Prendiamo in considerazione le figure geometriche nel piano, cioè le
figure piane, intendendo con questo termine “un qualsiasi insieme di
punti appartenenti a uno stesso piano”.
Disegniamo più segmenti consecutivi:
Una spezzata può essere:
C
B
F
G
A
D
I
E
L
M
H
Q
S
T
U
P
R
N
V
O
Le figure che abbiamo ottenuto
prendono il nome di spezzate o
poligonali.
• aperta, se il primo segmento e
l’ultimo non sono consecutivi;
• chiusa, se il primo e l’ultimo
segmento sono consecutivi;
• semplice, se segmenti non
consecutivi non si incontrano in
alcun punto;
• intrecciata, se segmenti non
consecutivi si incontrano in un
punto.
Riassumiamo in una tabella a doppia entrata:
Spezzata
Aperta
Chiusa
Semplice
Intrecciata
Una spezzata semplice chiusa divide il
piano in due parti, una interna e una
esterna. Quella esterna è infinita, quella
interna è finita. La parte interna è quella
che si chiama poligono.
D
C
E
α
A
B
D
Si chiama poligono la parte di piano limitata
da una spezzata semplice chiusa.
Le parole della matematica:
lato
C
E
α
A
B
F
A
diagonale
Vertice
E
B
Angolo esterno
C
D
Angolo interno
La spezzata che delimita il poligono si
chiama contorno e rappresenta il
perimetro del poligono. I segmenti che
formano la spezzata si chiamano lati del
poligono, e i loro estremi, vertici del
poligono, gli angoli convessi formati da
due segmenti consecutivi, angoli interni
del poligono, gli angoli formati da un lato
e dal prolungamento del lato consecutivo,
angoli esterni del poligono.
Angoli interni e angoli esterni aventi il
vertice in comune sono adiacenti e quindi
supplementari: α + β = 180°.
Il segmento che unisce due vertici non
consecutivi si chiama diagonale.





Proviamo a tagliare gli
angoli esterni di un poligono
e poi riuniamo tutti gli angoli
esterni attorno a un unico
vertice, notiamo che la loro
somma è un angolo giro.



Possiamo concludere dicendo che:
In un poligono qualsiasi la somma degli angoli esterni è
sempre un angolo giro, cioè misura 360°, qualunque sia il
numero dei lati.


Consideriamo il poligono ABCDE e i suoi angoli interni. Sappiamo che
angoli interni e angoli esterni aventi il vertice in comune sono
supplementari, cioè: α + α’ = 180° e β + β’ = 180°
Complessivamente allora la somma degli angoli
interni ed esterni di un poligono di 5 lati è 5 angoli
piatti:
S  5 180
c
Abbiamo visto prima che la somma degli
angoli esterni è sempre pari a due angoli
piatti:
Quindi:
S E  2 180
E
A

'
 

B
D

C
'
S I  SC  S E cioè S I  5 180  2 180  (5  2) 180
Possiamo concludere dicendo che:
Sc= angoli esterni + angoli interni
In un poligono qualsiasi di n lati, la somma degli
angoli interni è sempre :
SE = somma angoli esterni
SI  n  2180
SI = somma angoli interni
C
Il triangolo è un poligono di tre lati e tre angoli.

In esso, ovviamente, possiamo anche affermare
che:
• la somma degli angoli esterni misura 2 x 180°

A
• la somma degli angoli interni misura 180°
Elementi di un triangolo
Si dicono elementi di un triangolo i suoi lati e i suoi
angoli interni ed esterni.
 compreso fra AB e AC, opposto a BC;


compreso fra AB e BC, opposto a CA;
compreso fra BC e CA, opposto ad AB.

B
•equilatero, se ha i
tre lati congruenti;
•rettangolo, se ha
un angolo retto;
•acutangolo, se ha
tre angoli acuti;
•isoscele, se ha
due lati
congruenti;
•scaleno, se ha i
tre lati disuguali.
•ottusangolo, se ha
un angolo ottuso.
Consideriamo il triangolo ABC e il suo vertice
A; il segmento AH che inizia da questo vertice
e va a intersecare il lato opposto BC
perpendicolarmente ad esso si chiama altezza
del triangolo relativa al lato BC e il punto H si
chiama piede dell’altezza.
A
B
C
H
A
Poiché il triangolo ha tre lati, avrà
complessivamente tre altezze:
M
•AH relativa al lato BC, di piede H;
K
O
•BK relativa al lato AC, di piede K;
•CM relativa al lato AB, di piede M.
B
H
In un qualsiasi triangolo le tre altezze si incontrano in un unico punto O detto
ortocentro.
C
A
Disegniamo un triangolo rettangolo
e le sue tre altezze.
Osserviamo che:
K
B H M O
a) l’altezza AH, relativa al lato BC, coincide con il lato AB, che si
chiama cateto;
b) L’altezza CM, relativa al lato AB, coincide con il lato BC, che è l’altro
cateto.
c) I due piedi H e M coincidono con il vertice B dell’angolo retto, il piede
K è interno al terzo lato AC, che si chiama ipotenusa;
d) L’ortocentro O coincide con i due piedi H e M e con il vertice B
C
Disegniamo adesso un triangolo
ottusangolo e le sue tre altezze,
osserviamo che:
A
K
a) Solo L’altezza BK, relativa al lato
AC, è interna al triangolo e quindi il
suo piede K è interno ad AC;
b) Le due altezze AH, relativa a BC, e
CM, relativa ad AB, sono esterne
al triangolo, esse incontrano il lato
relativo nel suo prolungamento,
quindi i loro piedi H ed M sono
punti esterni ai lati BC e AB;
H
B
C
M
c) L’ortocentro è un punto esterno al
triangolo; esso è il punto di
incontro dei prolungamenti delle tre
altezze.
o
Possiamo riassumere dicendo che:
L’altezza di un triangolo relativa a un lato è il segmento
perpendicolare condotto dal vertice opposto alla retta a cui
appartiene il lato.
Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un unico punto O detto
ortocentro che può essere interno (nel triangolo acutangolo),
esterno (nel triangolo ottusangolo) o coincidente con il vertice
dell’angolo retto (nel triangolo rettangolo).
A
A
A
H
ortocentro
H
O
B
B
H
C BO
C
ortocentro
O
C
ortocentro
A
Consideriamo il triangolo ABC e il
suo vertice A; il segmento AM
che unisce questo vertice con il
lato opposto, dividendo l’angolo A
in due parti di uguale ampiezza,
si dice bisettrice di vertice A del
triangolo.
C
M
B
A
Poiché il triangolo ha tre vertici,
avrà complessivamente tre
bisettrici:
P
N
•AM bisettrice di vertice A;
•BN bisettrice di vertice B;
•CP bisettrice di vertice C.
B
C
M
Diciamo che:
La bisettrice di un triangolo relativa a un vertice è il segmento che unisce il
vertice con il lato opposto dividendo a metà l’angolo, è cioè il segmento di
bisettrice di quell’angolo.
Le tre bisettrici si incontrano in un unico punto I, detto incentro, che è
sempre interno al triangolo.
A
A
A
incentro
I
B
I
incentro
C
B
I
incentro
C
B
In un qualsiasi triangolo l’incentro è equidistante dai tre lati.
C
C
Consideriamo il triangolo CDE e il suo
vertice C; il segmento CT che unisce questo
vertice con il punto medio del lato opposto si
chiama mediana relativa al lato DE.
D
E
T
C
Anche di mediane, naturalmente, ne
esistono tre:
R
•CT mediana relativa al lato DE
B
S
•DS mediana relativa al lato CE
•ER mediana relativa al lato DC
D
T
In ogni triangolo le tre mediane si incontrano in un unico punto B detto
baricentro. In ogni triangolo le mediane e il baricentro sono sempre interni.
In un qualsiasi triangolo il baricentro divide ogni mediana in due parti che
sono una il doppio dell’altra.
E
Esaminiamo la parola “baricentro”,
essa deriva dal greco “bàros”, “peso”,
e letteralmente significa “centro del
peso”. Il baricentro gode infatti di una
notevole proprietà fisica: è l’unico
punto di equilibrio del triangolo.
Se disegniamo un triangolo su un
cartoncino rigido, lo ritagliamo e
cerchiamo di farlo stare in equilibrio su
una punta o appendendolo a un filo, ci
accorgiamo che dobbiamo
appoggiarlo o appenderlo per il suo
baricentro.
Possiamo riassumere dicendo che:
La mediana di un triangolo relativa a un lato è il segmento che unisce il
punto medio del lato con il vertice opposto.
Le tre mediane si incontrano in un unico punto B, detto baricentro, che è
sempre interno al triangolo.
Il baricentro divide ogni mediana in due parti, una doppia dell’altra, ed è il
punto di equilibrio del triangolo.
D
G
L
baricentro
B
A
B
C
baricentro
E
B
F
H
I
baricentro
D
Consideriamo il triangolo DEF e il
suo lato EF, sia M il punto medio di
EF; la retta m, perpendicolare a EF
passante per il punto M, si chiama
asse del lato EF
E
M
F
asse
Essendo tre i lati, tre sono gli
assi di un triangolo:
•M asse del lato EF
•N asse del lato DF
m
r
n
R
•R asse del lato DE
In ogni triangolo i tre assi si incontrano in un
unico punto detto circocentro.
D
E
N
C
M
F
m
D
Consideriamo ancora il triangolo acutangolo,
gli assi dei suoi lati e il circocentro: il
circocentro C è un punto interno al triangolo.
r
n
R
N
C
M
E
F
m
Disegniamo un triangolo rettangolo,
gli assi e il circocentro; il circocentro
C coincide sempre con il punto medio
dell’ipotenusa
Disegniamo un triangolo ottusangolo, gli
assi e il circocentro: il circocentro è
sempre un punto esterno al triangolo.
n
N C
R
C
NN
R
r
n
r
M
m
M
O
Disegniamo un triangolo qualsiasi
OPQ, gli assi e il circocentro;
misuriamo con un righello i segmenti
CO, CQ e CP, ci accorgiamo che
hanno la stessa lunghezza:
OC  CP  CQ
r
n
R
N
C
P
M
Q
m
Possiamo dire che:
In un qualsiasi triangolo il circocentro è equidistante dai vertici.
Riassumendo quanto detto:
L’asse di un triangolo relativo a un lato è la retta perpendicolare passante per il
punto medio del lato considerato.
I tre assi si incontrano in un unico punto C detto circocentro che può essere
interno (triangolo acutangolo), esterno (triangolo ottusangolo) o coincidente con
il punto medio dell’ipotenusa (triangolo rettangolo).
Il circocentro è sempre equidistante dai vertici del triangolo.
A
G circocentro
L
C
C
C
B
circocentro
circocentro
D
E
F
H
N
Ortocentro, incentro, baricentro e circocentro prendono
il nome di punti notevoli di un triangolo.
I
Il perimetro di un poligono è la somma del suo contorno, cioè la
somma della misura di tutti i suoi lati
triangolo
triangolo equilatero