Il suo genio non ha uguali né simili
“Eulero calcolava senza sforzo
apparente proprio come gli uomini
respirano e le aquile volano nel vento”.
Francois Arago
Metodo numerico di
Eulero
Prof. Messina
Lo studio di un sistema si riconduce
quasi sempre allo studio di una
equazione differenziale.
L’equazione differenziale stabilisce una
relazione tra la variabile
indipendente t, la funzione incognita
y(t) e le sue derivate.
Risolvere una equazione differenziale del 1°ordine
data nella forma :
Costante di tempo

du(t )
 u(t ) vin (t )
dt
derivata della funzione incognita
Ingresso del sistema
Uscita del sistema funzione incognita
Significa trovare la funzione u(t) che sostituita
nell’equazione rende uguale a vin(t) l’espressione a
sinistra del segno di uguaglianza, qualunque sia il
valore di t.
Il metodo più semplice per risolvere una
equazione differenziale di 1° ordine è il
metodo di Eulero.
Questo metodo consente di sostituire l’equazione
differenziale con una equazione di differenze
finite in un determinato intervallo di tempo.
Con tale metodo si può affermare che il valore della derivata
calcolato in un punto è approssimativamente uguale al valore
del rapporto incrementale quando l’intervallo di tempo t è
piccolo e finito.
Per cui
du(t ) u

dt
t
e
u  ui 1  ui
Dove u i è il valore dell’uscita nell’istante generico (i) e
valore per l’istante successivo.
t f  t0
t 
n
u
i+1 il
Intervallo in corrispondenza del quale
si vuole calcolare il valore
approssimato della la funzione
incognita
Numero di parti con cui si vuole
dividere l’intervallo considerato
Il numero di istanti di tempo in cui
si valuta il valore dell’uscita
Come detto:
Con il metodo di Eulero si può affermare che il valore della derivata calcolato in un
punto è approssimativamente uguale al valore del rapporto incrementale quando
l’intervallo di tempo t è piccolo e finito.
Se i=0 allora:
ti = t0
u(t)
t0 + t = t1
u
t
u1
u0
t1 + t = t2
t2 + t = t3
t3 + t = t4
P1
u
P0
t
t0
t1
t2
t3
t4
t
Sostituiamo ora nella equazione differenziale originaria il
simbolo della derivata con quello delle differenze finite.
Originaria

Differenze finite
du(t )
 u(t )  vin (t )
dt

u(t )
 u(t )  vin (t )
t
Si sceglie il passo t - normalmente circa 10 volte minore della
costante di tempo t .
Il numero di
istanti di tempo in
cui si valuta il
valore dell’uscita
è dato da:
t f  t0
n
t
Dove tf è l’istante finale
e t0 l’istante iniziale
Si sostituisce a u
u  ui 1  ui
Dove:
ui
è il valore dell’uscita
nell’istante generico (i)
ui+1
E se consideriamo i = 0
ui sarà u0
u
l’istante successivo
i+1
sarà u1
Si ottiene quindi:
du(t )

 u(t )  vin (t )
dt
u(t )

 u(t )  vin (t )
t
u i1 
vin  ui

 t  ui
u u
  i 1 i  ui  vin
t
Da cui
Valore di ingresso
ui 1 
vin  ui

Intervallo di tempo
Detto anche “Passo”
 t  ui
Uscita istante successivo
Uscita istante precedente
Costante di tempo
Ora si può stilare una tabella, con Excel, nella quale si calcolano i valori dell’ uscita
del sistema per gli istanti di tempo definiti in base alle condizioni iniziali.
Supponiamo di voler studiare un sistema con  = 50s e Vi = 10
nell’intervallo di tempo 0-100s e di aver scelto come passo t = 5s si
ottiene un numero di istanti di tempo pari a :
n
t f  t0
t
 20
Nella prima colonna inseriamo il valore del pedice (i), nella seconda colonna gli istanti
di tempo in cui si vuole studiare l’uscita u(t) con Passo 5s e nella terza colonna si
inserisce la formula dalla quale si ottiene il valore della u(t) nel corrispondente istante.
A
B
C
1
i
t
u(t)
2
0
0
0
3
1
5
1
4
2
10
1,9
21
20
20
…
u1 
vi  u0

 t  u0
=
10  0
5  0
50
=1
La formula viene inserita nella cella C3 e
poi trascinata fino alla cella C21
v u
u2  i 1  t  u1

Una volta ottenuti tutti i valori assunti dall’uscita del sistema
nell’intervallo specificato 0 – 100s possiamo tracciare i grafici
relativi alla risposta del sistema in funzione del tempo e analizzarne
il risultato.
CARICA DI UN CONDENSATORE
14,00
12,00
vc[v]
10,00
8,00
vc[v]
6,00
4,00
2,00
0,00
0
100
200
t[s]
300
400