LiberEtà Udine, 18 ottobre 2007
Giuseppina Trifiletti
DOVE SI NASCONDE L’ERRORE?
1 )a  b  c c  0
quindi
a b
2 )a a  b   b  c a  b 
2
2
3 )a  ab  ab  ac  b  bc
4 )a 2  ab  ac  ab  b2  bc
5 )a a  b  c   ba  b  c 
6 )a  b
Se a > b (o a < b), non può essere a = b
1 )a  b  c
Se c è un numero positivo
allora a>b, es: 7=5+2,
Se c è un numero negativo
allora a<b, es: 7=9+(-2)
2 )a a  b   b  c a  b 
2
2
3 )a  ab  ab  ac  b  bc
4 )a 2  ab  ac  ab  b2  bc
5 )aa  b  c   ba  b  c 
6 )a  b


a bc 0
Dato che
non si può fare il passaggio dalla riga 5) alla riga 6)
perché si divide per 0
Un numero diverso da 0 diviso per zero non dà nessun
numero
Esempio
8:0 = nessun numero,
Invece
0:0 = qualunque numero
In ambedue i casi non otteniamo uno ed un solo risultato,
come deve invece accadere per avere come risultato un
numero
Per concludere
8
0
e
0
0
non sono numeri reali(vedi nota)
E la divisione per 0 non si può fare
NOTA: i numeri reali R sono tutti i numeri decimali, quelli che usiamo di solito - decimali limitati (come
3 e 4,5 e 7 e 2,3 … e infiniti altri), decimali illimitati periodici (come 1/3= 0,333333… e infiniti altri), e
decimali illimitati e non periodici, che approssimiamo (come 2=1,41… e =3,14… e infiniti altri)
Non si può dividere per zero
L’errore quindi sta nella divisione per 0, che si fa
dal passaggio 5) al passaggio 6).
Dato che
a = b+c
si ha che
a-b-c = 0.
ESEMPIO: a=7 e b=5 e c=2, 7=5+2, 7-5-2=0
In 6) si ottiene 7*0=5*0 che è un’uguaglianza
vera,
ma se divido per 0 ottengo 7 = 5 che è falsa.
Che succede se moltiplico per 0?
Brevemente
5=7 è un’uguaglianza falsa
Se moltiplico a destra e a sinistra per un
qualunque
numero
ottengo
ancora
un’uguaglianza falsa.
Es: 5x3=7x3 15=21
Se moltiplico a destra e a sinistra per 0
ottengo
5x0=7x0
0=0
E cioè un’uguaglianza vera
PESANDO E RIPESANDO
Se una bottiglia B e un bicchiere G. fanno equilibrio a una
caraffa C, e anche la stessa bottiglia B fa equilibrio a un
bicchiere G più un piatto P, e 2 caraffe C bilanciano tre
piatti P, si domanda
QUANTI BICCHIERI “G” FARANNO EQUILIBRIO A UNA
BOTTIGLIA “B”?
DATI DEL PROBLEMA
I) B + G = C
II) B = G + P
III) 2C = 3P
richiesta
1B = ?G
SOLUZIONE
1) I dato
B+G
=
2) II dato
C
3) Applico a 2) il I principio:
aggiungo un bicchiere da
ambedue le parti.
B+G
=
2G+P
=
B
G+P
4) Proprietà transitiva, tra 1)
e 3), dell’ =
2G+P
=
dato che
1) B+G = C
e
C
2) B+G = 2G+P
5) Applico il II principio:
raddoppio da ambedue le parti
6) III dato
2C
4G+2P
=
=
3P
2C
7) proprietà transitiva dell’ =
tra 5) e 6)
8) Applico il I principio: tolgo due
P (piattini) da tutte e due le parti
P = 4G
4G + 2P
=
3P
10) per sostituzione
9) II dato
Sostituisco a un P quattro G
RISPOSTA:
B
=
5G
Se si sostituisce ogni simbolo con i seguenti
numeri
B (bottiglia)
 50g
G (bicchiere)
 10g
P (piattino)
 40g
C (caraffa)
 60g
Le uguaglianze delle diapositive precedenti sono
tutte verificate
COME CREARE BIRRA
CON I PRINCIPI DI EQUIVALENZA
DELLE EQUAZIONI
LA MIRACOLOSA MOLTIPLICAZIONE DELLA BIRRA
1
1
bicchierepieno  bicchierevuoto
2
2
1
1
2  bicchierepieno  2  bicchierevuoto
2
2
1 bicchierepieno  1 bicchierevuoto
=
BIRRA
BIRRA
Metà bicchierepieno = Metà bicchierevuoto
significa
"Un bicchiere pieno a metà è uguale a un bicchiere
vuoto a metà"
È completamente diverso da
1/2bicchierepieno=1/2bicchierevuoto
Ha un altro significato.
Il detto
"un bicchiere pieno a metà è uguale a un bicchiere
vuoto a metà",
NON SI PUO' FORMALIZZARE IN QUEL MODO.
Infatti
1/2bicchierepieno = un mezzo moltiplicato per un
bicchierepieno = la metà di un bicchiere pieno
E NON UN BICCHIERE PIENO A METÀ
1/2bicchierevuoto = un mezzo per un bicchierevuoto
= la metà di un bicchiere vuoto
E NON UN BICCHIERE VUOTO A METÀ
1/2bicchierepieno=1/2bicchierevuoto, cioè vuol dire
che se divido un bicchiere pieno in due parti ottengo
metà di un bicchiere vuoto. E viceversa. Cosa che
non è assolutamente vera.
FALSO L'INIZIO E FALSA LA FINE
FORMALIZZAZIONE BANALE
Se invece volevo formalizzare IL DETTO di cui sopra dovevo
scrivere
Il bicchiere pieno a metà contiene tanto vino quanto il bicchiere
vuoto a metà, quindi l’uguaglianza era piuttosto banale
x = quantità di vino contenuta nel bicchiere pieno
1
1
x  x x
2
2
=
Un bicchiere con metà della quantità di vino che può contenere ha
tanto vino quanto un bicchiere pieno di vino a cui viene tolto metà del
vino che contiene
FORMALIZZAZIONE MIGLIORE
x = bicchierepienoametà
y = bicchierevuotoametà
x  y
E se moltiplico per 2,
utilizzando il II principio di
equivalenza, ottengo
BIRRA
BIRRA
=
BIRRA
BIRRA
2 x  2 y
=
BIRRA
BIRRA
ottengo due bicchieri pieni a metà che sono proprio uguali a
due bicchieri vuoti a metà
LA MIRACOLOSA MOLTIPLICAZIONE DELLA BIRRA
in pochissime parole

"UN BICCHIERE PIENO A METÀ È UGUALE A UN
BICCHIERE VUOTO A METÀ"
ha tutto un altro significato di
"LA METÀ DI UN BICCHIERE PIENO È UGUALE ALLA
METÀ DI UN BICCHIERE VUOTO“
dato che l’ultima frase si presta a una formalizzazione di
tipo matematico che porta decisamente fuori strada.
IDEE TRATTE DA
• dal libro di testo, di qualche anno fa, della INTERNATIONAL SCHOOL
di Udine MIDDLE SCHOOL MATH, autori vari, Scott Foresman-Addison
Wesley, Carrollton, Texas - Menlo Park, California
• dal libro ENIGMI CRITICI E BIZZARI di Michael DiSpezio, Il Castello
• Personali rielaborazioni