Vettori dello spazio bidimensionale (R 2)
Dato un sistema di
riferimento sul piano di
due assi cartesiani
ortogonali
3
y
2
1
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
1
2
3
x
Vettori dello spazio bidimensionale (R 2)
Dato un sistema di
riferimento sul piano di
due assi cartesiani
ortogonali
3
y
2
1
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
1
2
3
x
Ad ogni segmento orientato si
può associare una coppia
ordinata di numeri reali (x;y),
data dalle coordinate
dell’estremo del segmento
orientato
Vettori dello spazio bidimensionale (R 2)
v = (3;2)
3
P (3; 2)
2
v
1
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
-2
Ogni vettore nel piano si può quindi
-3
coppia ordinata di numeri reali
rappresentare come
(rappresentazione algebrica o
analitica)
Vettori dello spazio bidimensionale (R 2)
v = (3;2)
3
u =(-1;-3)
P (3; 2)
2
v
1
j
-3
-2
-1
u
0
-1
-2
-3
Q (-1; -3)
i
1
2
3
Ogni vettore nel piano si può quindi
rappresentare come
coppia ordinata di numeri reali
(rappresentazione algebrica o
analitica)
Vettori dello spazio bidimensionale (R 2)
w = (2;3)
r =(1;-3)
3
i = (1;0)
2
T (2; 3)
w
1
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
i
1
r
S (1; -3)
2
3
Vettori dello spazio bidimensionale (R 2)
v = (3;2)
u =(1;-3)
3
i = (1;0)
2
j = (0;1)
-3
0 = (0;0)
P (3; 2)
v
1
j
-2
-1
0
-1
-2
-3
i
1
2
u
Q (1; -3)
3
Vettori dello spazio tridimensionale (R 3)
I vettori
Ogni vettore
nello spazio
tridimensionale si può
rappresentare come
terna ordinata
di numeri reali
(rappresentazione
algebrica/analitica)
-3
-2
3
x
-1
v = (3;4;4)
0 = (0;0;0)
z
3
2
V
1
k
i
-1
-2
-3
i = (1;0;0)
j = (0;1:0)
j
1
k = (0;0:1)
2
3
y
Vettori dello spazio tridimensionale (R 3)
v = (3;4;4)
z
I vettori di modulo unitario
(lunghezza = 1)
si dicono versori
0 = (0;0;0)
3
i = (1;0;0)
2
j = (0;1:0)
V
1
k
-3
-2
-1
i
-1
3
x
-2
-3
0
j 1
k = (0;0:1)
2
3
y
I versori lungo i tre assi
coordinati
i=(1;0;0), j= (0;1;0),
k= (0;0;1)
Sono i versori principali
Somma e differenza di vettori
In rappresentazione geometrica la somma di due
vettori degli spazi R2 e R3 è data dalla
“regola del parallelogramma”:
u
u + v
v
Somma e differenza di vettori
In rappresentazione geometrica la differenza di due
vettori si ottiene come indicato in figura:
(“La differenza di due vettori è uguale alla somma del
primo con l’opposto del secondo” )
u - v
(I due segmenti orientati gialli
sono equipollenti e quindi
rappresentano lo stesso vettore
differenza u – v)
u
u - v
v
Somma e differenza di vettori
In rappresentazione algebrica la somma (o la differenza)
di due vettori (di coordinate date) è un terzo vettore che
ha come coordinate la somma (o la differenza) delle
coordinate corrispondenti.
Es,:
dati: u = (1; -3; 2);
u + v = (3; -3; 7) ;
v = (2; 0; 5)
u - v = (-1; -3; -3)
Scomposizione lungo gli assi cartesiani
Si tratta di un caso particolare di scomposizione, lungo le
direzioni ortogonali degli assi cartesiani
y
vy ĵ
v
vxî

v  v x iˆ  v y ˆj
x
Vettori nello spazio
z

v  v x iˆ  v y ˆj  v z kˆ
^
vzk
v

2
2
2
v  v x  v y  vz
θ
vy ĵ
vxî
x
φ
y
La direzione di v risulta
definita dagli angoli θ e φ
vz
θ  arccos 
v
  arctan
vy
vx
Prodotto scalare
Dati due vettori a e b, il prodotto scalare tra a e b è una
grandezza scalare definita nel modo seguente:
 
a  b  a b cosα
b
Il prodotto scalare tra a e b è
un numero che è pari al
prodotto del modulo di a per
la componente di b lungo la
direzione di a
α
a
bcosα
Ovviamente il prodotto
scalare a · b è anche pari al
prodotto del modulo di b per
la componente di a lungo la
direzione di b
Prodotto scalare in componenti cartesiane
Tenendo conto del fatto che i versori degli assi cartesiani sono a
due a due perpendicolari fra loro, si ha che:
iˆ  iˆ  1 iˆ  ˆj  0 iˆ  kˆ  0
ˆj  iˆ  0 ˆj  ˆj  1 ˆj  kˆ  0
kˆ  iˆ  0 kˆ  ˆj  0 kˆ  kˆ  1
Di conseguenza, esprimendo i vettori in termini delle loro
componenti cartesiane, si ha:

a  a x iˆ  a y ˆj  a z kˆ

b  bx iˆ  b y ˆj  bz kˆ
Caso particolare: b = a
 
a  b  a x bx  a y b y  a z bz
 
2
2
2
2
a  a  a x  a y  az  a
Prodotto vettoriale
Dati due vettori a e b, il prodotto vettoriale c = a × b è un vettore
che gode delle proprietà seguenti:
• il modulo di c è dato da absinθ, dove θ è l’angolo minore di 180°
compreso tra a e b
• la direzione di c è perpendicolare al piano individuato da a e b
• il verso di c è calcolato applicando la regola della mano destra
c
b
θ
a
•
La
regola
della
mano
destra
Prima formulazione
– Si dispone il pollice lungo il primo vettore
– Si dispone l’indice lungo il secondo vettore
– Il verso del medio individua il verso del
prodotto vettoriale
b
a×b
a
• Seconda formulazione
– Si chiude a pugno la mano destra
mantenendo sollevato il pollice
– Le dita chiuse a pugno devono indicare il
verso in cui il primo vettore deve ruotare
per sovrapporsi al secondo in modo che
l’angolo θ di rotazione sia minore di 180°
– Il verso del pollice individua il verso del
prodotto vettoriale
a×b
b
a
•
Proprietà
del
prodotto
vettoriale
Il modulo del prodotto vettoriale è
pari all’area del parallelogramma
individuato dai due vettori
• Il prodotto vettoriale è nullo se i due
vettori sono paralleli (θ=0)
• Il prodotto vettoriale gode della
proprietà anticommutativa:
 
 
b  a  a  b
b
θ
a
Prodotto vettoriale in componenti cartesiane
Tenendo conto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due
perpendicolari fra loro, ed applicando la regola della mano destra, si
hanno le seguenti relazioni:
iˆ  iˆ  0
ˆj  iˆ   kˆ
kˆ  iˆ  ˆj
iˆ  ˆj  kˆ iˆ  kˆ   ˆj
ˆj  ˆj  0
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ  ˆj  iˆ kˆ  kˆ  0
Pertanto, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti
cartesiane, si ha che:
  ˆ
a  b  i (a y bz  a z b y )  ˆj(a z bx  a x bz )  kˆ(a x b y  a y bx )
iˆ
 
a  b  ax
bx
ˆj
ay
by
kˆ
az
bz
Posizione di un punto nello spazio
Una volta fissato un sistema di riferimento nello spazio, la posizione di
un qualsiasi punto P dello spazio è individuata tramite il vettore
posizione, ossia il vettore r che congiunge l’origine con il punto P
y
P
yĵ
r
O
xî
x
In coordinate cartesiane, se P(x,y) il vettore posizione è dato da:

r  xiˆ  yˆj
Posizione in coordinate polari
La posizione di P è sempre data dal vettore posizione r
Il vettore posizione r è ora espresso in termini dei versori ûr e ûφ
ûφ
P
r
ûr

r  ruˆ r
φ
O
asse polare
ûr = versore nella direzione radiale
ûφ = versore perpendicolare a ûr nella direzione delle φ crescenti
I versori ûr e ûφ dipendono dalla posizione del punto P !!!
Vettori dello spazio n-dimensionale (R n)
Oltre le tre dimensioni non è possibile nessuna
rappresentazione geometrica dei vettori, ma solo
la rappresentazione algebrica ( o analitica):
Un vettore è rappresentato da una
successione ordinata di n numeri (n-pla ordinata)
v = (x1; x2; x3; ….; xn)
n)
Vettori
dello
spazio
n-dimensionale
(R
I vettori
Esempi:
u = (1; -3; 2.5; 2) è un vettore dello spazio R
v = (2; 0; 5; -2; 8) è un vettore dello spazio R
4
5
w = (1; -3; 2.5; 2; 0; 1; -5)) è un vettore dello spazio R
7
n)
Vettori
dello
spazio
n-dimensionale
(R
I vettori
La somma di due vettori nello spazio R n è un vettore
che ha per coordinate la somma delle coordinate
corrispondenti (analogamente per la differenza).
Se: u = (x1; x2; x3; …xn)
e
v = (y1; y2; y3; …yn)
Allora: u + v = (x1+y1; x2+y2; x3+y3; …; xn+yn)
Es,:
u = (1; -3; 2.5; 2);
u + v = (3; -3; 7.5; 0)
v = (2; 0; 5; -2)
Modulo di un vettore
Dato il vettore v, il suo modulo v è la lunghezza, in valore
assoluto, del segmento orientato che rappresenta il vettore
(fino a tre dimensioni - spazio R 3)
Se un vettore è dato mediante le sue coordinate:
v = (x; y; z)  v=
x2  y 2  z 2
L’espressione sotto radice (x2 + y2 + z2) è anche detta norma
del vettore v. Come si vedrà più avanti, essa è uguale al
prodotto scalare del vettore per se stesso, v v = v2
E, in generale, per un vettore dello spazio R n (vettore
a n coordinate), il suo modulo è dato da:
v = (x1; x2; x3; … ; xn)  v=
n
 i xi
1
2
Modulo di un vettore
Dato il vettore v sul piano (spazio R 2 ), definito
analiticamente da due coordinate, v = (x;y), il suo modulo v
è dato da:
v=
x2  y2
y
v
x
Esso deriva dall’applicazione del Teorema di Pitagora
nella rappresentazione geometrica, come facilmente si
desume dalla figura
Modulo di un vettore
La precedente relazione
per il modulo di un vettore
dello spazio R 3 (vettore a
tre coordinate):
z
V
y
v = (x; y; z) 
v=
x2  y 2  z 2
x
deriva dal Teorema di
Pitagora generalizzato
nello spazio.
Si generalizza ulteriormente per gli spazi astratti R n a
più di tre dimensioni, portando alla già citata relazione
generale:
n
2
x
i i
v = (x1; x2; x3; … ; xn)  v=
1
Distanza tra due punti
Dati due vettori:
u = (x1; x2; x3)
v = (y1; y2; y3)
Il modulo della differenza tra i due vettori u e v (in R
2
oR3
u - v è dato da:
u - v=
( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2  ( z1  z 2 ) 2
dove il terzo addendo (z1-z2)2 è nullo nel caso che i vettori siano
di R2 (vettori del piano x, y).
Distanza tra due punti
Dati due vettori:
u = (x1; x2; x3); v = (y1; y2; y3)
se consideriamo i loro estremi P1 e P2 (le cui coordinate sono
quelle indicate), il modulo della differenza dei due vettori (vedi
rappresentazione geometrica – dia n° 23 -) corrisponde alla
distanza (numero assoluto!) tra i punti estremi P1 e P2.
Nell’ esempio in figura
abbiamo:
y1
P1 = (x1; y1); P2= (x1; y1)
La loro distanza, d(P1P2) è:
d(P1P2) =
( x1  x2 )  ( y1  y2 )
2
2
y2
P1
u
u-v
v
x1
x2
P2
PRODOTTI
Prodotto di un numero per un vettore
Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il
prodotto di un numero (reale) c per un vettore v :
u=cv
Il risultato di tale moltiplicazione è un vettore (u)
che ha:
- stessa direzione di v (u parallelo a v)
- verso concorde o discorde a quello di v, a seconda che c sia
rispettivamente positivo o negativo
-modulo di u uguale a modulo di c per modulo di v
u= cv
PRODOTTI
Prodotto di un numero per un vettore
Es.:
u=3v
u
v
v
u
u = -2 v
PRODOTTI
Prodotto di un numero per un vettore
In rappresentazione analitica (vettori rappres.
mediante le coordinate), il prodotto di c per un
vettore v si ottiene moltiplicando ciascuna
coordinata per c.
Es.: sia dato: v = (2; -3; 1)
u = 3 v = 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)
w = -2 v = -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)
PRODOTTI
Prodotto di un numero per un vettore
Quindi si può dare un criterio di parallelismo tra due vettori:
Due vettori u e v (non nulli) sono paralleli (o proporzionali) se e solo
se uno di essi si può ottenere dall’altro moltiplicandolo per un
opportuno numero c, cioè se le coordinate dei due vettori sono
proporzionali
Ovvero: u || v
se esiste un numero c tale che v = cu
Es.: u = (2; -1; 5) e v = (-8; -4; -20)
sono paralleli, poiché v = -4u
Le coordinate di u e v risultano proporzionali (è costante il rapporto
tra le coordinate corrispondenti:
2/(-8) = -1/(-4) = 5/(-20) = -4
PRODOTTI
Prodotto scalare o interno di due vettori
Esso non è un vettore, ma un numero (o scalare)
In rappresentazione geometrica:
u v = uvcos 
Prodotto dei moduli (lunghezze dei
vettori) per il coseno dell’angolo
tra i vettori
ovvero: modulo di un vettore per
la proiezione dell’altro sulla
direzione del primo
v

u
PRODOTTI
Prodotto scalare o interno di due vettori
Esempio 1:
v= 2; u= 2.2;  = 30°  cos  = 3/2
u v = uvcos  = 2  2.2  3/2  3.81
v
30°
u
PRODOTTI
Prodotto scalare o interno di due vettori
Esempio 2:
v= 1; u= 2.2;  = 120°  cos  = -1/2
u v = uvcos  = 1  2.2  (-1/2) = -1.1
v
120°
u
PRODOTTI
Prodotto scalare o interno di due vettori
Esempio 3:
v= 1; u= 2.2;  = 90°  cos  = 0
u v = uvcos  = 1  2.2  0 = 0
v
90°
u
PRODOTTI
Prodotto scalare o interno di due vettori
In rappresentazione algebrica:
Il prodotto scalare si può ottenere se sono date le
coordinate dei vettori :
u = (x1; y1; z1)
v = (x2; y2; z2)
Il loro prodotto scalare è:
u v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
Es.:
u = (3; -1; 4) ;
v = (2; 5; -3)
u v = 32 + (-1)5 + 4 (-3) = -11
PRODOTTI
Prodotto scalare o interno di due vettori
In rappresentazione algebrica:
Il prodotto scalare di due vettori nello spazio ndimensionale R n (n coordinate):
u = (x1; x2; x3; … ; xn)
v = (y1; y2; y3; … ; yn )
Il loro prodotto scalare è: u v =
n
i
xi yi
1
Es.:
u = (3; -1; 4; 0; 5) ;
v = (2; 5; -3; 1; -2)
u v = 32 + (-1)5 + 4 (-3) + 0  1+5  (-2)= -21
PRODOTTI
Prodotto scalare o interno di due vettori
Attraverso il prodotto scalare possiamo dare la:
Condizione di perpendicolarità tra due vettori :
Due vettori (siano u e v) non nulli sono perpendicolari (o
ortogonali) se e solo se
Il loro prodotto scalare è nullo (uv=0)
Es.:
u = (3; -1; -1);
v = (2; 5; 1)
u v = 32 + (-1)5 + (-1) (1) = 0 ;
i due vettori sono perpendicolari
PRODOTTI
Prodotto scalare o interno di due vettori
Il modulo ( o norma) di un vettore di uno spazio R n (vettore a n
coordinate):
v = (x1; x2; x3; … ; xn)  v=
n
 i xi
2
1
si può esprimere come la radice quadrata del prodotto scalare
del vettore per se stesso (v x v = v2):
v= (v x v)1/2 = (v2)1/2.
Uno spazio vettoriale per il quale sia stata definita la norma dei
suoi vettori si dice “normato”.