La didattica laboratoriale, la bottega artigiana
… e i suoi ingredienti …
Gli strumenti
Il sapere istituzionale sull’argomento e la
problematica storico epistemologica
L’attenzione agli aspetti cognitivi
Le indicazioni curricolari, il contesto in cui
si opera e le risorse disponibili
Le attività e la didattica lunga
Quanti esempi di didattica
laboratoriale!
La fatica, ma non la noia
La discussione per la costruzione di una
cultura dell’argomentazione in classe
La giustificazione delle
azioni e delle strategie
messe in opera per
risolvere problemi
mediante
argomentazioni
pertinenti e coerenti è
una attività centrale
nella didattica
laboratoriale in
matematica e, più in
generale, è un obiettivo
importante della
formazione intellettuale
di una persona.
Il “documento di Carcare”
Che cos’è un’argomentazione?
La definizione proposta dal filosofo del linguaggio
Toulmin negli anni '50 viene oggi utilizzata da
diversi ricercatori nell'ambito della didattica della
matematica perché offre un modello che "copre"
tutti i tipi di argomentazione usualmente utilizzati in
matematica e inoltre stabilisce dei collegamenti con
molti tipi di argomentazione utilizzati in altri ambiti e
nella vita di tutti i giorni.
Toulmin considera una argomentazione come costituita da uno o
più "passi di ragionamento" concatenati; i passi di ragionamento
sono a loro volta costituiti da un dato ("Data"), da una conclusione
("Conclusion") e da un'inferenza che dal dato conduce alla
conclusione grazie a una "regola di garanzia" ("Warrant") che a
sua volta può essere sostenuta da una "conoscenza di supporto"
("Backing") (ad esempio un sistema di affermazioni appartenenti
a una teoria accreditata).
Il sig. Piero era a Roma alle 8, e
l'assassinio è stato commesso a
Londra alle 9, quindi occorre
cercare un altro colpevole
PRIMO PASSO: Il sig. Piero era a Roma alle 8 (parte del
dato generale) quindi non poteva essere a Londra alle 9
(conclusione parziale) perchè il tempo minimo per arrivare
da Roma a Londra è di due ore (warrant) tenuto conto dei
mezzi di trasporto disponibili (backing);
SECONDO PASSO: Il sig. Piero non poteva essere a
Londra alle 9 (dato ricavato dalla conclusione del passo
precedente), quando è stato commesso l'assassinio (parte
del dato generale), quindi occorre cercare un altro
colpevole (conclusione generale) in quanto il sig. Piero
non può essere l'assassino (warrant).
È necessario che chi argomenta:
-possieda sufficienti conoscenze sull'oggetto
dell'argomentazione: esse possono essere "dati"
di partenza, ovvero conoscenze che sostengono i
passi di ragionamento; in assenza di tali
conoscenze l'argomentazione "gira a vuoto" o si
inceppa;
- sappia gestire sul terreno logico e linguistico i
passi di ragionamento e la loro concatenazione:
uso corretto dei connettivi linguistici che
esprimono e permettono le inferenze, padronanza
logica delle concatenazioni linguistiche dei passi di
ragionamento …
-possieda modelli di argomentazione corrispondenti a
diversi tipi di giustificazione (deduttiva: ad esempio la
dimostrazione nell'ambito di una teoria, in matematica;
l’uso di esempi e contro-esempi; abduzioni, induzioni,
analogie…).
- abbia interiorizzato i valori culturali insiti
nell'argomentazione, e sappia e voglia quindi scegliere
la via dell'argomentazione come modalità privilegiata
per fare valere le proprie ragioni, per giustificare le sue
scelte o per assicurare la conformità del proprio prodotto
(ad esempio, un enunciato in matematica) agli standard
culturali della comunità di appartenenza.
La prima comndizione (le “conoscenze”) e la terza
(modelli di argomentazione) rinviano al settore culturale
a cui si riferisce l'argomentazione; la seconda (uso
adeguato dei connettivi linguistici) comporta lo sviluppo
di abilità e competenze linguistiche trasversali ai diversi
settori culturali; la quarta (interiorizzazione dei valori
culturali propri dell’argomentazione) richiede una estesa
pratica e una forte valorizzazione ambientale.
Il soddisfacimento della seconda e della quarta
condizione appare non scontato, non facile (soprattutto
quando manchi un adeguato retroterra culturale
famigliare) e da curare sul piano culturale e didattico con
una progettazione a lungo termine e di ampio respiro a
partire dalla scuola primaria (o addirittura dalla scuola
dell'infanzia).
Alcuni "principi" che dovrebbero essere seguiti per lo
sviluppo in verticale di attività sull'argomentazione.
a) Le attività sull'argomentazione non possono essere
confinate in uno "spazio" ristretto dell'offerta
formativa; l'argomentare dovrebbe diventare una
prestazione che si inserisce in molte attività e in
ambiti disciplinari diversi.
b) Le richieste di spiegare il perché, di giustificare le
risposte vanno poste sistematicamente agli studenti,
almeno a partire dalla prima classe della scuola
elementare.
c) Cruciale appare una "pedagogia dell'errore" in cui
l'errore viene vissuto dagli allievi come un rischio
inevitabile quando si cercano strade nuove, quando
si formulano ipotesi, quando si valutano situazioni. La
riflessione sulle possibili cause dell'errore e sui suoi
effetti, la ricerca dei modi per superarlo o per evitarlo
dovrebbero sostituire la "sanzione" dell'errore come
unico sbocco del processo valutativo dell'insegnante.
d) L'attenzione alla pertinenza e all’efficacia del
linguaggio verbale dovrebbe essere oggetto di
impegno da parte di tutti gli insegnanti a tutti i livelli
scolastici.
… e l’insegnante osserva,
suggerisce, motiva, gratifica,
presta le lenti della teoria,
sistema … MA ASCOLTA
l’esperienza dei bambini
È garante dei
processi di
costruzione e
condivisione del
sapere in classe…
MA ASCOLTA
14
ESEMPI
Scuola dell’infanzia (5 anni)
Le regole di comportamento
Consegne 1- Disegna la scena del film su Pippicalzelunghe
che preferisci
2- Ripensando alle due storie viste, dite quale vi è
piaciuta di più e quale comportamento di Pippi vi è
piaciuto di più o non vi è piaciuto e perchè.
3- Vi ricordate che giorni fa abbiamo parlato di
Pippi, del fatto che non sempre rispetta le regole,
in casa e fuori … come succede spesso anche a
noi a scuola, …, a tavola. Ma, secondo voi, che
cosa sono queste regole?
4- Come ci siamo comportati, secondo voi, in
questo anno scolastico e che cosa vorreste dire a
Pippi che ci ha tenuto compagnia per tutto l’anno?
Scuola dell’infanzia (5 anni)
Le regole di comportamento
Modalità
I bambini vedono insieme due espisodi della
di gestione storia di Pippi, cui segue la consegna 1, unica
attività individuale.
La consegna 2 porta l’attenzione sul
comportamento di Pippi con l’obiettivo di
suggerire ai bambini di confrontarlo con il
proprio.
La consegna 3 spinge i bambini a chiedersi e
proporre ai compagni il significato di
“regola”.
La consegna 4 guida a un’analisi dei possibili
comportamenti in relazione alle regole.
Scuola dell’infanzia (5 anni)
Le regole di comportamento
Natura e • Il tema delle regole induce a forme di
livello
argomentazione elevate, vicine a quelle
della
dell’argomentazione matematica.
argomen • Quando l’insegnante chiede:
tazione
“Perché sono importanti le regole?”
abbiamo l’esplicitazione di due perchè
di diversa natura: il primo è più astratto
e rinvia a un sistema di regole condivise
(le maestre non danno punti…); l’altro
più concreto, legato a leggi fisiche e
quindi ti tipo causale (con il caos non ci
si riesce a riposare).
Scuola dell’infanzia (5 anni)
Le regole di comportamento
Possibilità
articolazione
verticale
• L’argomento è fondamentale
ad ogni livello del percorso
scolastico e oltre: dalle regole
che governano i giochi e i
rapporti sociali a quelle della
grammatica, della
matematica, etc..
Scuola dell’infanzia – prima elementare
La linea dei numeri
Consegne
1. E’ importante per te avere la linea
dei numeri? (individuale)
2. A che cosa serve la linea dei
numeri? (discussione)
3. Oggi è il 24 aprile. L’8 maggio
sarà la festa della mamma.
Quanti giorni mancano? Spiego il
mio ragionamento (individuale)
4. Oggi tre bambini sono assenti.
Sai dirmi quanti sono presenti a
scuola? (individuale)
Scuola dell’infanzia – prima elementare
La linea dei numeri
Modalità
di
gestione
Sulla parete dell’aula, sopra il calendario, è
appesa una linea dei numeri da 1 a 31. Una
mattina la linea dei numeri non c’è più:
“E’ importante per te avere la linea dei numeri?”
Dalle risposte individuali emerge che è uno
strumento importante perché ci AIUTA.
Si va a riprendela: “In che cosa ci aiuta?”
Durante la discussione ogni volta che i bambini
giungono a una conclusione, l’insegnante
riassume e chiarisce il pensiero del bambino
Scuola dell’infanzia – prima elementare
La linea dei numeri
Natura e livello • Le consegne 1 e 2 spingono i bambini a
dell’argomenta
motivare l’utilità della linea dei numeri a
zione
partire della riflessione sulle sue funzioni,
che i bambini conoscono bene perché le
sperimentano tutti i giorni. Hanno
argomenti per sostenere le loro
affermazioni, producendo esempi
specifici.
• Nelle consegne 3 e 4 i bambini si
appoggiano per rispondere al calendario e
alla linea dei numeri e ciò fornisce al
numero una semantica familiare, che
permette di risolvere anche problemi
complessi per quell’età.
Scuola dell’infanzia – prima elementare
La linea dei numeri
Possibilità
articolazione
verticale
Il collegamento con le attività matematiche
della classe prima è assolutamente naturale e
in continuità, almeno SE l’approccio al
numero non è dicarattere insiemistico (o,
peggio, di tipo esclusivamente insiemistico).
Un approccio prevalentemente insiemistico,
per bambini abituati a muoversi con
disinvoltura sulla linea dei numeri, può
risultare rischioso e portatore di frustrazioni
che rischiano di segnare l’esperienza con la
matematica.
Il suggerimento implicito è che il senso
ordinale del numero possa essere utilizzato
come veicoli per altri sensi.
Classe prima elementare
Oggi fa più caldo o più freddo di ieri?
Consegne 1. Attività iniziale individuale “Secondo te
2.
3.
4.
5.
fa più caldo o più freddo di ieri?”
Discussione collettiva alle ipotesi fatte
individualmente
Osservazione e descrizione del
termometro
Perché abbiamo deciso di usare il
termometro? (individuale)
Riflessioni conclusive (scelta di due
elaborati o costruzione di un testo a
cura della maestra, ma a partire ad quelli
prodotti dai bambini)
Classe prima elementare
Oggi fa più caldo o più freddo di ieri?
Modalità
di gestione
L’attività 1 è svolta in modalità di interazione
bambino - insegnante (con registrazione e
trascrizione)
Nell’attività 2 (discussione collettiva) si vuole
fare riflettere gli alunni sulle discrepanze
emerse dalle risposte date da ciascuno in
modo da far emergere l’esigenza dell’uso di un
termometro per misurare la temperatura.
L’attività 3 si divide in tre momenti: a) libera
osservazione del termometro da parte dei
bambini; b) condivisione delle osservazioni
fatte; c) stesura di un testo descrittivo.
Nell’attività 4 ciascun bambino deve provare a
spiegare all’insegnante e ai compagni “perché
abbiamo deciso di usare il termometro”
Classi terze e quarte
Le unità in numeri a più cifre
Consegne 1. Marco dice che nel numero 728 ci sono 8
unità, mentre Sara afferma che ci sono 728
unità. Chi dei due ha ragione? Perché?
2. Si propongono alla lettura alcuni dei testi
prodotti (scelti dall’insegnante) e si chiede:
tutti hanno scritto le stesse cose o ci sono
opinioni diverse? Quale dei testi contiene la
stessa motivazione del tuo testo? Perché?
3. Scriviamo insieme una motivazione completa
Classi terze e quarte
Le unità in numeri a più cifre
Gestione
Inizialmente i bambini vengono invitati a entrare
nel problema attraverso un esempio concreto,
con la produzione di un testo individuale.
La seconda attività porta i bambini a
confrontare la propria risposta con quelle di altri
bambini.
La terza attività vede l’intervento dell’adulto (la
maestra) che aiuta a costruire un testo
collettivo
Classi terze e quarte
Le unità in numeri a più cifre
Natura e
livello
della
argomenta
zione
Se si pensa alla scrittura del numero verrebbe
da dire che le unità sono 8; se, invece, si pensa
al concetto di numero, le unità sono 728. In
gioco c’è la differenza tra concetto e
rappresentazione. Dagli interventi dei bambini
si vede come molti di essi si appoggino a un
approccio insiemistico al numero. Per
esempio: “nel 728 ci sono 8 unità; noi
sappiamo che per passare alle decine ci
vogliono 10 unità, quindi ci può stare un
numero minore di 10 e 728 non ci possono
stare. Ma se parliamo della realtà sì, perché io
posso avere 728 caramelle in tasca”.
Classi terze e quarte
Le unità in numeri a più cifre
Natura e
livello
della
argomenta
zione
Altra argomentazione : “Potrebbe [condizionale
ipotetico] avere ragione Marco, perché
[esplicativo] le unità sciolte sono 8, ma
[avversativo che nega la condizione] il numero
non è 8, ma 728, quindi [conseguenza logica]
ha ragione Sara, perché [esplicativo] sì ci sono
8 unità, ma anche 72 decine sono unià, l’unica
cosa che 8 sono unità sciolte e 72 raggruppate,
2 sono raggruppate in decine e 7 in centinaia.
Quindi [deduzione conclusiva] ha ragione Sara,
le unità sono 728”.
Classi terze e quarte
Confrontare numeri interi
Consegne 1. Scrivi un testo spiegando come fai a
stabilire, dati due numeri con lo stesso
numero di cifre (per esempio due numeri di
tre cifre), qual è il maggiore?
2. Confronto fra due testi scelti dall’insegnante.
3. Discussione guidata.
4. Testo individuale su ciò che si è imparato
nella discussione.
Classi terze e quarte
Le unità in numeri a più cifre
Gestione
La prima produzione individuale permette
all’insegnante di comprendere a che punto sono
i bambini e ai bambini di entrare nel problema.
La selezione di acuni testi offre ai bambini la
possibilità di fare un confronto fra le diverse
produzioni.
Nella discussione guidata è l’insegnante a dare
la parola in modo da permettere ai bambini più
timidi e lenti di intervenire per primi e di avere
sempre la parola quando la chiedono. Inoltre
l’insegnante dovrebbe fare da eco alle idee più
interessanti.
La produzione finale è un ripensamento
personale e permette all’insegnante di
individuare la comprensione dei bambini.
Classi terze e quarte
Le unità in numeri a più cifre
Natura e
livello
della
argomenta
zione
Questqa consegna favorisce poco
l’argomentazione, essendo più procedurale. I
bambini potrebbero esprimere il perché deklle
proprie scelte, ma non lo fanno e non è qui
ilcaso di insistere: il passaggio importante è
quello verso la generalizzazione dai casi
particolari.
Un percorso successivo potrebbe essere
quello del confronto fra numeri decimali, che
nasconde ostacoli epistemologici notevoli.
Classi terze e quarte
Aggiungi 1
Situazione
Pensate a otto numeri. Rappresentate sul vostro
foglio l’insieme A formato da questi otto numeri.
Ora formate un secondo insieme B di numeri
aggiungendo 1 a ciascuno dei numeri dell’insieme
A.
Problema
Come cambiano, in seguito a questa operazione, le
proprietà di ciascuno dei numeri dell’insieme A?
Giustificate le vostre risposte.
Il valore del denaro nel tempo.
Studenti di scuola secondaria di secondo grado
che assistono studenti di scuola elementare: un
tentativo di recupero scolastico
a.s. 2005-2006
Domingo Paola
http://cieaem.net/DVD/valore_del_denaro.htm
Schema progetto
Il valore del denaro nel tempo
(Percorso con la scuola elementare, classi V A e VB; studenti
del liceo con ruolo di tutor).
Aspetti motivazionali
Interviste a genitori e nonni, ricerche su internet e sui libri per
individuare fatti importanti dal 1960 al 2005 (locali e nazionali).
Aspetti concettuali
Cambiamenti del valore del denaro nel tempo (variazione del
potere d’acquisto del denaro).
Concetti matematici interessati
1. Rappresentazioni in scala, rapporti e percentuali.
2. Variazioni relative e assolute.
3. Piano cartesiano.
4. Grafico che rappresenta la variazione di una grandezza nel
tempo.
5. Lettura di grafici.
6. Pendenza di un segmento.
7. Uso consapevole degli strumenti automatici di calcolo.
Fasi del lavoro
a) costruzione di una striscia del tempo e, più in generale,
attività aventi l'obiettivo di creare contesto, ossia di offrire
alle bambine e ai bambini l'occasione di poter cercare e
trovare un "senso" storico - sociale ai dati numerici che
avrebbero manipolato;
b) elaborazione e rappresentazione dei dati rilevati (anche
con l’aiuto delle risorse messe a disposizione da un foglio
elettronico);
c) scelta di un paniere e introduzione del concetto di
potere di acquisto del denaro. Analisi, alla luce di tale
concetto, dei dati prima elaborati;
c) lettura di un testo per adulti avente come obiettivo
quello di proporre alcune riflessioni di carattere sociale
sull'evoluzione nel tempo del potere di acquisto del
denaro, ma anche sull'evoluzione dei salari e su quella dei
"bisogni indotti“.
Esempi di attività
Striscia del tempo
Inizialmente si è discusso con i bambini sulla tipologia
delle notizie da riportare sulla linea del tempo. Attraverso
la lettura di notizie-tipo, si è deciso di classificarle in
economiche, storico-geografiche, sociali, sportive,
regionali. Le notizie di natura politica sono state inserite
in quelle storico/geografiche perché difficilmente
classificabili da parte dei bambini. E' stata quindi
costruita una legenda con i loghi relativi alle varie
tipologie di notizia.
Gli alunni hanno lavorato in piccoli gruppi, ognuno dei
quali si è occupato di un anno o di un quinquennio ( in
particolare per le notizie regionali ) utilizzando le diverse
fonti messe loro a disposizione.
Alcune tipologie di risposta
1. Nel 2006, sia i prezzi che lo
stipendio sono molto più alti rispetto
agli altri anni.
2. Le auto costano sempre più dello
stipendio di un operaio.
3. Per acquistare un televisore, sia
nel 1955 che nel 1965, occorreva più
di uno stipendio, mentre nel 2006
con uno stipendio si potrebbero
acquistare 5 televisori.
4. Il biglietto dell’autobus e il
quotidiano mantengono lo stesso
prezzo.
5. Tutti i prodotti dal 1955 al 1965,
aumentano di prezzo, tranne
zucchero, benzina e
televisori.
Elaborazione dati
6,00
5,00
4,00
3,00
Serie1
2,00
1,00
0,00
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Emergenza matematica?
Certo, ma si può affrontare!