11
F. Gay,
Linee e
superfici
: le forme e le forze
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sommario





Classificazione proiettiva delle quadriche
Proprietà meccaniche delle curve e delle superficie
Rassegna morfologica per generazione meccanica delle curve
Categorizzazione delle curve
Esercizio sulle superfici di Lamé
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QUADRICHE
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3. Trasformazioni omografiche della sfera
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PUNTO ELLITTICO
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ellissonide
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paraboloidi
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4. Trasformazione omografica della superficie conica rotonda
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PUNTO
PARABOLICO
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P.L. Nervi: Aviorimesse a Orvieto (1935)
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F. Dischinger:
Copertura del mercato di Lipsia (1929
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Mole antonelliana
a Torino
(1863-80)
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5. iperboloidi
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PUNTO
IPERBOLICO
DIREZIONE ASINTOTICA
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Paraboloide iperbolico:
sezioni parabolociche
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Paraboloide iperbolico:
sezioni iperboliche
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Paraboloide iperbolico
come superficie rigata
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Iperboloide a una falda
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V. Choukhov:
Torre radio a Mosca
(1922),...........
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CURVE e SUPERFICIE 3
Cubiche, quartiche e alcune trascendenti;
superfici di rivoluzione a sezione meridiana
variabile
Curve e superficie d’ordine superiore una
breve panomarica morfologica e un’applicazione in architettura

Semplice esempio introduttivo: ordine della curva e senso palastico della variabilità
breve panoramica morfologica






dalla parabola alle curve di efficiente resistenza
cicloidi e prime curve cinematiche
Concoidali e chiasmiche
Quartiche e toriche
Trascendenti tipiche: spirali
Curve elastiche e parametriche
Curve di Bezier, B-Spline e NURBS
Una generalizzazione delle coniche: curve e superficie di Lamè



Descrizione delle superfici architettoniche
Esercizio in aula
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Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura
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Grado dell’equazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna
morfologica
Coniche
(Quadratiche)
Cubiche
ellittiche
(Parabole divergenti)
e cubiche razionali
(duplicatrice)
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LE FORME E LE FORZE:
Senso plastico ed efficienza meccanica delle curve:
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Serie
morfologiche
parabola
catenaria
Catenaria
d’ugual
resistenza
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Eugene Freyssinet
Hangar di Orly (1923)
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sinusoide
Cicloide
di Sturm
lintearia
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kappa
Curva di
Schoute
a forma di
punta di matita
qui ottenuta come inversione
biassiale dell’iperbole
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Curva di
Agnesi
Grafico della funzione
Inversa del coseno
iperbolico
Cubica di Lamé
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Curva di
Gauss
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strofoide
Folium di
Cartesio
Trisettrice di
MacLaurin
Qui costruita come intersezione di
due rette che ruotano
costantemente una alla velocità
tripla dell’altra
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Cubica circolare
razionale
cissoide
Cissoide come
curva mediana
della retta del
circolo
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Cubiche di
Chasles
Iperboli
cubiche
(P è un polinmio di terzo
grado)
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Parabole
(cubiche)
divergenti
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Quartica
razionale
piriforme
.
Curva a
“lacrima”
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Lemniscata
di Bermouilli
Lemniscata
di Gerono
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Quartiche bicircolari
razionali
Lumaca di
Pascal
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Cardioide
Qui costruita come pericicloide
.
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Quartiche di
Bermuoilli
Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici
Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad
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Spiriche di Perseo
Fissati A e B
variando C.
1) Se 0 < B < A
2) Se B < 0 < A
Spiriche
e
toriche
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Ovali di Cassini
Ovali e Lemniscate
di Booth
e Ippopede di
Proclo
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Costruzioni cinematiche (come curve
di Watt) delle curve di Booth come
luoghi del centro di una conica che
ruota senza scivolare su una a lei
uguale e con i vertici coincidenti
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Quartiche
di Plücker
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Trascendenti tipiche: le spirali
Spirale
logaritmica
Caso di fibonacci
Cfr. Modulor
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Spirale
d’Archimede
E la sua inversa:
Spirale
iperbolica
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Involuta del
circolo


Le involute di una data curva piana C sono
le curve (inviluppo) tracciate dall’estremo
di un filo teso lungo C e srotolato da
C;detto altrimenti sono le tracce nel piano
di un punto d’una retta ruotante senza
scivolare su C (sono dunque dei casi
particolari di cicloidi).
Una qualunque curva della quale un’altra
curva C è l’evoluta si dice Evolvente di C
(quì il circolo è l’Evolvente).
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Evolute dell’ellisse (curve di Lamè)
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Curve elastiche e parametriche

Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla distanza da una curva detta direttrice
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curve (di approssimazione) di Bézier


curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti
di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne
il primo e dell’ultimo).
L’ordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei
punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con
un polinomio è di ottavo grado).
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
Come per Euclide la retta è quella curva che coincide
con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se
tutti i “punti di controllo” giacciono sulla curva) così
nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta
se e solo se i punti di controllo sono collineari.

Una curva quadratica di Bézier si costruisce
assegnando i punti intermedi Q0 e Q1



tragitto di B(t) da P0 a P1.
al variare di t da 0 a 1 il punto Q0 varia da P0 to P1 e
descrive una curva lineare di Bézier.
Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva
lineare di Bézier.
Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva
quadratica di Bézier.
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

La curva è tangente ai due capi è tangente al primo e all’ultimo
tratto della spezzata di controllo
È tutta all’interno di un poligono convesso che racchiude la
spezzata
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Curve di approssimazione (B-spline)


Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve
formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del
numero p. Se vi sono n vertici di controllo l’ordine della curva può
variare tra n (in questo caso sarebbe una curva di Bézier) e 2 (in
questo caso degenera nella spezzata di controllo).
la curva passa per il primo e l’ultimo vertice evendone per
tangenti rispettivamente il primo e l’ultimo tratto della spezzata di
controllo.
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Non Uniform Rational B-spline




sono B-spline controllate da punti e da pesi relativi ad ogni punto di
controllo (le B-spline sono casi di NURBS con i pesi dei punti controllo
sono tutti eguali).
Le NURBS (come le Spline) sono composta da più archi ma la continuità tra
questi è regolabile da un numero intero:
se = 0 gli archi sono semplicemente contigui
se = 1 gli archi sono contigui e ammettono la medesima tangente nel punto
di saldatura
se = 2 gli archi sono contigui, ammettono la medesima tangente e hanno la
medesima curvatura nel punto di saldatura.
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





I parametri che modellano una NURBS sono dunque:
- il numero dei poli o punti di controllo e il loro peso;
- il numero degli archi o spans che compongono la curva;
- la continuità tra gli archi nei punti di saldatura (knots);
- il grado (ordine) della curva.
Attraverso le NURBS si descrivono le coniche esattamente e non
per approssimazione, come con le altre spline.
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La categorizzazione comune delle curve
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Curve di Lamè
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Curve e Superfici di Lamè
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