I SOLIDI
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Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
I SOLIDI
1. I POLIEDRI
DEFINIZIONE
Poliedro
Un poliedro è una figura solida limitata da un
numero finito di poligoni appartenenti a piani
diversi e tali che il piano di ogni poligono non
attraversi il solido.
Prisma
La distanza fra il vertice (o la base superiore) e
il piano della base (inferiore) si chiama altezza.
L’altezza delle facce laterali di una piramide
retta è detta apotema.
Piramide
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2. POLIEDRI REGOLARI E SOLIDI DI ROTAZIONE
DEFINIZIONE
Poliedro regolare
Un poliedro si dice regolare quando
le sue facce sono poligoni regolari
congruenti e anche i suoi angoloidi
e i suoi diedri sono congruenti
DEFINIZIONE
Solido di rotazione
Si chiama solido di rotazione un solido
generato dalla rotazione di una figura
piana intorno a una retta r
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Animazione di un solido di rotazione
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3. LA SFERA
La sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio
attorno al suo diametro…
… ma, aumentando il numero di lati delle
facce di un poliedro regolare, si approssima
sempre meglio una sfera…
Quindi, la sfera è un solido di rotazione o un
poliedro?
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4. CALCOLO DELLE AREE
DEFINIZIONE
Superficie di un poliedro
La superficie di un poliedro è la somma delle superfici di tutte le sue facce.
Scomponendo un solido (anche non poliedrico) è possibile calcolarne la superficie laterale:
Al = 2p . h
Ricordiamo che alla superficie laterale va
aggiunta la superficie delle basi.
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Al = π . r . a
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4. CALCOLO DELLE AREE
Area della sfera.
La misura dell’area della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo
cerchio massimo:
Ssfera = 4 π r2
Riscrivendo l’espressione della superficie sferica
come Ssfera=2πr . 2r, troviamo che la superficie di
una sfera è equivalente alla superficie laterale
del suo cilindro circoscritto.
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4. CALCOLO DELLE AREE
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5. CALCOLO DEI VOLUMI
TEOREMA
TEOREMA
TEOREMA
Volume del cubo
Volume del prisma
Volume del cilindro
La misura del volume del La misura del volume del
La misura del volume del
Vediamo
che,
in
generale,
il
volume
delle
tre
figure
può
essere
espresso
come prodotto
cubo è uguale alla misura del prisma è uguale al prodotto
cilindro
è uguale
ap prodotto
tra
superficie
l’altezza.
suo l’area
spigolodella
elevato
alla terzadi base
dellaemisura
dell’area di base
dell’area del cerchio di base per
potenza:
per la misura dell’altezza:
la misura dell’altezza:
3
.
V=a
V=S h
V =π .r2 . h
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5. CALCOLO DEI VOLUMI
Volume della piramide e volume del cono.
La piramide e il cono sono equivalenti, rispettivamente, alla terza parte di un prisma o di
un cilindro di base equivalente. Quindi:
TEOREMA
Volume della piramide
La misura del volume di una piramide è uguale alla
terza parte del prodotto della misura dell’area di base
per la misura dell’altezza: V =⅓.S . h
TEOREMA
Volume del cono
La misura del volume di un cono è uguale
alla terza parte del prodotto della misura
dell’area del cerchio per la misura
dell’altezza.
V =⅓.S . h
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5. CALCOLO DEI VOLUMI
TEOREMA
Volume della sfera
La misura del volume di una sfera è uguale al prodotto di (4/3 π) per
la misura del raggio della sfera elevaro al cubo: V =4/3 . π. r3
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