Le onde sismiche
Propagazione delle onde sismiche
Ingredienti:
•Sforzo, deformazione
•Legge di Hooke (comportamento elastico)
•Equazione del moto
Ipotesi semplificative:
•gli spostamenti associati alla propagazione delle onde
sono di piccola entità
•Il comportamento meccanico delle rocce è di tipo
“elastico” (ritorno alla posizione di equilibrio una volta
rimossa la sollecitazione esterna)
Definizione di sforzo
sforzo normale


f
  lim
A0 A
sforzo di taglio
Definizione di deformazione
DEFORMAZIO NE 
Variazione di lunghezza (volume)
lunghezza (volume) totale
ΔL
ε
L
Relazione sforzo-deformazione
Per un corpo elastico:
rottura
t = m . e
m = rigidità
Legge di Hooke
Onde elastiche (sforzo normale)
d n
x
dx
 n  (  2 m )  e u
 n 
n
σ n  Δσ n
L u
du
eu 


L
x
dx
F  ma
con
d
d 2u
 2
dx
dt
d
d
F
x  A 
V
dx
dx
d 2u
a 2
dt
  2m d u d u
 2
2
 dx
dt
2
Equazione d’onda
2
Onde P
L’equazione
  2m d u d u
 2
2
 dx
dt
2
2
Descrive un’onda che si propaga con velocità
  2m
VP 

Con polarizzazione longitudinale
Tali onde sono chiamate Onde P (o di pressione, o primarie)
Soluzione dell’equazione delle
onde e velocità di propagazione
2
2
d
u
d
u
2
V
 2
2
dx
dt
La soluzione generale dell’equazione
delle onde è:
u ( x, t )  f ( x  Vt )  f ( x  Vt )
viola il
principio di
causalità
x0  Vt0  ( x0  x)  V (t0  t )
x  Vt
Onde elastiche (sforzo di taglio)
d t
x
dx
 t  m ev
 t 
t
σ t  Δσ t
F  ma
con
d
d
F
x  A 
V
dx
dx
d 2v
a 2
dt
v
dv
ev 

x
dx
d
d 2v
 2
dx
dt
md v d v
 2
2
 dx
dt
2
2
Equazione d’onda
Onde S
L’equazione
md v d v
 2
2
 dx
dt
2
2
Descrive un’onda che si propaga con velocità
m
VS 

Con polarizzazione trasversale
Tali onde sono chiamate Onde S (o di taglio (shear), o secondarie)
Fronte d’onda - Raggio
La soluzione
dell’equazione d’onda è:
u ( x, t )  f ( x  Vt )
fase
Le superfici in cui la fase è
costante sono dette fronti d’onda
Le curve punto per punto
ortogonali ai fronti d’onda sono
dette raggi
Onde P e onde S
Polarizzazione onda P
Polarizzazione onda S
v p  vs
In un mezzo poissoniano
v p  vs 3
Onde di volume
Onde P (polarizzazione longitudinale)
Onde S (polarizzazione trasversale)
Il sismogramma: fasi P e fasi S
Campi Flegrei 23/02/1984
Attenuazione geometrica delle
onde sferiche
Flusso di energia per unità di superficie
ed unità di tempo:
 E  cost  A2
Il flusso totale di energia che attraversa
i fronti d’onda ad istanti successivi deve
conservarsi:
 E  S t t
1
A( r ) 
r
  E  S t t0  t
0
A2 (r1 )4r1  A2 (r2 )4r2
2
A(r1 ) r2

A(r2 ) r1
2
Propagazione delle onde sismiche
in mezzi complessi
Esempio di traiettoria dei raggi sismici in un modello di
Terra a strati piano-paralleli
Dromocrone
x
t
v1
1
v1
x
v1
t
1
v2
2
x
v1
h
 x
2
  h
2
t2
v1
2h
v1
x
 x l 
2

 h
l
h x
 2 
t2
 2 
v1
v2
v1 v2
2
x
h
v1
l
v2
lx
Distanza critica
L’onda rifratta non esiste per tutti gli angoli di incidenza, ma a partire dall’angolo critico
xc
v1
h
ic
90°
v2
sin ic 1

v1
v2
ic  arcsin
sin ic
xc  2h
 2h
cos ic
v1
v2
v1 /v 2
 v1 
1   
 v2 
2
 2h
v1
v22  v12
Onde di superficie
In un mezzo omogeneo e illimitato si generano e propagano solo onde P ed S
(onde di volume)
In un mezzo stratificato l’impatto delle onde di volume con le superfici di
discontinuità genera onde di superficie che si propagano lungo l’interfaccia:
Non si ha trasmissione di onde al di là della superficie libera perché le costanti
elastiche dell’atmosfera sono di alcuni ordini di grandezza inferiori a quelle delle
rocce (o degli oceani)
Onde di superficie
Onde di Rayleigh (moto ellittico retrogrado)
Onde di Love (moto trasversale orizzontale)
Fenomeno della dispersione
Per un’onda di Rayleigh:
ω=2πf=2π
s  ω,z   µA o e-ωαz =A o e-2πf z
|s  ,z  | è lo spettro di ampiezza
 z ha le dimensioni dell'inverso di una lunghezza
vf
vf velocità di propagazione nel mezzo
λ
Si definisce profondità di penetrazione
dell’onda il v alore Z0 della profondità
per il quale l’ampiezza dell’onda si
riduce di 1/e
ωµz 0 =1  2π
vf
λ
αz 0 =1  zo=
λ
2πfα
Velocità di fase e di gruppo
• Velocità di fase:
Lo spazio percorso da un piano di uguale
fase dell’onda di pulsazione  fissata
nell’unità di tempo
vf =
ω
2π
con k=
numero d'onda
k
λ
• Velocità di gruppo:
Rappresenta la velocità di una superficie
dell’onda di ampiezza fissata
dω
dk
dalla definizione della velocità di gruppo
e tenendo conto che per le varie fasi:
vg =
v
ω=2πf=2π =vk
λ
1 dv
vg =v+
λ d 1/λ 
dv
<0 allora vg <v
dk
Caso delle onde superficiali in mezzo dispersivo
se
Attenuazione geometrica delle
onde di superficie
 E  cost  A2
 E  S t t   E  S t t t
0
0
A2 (r1 )2r1Z  A2 (r2 )2r2 Z
1
A(r ) 
r
r2
A(r1 )

A(r2 )
r1
Onde di superficie nella
registrazione di un telesisma
Taiwan 20/9/1999 Ms=7.6 D=10000Km
S
P
Onde di superficie
Attenuazione anelastica delle onde
sismiche
La non perfetta elasticità della Terra produce un’attenuazione nell’ampiezza
delle onde con la distanza.
Per un’onda monocromatica, si ha:
A( x, Q,  )  A0e

ωx
2VQ
Q è detto fattore di qualità ed è legato alla quantità di energia dissipata per ciclo
d’onda:
1
E

Q
2E
Sviluppo in serie di Fourier
È possibile dimostrare che una funzione periodica, di periodo T, che soddisfa
certe condizioni, può essere rappresentata come la sovrapposizione di un numero
(infinito) di funzioni seno e coseno con frequenze 1/T, 2/T, 3/T, …
Sia f(t) una funzione periodica di periodo T

f (t )  a0   an cos( nt )  bn sin( nt )
n 1
2n
T
1 T
a0   f (t )dt
T 0
1 T
an   f (t ) cos( nT )dt
T 0
1 T
bn   f (t ) sin( nT )dt
T 0
n 
Sviluppo in serie di Fourier
e ix  e  ix
sin x 
2i
e ix  e ix
cos x 
2
f (t ) 

C
n  
n
e
int
Trasformata di Fourier
Data una funzione continua f(t), la sua trasformata di Fourier è:
1
F ( ) 
2



it
f (t ) e dt
Tale trasformata è reversibile, ovvero esiste un’operazione di
antitrasformata di Fourier:

f (t )   F ( ) e

it
d
Spettro di ampiezza e spettro di
fase
La trasformata di Fourier è in generale una quantità complessa:
F ( )  A( )  iB ( )
F ( )  A2 ( )  B 2 ( ) spettro di ampiezza
 B( ) 
 spettro di fase
 ( )  arctan 
 A( ) 
Un esempio