Il laboratorio di matematica:
luogo di intuizione e rigore
Andrea Maffia
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia
Il laboratorio di matematica è il luogo in cui strumenti,
sapere e interazioni sociali si incontrano fra loro
(Paola, 2003)
Strumenti
Sapere
Interazioni
INDIVIDUO
GRUPPO
Interazioni
Ognuno ha un proprio stile di
apprendimento:
INDIVIDUO
preferenza rispetto alle modalità
di accesso all’informazione e/o
alle modalità di elaborazione
dell’informazione oggetto
dell’apprendimento stesso.
Ognuno ha un proprio stile di
apprendimento:
INDIVIDUO
CONCRETE
preferenzaESPERIENZE
rispetto
alle modalità
o
di accesso
all’informazione
e/o
CONCETTUALIZZAZIONE
ASTRATTA
alle modalità
di elaborazione
RIFLESSIONI OSSERVATIVE
o
dell’informazione
oggetto
SPERIMENTAZIONE ATTIVA
dell’apprendimento stesso.
SENSI COIVOLTI:
PERCEZIONE VISIVA, UDITIVA, TATTILE (CINESTETICA)
La progettazione di una attività di classe che sia “adatta” a tutti deve
permettere diverse modalità di accesso alle informazioni e deve
prevedere vari approcci risolutivi.
Realizzare una consegna che soddisfi tutti i requisiti
non è banale
Se si vogliono implementare stimoli per la
congettura e l’argomentazione diventa ancora più
difficile
Stylianides e colleghi (2013) notano come le
difficoltà maggiormente riscontrate dagli
insegnanti relativamente alle attività di
congettura e argomentazione stiano nel
reperimento di consegne di livello adatto e nella
gestione dell’attività degli studenti
Gueudet e Trouche (2009)
RISORSE
DOCUMENTO
SCHEMI
D’USO
SCHEMI
D’USO
EVOLUZIONE
EVOLUZIONE
RISORSE
GENESI DOCUMENTARIA
Gueudet e Trouche (2009)
Un esempio
COMPONENTE
VISIVA E
COMPONENTE
VERBALE
RISORSA
ESPLORAZIONE
E INTUIZIONE
ARGOMENTAZIONE
CHE RICHIEDE
CONOSCENZE
TEORICHE
DIVERSE
STRATEGIE
RISOLUTIVE PER
IL PROBLEMA
COMPONENTE INTUITIVA - Andrà e Santi (2013)
L’intuizione può essere vista come il lato dell’attività
intellettuale-emozionale più legato ai sensi, quando
l’attività è mediata soprattutto attraverso oggetti,
artefatti, gesti, movimenti corporei, uso deittico e
generativo del linguaggio naturale.
Le intuizioni sono una relazione fra il soggetto e un
contenuto di conoscenza che permette sensibilità nel
notare, pensare, diventare prossimi e sincroni con la
generalità.
L’intuizione può essere il “colpo di
Le intuizioni sono un modo di essere e divenire della
genio” di un singolo, ma è
conoscenza nel suo moto verso
la generalità della
altrettanto vero che può essere
conoscenza matematica, con
la sensazione di essere
condivisa in modo comunitario,
vicini a ri-creare ciò che culturalmente
ci trascende.
anche in termini affettivi
Primo tentativo:
-
Studenti di 14-15 anni
SCHEMI
Tutti ragazzi con difficoltà
D’USO
Contesto: centro estivo
Scopo: provare esperienze matematiche
positive
- Attività a gruppi di 3 studenti
- Consegna: smascherare l’illusione
- Strumenti: righello e squadre
Risultati:
- Attività coinvolgente
- Ciascuno studente è stato coinvolto nella soluzione
- L’attività ha generato così tanto interesse che poi i ragazzi hanno
voluto cercare nuove illusioni ottiche
- Argomentazione carente
- L’uso degli strumenti geometrici non è sempre stato appropriato
- Le giustificazioni fornite per le strategie risolutive non erano
sempre corrette
- Non vi è stato un momento di formalizzazione degli aspetti
matematici coinvolti nell’attività.
Secondo gli operatori, la mancanza di un momento di sintesi e
istituzionalizzazione dei contenuti concettuali emersi
sarebbe risultata in una breve permanenza in memoria
delle conoscenze acquisite in quel contesto
Dall’intuizione al rigore…
L’attività che quotidianamente viene svolta in
classe è anche finalizzata alla formalizzazione
delle conoscenze degli studenti
Ogni attività esplorativa richiede un successivo
momento di istituzionalizzazione
Al fine di favorire questo processo si èGENESI
deciso di
modificare l’originale proposta diDOCUMENTARIA
PQM
Contesto: Due classi (I e II) della sec. di I grado
Due lezioni, attività in gruppi di 3-4 studenti
Organizzazione:
- Stimolo iniziale: un matematico in classe
- Una illusione comune a tutti i gruppi
- Discussione orchestrata dall’insegnante
- Una illusione diversa per ogni gruppo
- Discussione orchestrata dall’insegnante
Modifiche della risorsa
Strumenti forniti:
-Spago
- Qualche compasso
- Fogli di carta bianchi
-Squadre e riga
(non graduati)
Risultati: primo problema
Due sottoproblemi
1) Misurare i segmenti senza far ricorso a una
scala graduata già pronta
2) Descrivere il processo di misura usando le
parole
Strumento
Descrizione della procedura (risposta alla seconda consegna)
Compasso
- Per misurarla abbiamo aperto il compasso per la larghezza di uno dei due
segmenti e poi lo abbiamo confrontato con l’altro segmento.
- Abbiamo aperto il compasso della lunghezza di A e, mantenendo la stessa
apertura, l’abbiamo puntato sul B ed è risultato uguale.
- Abbiamo usato il compasso aprendolo dai punti C e D della figura A.
- Abbiamo aperto il compasso del segmento A e abbiamo notato che la
larghezza dei 2 segmenti è uguale.
- Col compasso abbiamo puntato su un vertice del primo segmento e
l’abbiamo aperto fino all’altro vertice. Con la stessa ampiezza abbiamo
misurato il secondo segmento. La precisione
Spago
- Mettendo il filo su una linea poi tenendo
il punto,
L: Apro le
dita el’abbiamo
riporto messo
sull’altra linea e poi combaciavano.
Squadra
Altro
P: Questo è proprio poco preciso!
- Abbiamo visto che i segmenti erano uguali facendo un segno con la
Ins: Quale metodo è più preciso?
matita sulla squadra.
- Per usare la squadra l’abbiamo posizionato
e abbiamo
puntato
e i
A: noi abbiamo
usato
tuttiil dito
e tre
confrontato l’altra linea e abbiamometodi,
scopertola
checorda,
erano uguali.
il compasso e la
- Abbiamo usato una spanna dellasquadra.
mano e abbiamo
vistopiù
che preciso
le due misure
Il metodo
è la
sono alla pari.
squadra o il compasso, perché con
- Abbiamo misurato con una cordicella, un compasso e una squadra e tutti
la corda puoi muovere le dita,
anno usato uno strumento diverso.
invece il compasso sta più fermo.
Risultati: secondo problema
Discussione di classe a proposito delle possibili
modalità per verificare il parallelismo fra due rette.
L’intervento dell’insegnante spinge la discussione verso un maggiore
rigore del linguaggio:
Ins: ci sono temi comuni tra le varie schede?
So: La drittezza delle righe!
Ins: In termini geometrici?
D: Diciamo linee.
L: Segmenti paralleli o curvi
Si: in quasi tutte le schede c’erano delle linee curve che
invece erano dritte.
Ins: In termini geometrici?
Si: Rette!
Ins: Rette. Come facciamo a verificare che una linea sia retta?
D: Ci mettiamo sopra una riga o una squadra.
C: Poi bisogna dimostrare che quelle linee rette sono parallele.
E: Noi abbiamo usato il compasso per misurare la distanza.
C mette in evidenza che il
‘mettere sopra una riga o una
squadra’ suggerito da D non è
sufficiente a “dimostrare”.
Lo studente E suggerisce che
la misura della distanza può
essere sufficiente per questa
‘dimostrazione’
Intuizione comunitaria?
Si potrebbe
pensare la possibilità di intuizione del singolo
“D. ha avuto l’idea mentre
studente
“bruciata” nel momento in cui un
la S. e la C. viene
hanno spiegato
compagno
il perché.” smaschera l’illusione ottica
Si è notato che invece
uno del
studente
determina
“All’inizioquando
alcuni membri
gruppo avevano
dove sta l’illusione
allora
fornisce
ai del
compagni
sbagliato,
ma poi
altri membri
gruppo si degli
indizi
sono accorti dell’illusione ottica e l’hanno
“ Ci del
siamo
messi a guardare e io e A.
spiegato al resto
gruppo.”
[…] Dopo
C. ha ha
presouna
la riga
Ciascuno di loro quando abbiamo
se necapito
rende
conto
e invece
l’E. in
ha un
tagliato
le striscioline
sensazione
“Aha!”
che
risulta
sentimento
di e
“L’abbiamo
scopertodiinsieme,
ognuno
conefficacia
le sue idee personale
ma S. ci ha detto la dopo anche io e A. abbiamo usato la
squadra per verificare e poi se ti pieghi
soluzione.”
il disegno
con la
testa piegata
Tale sentimento positivo è guardando
testimoniato
dalla
richiesta
di li
vedi dritti e questo lo ha trovato l’E.”
ripetere l’attività con nuove illusioni ottiche
Conclusioni (1)
• Si è mostrata una genesi documentaria che, a partire
da una risorsa reperita tramite il PQM, ha portato a
graduali modifiche (sia della risorsa sia dei suoi schemi
d’uso) dovute al cambiamento del contesto
• In particolare, a partire dall’assunto che l’intuizione è
una attività sociale (Andrà & Santi, 2013) si è deciso di
far lavorare gli studenti in piccoli gruppi
• Inoltre la necessità di richiedere agli allievi un
linguaggio che facesse uso di termini opportuni e la
volontà di spingerli ad argomentare le procedure
utilizzate hanno portato a modificare le consegne
originali
Conclusioni (2)
• L’attività è stata divisa in due momenti di lavoro, in
piccoli gruppi, alternati con discussioni collettive di
classe.
• L’andamento della discussione di classe e le risposte
degli studenti forniscono buoni elementi per inferire
che l’attività ha avuto un buon impatto sia dal punto di
vista affettivo sia dell’applicazione delle conoscenze
per descrivere e giustificare una procedura.
• In particolare ciascun gruppo di studenti è stato in
grado di lavorare fino all’ultima consegna, anche quelli
composti dagli studenti con maggiori difficoltà.
GRAZIE DELL’ATTENZIONE
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