Misura di figure
Figure equivalenti e aree
Cosa vuol dire misurare
una figura geometrica?




Possiamo misurare la parte di piano che occupa
cioè la sua estensione.
Parlando di misura la parola “uguaglianza”,
“congruenza” non è più sufficiente.
Infatti due figure che hanno la stessa estensione
non è detto che siano congruenti!
Introduciamo il concetto di EQUIVALENZA tra
figure.
Figure equivalenti
1)
2)
3)
Due figure si dicono EQUIVALENTI se vale
almeno una delle tre affermazioni che
seguono:
Sono congruenti
Sono equicomposte o equiscomponibili
Sono ottenute per sottrazione di figure
uguali da figure uguali in partenza
1)
Congruenti
Perfettamente sovrapponibili mediante
movimento rigido (rotazione, traslazione, rototraslazione)
2)
Equicomposte
o equiscomponibili
3)
Ottenute per sottrazione di figure uguali da
figure uguali in partenza


Due poligoni equivalenti hanno la stessa
estensione
AREA = misura dell’estensione di una
superficie (parte di piano)
Quindi:
Due figure EQUIVALENTI
hanno la stessa AREA
Come misurare un’area?




Misurare  confronto
Come unità di misura conviene scegliere una
piccola area quindi una piccola figura
Proviamo ad effettuare un RICOPRIMENTO
della figura da misurare
Per avvicinarsi il più possibile alla misura
“reale”, le unità di misura che affianchiamo non
devono soprapporsi, non devono creare buchi,
non devono lasciare avanzi.
Ricoprimenti

Ricopriamo un rettangolo con CERCHI

Ricopriamo un rettangolo con PENTAGONI

Ricopriamo un rettangolo con ESAGONI

Ricopriamo un rettangolo con ESAGONI e ROMBI

Ricopriamo un rettangolo con ROMBI

Ricopriamo un rettangolo con RETTANGOLI

Ricopriamo un rettangolo con QUADRATI
Perché l’area si ottiene
da un prodotto di lunghezze?

L’area come prodotto di lunghezze deriva dal fatto
che consideriamo come unità di misura un poligono
che si possa affiancare in modo tale da non lasciare
buchi e che abbia i lati sottomultipli dei lati della
figura da misurare.

Affinché l’unità di misura sia la stessa sia per la
lunghezza sia per la larghezza, conviene scegliere
come unità di misura un QUADRATO di lato unitario.
Area di poligoni
Rettangolo
A  bh
N.B. Tracciando una diagonale del rettangolo, si
ottengono due triangoli rettangoli congruenti. Quindi
bh
per il triangolo rettangolo vale
A
2
Parallelogrammo

Un parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo
avente la stessa base e la stessa altezza
A  bh
Triangolo

Ogni diagonale del parallelogrammo lo divide in
due triangoli congruenti (acutangoli o ottusangoli)
quindi per ogni triangolo
bh
A
2
Quadrato
l
A  l l
l
Al
2
Rombo

d1
d2
Un rombo è equivalente
alla metà di un
rettangolo che ha per
lati le diagonali del
rombo
d1  d 2
A
2
Osservazione:
Questo vale per qualsiasi
quadrilatero avente le
diagonali perpendicolari
Considerando il
quadrato come rombo

d
d
Le due diagonali sono
congruenti, quindi
d d
A
2
2
d
A
2
Trapezio

Un trapezio è equivalente alla metà di un
parallelogrammo di uguale altezza ed avente per
base la somma delle basi del trapezio stesso.

b1  b2   h
A
2
b2
b1
h
b1
b2