Marco Bortoluzzi



Sappiamo che una grandezza è una proprietà
che può essere misurata,
si può cioè assegnarle un valore seguito da
una unità di misura e la misurazione si può
eseguire con uno strumento di misura
appropriato.
Esempi di grandezze: lunghezza, tempo,
temperatura, massa, peso, velocità …
Non sono grandezze: la bellezza, la bontà,
la simpatia …


Una grandezza è costante se il suo valore
rimane invariato, cioè non cambia (ad es.
l’altezza di una casa, la distanza tra due
luoghi, il peso di un oggetto …)
Una grandezza è variabile se il suo valore
varia, si modifica, quindi cambia (ad es. la
temperatura esterna, indice della borsa, soldi
incassati in un supermercato …)



Quando una grandezza varia, il suo variare
può dipendere da un’altra grandezza
anch’essa variabile.
Tra le due grandezze si stabilisce un legame,
in quanto una di esse DIPENDE dall’altra e
questo legame si chiama FUNZIONE
Ad esempio: la temperatura esterna dipende
dall’ora del giorno  la temperatura esterna
è funzione dell’ora del giorno, il peso di un
oggetto è funzione del suo volume …


Se una grandezza varia e il suo “variare” non
è casuale, ma dipende da quello di un’altra
grandezza (e quindi una è funzione dell’altra)
allora quella che “dipende” si chiama variabile
dipendente y mentre la grandezza che varia
ma in modo autonomo si chiama variabile
indipendente x.
Una funzione in cui y dipende da x si indica:
y = f(x)
[y è funzione di x, y varia al variare di x, …]


Una funzione si dice EMPIRICA se non segue leggi
matematiche: la variabile dipendente y si ricava
mediante rilevazione di dati (facendo un
esperimento, misurando i valori …) .
Esempi di funzioni empiriche sono
- la temperatura in funzione del mese dell’anno,
- i soldi incassati dal negozio in funzione del
giorno,
- la quantità di pioggia caduta in funzione del
mese dell’anno considerato …


Una funzione si dice MATEMATICA se segue
leggi matematiche: la variabile dipendente y
si ricava mediante operazioni matematiche
che si fanno sulla variabile indipendente x.
Ad esempio il perimetro di un quadrato (y) è
funzione del lato (è sempre il quadruplo), la
spesa per dei quaderni del costo di 2 euro
l’uno in funzione del numero di quaderni
comprati (sempre il doppio del numero dei
quaderni …)



y = 2x significa che “il valore di y dipende
dalla x nel senso che y è il doppio del valore
corrispondente di x”
y = 3x +2 “il valore di y si ottiene facendo il
triplo di x e poi aggiungendo 2”
y = 4 / x “il valore di y si ottiene dividendo il
numero 4 per il valore di x corrispondente”

Ho la funzione y = f(x) Ad esempio y = 2x +1

Disegno il I quadrante del piano cartesiano

Costruisco la tabella dei valori


Scelgo alcuni valori di x (di solito in modo
opportuno) e ricavo i valori di y corrispondenti
A questo punto rappresento i punti nel piano e li
unisco … ottenendo il grafico della funzione.
Rappresentazione
grafica della funzione
matematica
y = 2x +1
y
Si vede che unendo i
punti ottenuti dalla
tabella dei valori si
ottiene una semiretta
che parte dal punto
(0,1)
x

Due grandezze sono direttamente
proporzionali quando:
◦ se una raddoppia anche l’altra raddoppia, se una
triplica anche l’altra triplica, se una si dimezza
anche l’altra si dimezza …
◦ in questo caso il rapporto tra le due grandezze è
sempre uguale, è costante cioè k = y / x
◦ In questo caso k si chiama “costante di
proporzionalità diretta”
◦ la funzione è y = k·x e il grafico è quello di una
semiretta che parte dall’origine degli assi O (0,0)
Esempi di grandezze
direttamente proporzionali

Il perimetro di un triangolo equilatero è
direttamente proporzionale al lato del triangolo
y = 3∙x dove y (perimetro) e x (lato)
Se raddoppio il lato il perimetro raddoppia es. se il lato è 3cm
il perimetro è12 cm; se il lato è 6 cm il perimetro è 24 cm.

La spesa per l’acquisto di giornalini in funzione
del numero di giornalini acquistati (se un
giornalino costa ad es. 6 €)
y = 6∙x dove y (spesa) e x (numero giornalini)
Se i giornali sono 4 la spesa è 24€; se sono 8 la spesa è 48€
Si vede che se aumenta x,
aumenta anche y nel senso che se
x raddoppia y raddoppia, se x
quadruplica y quadruplica (es. se
x va da 2 a 4 , y va da 6 a 12 …)
y
Si osserva che per ogni coppia di
valori il rapporto tra y e x è
sempre lo stesso, è costante:
k = y/x quindi k = 3
Allora la funzione è
x
y = 3x
e il grafico è quello di una
semiretta che parte da O(0;0)

Due grandezze sono inversamente
proporzionali quando:
◦ se una raddoppia l’altra si dimezza, se una triplica
l’altra diventa un terzo, se una diventa un quinto
l’altra diventa cinque volte di più e così via…
◦ in questo caso il prodotto tra le due grandezze è
sempre uguale, è costante cioè h = y ∙ x
◦ In questo caso h si chiama “costante di
proporzionalità inversa”
◦ la funzione è y = h/x e il grafico è quello di un
ramo di iperbole che scende (se x aumenta y
diminuisce) e tende a toccare entrambi gli assi
senza raggiungerli
Esempi di grandezze
inversamente proporzionali

La base e l’altezza di un rettangolo sono inversamente
proporzionali se si vuole mantenere l’area uguale.
Ad esempio un rettangolo di area 60 m2 può avere base 1
cm e altezza 60 cm, ma se raddoppio la base a 2 cm
l’altezza deve dimezzarsi 30 cm, se triplico la base 3 cm
l’altezza diventa un terzo 20 cm (1∙60, 2∙30, 3∙20 ..)
Il numero di giorni per costruire un muretto è funzione del
numero di operai secondo una proporzinalità inversa: se 1
operaio ci impiega 12 giorni, 2 operai 6 giorni…
Il tempo impiegato per andare da un posto ad un altro è
funzione della velocità: se raddoppio la velocità il tempo
diventa la metà, se dimezzo la velocità il tempo diventa il
doppio …
y
Si vede che se aumenta x,
diminuisce y nel senso che se x
raddoppia y si dimezza, se x
triplica y diventa un terzo (es. se
x va da 1 a 2, y va da 12 a 6 …)
Si osserva che per ogni coppia di
valori il prodotto tra y e x è
sempre lo stesso, è costante:
h = y·x
quindi h= 12
Allora la funzione è
x
y = 12/x
e il grafico è quello di un ramo di
iperbole )


Le funzioni quadratiche sono funzioni in cui il
valore di y dipende dal quadrato di x , quindi
da x2
La funzione quindi avrà questa forma:
y = a ∙ x2
dove a è un numero intero o frazionario …
Esempio: area di un quadrato in funzione del
lato y = x2 (l=3cm, A= 9cm2; l=4 cm, A =
16 cm2…)
Si ottiene una curva detta arco di parabola.
y
Si vede che se aumenta x, y
aumenta con il quadrato di x
In questo caso
y = x2
e il grafico è quello di un
ARCO DI
PARABOLA
x