BC è il segmento AK
L’altezza relativa al lato CA è il segmento BL
Osservazione
C
K
L
A H
B
Si può verificare che il prodotto dell’altezza
relativa al lato moltiplicato per il lato stesso non
cambia, cambiando il lato. Quindi:
AB  CH = BC  KA = CA BL
Altezza di un triangolo (altri esempi)
C
A
B
Qual è l’altezza relativa al lato AB?
Nel caso di un triangolo rettangolo, l’altezza
relativa ad un lato “accanto” all’angolo retto
coincide con l’altro lato “accanto” all’angolo
retto. Quindi l’altezza relativa ad AB coincide con
CA
C
Altezza di un triangolo (altri esempi)
H
A
B
Qual è l’altezza relativa al lato AB?
Nel caso di un triangolo ottusangolo, l’altezza
relativa ad un lato “accanto” all’angolo ottuso
“cade” fuori dalla base finendo sul
prolungamento di AB.
I PARALLELOGRAMMI
Definizione: i parallelogrammi sono poligoni di 4
lati (quadrilateri) con i lati opposti paralleli
Caratteristiche:
- i lati opposti sono uguali
- Gli angoli opposti sono uguali
- Le diagonali si tagliano a metà
Parallelogrammi con tutti i lati uguali
Definizione: un parallelogramma con 4 lati
uguali si dice rombo.
Più conosciuto sotto questa forma
Parallelogrammi con tutti gli angoli
uguali
Definizione: un parallelogramma con 4 angoli
uguali si dice rettangolo.
Parallelogrammi con tutti gli angoli
uguali e tutti i lati uguali
Definizione: un parallelogramma con 4 angoli
uguali e 4 lati uguali si dice quadrato.
Il trapezio
Definizione: un quadrilatero con una sola coppia
di lati opposti paralleli si dice trapezio.
Dei due lati paralleli il maggiore si chiama base
maggiore e il minore si chiama base minore
Esistono tre tipi di trapezio: isoscele, rettangolo e
scaleno
Trapezio isoscele
Base maggiore
altezza
base minore
Questo trapezio si dice isoscele perché ha i 2 lati
non paralleli uguali
Trapezio rettangolo
Questo trapezio si chiama rettangolo perché ha
2 angoli retti
Trapezio scaleno
Tutti i lati e tutti gli angoli sono differenti fra loro
Il calcolo delle aree
Il rettangolo.
Area del rettangolo: lato maggiore x lato minore
(o come spesso si dice base x altezza)
Il significato di questa formula è evidente. Tramite questa
determineremo la formula delle aree degli altri poligoni
Il calcolo delle aree
Il quadrato.
Area del quadrato = lato x lato (cioè lato²)
Il calcolo delle aree
Il triangolo.
Osservazione: una diagonale taglia un
rettangolo in due parti uguali (quindi della
stessa area)
La parte blu è uguale alla parte bianca
E
A
Il calcolo delle aree.
Il triangolo
D
C
H
B
Nel triangolo in figura consideriamo l’altezza relativa al
lato AB e chiamiamola CH
Disegniamo un rettangolo ABDE che ha la stessa base
del triangolo e la stessa altezza
E
A
Il calcolo delle aree.
Il triangolo
D
C
H
B
Il lato CA è diagonale del rettangolo CEAH e lo divide a
metà:
metà sta dentro il triangolo.
Metà sta fuori.
Lo stesso vale per il lato BC e il rettangolo HBDC.
Area del triangolo
E
C
D
A
H
B
Quindi il rettangolo è diviso in due parti di uguale area.
Una parte è il triangolo
L’altra parte è quella che sta fuori del triangolo.
Quindi l’area del triangolo è uguale a metà dell’area del
rettangolo.
Area del triangolo
E
C
D
A
H
B
Ma l’area del rettangolo è ABxEA, quindi,
dato che DA=CH, si può scrivere come ABxCH.
Essendo l’area del triangolo la metà di quella del
rettangolo risulta che l’area del triangolo ABC è
(ABxCH):2
Il famoso “base per altezza diviso 2”
L’area del rombo
F
G C
D
H
B
A
E
DB e AC sono le diagonali del rombo
Costruiamo il rettangolo EFGH con base e
altezza uguali alle diagonali del rombo
L’area del rombo
F
G C
D
B
E
A
Le diagonali del rombo dividono il rettangolo in 4
H
parti uguali
A loro volta i lati del rombo dividono in due parti
uguali ciascuna di queste parti
L’area del rombo
F
G C
D
H
B
A
E
Di conseguenza l’area del rombo è metà di quella del
rettangolo
Essendo l’area del rettangolo HExEF o anche DBxAC,
L’area del rombo risulta DBxAC:2
Cioè diagonale minore x diagonale maggiore diviso 2
L’area del trapezio
Prendiamo per esempio un trapezio rettangolo
(ma la formula varrà per ogni trapezio)
D
C
A
H
AB è la base maggiore (simbolo B)
DC è la base minore (simbolo b)
DA (e anche CH) è l’altezza (simbolo h)
B
L’area del trapezio
D
C
A
H
B
Si osserva che il trapezio è formato dal rettangolo AHCD
più il triangolo HBC. Quindi:
Area trapezio = area rettangolo AHCD + area triangolo HBC
L’area del trapezio
C
D
h
A
b
H
B- b B
Area del rettangolo = b h
( B  b)  h
Area del triangolo =
2
Area trapezio=
( B  b)  h 2b  h + Bh  bh Bh + bh ( B + b)  h
bh +
=
=
=
2
2
2
2
La geometria e il calcolo letterale
La geometria è una buona applicazione del
calcolo letterale. Ad esempio:
Il perimetro di un triangolo di lati 2m, 3m e 5m è
Perimetro=2m+3m+5m=10m
Il perimetro di un quadrato di lato 6m è
Perimetro=4x6m=24m
L’area del rettangolo di lati 3m e 5m è
Area =3m x 5m = 15m²