4.Il funzionamento di una stella tipo: il Sole
(continua)
Nella lezione precedente:
• Utilizzando il flusso f osservato sulla Terra e la distanza r Terra-Sole misurata,
abbiamo determinato la luminosità L = 3.9 x 1033 erg s-1
•Utilizzando la distanza r Terra-Sole misurata e il diametro angolare del Sole (32
arcmin), ne abbiamo determinato il raggio R = 6.7 x 1010 cm
•Utilizzando L e R , abbiamo ricavato il flusso superficiale f e da questo,
utilizzando la relazione di Stefan-Boltzman abbiamo ricavato la Te attesa di 5 800°K
•Abbiamo verificato che in una buona regione dello spettro del Sole si ha
effettivamente un buon fit dello spettro con una legge di copro nero a Te = 5 800 °K
•Abbiamo preso atto di alcuni fatti che indicano che la temperatura all’interno del
Sole deve essere comunque più elevata (il bordo del Sole è meno luminoso del
centro e lo spettro presenta righe di assorbimento)
• Quindi, in base alla luminosità L e a una stima minima dell’età della Terra (e
quindi del Sole) basata su analisi geologiche, abbiamo stimato che il Sole deve
disporre di una riserva totale di energia Etot > 5 x 1050 erg
• Utilizzando argomenti di dinamica classica (forza centripeta = forza gravitazionale)
abbiamo quindi calcolato la massa del Sole M = 2 x 1033 gm
• Utilizzando questo valore di massa abbiamo calcolato
la riserva di energia
gravitazionale Egrav = 3.8 x 1048 erg e abbiamo verificato che questa è inferiore a
quella richiesta Etot, e abbiamo quindi dedotto che l’argomento di Kelvin-Helmholtz
non è applicabile
• In base a semplici considerazioni di statica, abbiamo stimato che al centro del Sole
ci deve essere una pressione Pc 109 atmosfere
• Utilizzando i valori di M e R ricavati prima, abbiamo stimato una densità media
del Sole di 1.4 g cm-3 e abbiamo verificato che questa corrisponde alla densità di un
fluido di Idrogeno atomico “impacchettato” a una densità di un “atomo per volume di
atomo”
• Paragonando con le forze di legame atomico la pressione centrale Pc stimata
prima, abbiamo dedotto che l’Idrogeno, sottoposto a questa pressione non può
sopravvivere nello stato atomico, ma deve trovarsi nello stato di plasma neutro
• Assimilando il comportamento di un plasma neutro a quello di un gas perfetto, e
stimando il densità n di protoni per unità di volume, abbiamo ricavato una
temperatura centrale di gas perfetto Tc 15 x 106 °K
• Abbiamo quindi invocato l’elevata agitazione termica che corrisponde a questa
temperatura per giustificare, nelle collisioni protone-protone, il superamento della
barriera Coulombiana e quindi l’innesco della fusione 4H  He
• In base al rilascio di energia corrispondente al difetto di massa del nucleo di He, e
in base alla stima fatta del numero totale di protoni disponibili nel Sole, abbiamo
ricavato una riserva totale di energia termonucleare E 1051 erg, perfettamente
compatibile con la riserva necessaria Etot calcolata in precedenza
Ecco quindi come funziona una stella “tipo” di 1 M :
• Per effetto dell’attrazione gravitazionale, la stella
tenderebbe spontaneamente al collasso.
• A seguito della contrazione, la pressione negli strati
più interni raggiunge valori elevatissimi
• I legami atomici si rompono e la materia si
comporta come un plasma
• La corrispondente temperatura di gas perfetto
corrisponde ad una agitazione termica che consente il
superamento della barriera Coulombiana e l’innesco
della fusione
4H  He (proton-proton chain)
• L’energia termonucleare che si libera sostiene il
collasso gravitazionale
In queste condizioni, la stella è in equilibrio:
(cosa impedisce al Sole di comportarsi come una bomba nucleare ?)
• una ulteriore contrazione aumenta la pressione e la temperatura interna,
aumentando l’efficienza della fusione che a sua volta bilancia ulteriormente il
collasso.
• un eventuale aumento spontaneo della efficienza della fusione tende a fare
espandere la stella, provocando una diminuzione della pressione interna e un
conseguente raffreddamento, e quindi una diminuzione dell’efficienza di fusione
• in questo modo, l’energia radiante Lc prodotta nel nucleo centrale del Sole è
uguale alla luminosità osservata L
Ecco quindi la risposta alla nostra domanda iniziale:
La riserva primaria di energia nel Sole è l’energia termonucleare che si sviluppa grazie alla
interazione nucleare forte
E’ il rilascio di energia che si libera nella “caduta” dei protoni nella buca di potenziale
dell’interazione nucleare forte che costituisce la fonte primaria di energia nel Sole
In un certo senso, l’energia gravitazionale che era stata presa in considerazione
originariamente come possibile riserva di energia, agisce solo da innesco.
L’energia gravitazionale crea le condizioni di pressione interna perché si rompano i legami
atomici e la materia si comporti come un plasma, la cui agitazione termica di gas perfetto
consente il superamento della barriera Coulombiana fra i protoni
In questo modo i protoni possono avvicinarsi fino al range di azione della interazione
nucleare forte e cadere nella buca di potenziale, liberando energia
Il nucleo di He che si forma grazie alla reazione 4HHe (alla quale partecipa anche
l’interazione nucleare debole che consente la trasformazione protone-neutrone) presenta un
difetto di massa dello 0.7% rispetto alla massa totale dei due protoni e neutroni che lo
compongono. Questo difetto di massa viene restituito in energia
Vediamo adesso di fare alcune considerazioni di termodinamica
Vedremo che la presenza della enorme riserva di energia termonucleare ha anche implicazioni
in relazione alla termodinamica del Sole
Se NON ci fosse l’innesco delle reazioni nucleari e il Sole fosse semplicemente una sfera di
gas autogravitante (cioè una sfera in cui competono semplicemente la forza gravitazionale e la
propria energia di agitazione termica) , cosa succederebbe ?
Una sfera di gas autogravitante, quando si comprime si scalda.
Normalmente, un corpo caldo irradia calore nel mezzo circostante più freddo, e così si
raffredda esso stesso, fino a portarsi in equilibrio col mezzo circostante.
Ma nel caso di una sfera di gas autogravitante, la sfera irradiando calore perde energia e si
contrae. Ma contraendosi si scalda ancora di più.
Quindi una ipotetica stella autogravitante tende a evolversi verso uno stato di sempre maggiore
disparità di temperatura con il resto dell’universo, violando i principi della termodinamica ?
Nel caso del Sole, la violazione è apparente: la termodinamica impone che un corpo si porti
alla stessa temperatura del mezzo circostante solo quando ha raggiunto completamente
l’equilibrio termodinamico: Il Sole non è in equilibrio termodinamico.
Ciò che impedisce al Sole di raggiungere l’equilibrio termodinamico è proprio la reazione
nucleare, che come abbiamo visto ne allunga la vita.
Trasporto radiativo nel Sole
Con la densità e la temperatura che abbiamo nel nucleo centrale del Sole, la materia
è opaca.
Quindi ci possiamo aspettare che materia e radiazione siano localmente in perfetto
equilibrio termodinamico.
La radiazione associata alla temperatura di corpo nero di 15 x 106 °K contiene
essenzialmente raggi X. Infatti (legge dello spostamento di Wien):
max = 0.3 / T cm
= (0.3 /15) x 10-6 cm
= 2 x 10-8 cm
I raggi X interagiscono pesantemente con la materia e all’interno del Sole il tragitto
medio per i raggi X e di circa ½ cm, prima di subire una delle due sorti:
• Assorbimento (e quindi riemissione a lunghezza d’onda più bassa)
• Scattering (diffusione) in una direzione differente.
• Assorbimento (e quindi riemissione a lunghezza d’onda più bassa)
• Scattering (diffusione) in una direzione differente.
Quindi ogni fotone, nel suo lento percorso dall’interno verso l’esterno, viene
“degradato” da fotone X, caratteristico della temperatura centrale di 15 x 106 °K, a
fotone ottico, caratteristico della temperatura superficiale di 5 800 °K
In più ogni fotone subisce continui “urti” (scattering) e quindi il suo percorso è
assimilabile al “random walk”. Il cammino libero medio di un fotone all’interno del
Sole è l= 0.5 cm
tempo di fuga t = 3 R2 / lc
Fotone ottico
Fotone X
Cammino libero medio = ½ cm
Tempo di “fuga” t30 000 anni
Calcoliamo adesso quale è l’implicazione sulla luminosità del Sole L di
questa lenta perdita di fotoni.
• sappiamo che la densità di energia del campo di radiazione è:
Erad = aTm4
•. quindi la quantità totale di energia del campo di radiazione in una sfera è:
Erad = Erad x volume = Erad x (4/3)  R3
• e questa viene persa in un tempo (il tempo di fuga)
• quindi, se tutta la luminosità L
t = 3 R2 / lc
“si libera” attraverso “trasporto radiativo” si ha:
L = Erad / t = aTm4 (4/3)  R3 / (3 R2 / lc)
• Per L = 3.9 1033 erg sec-1 questo richiede una temperatura media interna
Tm 4 x 106 °K (il che conferma i calcoli precedenti)
Tuttavia: negli strati più esterni invece (T 6000 °K) , il trasporto radiativo non consente di
sostenere una Luminosità così elevata e il trasporto di energia termica per “convezione”
prevale sul trasporto radiativo.
Principi di struttura stellare
• A questo punto siamo in grado di capire perché ha la dimensione che ha
• La valvola di sicurezza (equilibrio idrostatico) che opera nel Sole fa sì che:
• ad ogni istante il raggio R sia esattamente quello richiesto
per mantenere all’interno una ben precisa temperatura T
• la temperatura T tale è quella necessaria a mantenere una
ben precisa efficienza delle reazioni nucleari
• l’energia liberata in queste reazioni nucleari è pari alla perdita
di energia per trasporto radiativo
• Come vedremo in seguito, a parte la composizione chimica iniziale, il parametro
che determina la Luminosità L e il raggio R di una stella è la sua massa
I principi della struttura stellare possono essere quindi così riassunti:
1. Equilibrio Idrostatico: a ogni profondità, la pressione interna è uguale al
peso della materia contenuta in una colonna di area unitaria
2. Trasporto radiativo di energia: i fotoni prodotti nel nucleo centrale del
Sole migrano dall’interno (alta temperatura), all’esterno (bassa
temperatura) attraverso un processo di “random walk” attraverso il quale
l’energia termica viene trasportata verso l’esterno.
3. Produzione di energia: affinché una stella sia in equilibrio termico,
l’energia trasportata attraverso una qualsiasi superficie sferica (a qualsiaisi
livello di profondità) deve essere compensata da un uguale produzione di
energia all’interno della sfera.
4. Safety valve: Se la produzione di energia interna è insufficiente a
sopperire alla perdita di energia, ne risulta una contrazione gravitazionale
che, aumentando la temperatura interna, aumenta l’efficienza di
produzione di energia nucleare all’interno, fino a soddisfare la 3.
5. Trasporto convettivo di energia: negli strati più esterni, la temperatura
relativamente bassa rende meno efficace il trasporto radiativo dell’energia
termica, sul quale prevale il trasporto convettivo
Zona di convezione nel Sole
Nucleo
Facendo seguito a quanto discusso fino adesso,
nel Sole definiamo le seguenti regioni:
• Il Nucleo: dove la temperatura T è
sufficientemente alta da produrre fusione di H in
He
• La Zona radiativa: qui i fotoni generati nel
nucleo fanno “random walk” (la zona è
otticamente spessa). Il trasporto dell’energia
termica verso l’esterno è radiativo.
Fotosfera
Zona Radiativa
Zona Convettiva
• La Zona Convettiva: qui il trasporto radiativo
non è più efficace. Il trasporto di energia avviene
per convezione
• La Fotosfera: lo strato esterno “otticamente
“sottile” dove i fotoni smettono di fare “random
walk” e “volano via”
Ancora sulla differenza fra Zona radiativa e Zona Convettiva
• Il Sole, abbiamo visto, obbedisce alla legge di Stefan-Boltzman:
L = 4 R2 Te4 = 3.9 x 1033 erg s-1
• D’altra parte, la luminosità liberabile per trasporto radiativo è:
L = Erad / t = aTm4 (4/3)  R3 / (3 R2 / lc)
• Ma il Sole non è un corpo nero ideale e Tm  Te
• La condizione che tutta l’energia si liberi per trasporto radiativo :
L = L
non è realizzabile quando T  Te. Infatti in questo caso:
L=
aT4 (4/3)  R3 / (3 R2 / lc) 1022 erg s-1 << L
Ecco che negli strati più esterni il meccanismo convettivo di trasporto dell’energia prevale su
quello radiativo. Stelle molto fredde possono essere completamente convettive
• Quindi, nella Zona Convettiva, bolle di gas
caldo migrano verso l’esterno e bolle di gas
freddo migrano verso l’interno
• Non c’è trasporto netto di materia, ma c’è
trasporto netto di energia termica.
Struttura granulare della zona convettiva
Esercizi
Esercizio 1: Spiegate come, in base a considerazioni geometriche, si può
ricavare una stima della distanza del Sole.
Da semplici considerazioni trigonometrica risulta rluna / rsole = cos 
La misura risulta difficile e richiede precisione, in quanto  90°
Esercizio 2: Assumendo di avere ottenuto con l’esercizio precedente una stima
della distanza del Sole r 1.5 x 1013 cm (1 A.U.), ricavate una stima del diametro
del Sole, specificando di quale altra “quantità osservabile” avete fatto uso.
La dimensione (diametro) angolare del Sole visto dalla terra è  32 arcmin.
Alla distanza r di 1AU = 1.5 1013 cm, questo implica R  6.7 1010 cm
Infatti: R/r /2
(il fattore due deriva dal fatto che del sole stiamo usando il diametro angolare)
R = r x /2 ( = ((32/60)/180) x )  r x 0.0093/2 = 6.7 x 1010 cm
r
Esercizio 3: Utilizzando i solo dati ricavati in precedenza, e utilizzando come
unica ulteriore quantità osservabile il “colore” dominante del Sole, fate una stima
della sua luminosità e spiegate che ipotesi avete fatto.
• Conosciamo il raggio R = 6.7 x 1010 cm
• Utilizzando il colore “dominante” paragonandolo a famiglie di curve di emissione
di corpo nero possiamo ipotizzare una Te 6000 °K
• Dalla relazione di Stefan-Boltzman possiamo calcolare il flusso superficiale f:
f =  Te4 = 5.67 x 105 x (6000)4 = 7.35 x 1010 erg cm-2 s-1
• Inoltre possiamo scrivere che:
L = f x 4R2 = 4 x 1033 erg s-1
(leggermente superiore al valore 3.9 per avere stimato 6000 °K contro 5800 °K)
Esercizio 4: Fate una stima della massa del Sole e ricavate quindi la sua riserva
di energia gravitazionale. Spiegate in base a quali considerazioni si può affermare
che questa riserva non è sufficiente a spiegarne il principio di funzionamento
la ricaveremo eguagliando forza centripeta F=ma (a=v2/r) e forza gravitazionale:
 M  = rv2/G
m v2/r = G m M  / r2
r = 1 A.U. = 1.5 x 1013 cm
v = 2r / P con P = 3.16 x 107 sec (1 anno)
v = 2.98 x 106 cm/sec
da cui risulta:
M = rv2/G = 2 x 1033 gm
L’energia gravitazionale Egrav di una sfera di massa M e raggio R dipende dalla
distribuzione di massa all’interno della sfera, ma è comunque dell’ordine di
Egrav = G M2 / R 3.8 x 1048 erg
Con questa riserva di energia, il Sole durerebbe meno dell’età stimata per la Terra
(reperti geologici…)
 = Egrav / L  = (3.8 x 1048) / (3.9 x 1033) 1015 s 30 x 106 anni
Esercizio 5: Cosa rende il trasporto radiativo meno efficace del trasporto
convettivo negli strati più esterni del Sole ? Perché ? Che formule possiamo
utilizzare a riguardo ?
• sappiamo che la densità di energia del campo di radiazione è:
Erad = aTm4
•. quindi la quantità totale di energia del campo di radiazione in una sfera è:
Erad = Erad x volume = Erad x (4/3)  R3
• e questa viene persa in un tempo (il tempo di fuga)
t = 3 R2 / lc
• quindi, perché tutta l’energia del campo di radiazione si liberi in luminosità L
attraverso trasporto radiativo deve aversi:
L = Erad / t = aTm4 (4/3)  R3 / (3 R2 / lc)
• Negli strati più esterni, in cui Tm è più bassa, la luminosità liberabile Erad/t può
diventare minore di quella osservata L, il che implica che un altro meccanismo
(la convezione) domina sul trasporto radiativo.
Esercizio 6: Come si spiega il fatto che il bordo del Sole è meno luminoso del
centro ?
Bassa Temperatura
Alta Temperatura
r
Filtro
Esercizio 7: All’interno del Sole stimiamo che ci sia una pressione di 2.17 x 1017
dyne cm-2 . Dimostrate che in queste condizioni non può esistere Idrogeno allo
stato atomico. In che stato si trova allora l’idrogeno all’interno del Sole ?
F = e2/r12
+
2 r1
(forza di legame)
+
P=2.1 x 1017 dyne cm-2
P’ = e2/4r14 = 7.2 x 1013 dyne cm-2
(Forza per unità di area = pressione equivalente)
L’Idrogeno all’interno del Sole si trova nello strato di Plasma
Esercizio 8: cosa rende possibile all’interno del Sole l’innesco della fusione
dell’Idrogeno ?
Agitazione termica:
• Distribuzione di probabilità di v:
exp(-mv2/2kT)
•
(Maxwelliana)
energia
Effetto tunnel
r