Moduli 05–06
Programma della giornata
Momento di
regolazione
(Autovalutazione iniziale - Laboratorio - Fondamentali …)
Avvio del
laboratorio:
1a parte
La possibilità di scegliere
UNO DEI PRESUPPOSTI DEL NOSTRO LAVORO È STATO DARE
UNO SPAZIO DI LIBERTÀ AGLI ALLIEVI ALL'INTERNO DEL
LAVORO QUOTIDIANO DI CLASSE.
CONIUGARE LA LIBERTÀ CON L'APPRENDIMENTO DELLA
MATEMATICA È STATA UNA SFIDA AFFRONTATA COSCIENTI CHE
CI SAREMMO DOVUTI CONFRONTARE CON IL DIFFICILE
PROBLEMA DELLA SCELTA.
SCEGLIERE È UNO DEI COMPITI PIÙ DIFFICILI PER L'ALLIEVO
PERCHÈ IMPLICA ASSUNZIONE DI RESPONSABILITÀ.
NON CONSIDERIAMO LA CAPACITÀ DI SCEGLIERE COME UN
PREREQUISITO (nel senso che un allievo per affrontare l'approccio
deve essere già capace di scegliere).
La possibilità di scegliere
CONSIDERIAMO L'ACQUISIZIONE DI QUESTA CAPACITÀ COME
UNO DEGLI OBIETTIVI SOCIO-AFFETTIVI PRIORITARI.
L'AUTONOMIA DI LAVORO È SIA UN PRE-REQUISITO RICHIESTO
AGLI ALLIEVI PER FUNZIONARE NELL'APPROCCIO CHE UNA
CAPACITÀ SVILUPPATA DALL'APPROCCIO STESSO.
L'APPROCCIO SVILUPPA LA CAPACITÀ DI AUTONOMIA, DI
ANTICIPAZIONE,
DI
GESTIONE
DEL
TEMPO,
DI
ORGANIZZAZIONE DEL LAVORO.
QUESTE CAPACITÀ SONO GIÀ PRESENTI NEGLI ALUNNI PIÙ
"BRILLANTI"
SONO DIFFICILI DA COSTRUIRE, SPECIE IN TERZA, CON GLI
ALLIEVI "DEBOLI".
La possibilità di scegliere
L'APPROCCIO SEMBRA PERMETTERE ALLA MAGGIORANZA
DEGLI ALLIEVI DI SVILUPPARE L'AUTONOMIA DI LAVORO.
IN DIMAT SI TRATTA DI IMPARARE CON IL TEMPO
GRADATAMENTE A SCEGLIERE SOPRATTUTTO PER SE STESSI.
PER IMPARARE A SCEGLIERE OCCORRONO GLI STRUMENTI
ADEGUATI CHE FACILITINO IL COMPITO ( FV, TABELLA DI
AUTOVALUTAZIONE, QUESTIONARI DI AUTOVALUTAZIONE
INTERMEDIA E FINALE, FOGLI BIS)
Libertà di ritmo
…...
di crescita
di comprensione
Ritmi
e tempi
diversi
di apprendimento
di lettura e scrittura
di movimento
di lavoro, di perseveranza
…...
Momenti del lavoro
scolastico
A inizio anno si dà molto spazio al
momento di autovalutazione
(quando ogni allievo deve poter
sapere cosa sa e cosa invece non
conosce)
V
P
R
S
Qui è il momento della scoperta
(legato ad una attività di ricerca) a
prendere il sopravvento (una
coppia di allievi che sta lavorando
attorno alla scoperta di alcune
strategie di partizione).
S
V
P
S
Qui alcuni allievi hanno scoperto
di non padroneggiare determinate
conoscenze previste nei fogli di
valutazione (per esempio nelle
misure di peso non conoscere a
sufficienza le trasformazioni) e,
allora, decidono di prepararsi
bene.
Equilibrio del quadrato
V
P
R
S
• Durante il laboratorio
gli allievi sono liberi di
scegliere le attività che
sentono
come
maggiormente
necessarie
(valutazione, ripresa,
preparazione,
situazioni,
gioco,
ricerca)
FV
FV
P
R
Giada e Luisa si
interrogano sul
calcolo orale dopo
un momento di
preparazione
Andrea analizza e
riprende alcuni
errori fatti nei FV
FS
FV
P
FV
Martina e Letizia si
preparano con un
FP sulle misure di
capacità
L
P
Un gruppetto di
allievi sta
lavorando con un
FS, “Il cubo
magico”
Vanessa lavora per
un momento sui
fogli gialli e poi,
con Michael
prende un gioco
delle carte colorate
Vanessa insegna a
Cristina come
regolare la bilancia
e pesare.
Ruoli del docente
Insegnamento “alternativo”
Insegnamento tradizionale
•
Nell’insegnamento tradizionale,
l’allievo non ha un rapporto
diretto con il sapere che gli viene
“trasmesso” dall’insegnante.
•
Nell’insegnamento “alternativo”
sapere e allievo sono in diretta
relazione e l’insegnante svolge il
ruolo di osservatore, lasciando
eccessiva libertà e autonomia
all’allievo.
Ruoli del docente
Logo DIMAT
•
Ognuno dei termini è in relazione dinamica e in continua
interazione con gli altri due, non c’è un termine prioritario nella
relazione
Ruoli del docente: ORGANIZZATORE
•
Il ruolo del maestro è principalmente quello di essere
una risorsa per l’allievo, creando e organizzando delle
situazioni che mettano il bambino nella condizione di
essere attivo costruttore delle proprie conoscenze e gli
permettano di “imparare ad imparare”
Ruoli del docente: OSSERVATORE
•
Il maestro è osservatore delle situazioni didattiche
proposte agli allievi. Osserva e controlla gli esiti dei
propri interventi al fine di attuare azioni di regolazione
in funzione della costruzione e della generalizzazione
delle conoscenze.
Ruoli del docente: MEDIATORE
•
L’insegnante è mediatore, cioè, situandosi in una
posizione intermedia tra l’allievo ed il sapere, attua il
processo di “trasposizione didattica”, trasformando il
sapere in oggetto di apprendimento.
Zona prossimale di sviluppo (Lev S. Vygotskij)
•
La
mediazione
dell’insegnante
può
situarsi solo nella zona
prossimale
di
sviluppo, vale a dire,
affinchè l’apprendimento
abbia luogo, l’insegnante
deve
rendere
comprensibile
al
bambino un contenuto
attivando
conoscenze
che sono già in suo
possesso.
Quadro teorico di
riferimento
Tre concezioni dell’apprendimento
•
•
Il quadro teorico di riferimento è costituito dalla concezione
costruttivista.
Il costruttivismo considera l’apprendimento come un
progressivo
superamento
di
ostacoli
e
rimanda
esplicitamente ai conflitti cognitivi che l’allievo vive
confrontandosi con i compiti e i problemi da risolvere
Le famiglie di calcoli
proposta di una progressione
Le famiglie di calcoli
A coppie provate a
colorare con lo stesso
colore
i
calcoli
appartenenti alla stessa
famiglia
1. Possiamo trovare un elemento comune che ci permetta di riunire i
calcoli per formare delle famiglie?
Le famiglie di calcoli
Cercate di trascrivere sul foglio
dello stesso colore i calcoli
appartenenti alla stessa famiglia
1. Come potete vedere rispetto a prima c’è una difficoltà in più. Quale?
2. Avete trovato in quale famiglia collocare i calcoli?
3. Quali sono le caratteristiche proprie di ogni famiglia? Si potrebbe
cercare qualche altra famiglia? Quale?
Le famiglie di calcoli
Ora vi scrivo i capi famiglia poi voi mi aiuterete a trovare altri parenti
6+8= …
10+4= …
5+9= …
10+3= …
7+6= …
•
•
•
10+9= …
Quali caratteristiche
hanno?
Il calcolo 11+4 dove lo
metto?
È bello con i bambini creare dei vincoli e delle regole.
11+4 lo posso mettere insieme a 10+4 perché è un’addizione, il primo numero è
formato da 2 cifre e il secondo da 1, non c’è cambio.
Ma se stabilisco che il primo numero deve avere le unità=a 0 non fa più parte di
questa famiglia.
Le famiglie di calcoli
Il gioco delle famiglie si può fare anche con le sottrazioni
Posso dire che fanno tutti parte della stessa famiglia?
Posso dire che appartengono alla famiglia di prima? Se
sì perché? Se no, posso formare con tutti loro un’altra
famiglia?
Le famiglie di calcoli
Guardate ora questi calcoli:
50+40= …
70+60= …
30+70= …
1. Appartengono alla stessa famiglia? Se sì, perché? (altri esempi)
2. Se no, quante famiglie possiamo formare? (altri esempi)
Le famiglie di calcoli
Per finire facciamo un gioco:
50+40= …
70+60= …
30+70= …
Questi calcoli appartengono a famiglie diverse, voi fate
delle squadre e vediamo chi riesce a trovare in 5 minuti il
maggior numero di calcoli che appartengono alla stessa
famiglia.
Con i bambini si può anche dare una sola famiglia per
volta
La progressione della
moltiplicazione
(Classe 3a )
DEFINIZIONE
La moltiplicazione è la relazione di ogni elemento di un insieme A con ogni elemento di
un insieme B
INSIEME A
INSIEME B
 Mette in relazione gli elementi dell’insieme A con tutti quelli dell’insieme B.
 Il risultato dell’operazione non è la somma delle quantità (Addizione), ma il numero
di relazioni (Prodotto).
OBIETTIVI
(Apprendimento della moltiplicazione dalla 2a alla 4a elementare)
- Capire il concetto di moltiplicazione come prodotto di una
combinatoria in cui ogni elemento di un insieme è messo in relazione
con i singoli elementi di un altro insieme.
- Introdurre l'operatore x simultaneamente alla duplice scrittura:
3x4=
3
.x 4
- Istituzionalizzare il termine prodotto.
- Scoprire uguaglianze e diversità tra addizione e moltiplicazione.1
Se aggiungo un elemento ad un insieme, risultato (nell'addizione) e prodotto (nella
moltiplicazione) come cambiano?
Se inverto i termini dell'operazione, cosa succede? (commutatività)
[1] Osservazione:
L'addizione reiterata (somma di addendi uguali) interviene in un secondo tempo. Essa non è in nessun caso suggerita dal docente, ma viene accettata al
momento in cui è proposta dagli allievi (ciò avviene sempre, in genere).
OBIETTIVI
(Apprendimento della moltiplicazione dalla 2a alla 4a elementare)
- Costruire e capire cosa sia una tavola a doppia entrata attraverso l'uso di
varie rappresentazioni grafiche.
- Costruire la tavola pitagorica e analizzare le sue particolarità (coppie di
prodotti, simmetria).1
-
Apprendimento delle caselline (automatismo).
- Costruzione di algoritmi spontanei per la risoluzione di moltiplicazioni
scritte.
-
Primi accenni al concetto di area
(Si tratta di aspetti impliciti nelle azioni precedenti che si ricollegano con quanto affrontato
in geometria). Quando ho trovato la forma della "coperta rettangolare" e ho determinato
lunghezza e larghezza, non posso calcolare la somma, ma devo trovare il prodotto.
(Basandoci sulle "griglie" costruite possiamo inoltre associare i concetti di verticale e
orizzontale.)
[1] E' consigliabile costruire prima la tavola soltanto con i primi 5 numeri in modo che si ha un numero inferiori di dati sui quali fare le prime scoperte (non
viene quindi insegnata prima la casellina del 2, poi del 3 ecc…. . Si inizierà con le caselline “facili” per passare poi a quelle “difficili”)
IL GIOCO DELLE COMBINAZIONI
Accidenti! Che disordine!
Prova a metterli in ordine per tipo
IL GIOCO DELLE COMBINAZIONI
Adesso per colore
Ora per colore e per tipo
IL GIOCO DELLE COMBINAZIONI
Adesso proviamo con 4 colori e 6 oggetti
Per tipo
Per colore
… E adesso per tipo e colore
ISTITUZIONALIZZAZIONE
Questa è la
rappresentazione che
noi usiamo
IL GIOCO DELL’ANTICIPAZIONE
Prova tu adesso ad anticipare la soluzione
5 MEZZI DI TRASPORTO, 8 COLORI
SOLUZIONE: ....................................
5 OGGETTI, 3 COLORI
SOLUZIONE: ....................................
..... ADESSO CON 7 OGGETTI
SOLUZIONE: ....................................
PROVIAMO CON I NUMERI
COSTRUISCI TUTTE
LE CASELLINE CHE
TI VENGONO IN
MENTE
La costruzione delle CASELLINE
Combina in tutti i modi possibili
1,2,3,4,5 ... fino a 25
La costruzione delle CASELLINE
IL GIOCO DELLE CASELLINE
25
Sovrapponi le tabelle scoperte fino al
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
3
6
9
12
15
4
8
12
16
20
5
10
15
20
25
Mescolare tre giochi e poi rimettere assieme in modo ordinato
CASELLINE FACILI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
6
9
12
15
30
4
8
12
16
20
40
5
10
15
20
25
50
6
12
60
7
14
70
8
16
80
9
18
90
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
CASELLINE DIFFICILI
18
21
24
27
24
28
32
36
30
35
40
45
18
24
30
36
42
48
54
21
28
35
42
49
56
63
24
32
40
48
56
64
72
27
36
45
54
63
72
81
Memorizzazione delle caselline
(automatismi)
Il gioco delle carte colorate
Preparare tante carte come questa
Prova a vedere, quanti sono?
Scrivi il risultato
nell’ultima casellina
… Quanto sei bravo?
Scrivi il risultato
nella casellina rossa
4
6
… Infine solo con i numeri
Due modi di rappresentare
4X 4X6=
6=
1.Abbandono della rappresentazione grafica
2.Si mantiene il quadratino (per marcare il collegamento con le
precedenti attività)
3.Inevitabilmente questo percorso sarà compiuto dai bambini in
tempi diversi.
4.Va seguito il percorso senza interruzione per permettere al
bambino di collegare meglio le diverse esperienze. Il lavoro fatto la
settimana prima deve quindi essere rievocato.
La moltiplicazione
E’ essenziale che gli allievi (soprattutto
quelli meno esperti) possano associare una
rappresentazione grafica (es. tavola a
doppia entrata) o una scrittura simbolica
a un’azione direttamente vissuta.
Prima di imporre una scrittura
convenzionale (es. 5x4) il bambino
dovrebbe essere posto nella
condizione di trovarne, inventarne
una propria (es. algoritmi spontanei).
Affinché ciò sia possibile, egli deve
incontrare l’ostacolo (il concetto)
all’interno di una situazione.
La moltiplicazione
Obiettivo
Con quali numeri (entro il 100) posso
costruire delle "forme"?
7
20
14
(3x2)+1
6 +1
11
11
11
31
La moltiplicazione
Esempio
1. Situazione introduttiva
Abbiamo tanti pezzi di lana, di forma quadrata e desideriamo formare, cucire, delle coperte
(rettangolari).
Consegna:
Dovremo avere tre tipi di coperte:
- larghe 4 (per i letti dei bambini),
- larghe 7 (per letti a una piazza),
- larghe 9 (per letti “francesi”) ,
- larghe 12 (per i letti a due piazze).
La lunghezza può variare, guardate un po’ voi (pensate alle misure dei letti).
Cercate la varie soluzioni possibili e calcolate quanti quadrati sono necessari per ogni modello.
2. Situazioni di sviluppo
- Con 94 pezze che possibilità ho di ... avendo minor spreco ...
- Sono state ordinate 5 coperte del modello “bambini” e 7 del modello “francese” , ....
ecc...
3. Situazioni “astratte”
- Con quali numeri (numero di pezze) posso formare delle coperte a una piazza senza nessun
spreco ?
Sviluppi ulteriori (in 4a)
(Apprendimento della moltiplicazione)
- Addizione e moltiplicazione nella scomposizione di quantità numeriche:
14
3x2 + 6x4 + 3 = 33
oppure
3x6 + 3x4 + 3
4x3 + 2
L'associazione delle due operazioni è quanto è già stato probabilmente
messo in atto dagli allievi durante l'invenzione di alcuni algoritmi spontanei.
In ogni caso le due operazioni saranno coinvolte al momento
dell'apprendimento dell'algoritmo tradizionale.
Sviluppi ulteriori (in 4a)
(Apprendimento della moltiplicazione)
- Attività con le grandi collezioni:
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
x x x14
x xxx15
xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
10x16 + ......
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Inversamente:
"Trovate il numero corrispondente a 46 x 25"
ecc.....
Sviluppi ulteriori (in 4a)
(Apprendimento della moltiplicazione)
- Attività di approssimazione (controllo) sulla base dei
prodotti conosciuti.
- "Dall'algoritmo spontaneo all'algoritmo tradizionale."
Apprendimento della tecnica tradizionale sulla base delle conoscenze
sviluppato durante tutte le attività precedenti.
(Non avere fretta di arrivare alla moltiplicazione tradizionale!)
- Calcolo delle superfici:
- Attività di scoperta su altri algoritmi possibili (in particolare
quello mussulmano).
ALGORITMO CONVENZIONALE MUSULMANO
(Soltanto in 4a-5a!)
835 x 43=35.905
8
3
5
3
3
5
1
2
2
2
2
0
1
4
9
0
9
0
5
4
3
5
“Di algoritmi convenzionali ce ne sono e ce ne sono stati diversi, a dipendenza
delle culture e dei paesi. Ecco quello chiamato “musulmano”.
(Portiamo gli allievi ad approfondire il senso dell’algoritmo da un lato e dall’altro
proponiamo una interessante attività di ricerca-scoperta.
“Ora, dopo aver prima eseguito la moltiplicazione come la svolgiamo noi,
guardate quest’altro modo e cercate di capire se funziona e come funziona.
Mettetevi a coppie.”
4 situazioni
progressive
La soluzione proposta dall’allievo è da cogliere come…
un indicatore;
una risorsa;
una verifica per l’insegnante dell’efficacia delle sue
lezioni, delle sue scelte didattiche;
un’opportunità per mediare, per regolare il suo approccio
verso l’uno o l’altro allievo;
…
“Tutti al circo.”
298 + 14 + 1= 313
Il direttore di una grande scuola deve organizzare il
pers.
trasporto di tutti gli allievi e gli insegnanti allo
48 + 48 + ….
spettacolo del circo Knie.
Quanti autobus il direttore dovrà ordinare per
313 – 48 – 48
trasportare tutti gli allievi, i loro insegnanti e lui
stesso?
Gli allievi sono 298 e gli insegnanti 14.
Gli autobus sono tutti uguali e ogni autobus ha 48
posti.
Sull’autobus nessuno
può stare in piedi!
Inoltre, ogni allievo deve portare 4 euro, per il
biglietto, il resto lo paga la scuola.
Quanti soldi riceve il direttore da tutti gli allievi?
(50!)
–
….
7 bus
298 + 298 + 298 =
298 x 3 =
894 €
“Gita in barca.”
Settantotto ragazzi e ragazze del canton Berna,
assieme ai loro quattro insegnanti, erano a Lugano
per una settimana di scuola montana.
pers.
6 + 6 + 6 + ….
82 – 6 – 6 – ….
6 x 10 ….
Nel loro programma era previsto anche un giro sul
lago, con tante barche a remi. In ogni barca c’era
posto per sei persone.
14 barche
Quante barche hanno usato?
Sono usciti sul lago tutti assieme,
con tante barche, e c’erano anche i loro insegnanti
.
Ogni persona ha pagato 4 euro.
Per l’intero gruppo, quanto è costata in tutto la
gita in barca?
82
78 + 4 =
82 + 82 + 82 + 82 =
82 x 4 =
328 fr
“Gita a Rasa.”
Una maestra con i suoi 22 allievi e tre
accompagnatori organizza una visita al piccolo
villaggio di Rasa, nelle Centovalli.
La piccola funivia che sale a rasa trasporta al
massimo 6 persone alla volta.
Quanti viaggi devono fare per salire tutti a Rasa?
.
Ogni allievo ha portato alla maestra 4 euro.
Quanto ha ricevuto in tutto la maestra dai suoi
allievi?
Gli accompagnatori hanno
pagato per conto proprio..
22 + 3 + 1 = 26
pers.
6 + 6 + 6 + ….
26 – 6 – 6 – ….
6 x ….
5 viaggi
22 + 22 + 22 + 22 =
22 x 4 =
88 €
“In pedalò sul lago.”
2+3+1=
6
Mamma e papà, i loro tre figli e il nonno
pers.
sono a passeggio in riva al lago. Il padre offre
Rappr. visiva ….
a tutti un giro in pedalò.
6 – 4 ….
Su di un pedalò ci stanno 4 persone.
Quanti pedalò devono noleggiare?
4 + 4 ….
.
Dopo il giro sul lago, mangiano tutti un
gelato a due gusto che costa 4 euro.
4 + 4 + 4 + 4+ 4 +
Paga tutto il nonno. Quanto spende?
2 pedalò
G..
4
=
6x4=
24 €
Due approcci per analizzare e comprendere l’insuccesso:
CAMPO NUMERICO
della situazione
(vedi schema)
RAPPRESENTAZIONE
SPAZIO-TEMPORALE
della situazione.
Riconoscimento della sequenza,
dei “momenti” essenziali;
scelta delle procedure; anticipazione;
progettazione;…
MANGIANUMERI
Mangianumeri
Le attività proposte tramite queste schede si ricollegano a due temi
fondamentali:
- Valore posizionale delle cifre
- Sottrazioni
1
• Mangianumeri 2A
2
• Mangianumeri 2B
3
• Mangianumeri 2C
CONSEGNA PER IL PROSSIMO INCONTRO
• Portare esempio di errore