L’enunciazione della Legge di Gravitazione Universale
Mm
F G 2
r
È dovuta a Sir Isaac Newton (1687) essa afferma che due corpi
posti a una distanza r esercitano l’uno sull’altro una forza a
distanza attrattiva, direttamente proporzionale a ciascuna delle
loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro
distanza reciproca.
F
-F
M
m
r
Newton arrivò alla
formulazione della
sua legge studiando
da una parte le
osservazioni di
Keplero sui moti
planetari
0.241 yr
0.615 yr
1 yr
Ovvero studiando la forma
delle orbite e le relazioni
fra i periodi di rivoluzione
e le distanze dal sole
1.88 yr
Dall’altra, confrontando l’accelerazione di gravità di un corpo
sulla Terra con l’accelerazione centripeta della Luna nel suo
moto intorno alla Terra.
Come risultato, Newton dimostrò che doveva esistere una
relazione di proporzionalità di questo tipo:
Mm
F G 2
r
Ma non misurò e non poteva ricavare direttamente il valore
della costante di proporzionalità G !
Per fare questo infatti avrebbe dovuto misurare
indipendentemente M, m, r e F, e ricavare G dalla formula:
F
-F
M
m
r
Fr 2
G
Mm
Purtroppo la forza gravitazionale fra oggetti terrestri di massa
ragionevole (diciamo fra 1 e 100 kg) posti a una distanza
ragionevole (diciamo 10cm) è molto piccola, dell’ordine di 1
milionesimo di Newton, pari al peso di circa un decimo di
milligrammo.
F
-F
M
m
r
Come costruire una bilancia abbastanza sensibile da misurare
una forza così piccola? Il problema fu risolto solo più di un
secolo dopo da Lord Cavendish.
2
Mm
F G 2
r
Fr
G
Mm
x
M
m
r
Apparecchio usato
da Lord Cavendish
nel 1798 per
misurare la
costante di
gravitazione
universale
Sferette d’oro
Sfere di piombo
Uno spaccato
dell’apparato
originale di
Cavendish.
Ci sono due difficoltà fondamentali.
2
Mm
F G 2
r
Fr
G
Mm
x
M
m
r
La prima è di misurare x.
0
10
20
+0.8
+0.6
(-2*2+0.6+0.8)/4 = - 0.65
-2
Quindi la misura di x si ottiene col
procedimento di media appena descritto
30
Fatto questo, bisogna trovare il modo di ricavare la forza F
dallo spostamento x.
Ci vuole in poche parole la costante elastica del pendolo di
torsione:
F kx
l
2 m r
k
2
T R
2
L
T
m
Questa si ricava in modo piuttosto semplice misurando il periodo di
oscillazione del pendolo T e conoscendo le masse m oscillanti, il
braccio del pendolo l e il braccio della leva ottica L
Ricapitolando, bisogna misurare
Le masse m oscillanti
Le masse M fisse
La distanza r fra masse oscillanti e masse fisse
Il braccio l del pendolo di torsione
Il braccio L della leva ottica
Il periodo di oscillazione T del sistema
Lo spostamento x del fascio dalla sua posizione di equilibrio
(col metodo della media con i tre punti)
2 2 m l
k
T2 L
F kx
Fr 2
G
mM