OLTRE OGNI LIMITE
Prerequisiti:
•Intorno di un punto
•Intorno di infinito
•Punto di accumulazione
•Le funzioni elementari
Scheda1:
“SPACCA E SCAPPA”
approccio al concetto di limite e relativa definizione
Entra anche tu nel mondo di Crazystone.
Crazystone è il paradiso dei teppisti e dei vetrai. Il passatempo dei
teppisti è lanciare sassi e rompere vetri indisturbati.
Ma che noia! Che monotonia!Basta moti parabolici.
Così il Ministero della ricerca di Crazysone ha bandito un
concorso:una fornitura di vetri a chi avesse inventato qualcosa
per spezzare la monotonia della forza di gravità.
Un’equipe di scienziati pazzi (nota come “Banda di Zeroallazero”)ha
inventato una barriera elettromagnetica dalla interessante
proprietà:quando un sasso ,lanciato verticalmente da terra, urta
contro una barriera, viene deviato ad angolo retto e procedein
linea retta ,senza ricadere, fino a che non urta contro un
ostacolo, come in figura
La barriera è stata istallata sopra il Viale senzafine di
Grazystone: una via che inizia dalla casa del sindaco e prosegue
diritta senza mai terminare.
Il Sindaco però ha alcune fissazioni:
1) È convinto che per avere la migliore visione panoramica della
sua città , la si debba osservare da esattamente 10 metri di
altezza. Per questo ha fatto costruire una finestra centrata
attorno ai 10 metri di quota dalla strada
2) Proprio perché i 10 metri di altezza è la quota perfetta, anche
Anche la barriera elettromagnetica deve avvicinarsi sempre di più a questa
altezza”aurea”, ma non la deve toccare ,per non toccare la visuale.
Ecco come è stata realizzata la barriera
Ma…il sindaco deve vedersela con alcuni cittadini scontenti del
suo operato,i quali ingaggiano qualche teppista di
Crazystone,esperto nel tiro del sasso , perché rompa la
finestra del sindaco
“Guardando il disegno,dove ti posizionerestiper colpire il
bersaglio?C’è una sola possibilità o di più?”
Ma il sindaco stanco di tanta delinquenza,ha chiesto ai muratori di
rimpicciolire l’apertura della finestra
“Così facendo il sindaco ha risolto i suoi problemi?O credi
che sarà ancora possibile rompere il vetro della finestra?E
se si riducesse ulteriormente l’apertura(sempre centrata
attorno alla altezza aurea)avrebbe vinta la battaglia?
(tieni presente che su Crazystone esistono sassi
piccolissimi come granelli di polvere che lanciati con forza
potrebbero rompere un vetro)
Comincia la discussione in classe.
…….per concludere che:
1) “qualunque sia l’apertura della finestra centrata attorno all’altezza
aurea, esiste una zona di lancio ( a destra di un certo punto)tale che,in
qualunque posizione ci si metta ,basta essere nella zona di lancio che
allora il sasso raggiungerà un’altezza giusta per entrare nella finestra”
Ciò è equivalente a dire:
2) “la barriera si avvicina sempre di più all’altezza aurea”
In simboli:
1)
I (l )
2)
I () /x  I()  f ( x)  /(l )
lim f ( x)  l
x  
Continuiamo la storia ….
Il sindaco, in preda ad un eusarurimento, non si presenta alle elezioni
Viene eletto un suo oppositore,il quale , in nome della libertà di
espressione artistica , cavallo di battaglia durante la campagna
elettorale,chiama i migliori artisti di Crazystone e fa progettare una
nuova barriera non più vincolata all’altezza aurea.
Il nuovo sindaco ha una debolezza : l’astronomia e fa montare il suo
telescopio ultimo modello su un piedistallo davanti alla finestra :Ma la
barriera riveste un ruolo strategico. Al sindaco gli è concesso al
massimo un foro più piccolo di quello che si potrebbe ottenere con la
punta di un ago. Praticamente … un punto.
Il sindaco è così contento ma…..
l’ex sindaco organizza un movimento di protesta contro il suo …
caro collega: assolda esperti teppisti perché colpiscano la
finestra.
“Se tu fossi un teppista, dove ti posizioneresti, per colpire il
bersaglio?c’è una sola posizione possibile o più di una?
Se il sindaco decidesse di ridurre le dimensioni della finestra (
sempre centrata attorno all’altezza aurea) riuscirebbe a
proteggersi dai sassi?o credi che sarà ancora possibile
rompere il vetro?
Comincia la discussione in classe…….Per concludere che…
1)
2)
lim f ( x)  l
x  x0
I(l ) I ( x0 ) con x  x0 / x  I ( x0 )  f ( x)  I (l )
SCHEDA2
Il LIMITE “strumento per calcolare l’area di una figura
piana”
A1
area
approssimata per
eccesso
a1
area
approssimata per difetto
A2
area
approssimata per eccesso
A2 <A1
a2
area
approssimata per difetto
a2 >a1
due successioni
an: aree approssimate per difetto
a1, a2, a3, ...
a1< a2< a3< ...
an<A1
An: aree approssimate per eccesso
A1> A2> A3> ...
An>a1
A1, A2, A3, ...
An an
si può rendere piccola a
piacere
Le due successioni tendono allo
stesso limite
Si definisce
area della figura a contorno curvilineo
il limite comune alle due successioni
?
1 f 0
 1 f 1
2 
2 

  f 0  f  0   
2 
2 

1 f 1
 1 f 2

2  
2
  f  0    f 0  2
2  
2

0.5  f 0  0.5  f 0.5  0.5  f 1  0.5  f 1.5
2 
  f 0 
4 
2

f 0   
4

2

f 0  2  
4

2 

f  0  3   
4 

0.5  f 0.5  0.5  f 1  0.5  f 1.5  0.5  f 2
2  
2
  f  0   
4  
4
2

f 0  2  
4


2

f  0  3    f 2
4


2
area per difetto
rettangoli area per eccesso
4
area per difetto
2 
2 

  f 0  f  0   
2 
2 


2  
2
  f  0    f 0  2
2  
2

2 
2
2
2 



  f 0  f  0    f  0  2    f  0  3   
4 
4
4
4 




2  
2
2
2


  f  0    f  0  2    f  0  3    f 2
4  
4
4
4



rettangoli area per eccesso
8
area per difetto
rettangoli area per eccesso
n
area per difetto
rettangoli area per eccesso
2 
2
2 


  f 0  f  0    ...  f  0  7   
8 
8
8 



2  
2
2

  f  0    f  0  2    ...  f 2
8  
8
8


2 n 1 
2
 f 0  i  
n i 0 
n
2 n 
2
 f 0  i  
n i 1 
n
2 n 1 
2
an    f  0  i  
n i 0 
n
2 n
An   
n i 1
An  an 
2

f 0  i  
n

2
  f 2  f 0
n
b  a n 1 
ba
an 
 f 0  i 

n i 0 
n 
ba n
An 

n i 1
a
b
ba

f 0  i 

n 

La successione S n è decrescente e limitata inferiormente ( S n  s1 )
La successione s n è crescente e limitata superiormente ( sn  S1 )
La differenza S n  sn si può rendere piccola a piacere
Le due successioni convergono allo stesso limite
l'area T del trapezoide
è data da
lim s n  lim S n  T
n 
n 
T
Un po’ di teoria…
ALCUNE DEFINIZIONI
a) FUNZIONE INFINITESIMA:
“ una funzione f(x) si dice infinitesima per x  x0
se
 x  x0
f ( x)  0
 f ( x)  0 .In simboli : xlim
x 0

b)FUNZIONE INFINITA:
“una funzione si dice infinita per
x  x0
se
 x  x0
f ( x)  
 f ( x)   In simboli : xlim
x 0

c) INFINITESIMI( infiniti ) SIMULTANEI:
“ se f(x) e g(x) sono INFINITESIME( infinite )per
allora f e g si dicono infinitesimi (infiniti)
simultanei
x  x0
d)INFINITESIMI( infiniti) EQUIVALENTI:
“ dati due infinitesimi (infiniti) f(x)e g(x)simultanei per
si dicono equivalenti
se
lim
x  x0
f ( x)
 1 si scrive
g ( x)
f ( x)  g ( x)
Osservazione: Nel calcolo dei limiti forme del tipo:


0
; ; -
0
x  x0
dette INDETERMINATE sono “da risolvere” nel senso che non
c’è una “formula” che ti permette di trovare “ il risultato” ma
questo cambia a seconda dell’esercizio e, pertanto per
risolvere tali forme sarà necessario utilizzare opportune
tecniche e pian piano impareremo qualcuna….
Una di queste tecniche consisterà nell’utilizzo opportuno di
infinitesimi ( infiniti) equivalenti. Purtroppo questa tecnica non
consente di risolvere qualsiasi forma indeterminata. Per
risolvere qualsiasi forma di indeterminazione è necessario
utilizzare altri teoremi ( Hopital, Taylor..)
CERCHIAMO infinitesimi equivalenti
Esercizio1
“Utilizzando Geogebra rappresenta in un
unico sistema di assi cartesiani le
funzioni:
f(x)=senx e g(x) y=x e rispondi:
a) f e g sono infinitesimi simultanei per
b) cosa puoi osservare se “zummi”le fz.
nell’intorno dell’origine?
c)è possibile ipotizzare nell’intorno
dell’origine di sostituire un”pezzo”
della funzione senx con x?
x0 ?
d) Si può dire che senx ed x sono due
infinitesimi equivalenti?
e) È esatto scrivere senx = x oppure senx
cioè :
x
senx = x + “qualcosa”
dove questo qualcosa rappresenta una
infinitesimo che tende a zero “più
velocemente” di x?
Esercizio2
Seguendo le indicazioni dell’es.1 fai lo stesso per le seguenti
funzioni:
a)
x2
f(x)  cos(x) e g(x)  1 2
b)
f(x)  e x
c)
f(x)  ln(1  x) e g(x)  x
d)
f(x)  (1  x) 2 e g(x)  1  2 x
e)
f(x)  (1  x)
e g(x)  1  x
1
2
Riassumiamo quanto osservato:
e g(x)  1 
1
x
2
INFIITESIMI EQUIVALENTI e LIMITI NOTEVOLI
1) senx  x  senx  x  o( x)
senx
lim
1
x 0
x
x2
x2
2) cos( x)  1   cos( x)  1   0( x 2 )
2
2
1  cos x
lim
1
2
x o
x
ln( x  1)  x  ln( x  1)  x  o( x)
ln( x  1)
1
x 0
x
lim
e  1  x  e  1  x  o( x )
x
x
ex 1
lim
1
x 0
x
Sempre nell’intorno dell’origine…
(1  x) 2  1  2 x  (1  x) 2  1  2 x  o( x)
2
1
2
1
1
1
x  1  (1  x)  1  x  (1  x) 2  1  x  o( x)
2
2
In generale
1  x   1  x  o( x)
con
 0
Un PRINCIPIO che utilizzeremo per il calcolo dei limiti
PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE degli infinitesimi:
Siano f(x) e f 1 ( x) g(x) e g 1 ( x) infinitesi mi
per x  x 0.
Supponiamo f 1 ( x) infinitesi mo superiore rispetto ad f(x)
g 1 ( x) infinitesi mo superiore rispetto a g(x)
allora
lim
x x 0
f ( x)  f 1 ( x)
f ( x)
 lim
g ( x )  g 1 ( x ) x  x0 g ( x )
ESEMPIO :
3
x
senx  x  3 x  inf s (ord 1)  inf s (ord 1 / 2)  inf s (ord 1 / 3) 
  lim

 
lim
0

x
x 0
x
(inf s (ord 2))  inf s (ord 1)
1  cos x  x


ALTRI ESEMPI ….
3x
3 x  o(3x)
sen3 x
3
 lim
 lim
x 0 x
x 0
x 0
x
x
lim
sen5 x  sen3x
 .....
x 0
x
lim

 1
1  1  (  x 2 )  o (  x 2 )  1 x 2
1  1  ( x )
1
 2
 2

lim

lim
x 0
x 0
2
x2
x2
x2
2
lim
x 0
1 x  1 x
 lim
x 0
x
1
1

 1
1
1
x  o ( x )  1  (  x )  o ( x ) 
x  x  o( x )
2
  lim 2
 2
2
1
0

x
x
x
1  x  o( x )  1
e ( xo( x )  1
e senx  1

lim

lim

lim
x 0
x 0
x 0
x2
x2
x2
GERARCHIA DEGLI INFINITI
Date le famiglie di funzioni

 log a x 

x
con  ,   0 a, b  1

 , x , b


allora per x  , ognuno è un INFINITO
di ordine superiorer ispetto a quello che si trova a destra
Sinteticam ente :
log x

a
 x  bx
Il teorema garantisce che le funzioni logaritmiche
tendono all’infinito molto lentamente.
vediamolo graficamente
PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE degli INFINITI
Siano f(x) e f 1 ( x) g(x) e g 1 ( x) infinite
per x  
Supponiamo f 1 ( x) infinito inferiore rispetto ad f(x)
g 1 ( x) infinito inferiore rispetto a g(x)
allora
lim
x  0
f ( x)  f1 ( x)
f ( x)
 lim
g ( x )  g 1 ( x ) x  0 g ( x )
ESEMPIO :
lim
x 
x 3  x  log x
x  x5
 if (ord 3)  inf( ord 1)  inf( ord inf eriore ad x e x 3 
x3
  lim 5  0
 
(inf( ord1 / 2))  inf( ord 5)

 x  x
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OLTRE OGNI LIMITE - ITSOS `Marie Curie`